2019届人教A版(理科数学) 三角函数的图象与变换 单元测试

14 三角函数的图象与变换一、选择题1．(2018·四川绵阳二诊)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53.∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.故选D.2．(2017·新课标全国卷Ⅲ，6)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减答案：D解析：本题考查余弦函数的图象和性质．f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫83π＋π3＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝－cos π2＝0，故C 正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不单调，故D 错误． 3．(2018·合肥一模)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，ω＝－π6 答案：D解析：由已知条件得，π＝2πω，因而ω＝2，所以f (x )＝sin(2x＋φ)，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，由题意知g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋ π， ∈ ，即φ＝ π－π6， ∈ ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝5π12D ．x ＝－5π12 答案：D解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再向左平移π4个单位长度，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，结合选项知，只有D 选项代入有y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，因此x ＝－5π12是所得函数图象的一条对称轴．故选D.5．(2018·河北张家口期末)已知ω>0，在函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：D 解析：∵函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象有交点，∴根据三角函数线可得出交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1π＋π4ω，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋5π4ω，－22， 1， 2都为整数．∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一周期内，∴36＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－22－22)2，解得ω＝π2.6．(2018·河南八市重点高中第三次测评)函数f (x )＝4x －3tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )答案：D解析：因为函数f (x )＝4x －3tan x 是奇函数，排除B 、C ；通过特殊值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3－33＝4π－933<0，故选D.7．(2018·武汉二模)已知f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32 答案：B解析：由已知得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，令2x ＋θ＋π6＝ π，∈ ，其中x ＝π2为方程的一个解，代入得θ＝( －1)π－π6， ∈ ，又0<θ<π，所以θ＝5π6，因而f (x )＝－2sin2x ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上单调递减，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－ 3.8．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.若将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在下列区间上是减函数的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 B ．[0，π] C ．[2π，3π] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案：D解析：因为f (x )为偶函数，所以φ－π6＝π2＋ π， ∈ ，故φ＝2π3＋ π， ∈ .又0<φ<π，故φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx .由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2，故f (x )＝2cos2x .将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 令2 π≤x 2－π3≤2 π＋π( ∈ )，可得4 π＋2π3≤x ≤4 π＋8π3( ∈ )．故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3( ∈ )上是减函数，结合选项即得选D.二、填空题9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.答案：π6解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ成立，由φ的条件可知φ＝π6.10．(2018·保定二模)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.11．给出下列命题：(1)终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；(2)把函数f (x )＝2sin2x 的图象沿x 轴方向向左平移π6个单位后，得到的函数解析式可以表示成f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6； (3)函数f (x )＝12sin x ＋12||sin x 的值域是[－1,1]；(4)已知函数f (x )＝2cos x ，若存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x 都有f ()x 1≤f (x )≤f ()x 2成立，则||x 1－x 2的最小值为2π.其中正确的命题的序号为________． 答案：(2)解析：对(1)当 ＝2时α＝π，其终边在x 轴上，所以不对；对(2)由三角函数的变换可知正确；对(3)f (x )＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥00，sin x ＜0，所以函数f (x )的值域为[0,1]，所以不对；对(4)当x 1＝0，x 2＝π时满足题意，此时|x 1－x 2|＝π，所以(4)不对．三、解答题 12．(2018·安徽示范中学二模)已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解析：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1.(2)g (x )＝f (x )，x ∈⎢⎡⎥⎤－π，π，利用“五点法”列表为：描点作图如下．函数y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数，即函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝m 的交点个数．由图可知，当m <1－2或m >1＋2时，无零点；当m＝1－2或m＝1＋2时，有1个零点；当1－2<m<2或2<m<1＋2时，有2个零点；当m＝2时，有3个零点．。