第8讲 列方程
数学：第8讲《方程法解行程》讲义(优选.)
五年级数学星队秋季班第八讲方程法解行程例1A、B两地相距2300米，甲队从A地出发2分钟后，乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20分钟后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每分钟快10米，求甲、乙的速度各是多少？【答案】50米/分，60米/分【分析】设甲的速度为每分钟x米，走了22分钟；乙的速度为每分钟x 米，走了20分钟；10根据总路程列式：()2220102300501060x x x x ++=⇒=⇒+=.例2甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知甲车每分钟行400米，乙车每分钟行300米，求丙车每分钟行多少米．【答案】 260【解析】设丙车速度为x ，骑车人速度为a ；根据“路程差”相等可列方程：6(400)12(300)200a a a -=-⇒=，则追及距离为6(400200)1200⨯-=米；则丙车追卡车：20(200)1200260x x -=⇒=练一练姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆，姐姐算了一下：如果从公园到博物馆距离超过2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足2千米，那么直接走过去省时间. 已知骑车与步行的速度比为4:1，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？【答案】 1.2【解析】设骑车速度为4，步行速度为1；设公园到家的距离为x ；当公园和博物馆的距离正好为2时，直接过去和回家取车再过去的时间相等，据此列式：22 1.2114x x x +=+⇒=.例3甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地，甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的16. 排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B 地. 那么，A 、B 两地之间的距离是 千米.【答案】 45【解析】设甲的速度为6，则乙的初始速度为5，后来的速度为8；若设全程为S ，则乙耽误的时间为： 15630S S ⨯=；根据时间相等列式：554565308S S S S -=++⇒=千米.例4一艘游艇装满油，能够航行180个小时，已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且路途没有油料补给，请问：这艘游艇最多能够开出多远？【答案】 2100【解析】最远的距离意味着回港时正好航行满180小时，设最远开出距离为S 千米；根据时间列式：180********S S S +=⇒=，即最远开出2100公里.练一练盛盛和东东站在环形跑道上的某处，准备以计划好的速度跑步，两人同时同地反向起跑. 但是在两人第一次相遇之前，东东是以原计划速度的2倍来跑步的，在第一次相遇后，东东降为原速，而盛盛以原计划速度的2倍跑步. 已知从开始到第一次相遇用时40秒，从第一次相遇到第二次相遇用时36秒. 还知道两人原计划速度每秒相差1米. 那么这个跑道一圈的长度是米.【答案】360【解析】设一圈长度是S米，仔细考虑两次相遇的速度和，会发现这两个速度和之差正是1米每秒，故有方程13640S S -=，解得360S =.例5甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几秒钟甲乙二人相遇？【答案】 2156【解析】设人的速度为“1”，车速为v ，则有方程8(1)7(1)v v -=+，解得15v =，代回原式求得车长为112.下面计算车遇到乙时，甲乙的距离：车超过甲走了5分钟，故与甲的路程差是-⨯=，但不要忘记(151)3004200开始超过甲时，车还超过了甲一个车长，故算得甲乙距离是42001124312+=. 相遇用时÷+=秒.4312(11)2156例6甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车. 甲行驶了60km后和乙车在C点相遇. 此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶. 那么当甲车到达B地时，甲乙两车最远可能相距______km.【答案】 15【解析】设相遇时乙走了x 米，那么甲乙相遇后，甲又走了x 米，乙走了26060x x x ⨯=米，故乙距离B 地22606060x x x x --=米. 260(60)6060x x x x --=，和一定 （x 与60x -的和是60），差小积大，故当60x x =-时，即30x =时，距离最大，最大距离为30(6030)1560⨯-=千米.例7甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走. 甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A、B两地相距米. 【答案】1680【解析】甲乙速度之比为60:803:4=，若设3AE a=，全程BE a=则4AB a=，7第二次相遇在E点时，甲走了+=，乙走了a a a7411+=；7310a a a根据时间相等列式：111014240716806080a a a a =+⇒=⇒=.例8甲从A 出发去B 地，速度为90米每分；乙从B 出发去A 地，速度为60米每分. 途中两人会经过C 地，已知乙经过C 地后10分钟甲才经过C 地. 第二天甲要从B 地返回A 地，乙要从A 地返回B 地，两人速度与第一天相同，但这次是甲经过C 地后30分钟乙才经过C 地. 请根据上述条件，求出A 、B 两地之间的距离.【答案】36001212231800 325400 S S S S -=⎧⎨-=⎩①②可见方程的对称性. 此时虽可以求解出具体的1S 、2S ，但别忘记要求的结果是12()S S +，故可使用一种对于两个式子都平等的操作方法直接得出12()S S +： ②式减①式直接得到：121212(32)(23)S S S S S S ---=+540018003600=-=，即AB 两地相距3600米.。
泰安市中考数学一轮复习《第8讲：一元二次方程》课件
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1>0，解得
1 k>－4.
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋3x＋1＝0.
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1， ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
类型3 一元二次方程的应用 【例3】 [2017·深圳中考]一个矩形(即长方形)周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
6．[2013·泰安，27，11分]某商店购进600个旅游纪念 品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个 ，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店 为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每 降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降 低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理 ，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
(2)3x(x－1)＝2(x－1)，移项，得 3x(x－1)－2(x－1)＝0.提公因式 (x－1)，
得(x－1)(3x－2)＝0.解得 x＝1 或 x＝23.
(3)(x＋3)2＝(1－2x)2，两边开平方，得 x＋3＝±(1－2x)． ∴x＋3＝1－2x， 或 x＋3＝－1＋2x.解得 x＝－23或 x＝4.
(2)不能．理由如下： 设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米．依题意，得 y(28－y)＝200，即y2－28y＋200＝0. ∵Δ＝282－4×200＝－16<0， ∴原方程无解． ∴不能围成面积为200平方厘米的矩形．
技法点拨►用到的知识点为：矩形的宽＝周长的一半－长． 解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合 适的等量关系，列出方程，再求解．
人教版 小学五年级上册秋季 数学讲义 专项强化巩固练习《第8讲 解方程》题目+答案
人教版小学五年级秋季数学讲义专项强化练习题+答案第8讲解方程例题练习题例1解下列方程．（1）6x+12=42；（2）12x−42=9x；（3）84−7x=5x．练1解下列方程．（1）4x−14=66；（2）4x+108=8x；（3）108−3x=6x．例2解下列方程．（1）5x+2=2x+14；（2）7−2x=31−6x；（3）15−3x=4x−20．练2解下列方程．（1）7+6x=32+x；（2）16−3x=36−8x；（3）19−5x=7x−17．例3解下列方程．（1）9x−(2x−21)=10x；（2）7x+2(11−x)=37．练3解下列方程．（1）4x+5(x−3)=30；（2）27−(5x−8)=2x．例4解方程：30−7(5−x)=9．练4解方程：6x−4(10−x)=50．挑战极限1如果关于x的方程5x=12+3x和3−(m−x)=4的解相等，那么m等于几？自我巩固1．方程7x+3=66的解是x=________．2．方程8x=44−3x的解是x=________．3．方程4x+3=3x+8的解是x=________．4．方程12−3x=7x−18的解是x=________．5．方程4x+15=6x+3的解是x=________．6．方程10+(5x+3)=58的解是x=________．7．方程1+2(3+x)=7的解是x=________．8．方程9x−2（2x−2）=19的解是x=________．9．方程7x+4(8−x)=53的解是x=________．10．方程5x−2(x−2)=25的解是x=___________．课堂落实1．方程4x+12=60的解是x=________．2．方程7x=81−2x的解是x=________．3．方程3x+7=5x+1的解是x=________．4．方程13+(6x+12)=55的解是x=________．5．方程36+3(4−x)=5x的解是x=________．第8讲解方程·参考答案例题练习题答案例1 【答案】（1）x＝5；（2）x＝14；（3）x＝7 【解析】（1）6x＋12＝42解：6x＝30x＝5；（2）12x－42＝9x解：3x＝42x＝14；（3）84－7x＝5x解：12x＝84x＝7．练1 【答案】（1）x＝20；（2）x＝27；（3）x＝12 【解析】（1）4x－14＝66解：4x＝80x＝20；（2）4x＋108＝8x解：4x＝108x＝27；（3）108－3x＝6x解：9x＝108x＝12．例2 【答案】（1）x＝4；（2）x＝6；（3）x＝5【解析】（1）5x＋2＝2x＋14解：3x＝12x＝4；（2）7－2x＝31－6x解：4x＝24x＝6；（3）15－3x＝4x－20解：7x＝35x＝5．练2 【答案】（1）x＝5；（2）x＝4；（3）x＝3 【解析】（1）7＋6x＝32＋x；解：5x＝25x＝5；（2）16－3x＝36－8x解：5x＝20x＝4；（3）19－5x＝7x－17解：12x＝36x＝3．例3 【答案】（1）x＝7；（2）x＝3【解析】（1）9x－（2x－21）＝10x解：3x＝21x＝7；（2）7x＋2（11－x）＝37解：5x＝15x＝3．练3 【答案】（1）x＝5；（2）x＝5【解析】（1）4x＋5（x－3）＝30解：4x＋5x－15＝30x＝30＋15x＝5；（2）27－（5x－8）＝2x解：27－5x＋8＝2x35－5x＝2x35＝2x＋5x35＝7xx＝5．例4 【答案】x＝2【解析】 30－7（5－x）＝9解：30－（35－7x）＝930－35＋7x＝97x＝14x＝2．练4 【答案】x＝9【解析】6x－4（10－x）＝50解：6x－（40－4x）＝506x－40＋4x＝5010x＝90x＝9．挑战极限1 【答案】5【解析】5x＝12＋3x的解为x＝6，所以3－（m－6）＝4，解得m＝5．自我巩固答案1 【答案】9【解析】7x＋3＝66解：7x＋3－3＝63－37x＝63x＝92 【答案】4【解析】8x＝44－3x解：8x＋3x＝44x＝43 【答案】5【解析】4x＋3＝3x＋8解：4x－3x＝8－3x＝5．4 【答案】3【解析】12－3x＝7x－18解：12＋18＝3x＋7x30＝10xx＝3．5 【答案】6【解析】4x＋15＝6x＋3解：2x＝12x＝6．6 【答案】9【解析】10＋（5x＋3）＝58解：10＋5x＋3＝585x＝45x＝9．7 【答案】0【解析】1＋2（3＋x）＝7解：1＋6＋2x＝77＋2x＝72x＝0x＝0．8 【答案】3【解析】去括号的时候需要注意括号前面的符号，如果是减号，去括号时要变号．9 【答案】7【解析】7x＋4（8－x）＝53解：7x＋32－4x＝533x＝21x＝7．10 【答案】7【解析】5x－2（x－2）＝25解：5x－2x＋4＝253x＝21x＝7．课堂落实答案1 【答案】12【解析】4x＋12＝60解：4x＋12－12＝60－124x＝48x＝122 【答案】93 【答案】34 【答案】55 【答案】6。
第8讲 列方程解应用题
1．(2012·云南)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐 赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙 校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿 泉水各多少件．
解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校 的矿泉水件数是2x－400，依题意得方程(2x－400)＋x＝ 2000，解得x＝800，2x－400＝1200.即该企业捐给甲校的 矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件
【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用 问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决 这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻 求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出 方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根， 舍去不合题意的根．
4．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建 羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三 个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为 多少米．
A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
5．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平
方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米
．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个
增长率是 20%
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数 式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(2)若购买的两种球拍数一样，求x.
解：(1)(4000＋25x)元 (2)购买每副乒乓球拍用去了 x 元，则购买每副羽毛球拍 用去了(x＋20)元，由题意得20x00＝20x0＋0＋2205x，解得 x1＝40，x2＝－40，经检验，x1，x2 都是原方程的根， 但 x＞0，∴x＝40.即每副乒乓球拍的价格为 40 元
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。
学大精品讲义五上数学(含答案)8第八讲 方程实际应用(一)
教学过程一、复习预习1、回顾以前学过的等式性质（1）和等式性质（2），并利用等式性质解决下面问题。
4x÷（）=16÷（） 12＋x－（）=36.5－（）2、什么是方程？方程与等式的关系。
3、解下面方程。
16－x=12.36 5x=25.5 x÷36=0.1x+23.1=100二、知识讲解列方程解应用题的一般步骤是：①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②依题意确定等量关系，设未知数x；③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案。
1、综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
2、分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
考点/易错点 1先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
考点/易错点 2分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
三、例题精析【例题 1】一个数的 2 倍减去 7.5 结果是 10，这个数是多少？列出方程解答．【例题 2】已知 3 个连续的整数的和是 48，求这三个连续的整数。
【例题 3】小胖去爬山,上山花了 45 分钟,按原路下山花了 30 分钟,上山每分钟比下山少走 9 米。
求下山的速度？【例题 4】四年级共有学生 200 人，课外活动时，80 名女生都去跳绳。
男生分成 5 组去踢足球，平均每组多少人？【例题 5】食堂运来 158.5 千克大米，比运来的面粉的 3 倍少 35.2 千克。
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
_八年级秋季班-第8讲：一元二次方程的应用二
一元二次方程应用（二）解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： a (1 x )nA ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．内容分析知识结构模块一：传播问题知识精讲例题解析【例1】某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190 次，求参加会议共有多少人．【例2】一个QQ 群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756 条信息，这个QQ 群中共有多少个好友?【例3】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【例4】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【例5】某实验室需要培养一群有益菌，现有60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000 个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?【例6】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．师生总结1、解此类问题，列方程时1 与x 的位置不能调换；解方程一般用直接开平方法；2、所得的方程的根一般有两个，注意检验，是否符合实际问题的要求．模块二：利率、利润问题知识精讲例题解析【例7】小明同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子）【例8】某种服装，平均每天可以销售20 件，每件盈利44 元，在每件降价幅度不超过10 元的情况下，若每件降价1 元，则每天可多售出5 件，如果每天要盈利1600 元，每件应降价多少元?【例9】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45 元，并且商场每天可售出该工艺品100 件，若每件工艺品降价1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．（1）每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？（2）若已知按标价的八五折销售该工艺品8 件与标价降低35 元销售工艺品12 件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?【例10】某化工材料销售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30 元．市场调查发现：单价每千克70 元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，日均多售2kg．在销售过程中．每天还要支出其他费用500 元（天数不足一天时，按一天计算）．如果日均获利1950 元，求销售单价．【例11】某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000 元/人，若单位组织超过25 人，每增加1 人可将人均定价降低20 元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7 万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7 万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700 元为限．双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．（1）这家单位还应补缴多少金额?（2）对这一场消费纠纷，你有什么想法?【例12】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元．（1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000 元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．F1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．【例13】 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm 2 ，面积是24cm 2 ，两条直角边的长分别是．【例14】 一个长方形的对角线长的是10 ，面积是 48，长方形的周长是．【例15】 利用 22 米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆 36 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，问 AB 和 BC 边各应为多少? ADBE C【例16】 如图，如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m ），另三边用木栏围成，木栏长 35m ．（1） 农场的面积能达到 150 m 2 ?（2） 农场的面积能达到 180 m 2 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）若墙长为a m ,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m 对题目的解起着怎样的作用?模块三：面积问题知识精讲例题解析18米2米【例17】 有一面积是 150 平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），墙对面有一个 2 米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长 33 米．求鸡场的长和宽各多少米?【例18】 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm ，宽 21cm ， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm ）?【例19】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30 m ，宽 20 m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为 2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到 0.1cm ）?九年 级 练数 学 习同 步传播问题QP【例20】 要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形 P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 1，求 P 、Q 两块绿地周围的硬化路面4 的宽度．ADBC1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式．模块五：动态几何类问题知识精讲例题解析【例21】如图，矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1 厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P、Q 分别是从A、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8 平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10 平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．D CQA P B【例22】在矩形ABCD 中，AB=9cm，BC=15cm，点P 从点A 开始以3cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm/s 的速度5 沿BC 边向点C 移动，如果P、Q 分别从A、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P、Q 两点同时停止运动，试求△PQD的面积S 与P、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式．D CQA P BADPL【例23】 等腰直角三角形 ABC 中，AB =BC =8cm ，动点 P 从 A 点出发，沿 AB 向 B 移动，通过点 P 引平行于 BC 、AC 的直线与 AC 、BC 分别交于 R 、Q ．当 AP 等于多少厘米时， 平行四边形 PQCR 的面积等于 16 cm 2 ?APCQ B【例24】 有一边为 8cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形 PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝ 5cm ，点 B 、C 、Q 、R 在同一直线 l 上，当 C 、Q 两点重合时，等腰三角形 PQR 以 1cm /s 的速度沿直线 l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 5，求时间 t ．BQCR2 R【例25】 已知竖直上抛物体离地高度 h （米）和抛出瞬间的时间 t （秒）的关系是h v t 1 gt 2， v 是抛出时的瞬时速度，常数 g 取 10 米/秒2 ．一枚爆竹以v =30 米/0 20 0秒的速度从地面上升，试求：（1） 隔多少时间爆竹离地面高度是 25 米? （2） 多少时间以后爆竹落地?【例26】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0分．如果平局，两个选手各记 1 分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误. 试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例27】 一个容器内乘有 60 升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多 14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?模块六：其他类问题例题解析随堂检测【习题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【习题2】用20 厘米长的铁丝能否折成面积为30 平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．【习题3】小华勤工俭学挣的100 元钱按一年期存入银行，到期后取出50 元来购买学习用品，剩下的50 元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63 元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题4】某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若每千克50 元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55 元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应为多少．【习题5】在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果四周金色纸边的面积是1400 cm2 ，求金色纸边的宽．【习题6】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130 平方米的花圃，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为31 米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个 2 米门，求花圃的长和宽．【习题7】如图，用总长为54 米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD，并使面积为72 平方米，求AB 和BC 的长．【习题8】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6 m2 ，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土48 m3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完．【习题9】一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，求每次倒出的药液量．【习题10】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500 张，每张盈利0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出200 张，每张盈利0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1 元，那么商场平均每天可多售出100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25 元，那么商场平均每天可多售出40 张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题11】如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20 cm2 ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由APB C【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为 2 厘米的一个长方形，余下的面积是 48 平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是．【作业2】 有 46 米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长 25 米）的矩形鸡场，其面积是 260平方米，则鸡场的长为米，宽为米．【作业3】 在一块长 12m ，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8 m 2 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽 3m ，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m ，完成大坝所用去的土方为 4500 m 3 ，问水坝的高应是多少?（说 明：背水坡度 CF ：BF =1：2，迎水坡度 1：1=DE ：AE ， 10.049 精确到 0.1m ）DCAE F B【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?课后作业101【作业6】从盛满20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5 升．问每次倒出溶液的升数?【作业7】为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26 秒后听到它落地的声音，已知音速为330 米每秒，石头从井口落下的距离s 与实践t 的关系式为s 米每二次方秒），求这个矿井的深度．1gt（22g=10【作业8】某同学在初二年级末，将500 元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240 元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解）【作业9】将进价为40 元的商品加价25%出售能卖出500 个，若以后每涨1 元，其销售量就减少10 个，如果使利润为9000 元，售价应该定为多少?【作业10】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?【作业11】等腰直角三角形ABC 中，∠ BAC=45°，CD⊥ AB，垂足为D，CD=2，P 是AB 上的一动点(不与A、B 重合)，且AP=x，过点P 作直线l 与AB 垂直．（1）设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3 的两部分．ALCP DB。
第8讲 不定方程-完整版
第八讲不定方程内容概述学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程.典型问题兴趣篇：1．求下列方程的正整数解．(1)25x y+=； (2)238x y+=；(3)321x y+=； (4)4530x y+=．答案：（1）12xy=⎧⎨=⎩（2）12xy=⎧⎨=⎩（3）无解（4）52xy=⎧⎨=⎩2．小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有多少张？答案：3张【解析】设小高有8分邮票x张，墨莫有15分邮票y张，依题意得：81599x y+=,解得35 xy=⎧⎨=⎩所以小高有3张8分邮票.3．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶，问：大、小油桶各多少个？答案：大油桶3个，小油桶4个【解析】设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得：8544x y+=,解得34 xy=⎧⎨=⎩所以有3个大油桶，4个小邮桶.4．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个【解析】设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：127150x y+=,解得96xy=⎧⎨=⎩或218xy=⎧⎨=⎩所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个.5．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候，若是早晨见面，小花狗叫2声，波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？ 答案：27声【解析】设它们白天相遇了x 次，晚上相遇了y 次，依题意得：3561x y +=．为使得波斯猫叫的少，x 应尽量大，y 尽量小，且x 、y 均不能超过15，符合的解为125x y =⎧⎨=⎩对应的波斯猫叫了12×1+5×3=27声．6．A 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有{的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？答案：12名【解析】设有x 名男职工，y 名女职工，则孩子有()13x y +名，依题意得： ()1131062163x y x y ++⨯+=，整理得：1512216x y +=，化简得：5472x y +=，解得：123x y =⎧⎨=⎩或88x y =⎧⎨=⎩或413x y =⎧⎨=⎩，其中只有123x y =⎧⎨=⎩时，()13x y +才是整数，所以有12名男职工.7．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？答案：老师3名，男生3名，女生8名【解析】设搬书的老师有x 名，男生有y 名，女生有z 名，依题意得： 128510014x y z x y z ⎧⎨++=++=⎩,消去z 得7x+3y=30，解得33x y =⎧⎨=⎩所以z=14-3-3=8，所以搬书的老师有3名，男生3名，女生8名.8．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3无的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？答案：20分的邮票3张．40分的邮票3张，50分的邮票13张【解析】设买了x 张20分的邮票，y 张40分的邮票，z 张50分的邮票，依题意得：0.20.40.58.3589156x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩,消y 得z-x=10，解得010x z =⎧⎨=⎩，111x z =⎧⎨=⎩…，同时还要满足y 为整数，经验证当313x z =⎧⎨=⎩时，y=3符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．9．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？ 答案：9封【解析】设她寄了x 封平信，y 封航空信，z 封挂号信，依题意得：81020122x y z ++=，化简得：451061x y z ++=.要想三种信的总和最少，很明显最贵的挂号信应该多．先令z=6，此时x 、y无自然数解；再令z=5，此时x 、y 无自然数解；再令z=4，解得41x y =⎧⎨=⎩以此类推，最后发现三种信的总和最少是9封信．10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元．小明去快餐店买汉堡．他付款100元？找回8元，请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？答案：4个【解析】设小明买了x 个鱼肉汉堡，y 个鸡肉汉堡，z 个牛肉汉堡，依题意得：79141008x y z ++=- ，解得只有x=4时，y 、z 有自然数解，所以小明买了4个鸡肉汉堡.拓展篇：1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？答案：10支或14支【解析】设张明买了x 支甲级铅笔，y 支乙级铅笔，根据题意列出方程：7350x y +=，由于方程两边除以3的余数相同，()733x y x mod +≡， ()5023mod ≡，所以x 除以3余2．又因为7x ≤50，所以x 是不超过7的自然数，只能取2或5．当x=2时，y=(50-2×7)÷3=12，x+y=14;当x=5时，y=(50 -5×7)÷3=5，x+y=10.所以张明共买了14支或10支铅笔.2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好买500个鸡蛋，请问：他一共要买多少盒？答案：26盒【解析】设买了大盒鸡蛋x 盒，小盒鸡蛋y 盒，则23x+16y=500.考虑方程两边除以16的余数，得：7x 除以16的余数是4．首先要求7x 是4的倍数，所以x 是4的倍数，验证x=4、8、12、…发现满足7x 除以16的余数是4的最小x值是12，相应的y 的值是14，即1214x y =⎧⎨=⎩由于12<16且14<23，所以方程没有其他自然数解，采购员一共买了12+14=26盒鸡蛋.3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人，如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？答案：15个步兵师，17个航空兵师【解析】设苏军参与战斗的有x 个步兵师，y 个航空兵师，依题意得：90008000271000x y +=,即98271x y +=，解得1517x y =⎧⎨=⎩． 所以苏军参与战斗的有15个步兵师，17个航空兵师．（当然本题中可以直接看做1个步兵师9千人，1个航空兵师8千人，总人数为271千人）．4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？答案：76人【解析】设甲、乙两小队分别有x 人和y 人．则两队植树棵数分别为13x-1棵和lOy-2棵，由分析得：lOy-13x=1．将y=0、1、2、…代人方程验证x 是否是自然数，可以求出方程的y 值最小的一组自然数解43y x =⎧⎨=⎩此时每队的植树棵数均为38棵．方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“y 值增加13且同时x值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是1713y x =⎧⎨=⎩，3023y x =⎧⎨=⎩，4333y x =⎧⎨=⎩…），每次“y 值增加13且同时x 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是4333y x =⎧⎨=⎩，所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有33+43=76人.5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米【解析】设已经截出了x 根长36厘米的管子和y 根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长36x+24y 厘米．由(36，24)=l2，得：36x+24y 一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以36x+24y=380是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于36x+24一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而36x+24y=372的自然数解是存在的，如114x y =⎧⎨=⎩，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米，所以剩余部分最少是380-372=8厘米．6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对l 题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分．请问：这次比赛共考了多少道题？答案：24道或21道【解析】设这个考生答对了x 道题，没答y 道题，答错z 道题，依题意得：527140371x y x z +=+-=⎧⎨⎩ ,化简并消去x 得6y+ 5z=58. 解得38y z =⎧⎨=⎩，82y z =⎧⎨=⎩代入原方程组得1338x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1182x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以这次比赛共考了13+3+8=24道题或11+8+2=21道题．7．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？答案：718个【解析】设庙里有x 个大和尚，y 个小和尚，依题意得：()44160719x y x y ⨯+=⨯+⨯， 化简得247112x y =.所以112247x y =⎧⎨=⎩，224494x y =⎧⎨=⎩由于和尚总数是七百多人，所以庙里共有224+494=718个和尚.8．我国古代数学家张丘建在《算经>一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？答案：公鸡、母鸡、小鸡分别买0只、25只、75只；或者4只、18只、78只；或者8只、11只、81只；或者12只、4只、84只【解析】设公鸡、母鸡和小鸡分别买了x 只、y 只和z 只．依题意得： 1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩要求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问题．我们选择“消去”z ：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得：14x+8y=200，即7x+4y=100，它的所有自然数解是025x y =⎧⎨=⎩,418x y =⎧⎨=⎩,811x y =⎧⎨=⎩,124x y =⎧⎨=⎩,它们对应的z 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所有自然数解是：02575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩和12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以我们有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只、母鸡25只、小鸡75只；公鸡4只、母鸡18只、小鸡78只；公鸡8只、母鸡11只、小鸡81只；公鸡12只、母鸡4只、小鸡84只．9．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买，钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔，请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒【解析】设圆珠笔买了x 盒，铅笔买了y 盒，钢笔买了z 盒，依题意得： 610490?67597x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩消去x 得z-3y=7． 解得110y z =⎧⎨=⎩，213y z =⎧⎨=⎩，……将y 、z 代入原方程组，发现只有213y z =⎧⎨=⎩时，x 有自然数解x=3．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒.10．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图8-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可似扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数，试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？答案：7个10个【解析】(1)第一问相当于求：当17x+lly+4z=100（其中x 、y 、z 是自然数）时，x+y+z 的最小值．令x+y+z=a ，用x+y+z 的17倍减去17x+lly+4z ，得6y+13z=17a-100.由17a-100是自然数，所以n 不能小于6．当a=6时，6y+13z=2，此方程无自然数解；当a=7时，6y+13z=19，此方程有自然数解11y z =⎧⎨=⎩相应的x=a-y-z=5．所以100分能获奖时，最少只要7个飞镖就够了，对应的中奖方案是：17分的靶子中5个，11分的靶子中1个，4分的靶子中1个．(2)第二问，同样设x+y+z=a ，由17x+lly+4z=120，用z+y+z 的17倍减去17x+lly+4z ，得6y+13z=17a-120.由17a-120是自然数，所以a 不能小于8．当a=8时，6y+13z=16，此方程无自然数解；当a=9时，6y+13z=33，此方程无自然数解；当a=10时，6y+13z=50，此方程有自然数解42y z =⎧⎨=⎩,相应的x=a-y-z=4．所以120分能获奖时，最少只要10个飞镖就够了，对应的中奖方案是：17分的靶子中4个，11分的靶子中4个，4分的靶子中2个．11.有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是10O 元？答案：不能【解析】设1分的有x 张，1角的有y 张，1元的有z 张，10元的有w 张，依题意得6010100100010000x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩①②由②-①得9y+99z+999w=9940，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．12.妻妻卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了，请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包【解析】设卡莉娅买了巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有x 包、y 包、z 包和w 包，则13x+17y+7.8z+10.4w=360．把系数都化成整数，得：65x+85y+39z+52w=1800．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数y 分为一组，其余未知数分为另一组：（65x+39z+52w ）+85y=l800．也就是13(5x+3y+4w)+85y=1800．令“u=5x+3y+4w ，则13u+85y=1800．它的自然数解只有6012u y =⎧⎨=⎩,所以卡莉娅共买了12包奶糖.13．卡莉娅、小高去超市买水果．卡莉娅买了2千克橘子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，小高买了3千克橘子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克橘子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？答案：26.1元【解析】设1千克橘子x 元，1千克苹果y 元，1千克梨z 元，依题意得： 23428.535747.7x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②只要求6x+3y ，所以没必要把3个未知数都解出来．注意到7×①-4×②能把z 消掉，得2x+y=8.7，那么6x+3y=3×8.7=26.1．所以老师花了26.1元.14．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．答案：12元【解析】设红笔的单价为a 元，蓝笔的单价为b 元，红笔买了x 支，蓝笔买了y 支，依题意得a+b=23且ax+bv=109无自然数解．解法一：枚举a 从12元到22元，发现只有1211a b =⎧⎨=⎩时，ax+by=109无解，所以红笔的单价是12元．解法二：利用结论：对于不定方程ax+by=c(a 、b 均为正整数且a 、b 互质)， 当c<ab-a-b 时，可能有自然数解，也可能没有自然数；当c=ab-a-b 时，无自然数解；当c>ab-a-b 时，一定有自然数解，有时为了计算方便还可以将ab-a-b 写成(a-1)（b-1）-1．本题中a+b=23是定值，那么如果a 、b 的乘积太小，ax+by=109就一定有自然数解，发现盘a 、b 的乘积最大时，即1211a b =⎧⎨=⎩时，12×11-12-11=109恰好是109，此时ax+by=109无自然数解，所以红笔的单价是12元.超越篇1．求不定方程35641625x y +=的所有自然数解．答案：x=19，y=15【解析】很明显y 一定是5的倍数，枚举5，10，15，…，可发现当y=15时有解1915x y =⎧⎨=⎩，很容易看出无其他自然数解.2．一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤，其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70%购入这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？答案：苹果10筐；梨8筐；桃子7筐【解析】设批发市场运进苹果x 筐，梨y 筐，桃子z 筐，依题意得： ()605545135530% 1.560 1.555 1.845638.1x y z x y z ++=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯+⨯=⎪⎩化简得：121192713027.527709x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×3-②得6x+5.5y=104，整理得12x+lly=208，解得唯一的一组自然数解108x y =⎧⎨=⎩代入①得z=7．所以批发市场运进苹果10筐，梨8筐，桃子7筐(当然本题中，②-2.5×①可以直接解出z).3．雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四入桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其他两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位，请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张，三人桌19张，四人桌12张【解析】设图书馆有三人桌x 张，四人桌y 张，则两人桌有2y 张，依题意得：223111223417y x y y x y +++=⨯++ 化筒得3y=x+17，解得16x y =⎧⎨=⎩,47x y =⎧⎨=⎩…为符合三种桌子共五十多张，发现只有1912x y =⎧⎨=⎩这组解符合，因此图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．4．采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A 种商品和若干个单价670元的B 种商品，其中B 种商品多于A 种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票，如果把A 、B 两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？答案：A 种商品3个，B 种商品12个【解析】设买了x 个A 种商品，y 个B 种商品，找回了z 张100元钞票，w 张10元钞票，依题意得：5906701901000067059091010000x y x y ++=⎧⎨++=⎩ (其中y>x ，O<w<10)两式相减得80x-80y+90w-90z=O ，即80(x-y)+90(w-z)=O ，亦即90(w-z)=80(y-x)，两边除以10得9(w-z)=8(y-x).由于等式的两边不等于O ，且w 比10小，所以w-z=8，依题意只能是w=9,z=1，代入原方程得：59067019010000 67059091010000x y x y ++++⎧⎨⎩== 解得312x y =⎧⎨=⎩，所以A 种商品买了3个，B 种商品买了12个.5．娄妻有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元，现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元【解析】设购买甲一件要x 元，乙一件要y 元，丙一件要z 元，丁一件要w 元，依题意得：531952421832665375x y z w x y z w x y z w +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩①②③注意到题目要求的是x+y+z+w ，所以完全可以不求x 、y 、z 、w 分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接接凑出x+y+z+w 或它的倍数并不容易，一个比较明显归显的是①+②-③可以求出x-z=3 ④可以用来调整x 和z 的系数．接着②+③可以让y 和w 的系数变的一样， 4x+7y+10z+7w=558． ⑤⑤+3×④得7x+7y+7z+7w=567，所以x+y+z+w=81．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元(当然本题可以直接看出3×①+4×②-2×③得到7x+7y+7z+7w=567).6．国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A 、B 、C 、D 、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表，如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D 商品，共有多少种不同的买法？答案：3种【解析】很明显D 商品只能恰好买一盒，那么还要买10千克价值710元的物品，设买了A 商品a 件，B 商品b 件，C 商品c 件，E 商品e 件，依题意得1.5231070110190310710a b c e a b c e +++≤⎧⎨+++=⎩ 解得：0320a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,2030a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,3011a b c e =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以共有3种不同的买法．7．现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的同一边）答案：191克【解析】设用了x 个13克的砝码，y 个17克的砝码，要称的重量为c 克，依题意，就是求使13x+17y=c 无自然数解的c 的最大值．利用拓展篇第14题解法二中提到的结论，c 最大取(13-1)（17-1）-1=191时，13x+17y=c 无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．8．现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次【解析】依题意，模拟倒几次后会发现，本题和不定方程：1.7x-4y=1和4y-1.7x=1的解有关系．先解出这两个不定方程：1.741x y -=解为：104x y =⎧⎨=⎩,5021x y =⎧⎨=⎩…4 1.71y x -=的解为：3013x y =⎧⎨=⎩,7030x y =⎧⎨=⎩… 其中104x y =⎧⎨=⎩这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1.倒满1.7升；2.1.7升倒入4升；3.倒满1.7升；4.1.7升倒人4升；5.倒满1.7升；6.1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7.4升的倒人大桶里；8.1.1升倒人4升；9.倒满1.7升；10.1.7升倒入4升；11.倒满1.7升；12.1.7升倒人4升，还剩0.5升；13.4升的倒人大桶里；14.0.5升倒入4升；15.倒满1.7升；16.1.7升倒人4升；17．倒满1.7升；18.1.7升倒人4升；19.倒满1.7升；20.1.7升倒入4升，还剩1.6升；21.4升的倒人大桶里；22.1.6升倒入4升；23.倒满1.7升；24.1.7升倒入4升；25.倒满1.7升；26.倒入4升，还剩1升，可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x 减去倒出的4y 的差，那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．。
六年级 数学 人教版 列方程解决应用题【精编版】
列方程解决应用题辅导教案第八讲列方程解决应用题【错题回顾】1、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30升。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少升？(1)232 14.83 1.5187255⎡⎤⎛⎫+-⨯÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2)117110 10.7542 1.125 2.251012111211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷+÷÷⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦二、填空1.一个小数的整数部分与小数部分的值相差88.11，整数部分的值恰好是小数部分的100倍，这个数是____________.2.把表面积是8平方米的正方体切成体积相等8个小正方体，那么每个小正方体的表面积是____________.4.一件商品，一进货价的300%标价，降价20%后出再打八折，相当于是按进货价的百分之（）出售。
（A）224 （B）72（C）168 （D）与原价大小有关5.甲把自己的五分之一棋子输给了乙之后，两人的棋子数相等，甲、乙原有棋子数的比是（）（A）5:3 （B）3:5（C）2:3 （D）3:21、（6分）有甲、乙两桶油共重160千克，如果从甲桶中取出715倒入乙桶，那么乙桶比甲桶多40千克油，求甲桶原比乙桶多（或少）多少千克？第八讲 列方程解决应用题【新课讲授】列方程解应用题的一般步骤是：①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；②合理设未知数x ，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数； ③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程； ④解方程；⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。
寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。
一些基本概念：（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x ，而且未知数x 的指数为1的方程叫做一元一次方程； （2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x 、y ，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.类型Ⅰ：解方程一、字母的运算二、去括号（主要是运用乘法的分配律和加减法的运算性质） 1.=+)(c b a2.=++)(c b a =-+)(c b a3.=+-)(c b a =--)(c b a应用上面的性质去掉下面各个式子的括号，能进行运算的要进行运算。
第8讲 二元一次方程(组)的概念和解法
第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。
第8讲 列方程解应用题
第八讲 列方程解应用题【知识要点】1．有两个未知量的分数应用题，我们可以根据两量和、差、倍比关系，设其中一个量为x ，另一个量用代数式表示，再根据等量关系列方程解答。
2．用方程解应用题的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；列方程求解；检验书写答案，其中第三步是关键。
【例题精讲】例题1：一个运输队包运1998套玻璃茶具．运输合同规定：每套运费以1.6元计算，每损坏一套，不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元．结果这个运输队实际得运费3059.6元，那么，在运输过程中共损坏多少套茶具？ 解：设共损坏x 套茶具1.6⨯(1998-x )-18x =3059.6x =7例题2：从家里骑摩托车到火车站赶乘火车．如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟．如果打算提前5分钟到，摩托车的速度应是多少？解：设离火车开车时刻还有x 分钟)5(6020)15(6030+⨯=-⨯x x x =5530⨯[(55-15)÷(55-5)]=24(千米/小时)例题3：一只船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头间距离． 解法一：设顺水航行x 小时，则逆水航行（12.5-x ）小时(20+4)x =(20-4)(12.5-x )x =5（20+4）⨯5=120（千米）解法二：设甲、乙两码头相距x 千米5.12420420=-++x x x =120例题4：兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里?解：设哥哥步行了x 千米,则骑马行了（51-x ）千米.而弟弟正好相反,步行了（51-x ）千米,骑马行x 千米1245112515x x x x +-=-+ x =30437476123051530=+=-+(小时)=7小时45分 答：早晨6点动身,下午1点45分到达.例题5：现有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度是40%的糖水，需加糖多少克？解：设需加糖x 克能得到浓度为40%的糖水．那么%40)300(%20300⨯+=⨯+x xx =100例题6：有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
2015年河北省地区中考数学总复习课件 第8讲 列方程(组)解应用题
(5)利润问题： x 利润＝销售价－进货价＝标价×折扣( )－进货价(x 表示打 x 10 折)； 利润 利润率＝ ； 进货价 销售价＝(1＋利润率)×进货价． (6)利息问题： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息．
1．(2013· 河北)甲队修路 120 m 与乙队修路 100 m 所用天数相同 ，已知甲队比乙 队每天多修 10 m，设甲队每天修路 x m．依题意，下面所列方程正确的是( A ) 120 100 120 100 A. ＝ B. ＝ x x－10 x x＋10 120 100 120 100 C. ＝ D. ＝ x－10 x x＋10 x 2．(2007· 河北)炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 66 台空调，乙安装队为 B 小 区安装 60 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台．设 乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是( D ) 66 60 66 60 A. ＝ B. ＝ x x－2 x－2 x 66 60 66 60 C. ＝ D. ＝ x x＋2 x＋2 x
3．(2014· 莱芜)已知 A， C 两地相距 40 千米 ，B，C 两地相距 50 千米 ，甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发到 C 地．若乙车 每小时比甲车多行驶 12 千米 ，则两车同时到达 C 地 ，设乙车的速 度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是( B ) 40 50 40 50 A. ＝ B. ＝ x x－ 12 x－ 12 x 40 50 C. ＝ x x＋ 12 40 50 D. ＝ x＋ 12 x
解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度， 由题意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6 月份用电500－x＝310度．当5月份用电量为x度＞200度，6 月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x＋0.6(500－x)＝ 290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度 ，6月份用电310度
2015届九年级数学中考复习课件：第二章第8节
5．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平
方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米
．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个
增长率是 20% ．
一元一次方程的应用 【例1】 (2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省 试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次 第一档 第二档 第三档 每户每月用电数(度) 执行电价(元/度) 小于等于200 大于200小于400 大于等于400 0.55 0.6 0.85
1．(2014·宁夏)服装店销售某款服装，一件服装
的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利 20%，则这款服装每件的进价是 200 元．
2． (2014· 新疆)六一儿童节前夕， 某超市用 3360 元购进 A， B 两种童装共 120 套，其中 A 型童装每套 24 元，B 型童 装每套 36 元．若设购买 A 型童装 x 套，B 型童装 y 套， 依题意列方程组正确的是( B )
x＋y＝120 A. 36x＋24y＝3360 x＋y＝120 B. 24x＋36y＝3360
36x＋24y＝120 C. x＋y＝3360
24x＋36y＝120 D. x＋y＝3360
3．(2014· 莱芜)已知 A，C 两地相距 40 千米，B，C 两地相 距 50 千米，甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发到 C 地．若乙车每小时比甲车多行驶 12 千米，则两车同时到 达 C 地，设乙车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正 确的是( B ) 40 50 A. ＝ x x－12 40 50 B. ＝x x－12
【点评】
(1)列方程解应用题，要抓住关键性词语
，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理 清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间 接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．(2) 当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一 个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表 示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量 的值．
第8讲 一元二次方程
第8讲 一元二次方程考纲要求命题趋势 1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题. 结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.知识梳理一、一元二次方程的概念1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．自主测试1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－43．某商品原价200元，连续两次降价a %后售价为148元，下列所列方程正确的是( )A ．200(1＋a %)2＝148B ．200(1－a %)2＝148C ．200(1－2a %)＝148D ．200(1－a 2%)＝1484．已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________.5．解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．5D ．6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122＝2± 3. 方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4± 2D ．0或8解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D.答案：D方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )A ．n 2－4mk ＜0B ．n 2－4mk ＝0C ．n 2－4mk ＞0D ．n 2－4mk ≥0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3. 解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0. ∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5. 答：2011年的年产量为12.5万辆．方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？1．(2012河北)用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．(2012江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．14D ．－143．(2012湖南株洲)已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为( )A ．b ＝－1，c ＝2B ．b ＝1，c ＝－2C ．b ＝1，c ＝2D ．b ＝－1，c ＝－24．(2012四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝1215．(2012贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．6．(2012浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是()A．m≠2 B．m≠±2C．m≠ 2 D．m≠± 22．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－24．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则()A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜05．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是__________．8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B 因为根的判别式b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．2．C 把x ＝2代入方程，得c ＝4.3．B 降价a %一次售价为200(1－a %)元，降价a %两次售价为200(1－a %)(1－a %)元，即200(1－a %)2元．4．32 因为a ＝2，b ＝－3，所以x 1＋x 2＝－b a ＝32. 5．解：原方程可化为x 2－3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.探究考点方法触类旁通1．B 把3代入原方程得c ＝6，解原方程得另一个根是2.触类旁通2．解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝9－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－3±52. ∴x 1＝－3＋52，x 2＝－3－52. 触类旁通3．D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n 2－4mk ≥0.触类旁通4．B 因为a ＝1，c ＝3，所以x 1x 2＝c a＝3. 触类旁通5．解：(1)2x 50－x(2)由题意，得(50－x )(30＋2x )＝2 100，化简，得x 2－35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x ＝15不合题意，舍去．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．品鉴经典考题1．A 原方程变为x 2＋4x ＋4－4＋1＝0，所以(x ＋2)2＝3. 2．B 因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a )＝0，所以a ＝－1.3．D b ＝x 1＋x 2＝1－2＝－1，c ＝x 1x 2＝－2.4．C 因为每次提价的百分率都是x ，则两次提价后价格是原价的(1＋x )2，所以列方程为100(1＋x )2＝121.5．3或－1 解方程：x 2－2x ＋1＝4，∴(x －1)2＝4，x －1＝±2，∴x 1＝3，x 2＝－1.6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm ，则(40－2x )2＝484，即40－2x ＝±22，解得x 1＝31(不合题意，舍去)，x 2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为y ＝4(40－2x )x ，即y ＝－8x 2＋160x ＝－8(x －10)2＋800，∴当x ＝10时，y 最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm 2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm ，从而有2(40－2x )(20－x )＋2x (20－x )＋2x (40－2x )＝550，解得x 1＝－35(不合题意，舍去)，x 2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为5 cm.研习预测试题1．D 由题意知，m 2－2≠0，得m ≠±2.2．C 因为x 2－2x －5＝x 2－2x ＋1－6＝0，所以(x －1)2＝6.3．C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a －1)＞0，且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.4．A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p ＜0，所以p ＞0；两根之积为正，即q ＞0.5．±7 因为把x ＝2代入原方程得a 2＝7，所以a ＝±7.6．2 因为a ＝1，c a ＝x 1x 2＝2，所以c ＝2. 7．－65因为a ＋b ＝6，ab ＝－5， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6－5＝－65. 8．解：提取公因式，得(x －2)(x ＋1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1.9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x .由题意，得5(1－x )2＝3.2.解方程，得x 1＝0.2，x 2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x 2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x 1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．。
五上第八讲：列方程解应用题(二)
五上第八讲：列方程解应用题（二）姓名：______________例题：1、红光小学为希望工程捐款，五年级捐款1350元，比四年级的2倍还多150元。
四年级捐款多少元？2、两个火车站相距260千米。
甲、乙两列火车同时从两站相对开出，经过2.5小时相遇。
甲车每小时行48千米，乙车每小时行多少千米？3、一个数的2倍加上3，等于这个数加上12，这个数是多少？4、果园里共种340棵桃树和梨树，其中桃数的棵数比梨数的3倍多20棵。
两种数各种了多少棵？5、光明小学四年级举行智力竞赛，为鼓励大家抢答，规定答对一题加10分，答错一题扣5分。
四（1）班同学抢答了10次，共得40分。
他们答对了多少题？6、四个人中年龄最小的是12岁，年龄最大的人与年龄最小的和比另外两人的年龄的和大9岁，四个人的年龄和为95岁，年龄最大的人是多少岁？7、父子二人，父亲48岁，儿子21岁。
问：几年前父亲的年龄是儿子的4倍？8、几个小朋友分纸牌，每人8张少7张，每人7张多8张。
问：几个小朋友几张牌？9、有两段长度相等的电线，安装电灯时，第一段用去了35米，第二段用去5米，结果第二段余下的电线刚好是第一段余下的4倍。
两段电线原来各长多少米？10、甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库内运出多少吨放入甲仓库？练习：1、甲、乙两个化肥仓库，甲仓库所存化肥是乙仓库的2.4倍，乙仓库比甲仓库少存化肥44.8吨。
甲、乙两个仓库各存化肥多少吨？2、某校五年级同学站队，站了3行女同学，4行男同学。
女同学比男同学多3人。
女同学每行25人，男同学每行多少人？3、12加上一个数的和，再乘5，等于这个数的7倍，这个数是多少？4、甲、乙、丙三个班共有学生151人，甲班比乙班多6人，乙班比丙班多5人。
三个班各有多少人？5、一次自然测验，有填空和选择两种题型，每做对一道填空题得3分，做对一道选择题得5分，小红一共做对了15道题，结果得了55分。
15秋季四年级基础班第8讲方程的应用学生版
练习五
二元问题一元化
甲乙两个仓库共存大米56包，从第乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的 包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包?
A 36，20 B 28，28 C 24，34 D 20，36
例题六
二元问题一元化
有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？
例题六
A 76
B 77
C 144 D 288
例题三
பைடு நூலகம்
找等量列方程
爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
例题三
找等量列方程
猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐， 如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪， 猪妈妈一共带了多少张餐布？
二元问题一元化
一次口算比赛，规定：不能不答，答对一题得8分，答错一题扣5分．小华答 了18道题，得92分，小华在此比赛中答错了多少道题？
练习六
二元问题一元化
一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔 共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？
A 8，2 B 7，3 C 6，4
D 5，5
练习六
二元问题一元化
小明参加数学竞赛，共10道题，每答对一道得10分，每答错一道倒扣5分，
（不做按做错算），他最后得了55分。小明一共做对了几道题？做错了几道
题？
A 8，2 B 7，3 C 6，4
D 5，5
例题七
数字问题
有甲乙两个数，甲乙两数的和是71，甲数减去2等于乙数加上9，甲乙分别是 多少？
练习三
找等量列方程
五年级上册数学讲义-平均数应用及列方程解应用题 (沪教版)
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
四（5）
人数
45
48
42
48
45
每班借书总本书
63
96
65
70
72
⑴.四年级平均每班有人。
⑵.四年级平均每班借了本书。
⑶.四年级平均每班每人约借了本书。（得数精确到十分位）
A. 73.2 B. 45.6 C. 1.6 D. 2
三、综合应用
1、一匹布长18.5米，裁剪成每段11分米长的裤料，最多可以裁多少段？还剩下多少米？5%
答案：（84×2＋84＋12）÷3＝88
4、期中考试中，小巧语、数、英三科平均成绩是89分，其中英语92分，比语文多14分，她的数学成绩是多少分？
答案：89×3－92－92＋14＝97
5、某班有40名同学，期中测试有2名同学生病缺考，这个班里平均分为89分，缺考同学补考各得99分，这个班期中测试的平均分是多少分？
2、四年级数学测验，第二小组同学的得分情况为：1人得98分，3人得92分，4人得86分，2人得76分，这个小组的平均成绩是多少分？
答案：平均成绩（98＋92×3＋86×4＋76×2）÷（1＋3＋4＋2）＝87分
3、明明的期末测试语文与数学的平均成绩是84分，英语比语文和数学的平均成绩高出12分。他三科的平均成绩是多少分？
2、有甲、乙两个小队折千纸鹤比赛，甲队有11人，一共折了165只千纸鹤；乙队有13人，一共折了182只千纸鹤。甲队平均每人折多少只千纸鹤？甲队和乙队，哪个队平均每人折的千纸鹤多？
答案：15只甲队
3、①五(1)班有学生48人，共植树96棵，五(2)班有学生42人，共植树105棵，这两个班分别平均每人植树多少棵?哪个班级效率高？
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第8讲列方程
一、列方程突破口
1.找等量关系：谁比谁多几或少几；谁是谁的几倍。
2.设未知数：方程中一般设x，未知数尽量少。
二、步骤
1.审：审题，找出题中已知量和未知量，找出等量关系。
2.设：设未知数，多个未知量时，顺向思维找关键未知量，设为x。
3.列：列方程。
4.解方程。
5.先检验再写答。
三、题型
1.直接设未知数，参考例题1，例题2，例题3，例题4。
2.间接设未知数，参考例题5，例题6。
四、例题精讲
例题1
煤场上午运来15吨煤，下午又运来了一些，这天共运来43吨煤，下午运来多少吨煤？
练习1
两袋大米，第一袋比第二袋少14千克。
已知第一袋重52千克，第二袋重多少千克？
例题2
一个平行四边形的面积是150平方厘米，底是50厘米，高是多少厘米？
练习2
一个三角形的高是18厘米，面积是180平方厘米，底是多少厘米？
丁丁和牛牛共有100张积分卡，已知牛牛积分卡的数量比丁丁的3倍多8张，请问丁丁、牛牛各有多少张积分卡？
练习3
牛牛比丁丁多100张积分卡，已知牛牛积分卡的数量比丁丁的3倍少8张，请问丁丁、牛牛各有多少张积分卡？
例题4
苹果和梨共80千克，价值400元，已知苹果4元一千克，梨6元一千克，那么苹果和梨各多少千克，
练习4
小明买来8角邮票与5角邮票共100张，总值68元，8角邮票和5角邮票各买了多少张？
例题5
小明家左边与右边各有1家超市在促销同一种品牌的牛奶。
如果去左边这家超市购买，所带的钱恰好能买12盒；如果去右边那家超市购买，所带的钱恰好能多买2盒。
已知右边超市每盒牛奶的价格比左边超市每盒牛奶的价格便宜1元。
那么小明共带了多少钱？
体育课上，三年级（1）班的46名同学都在操场上玩球。
每个篮球分给6名同学玩，每个排球分给8名同学玩。
篮球和排球一共有7个。
问：玩排球的同学有多少人？
例题6
甲、乙、丙共有钱99元，甲的钱比乙的钱的2倍少2元，乙的钱比丙的钱的3倍少3元。
甲有多少钱？
练习6
已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元。
篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元，问：每个篮球多少元？
课后训练
练习1
有两包面粉，第一包重60千克，如果从第二包取出10千克放入第一包，那么两包面粉一样重。
问：第二包面粉重多少千克？
练习2
一堆煤重40吨，一辆货车运了4次，还剩一半没有运，这辆货车平均每次运多少吨？
妈妈买了3千克葡萄，付出20元，找回5元，每千克葡萄多少元？
练习4
新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书由一个小组的学生来搬，如果这批教科书由小组中男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬；如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本。
已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少人？
练习5
丁丁和牛牛各有25元钱，已知牛牛的钱比丁丁的2倍还少8元，请问丁丁、牛牛各有多少元？
练习6
丁丁、牛牛、田田共有100本课外书。
丁丁的本数除以牛牛的本数，田田的本数除以丁丁的本数，商都是5，而且余数也都是1。
丁丁有多少本书？。