苏教版高中数学必修一二次函数与一元二次方程学案
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式
高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ? ?预习小测 自我检验1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4<0；②x 2＋mx －1>0；③ax 2＋4x －7>0；④x 2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式：(2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0；解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为?.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为?；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0?⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) C ．?答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}． 5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根，∴－1＋3＝b 5，－3＝c 5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是() A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2}C ．{m |m <－2或m >2}D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B.6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2.7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，1m <2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3，∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2. ∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0，∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3. ∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．① B．② C．③ D．④答案C解析①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}答案B解析根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．13．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．答案2≤a<3解析若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2<a<3，综上有a的取值范围是2≤a<3.14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对?x∈R恒成立，则a的取值范围为________．答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为?；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
2019-2020学年高一数学 二次函数与一元二次方程导学案 苏教版.doc
2019-2020学年高一数学 二次函数与一元二次方程导学案 苏教版知识网络学习目标1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；（3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a≠0）没有零点． 3. 推广⑴函数的零点的概念一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =()x D ∈的零点．⑵函数的零点与对应方程的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．一、求已知两个集合的交集例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．()y f x =的图象．例2：右图是一个二次函数（1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．二次函数与一元二次方程根的关系例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值．分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ ） A ．01a ≤≤ B ．02a ≤≤ C ．20a -≤≤ D ．10a -≤≤2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤ C ．()()x x f b f c > D ． ()()x x f b f c < 3． 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a ≤<4．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<5. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈_ ___．6.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______ __________．1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；（3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a≠0）没有零点． ⑴函数的零点的概念一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x = ()x D ∈的零点．⑵函数的零点与对应方程的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点． 例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．【解】证法1∵∆=()23427650-⨯⨯-=>∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．证法2 设2()237f x x x =+-，∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法点评:例1还可用配方法将(1)23720f =+-=-<来推证．2，由抛物线开口向上及例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象．（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =．（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a = ∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+．（3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<．点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想． 例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．【解】⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴ 13a -<<． ⑵ 当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要方程两根都小于1，只要 2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或 304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于： 222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤．（4）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<- 或34a <<．（5）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤< 若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >．若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =．综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ D ） A ．01a ≤≤ B ．02a ≤≤ C ．20a -≤≤ D ．10a -≤≤2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ B ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤ C ．()()x x f b f c > D ． ()()x x f b f c <3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈__1223m <<___． 4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______[)7,+∞__________．例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值．分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．【解】因为方程22(2)350x k x k k +-+++=(k R ∈)有两个实根，所以22(2)4(35)k k k ∆=--++2316160k k =---≥，解得443k -≤≤-又(2)m n k +=--，235m n k k ⋅=++， 所以222()2m n m n mn +=+- 22(2)2(35)k k k =--++22106(5)19k k k =---=-++．而()()2451943f k k k ⎛⎫=-++-≤≤- ⎪⎝⎭是减函数，因此当4k =-时，22m n +取最大值18，当43k =-时，22m n +取最小值509．点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k 的取值范围，否则无法确定函数()f k 的单调性．．1． 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a ≤<2．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ A ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<<3．不等式223222x kx kx x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值范围是210k <<.4． 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．答案：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >,0c <．由2y ax bx cy ax b⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2()0ax b a x c b +-+-=， 因为2()40b a ac ∆=+->．所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B = 2212()(2)4c x x a-=--．∵0a b c ++=，a b c >>，∴122c a -<<-．∴11||A B ∈（23，32）．。
39.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)
2.5.1 二次函数与一元二次方程(1)教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用 4．培养学生动手操作的能力教学重点：确定方程实数根的个数教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学过程： 引入问题 问题1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根也称为函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点.1．函数零点的定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标. 2．零点的一般结论方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点问题2.如何判断一元二次方程的零点的个数?对二次函数图象中零点的观察可得如下性质.零点个数 2个 2个相等的零点 0个练习: (课时训练P59例2)求实数k 的取值范围,使关于x 的方程1x k x+=有两个不相等的实根.解法一: (数形结合法) 阅读课时训练P20页,利用函数1y x x=+的图象求解.解法二: (判别式法)原方程可化为210x kx -+=,由题意可得240k ∆=->,∴2k >或2k <-.∴2k >或2k <-时, 方程1x k x+=有两个不相等的实根.3．零点的性质对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正． （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号．4．注意点（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点．阅读课本P75页例2例2的结论:由例2的结论可推广得下面的定理5．勘根定理 (介值定理) (根的存在性定理) 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根．题型1.零点的判断 例1．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1(1,)e和（3，4） D ．(,)e +∞分析：从已知的区间(,)a b ，求()f a 和()f b ，判断是否有()()0f a f b ⋅<. 解析：因为(1)20,(2)ln 210f f =-<=-<， 故在（1，2）内没有零点，非A. 又2(3)ln 303f =->，所以(2)(3)0f f ⋅<， 所以()f x 在（2，3）内有一个零点，选B.例2．若方程2210ax x --=在（0，1）内恰有一解，求实数a 的取值范围． 分析：令2()21f x ax x =--在（0，1）内恰有一解，则(0)(1)0f f ⋅<，解出a ． 解析：令2()21f x ax x =--，因为方程在（0，1）内恰有一解， 所以(0)(1)0f f ⋅<，即1(22)0a -⋅-<，解得1a >.练习: (课本P74例1)分析: 证法一,利用0∆>,证明得方程有两个不相等的实数根.证法二,利用二次函数的图象特征: 其开口向上(a >) 且(0)0f <则函数的图象必与x 轴有两个不同的交点.()0af m < 还有其它证法吗?提示:可以求最小值小于0. 还有配方法!问题3.如果二次开口向下呢?如何证明方程仍有两个不同的实数根? 一定要用(0)f 才行吗?你能分类说出二次函数有两个实数根,证法二的一般规律吗?结论: 二次函数2() (0)f x ax bx c a =++≠, 若满足0,0,()0,()0.a a f m f m ><⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或,则方程20 (0)ax bx c a ++=≠必有两个不相等的实数根.即:题型2.零点的个数计算例3．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数.分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：（1）利用计算器或计算机作,()x f x 的对应值表； （2）作出函数()y f x =的图象； （3）确定()y f x =的单调性；（4）若在区间[,]a b 上连续，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个实数根；（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数． 结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察．分析: 可以判断其为(0,)+∞上的增函数∵(2)(ln 22)0,(3)ln30f f =-<=>, ∴(2)(3)0f f <∴在(2,3)区间上有一个实数根,且该零点有且仅有一个.例4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是( )A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定分析：分析条件0a c ⋅<，a 是二次项系数，确定抛物线的开口方向，(0)c f =，所以(0)0a c a f ⋅=⋅<，由此得解．解：因为(0)c f =，所以(0)0a c a f ⋅=⋅<，即a 与(0)f 异号，即0(0)0a f >⎧⎨<⎩或(0)0a f <⎧⎨>⎩ 所以函数必有两个零点，故选B.题型3.二次函数的图象上其它特征点的信息捕捉 练习: (课时训练P59例1 练习1)二次函数2y ax bx c=++则点(,)cP a b在 ( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:开口向下可得0a <, 令0x =可得0c >,对称轴在x 轴右方可得02ba->, 即得0b >.∴0,0c a b <>,即点(,cP a b在第二象限, 应选B.小结: 二次函数的系数的符号与三个条件有关:①开口方向(a ) ; ②与y 轴的交点 (c ) ; ③对称轴在y 的哪侧 (2ba-) .试一试: 应用此法可立即解得课堂练习1 2 的答案为? D D例4. (课时训练P59练习3)如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(-1,0) .(1)试确定a b c ++的符号;(2)求证:方程20ax bx c ++=的另一根0x 满足0(3)求证: 0b a << .解析:(1)如图知,(1)0f a b c =++>. (2)由图象知,(0)0f <, 又∵(1)0f >, ∴()f x 的另一个零点在区间(0,1)上.即方程20ax bx c ++=的另一根0x 满足001x <<; (3)∵图象开口向上, ∴0a >.又∵(1)0f -=, ∴0a b c -+=.而0c <, ∴0a b c -=->, 即a b >.∵(1)0f a b c =++>, 0a b c -+= ,∴()20a b c a b c b ++--+=>, 即得0b >. ∴0b a << .作业布置: 课时训练.。
高中数学《二次函数与一元二次方程》教案
教学目标
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系。
2.通过自主探究、合作交流的过程，培养数形结合和分类讨论的思想。
3.激发学生对数学学习的兴趣与信心。
教学重点
二次函数与一元二次方程的关系。
教学难点
探究二次函数与一元二次方程关系的过程
教学过程
（一）复习导入
教师提问学生二次函数的图象和性质，学生回答，引入新课。
（二）探究新知
1.探究二次函数与一元二次方程的关系教师多媒体出示二次函数图象，提问学生（1）二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点横坐标时，函数值是多少？由此你能得到相应的一元二次方程的根吗？组织学生小组内讨论探究，学生汇报，教师点评。
2.归纳总结
（1）师生共同总结，二次函数与一元二次方程的关系。
（2）引导学生掌握由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系。
（三）巩固提升
多媒体出示题目，学生板演，生生互评，生生纠错。
（四）课堂小结
教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。
（五）作业设计
1.必做：复习本节课知识，完成剩余课后练习题。
2.选做：预习下节课知识。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
苏教版高中数学必修一二次函数与一元二次方程学案
高一数学导学案课题：二次函数与一元二次方程 主备人： 审核人：日期：2009.10.29班级 学号 姓名 [学习任务]1．会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况。
2．弄清二次函数的零点与方程根的关系3．渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法[课前预习]1．若函数()f x ax b =+只有一个零点2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 。
2．若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是 。
3．已知抛物线2(0)y ax bx x a =++≠的图象经过第一、二、四象限，则直线y ax b =+不经过第 象限。
[合作探究]学点一：二次函数的零点与一元二次方程的根例1．求函数2()56f x x x =-+-的零点例2．函数223y x x =-++的自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？学点二：求函数的解析式例3．设二次函数()y f x =的零点为124,2x x =-=，且它的图象经过点（—3，1），求()f x 的解析式。
学点三：二次函数区间最值求法例4．已知函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0，1]上最大值为2，求实数a 。
[自我检测]1．若函数2()2f x mx x =--只有一个零点，则实数m 的取值范围为 。
2．若二次方程224310x mx m ++-=有一正根、一负根，则m 的取值范围为 。
3．讨论函数3()log (3)4f x x x =+-的零点个数。
4．已知a R ∈，讨论关于x 的方程2|68|x x a -+=的实数解的个数。
[学后反思]。
二次函数与一元二次方程、不等式 高中数学教案
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x│x>x2或x<x1}{x│x≠‒2b a}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x│x1<x<x2}∅∅ab2-=22．一元二次不等式ax+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
苏教版数学高一《二次函数与一元二次方程》 精品学案
x一、复习引入问题1、不解方程如何判断一元二次方)0(02≠=++a c bx ax 程解的情况。
问题2、画出二次函数322--=x x y 的图象，观察图象，指出x 取哪些值时，0=y 。
二、建构数学1、探究函数)0(2≠++=a c bx ax y 与方程)0(02≠=++a c bx ax 图象之间的关系，填2、零点：对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f y =的零点； 0)(=x f 有实数根⇔)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔)(x f y =有零点。
三、例题分析例1、（如图）是一个二次函数)(x f y =图象的一部分，（1）)(x f y =的零点为 。
（2）=)(x f 。
例2、求证：一元二次方程07322=--x x 有两个不相等的实数根（用两种方法证）。
例3、（1）12)(-=x x f 在区间)1,0(上是否存在零点？（2）732)(2-+=x x x f 在区间)2,3(--、)2,1(上是否存在零点？观察：)1()0(f f 值的符号特点；)2()3(--f f 、)2()1(f f 值的符号特点。
结论：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
（即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ．这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
）思考：（1）若)(x f y =在],[b a 上是单调函数，且0)()(<b f a f ，则)(x f y =在],[b a 上的零点情况如何？（2）若0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，那么0)()(<n f m f 一定成立吗？四、随堂练习1、分别指出下列各图象对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中,,,a b c ∆与0的大小关（1）a ______0，b _____0，c ______0，∆______0（2）a ______0，b _____0，c ______0，2、判断函数12)(2--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点。
高一数学必修一《二次函数》教案
高一数学必修一《二次函数》教案一、说课内容：苏教版九年级数学下册第六章第一节的二次函数的概念及相关习题二、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：(1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.(3)情感、态度与价值观：通过观察、*作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程四、教学过程：(一)复习提问1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?(一次函数，正比例函数，反比例函数)2.它们的形式是怎样的?(y=kx+b，k≠0;y=kx,k≠0;y=,k≠0)3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k≠0的条件?k值对函数*质有什么影响?【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.(二)引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。
高中数学《二次函数与一元二次方程、不等式》学案
二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。
【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次不等式的解法：（1）图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c<0（a≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q 时，若（x－p）（x－q）>0，则x>q或x<p；若（x－p）（x－q）<0，则p<x<q．有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0表示二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0，图象在x 轴的上方；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．含参数一元二次不等式求解步骤（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向； （2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数； （3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 解不等式应用题的四步骤：（1）审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． （3）求：解不等式． （4）答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 三、学业达标1．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-2．如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），△AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知R x ∈，则“202x >-”是“24x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充要条件D ．必要不充分条件4．不等式()()5326x x +-≥的解集是（ ）A ．{5xx -∣或32x ⎫⎬⎭ B ．352x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣C ．{1xx ∣或92x ⎫-⎬⎭D ．912xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣ 5．若命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．((),22,-∞-+∞B ．-⎡⎣C ．(),22,⎡-∞-+∞⎣D ．(-6．设函数22()223f x x ax a a =++-+，若对于任意的x ∈R ，不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a ≥B ．2a ≤C ．322a <≤D ．32a ≤7．若不等式()()20ax x b --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．0a >，12ab =B ． 0a >，2ab =C ．0a >，2a b =D ．0a >，2b a =8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<∣，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（ ） A ．1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⋃⎪⎝⎭D ．()1,4,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭。
高中数学二次函数与一元二次方程教案[整理二套]苏教版 必修1
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师：根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？
（生交流得出如下结论）
证法一：因为一元二次方程2x2+3x－7=0的判别式Δ=32－4×2×（－7）=65＞0，所以方程2x2+3x－7=0有两个不相等的实数根.
证法二：设f（x）=2x2+3x－7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f（－ ）=2（－ ）2+3×（－ ）－7=－7＜0.方程x2－2x－3=0有两个不相等的实数根，分别为3和－1.
师：请画出二次函数y=x2－2x－3的图象.
（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）
方法引导：画二次函数简图的步骤：
（1）先根据二次项系数确定函数的开口方向，即当a＞0时，函数开口向上；当a＜0时，函数开口向下.
（2）再根据x0=－ 画出函数的对称轴.
（3）确定函数图象与两坐标轴的交点，成图.
师：请观察你所画的函数图象，研究图上的一些特殊点以及二次方程x2－2x－3=0的根，你有什么发现吗？
（组织学生交流，得出如下结论）
（1）一元二次方程x2－2x－3=0的两个实数根就是二次函数y=x2－2x－3的图象和x轴交点的横坐标；
（2）二次函数y=x2－2x－3的开口向上，顶点在x轴下方.
（3）方程x2－2x－3=0有两个不相等的实数根 判别式Δ＞0 对应的二次函数y=x2－2x－3的图象开口向上且顶点在x轴下方.
师：你能将这个结论进行推广吗？
（生思考，师投影显示如下问题）
合作探究：一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的开口方向和顶点位置之间有什么联系？
苏教版数学高一《二次函数与一元二次方程》精品学案
一、求已知两个集合的交集
例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．
例2：右图是一个二次函数
()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析
式； （3）试比较(4)(1)f f --，
(0)(2)f f 与0的大小关系．
例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：
（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程2
340ax x a ++=的两根都小于1；
（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；
（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；
（5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．
分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．。
2019-2020年高一数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版
2019-2020年高一数学二次函数与一元二次方程教案苏教版知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程:一、引入等式是关于的一元二次方程，关系式则是关于自变量的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授观察思考：1、几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如①方程与函数；②方程与函数；③方程与函数。
研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）结论：一元二次方程的判别式＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根对应的二次函数的图象与轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？结论：一元二次方程判别式=0一元二次方程有两等根对应的二次函数的图象与轴有唯一的交点为（1，0）。
一元二次方程判别式﹤0 一元二次方程方程无实数根对应的二次函数的图象与轴没有交点。
联想发散2、一元二次方程（＞0）根的个数及其判别式与二次函数（＞0）图象与轴的位置之间有什么联系？）方程无实根思考：当二次函数（﹤0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程的的实数根就是二次函数的值为零时自变量的的值，也就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此一元二次方程的的实数根也称为二次函数的零点。
一般地，对于函数，把使的实数叫做函数的零点。
函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系： 函数的零点方程实数根函数的图象与轴的交点横坐标。
探究点三：函数的零点的求解与判定练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：①方程与函数；②方程与函数；③方程与函数注:(1)函数的零点是数，不是一个点。
2.5《函数与方程》教案(苏教版必修1)
第29课时函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的取值范围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴B⊆A．若B＝φ，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，∴－1＜a＜2；若B≠φ，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，∴a≥2或a≤－1．∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，2＝a±a2―a―2．则B＝{x|a－a2―a―2≤x≤a＋a2―a―2}，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4 解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187］． 解法二：f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎨⎧△＝4a 2－4（a ＋2）≥0f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥01≤a ≤4解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187］． ［例2］已知x 的不等式4x －x 2 ＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值．解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2 和y 2＝ax 的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1．解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2．∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a 2＝2，∴a ＝1． 当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a ＜0舍去．综上知a ＝1．［例3］已知函数f （x ）＝x 2＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由． 解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋12 ，又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故△＝4b 2－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．（2）f （x ）＝x 2＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1， 从而c －4＜m －4＜－3＜c ，∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．Ⅲ.课后作业1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是（－∞，－12 ）∪（13，＋∞），求ab 的值 解析：方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12 、13， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧．＝－，＝－－61261aa b ∴⎩⎨⎧．＝－，＝－212b a ∴ab ＝24． 2．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ． 方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜52 ． 3．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a 则所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16或x ＞1． 4．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧05)52(20222＜＋＋＋，＞－－k k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围． 解析：不等式组可化为⎩⎨⎧0))(52(12＜＋＋＜－或＞k x x x x ， ∵x ＝－2，（如下图）∴（2x ＋5）（x ＋k ）＜0必为－25＜x ＜－k ，－2＜－k ≤3，得－3≤k ＜2．。
高中数学 一元二次方程学案 苏教版必修1 学案
一元二次方程一、 学习内容、要求及建议二、 预习指导 1． 预习目标(1)如何求一元二次方程的根；(2)判别式对方程根的影响(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0)； (3)一元二次方程求根公式的形式及其应用； (4)一元二次方程的根与系数的关系． 2． 预习提纲 (1) 一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法可以将其变形为ax 2＋bx ＝－c2()ba x x c a +=- 2()b c x x a a +=-2()2b x a+=_________________． ★因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是①当b 2－4ac ＞0时，方程★的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝2b a-；②当b 2－4ac ＝0时，方程★的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x 1＝x2＝－2ba； ③当b 2－4ac ＜0时，方程★的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a ≠0)，有①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； ③当Δ＜0时，方程没有实数根． (2) 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有1222b b x x a a--+=+=_______________； 22122(4)4b b ac x x a--===________________． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝_________，x 1·x 2＝_____________．这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的根．因此 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 3． 典型例题例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－3x ＋3＝0； (2)x 2－ax －1＝0；(3)x 2－ax ＋(a －1)＝0； (4)x 2－2x ＋a ＝0．分析：一元二次方程的根的情况取决于它的判别式Δ．在第(3)，(4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，因此在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论． 解：(1)∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．(2)该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=．(3)解法一：由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1．解法二：2(1)(1)(1)x ax a x x a -+-=--+ ∴121,1x x a ==- 当a ＝2时x 1＝x 2＝1； 当a ≠2时 x 1＝1，x 2＝a －1(4)由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以,①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．点评：在第(3)( 4)小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值． 解：解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由(－35)＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于或等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2－6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－1．点评：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，目前我们学习的韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例4 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，求| x 1－x 2| 解：解法一：由题意可得12b x a -=，22b x a-=，∴| x 1－x 2|=||||a a ==．解法二：12||x x -=====||a ==． 点评：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则| x 1－x 2|＝||a (其中Δ＝b 2－4ac )．今后我们经常会遇到求这个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，(1)求| x 1－x 2|的值；(2)求221211x x +的值；(3)求x 13＋x 23的值．分析：如果方程的根容易求出且比较简单，那么直接利用求出的x 1和x 2求解；如果方程的根x 1和x 2比较复杂，那么利用韦达定理求解．解：解法一：解方程得：x 1＝－3,x 2＝12∴| x 1－x 2|＝72，222212111137(3)912x x +=+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， x 13＋x 23＝331215(3)28⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．解法二：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴1252x x +=-，1232x x =-．(1)∵| x 1－x 2|2＝x 12＋ x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．(2)22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==⋅225325()2()337224399()24--⨯-+===-(3)x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 点评：若将原题方程换为：x 2＋x －1＝0，上述两种解法哪种更优？请同学们试一试.由于一元二次方程中在不求根的情况下能迅速求出1212,x x x x +，所以要把所求表达式尽量化简成含1212,x x x x +的式子，然后代入求解．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 分析：要求a 的范围，关键是列出a 的不等式(组)，可将已知条件转化成符号语言，也可利用根与系数的关系．解：解法一：当Δ＞0，即a ＜174时，设x 1，x 2是方程的两根，则112x =，212x = 10x >，所以20x <1> 所以4a <．解法二：设x 1，x 2是方程的两根，则 Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0 ① x 1x 2＝a －4＜0 ②， 由①得 a ＜174，由②得 a ＜4．∴a 的取值范围是a ＜4．点评：a 是与系数有关的量，而已知条件是根的情形，利用根与系数的关系简洁.例7 已知一元二次方程20ax bx c ++=的根为,αβ(,0αβ≠)，求方程20cx bx a ++=的根． 解：∵20ax bx c ++=的根为,αβ，∴240b ac -≥，∴b aαβ+=-，ca αβ=，∴()b a αβ=-+ ， c a αβ=，∴方程20cx bx a ++=可转化为2()0a x a x a αβαβ-++=．∵0a ≠∴2()10x x αβαβ-++= ， (1)(1)0x x αβ--=， ∴20cx bx a ++=的两根为：11,αβ．点评：从这个题目中我们可以发现方程20cx bx a ++=的两根是方程20ax bx c ++=两根的倒数，而两个方程系数之间也有着某种联系.再如一元三次方程3261160x x x -+-=的根为1231,2,3x x x ===，则方程32611610x x x -+-+=的根为123111,,23x x x ===.一般的，在一元整式方程10110n n n n a x a x a x a --++++=(1)其中00a ≠，n N *∈中，设方程(1)的n 个根分别为12,,n ααα且0i α≠(1,2,3,,i n =)，则方程11100n n n n a y a y a y a --++++=的n 个根分别为12111,,,nααα.这个被称为一元整式方程的倒根变换． 4． 自我检测(1)关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是___________． (2)方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．(3)已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是____________． (4)已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． (5)方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ． (6)方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．(7)试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？(8)写出一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数． 三、 课后巩固练习 A 组1．若关于x 的方程 (x –1)2＝1–m 没有实数根，则m 的取值范围是_________________． 2．请写出一个两实数根之积为3的一元二次方程_______________________．3．已知α、β是方程2 x 2＋3x －1＝0的两个实数根，则 (α－2)(β－2 )的值是________． 4．已知关于x 的方程2 x 2＋m x ＋n ＝0的两根之和是－3，两根之积为－4，则m ＝____ ,n ＝______． 5．若关于x 的方程 x 2－3x －m ＝0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值是_____________． 6．求证：关于x 的方程()22110x k x k +++-=有两个不相等的实根．7．对于二次三项式21036x x -+，小明同学得出如下结论：无论x 取何实数，它的值都不可能等于10，你是否同意他的说法？说明你的理由．8．(1)如果5-是方程25100x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 值；(2)如果2+240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 值．B 组9．设12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，求下列各式的值：()()()22121221212x x x x x x +-；；()1221113x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()2212114x x +． 10．若m 、n 是方程x 2＋2009 x －1＝0的两个实数根，求m 2n ＋m n 2– m n 的值． 11．若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝_____________．12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________．13．已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，(1)求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为12,x x 且满足121112x x +=-，求m 的值． 14．设12,x x 是关于x 的方程20x px q ++=的两个实数根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两个实根，求,p q 的值． Ｃ组15．当a 取什么数值时，关于x 的方程a x 2＋ 4 x – 1 ＝ 0只有正实数根？ 16．已知关于x 的方程 3 x 2– 10 x ＋ k ＝ 0有实数根，求满足下列条件的k 的值： (1)有两个实数根； (2)有两个正数根； (3)有一个正数根和一个负数根．17．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不等的实数根12,x x ， (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如果不存在，请说明理由． 18．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； (2)求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值． 19．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA,OB 的长分别是关于x 的方程的根()222130x m x m +-++=的根，求m 的值．20．若关于x 的方程()2211104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长， (1)k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)k 的值．21．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程()223640k xkmx m m -+-+-=有实根．22．如果方程()()()20b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，求,,a b c 之间的一次关系式． 23．若实数a b ≠，且22850,850a a b b -+=-+=，求代数式1111b a a b --+--的值． 四、 心得体会五、 拓展视野一元二次方程求根公式的历史在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题．如英国大不列颠博物馆13901号泥版记载了这样一个问题：“我把我的正方形的面积加上正方形边长的23得3560，求该正方形的边长．”这个问题相当于求解方程2235360x x +=． 该泥版上给出的解法是：1的23是4060，其一半是2060，将它自乘得26406060+，并把它加到3560上，得241406060+，其平方根是5060，再从中减去4060的一半，得3060，于是12就是所求正方形的边长．这一解法相当于将方程2x px q +=的系数代入公式2p x =求解，只不过在计算时用的是60进制．现有资料表明，古希腊时期的丢番图至少写过三本著作，《算术》是其中最重要的一本，共13卷，这是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题．幸存的6卷，第一卷主要是一些多元一次或二次方程的问题，其它五卷主要是不定方程问题．现仅举几例管窥一下其内容和方法，题中所说的数都是(正)有理数．卷Ⅰ问题27：求两数使其和为20，其乘积为96．对这个现今非常简单的一类问题，丢番图的解法是巧妙的．设所求两数之差为2x ，于是两数为10,10x x +-，故有210096x -=，得2x =．所求两数为12和8．卷Ⅱ问题8：把一给定平方数分成两个平方数．给定的数取16，分成的平方数分别为216()5和212()5．方法是，设所求之一为2x ，则另一为2(24)x -，于是2x ＋2(24)x -=16，解得2x =216()5=25625，2(24)x -=212()5=14425海伦用纯粹算术方法提出和解决了代数问题．他没有采用特别的符号，他是用文字来陈述的．例如，他处理这样一个问题：给定一个正方形，知其面积与周长之和为896尺，求其一边．这个问题用我们的解法是，求满足24896x x +=的x ．海伦在方程两加上4配成完全平方，然后开放．海伦也曾经对二次方程21129212x x +=给出一个相当于公式x =的根的表达式，这个表达式明显由公式2b x a-+=变通来的，海伦用配方的方法，解2ax bx c +=．他的方法是：(1)用a 乘方程的两边，得：22a x abx ac +=；(2)方程两边同时加上2()2b ，得2222()()22b ba x abx ac ++=+；(3)使方程两边都成完全平方，得22()2b ax +=(4)两边开平方，得2b ax +=，于是x =，由于海伦没有负数的概念，所以他得出的也只有一个正根．古印度的数学家对负数的了解也比较早．由于印度人允许方程的某些系数是负数，所以他们不象丢番图那样将二次方程分三种类型来讨论，而是归结为2ax bx c +=(*)来解．婆罗摩笈多给出的求根法则是：“把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边，将常数项乘以平方项(系数)的4倍，加上一次项(系数)的平方，所得结果的平方根减去一次项(系数)，再除以平方项(系数)的2倍，就是一次项的值．”用现代符号表示即2bx a=，这里只给出了方程(*)的一个根．摩诃毗罗则明显是用了配方法来求解．先将方程(*)化为2222444a x abx b ac b ++=+即22(2)4ax b ac b +=+，再开平方求解．婆什迦罗对方程问题的讨论更为深入，他列举了各种二次方程的求解，并认为二次方程有两根． 可以看出，印度人已经掌握了求解二次方程及其相关问题的一般方法，即配方法和公式法，其解题步骤中已有了移项，合并同类项，因式分解等，但却未见他们将其明确地概括出．。
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高一数学导学案
课题：二次函数与一元二次方程 主备人： 审核人：
日期：2009.10.29
班级 学号 姓名 [学习任务]
1．会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况。
2．弄清二次函数的零点与方程根的关系
3．渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法
[课前预习]
1．若函数()f x ax b =+只有一个零点2，那么函数2
()g x bx ax =-的零点是 。
2．若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是 。
3．已知抛物线2(0)y ax bx x a =++≠的图象经过第一、二、四象限，则直线y ax b =+不经过第 象限。
[合作探究]
学点一：二次函数的零点与一元二次方程的根
例1．求函数2
()56f x x x =-+-的零点
例2．函数223y x x =-++的自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？
学点二：求函数的解析式
例3．设二次函数()y f x =的零点为124,2x x =-=，且它的图象经过点（—3，1），求()f x 的解析式。
学点三：二次函数区间最值求法
例4．已知函数2
()21f x x ax a =-++-在区间[0，1]上最大值为2，求实数a 。
[自我检测]
1．若函数2()2f x mx x =--只有一个零点，则实数m 的取值范围为 。
2．若二次方程2
24310x mx m ++-=有一正根、一负根，则m 的取值范围为 。
3．讨论函数3()log (3)4f x x x =+-的零点个数。
4．已知a R ∈，讨论关于x 的方程2|68|x x a -+=的实数解的个数。
[学后反思]。