内接于椭球面的矩形的最大体积
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
多元函数微分法及其应用习题及参考答案
多元函数微分法及其应用习题及参考答案第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
考研《数学一》模考试题+解析
一、选择题：（1）〜（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.设f（x）的导函数为222)1(1x x +-，则f（x）的一个原函数是（）。
A.x arctan 1+B.xarctan 1-C.)1ln(2112x ++D.)1ln(2112x +-2.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为的值依次为和则常数πB A yB x A y x F 2arctan )(arctan 2(),(++=（）。
A.π和π22B.41π和πC.212π和πD.21π和π3.设向量组（Ⅰ）β1，β2，…，βt，（Ⅱ）α1，α2，…，αs，则下列命题：①若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，②若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，④若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，正确的是（）。
A.①④B.①③C.②③D.②④4.设当x→0时，tdt x x x x x x x xsin )(,11)(,sin tan )(cos 1022⎰-=--+=-=γβα都是无穷小，将它们关于x 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）。
A.)(x α，)(x β，)(x γB.)(x α，)(x γ，)(x β考研《数学一》模考试题＋解析C.)(x γ，)(x α，)(x βD.)(x β，)(x α，)(x γ5.设矩阵).(3E)-A r )r ,~,220210000300000=+--=（（则矩阵E A B A B A.6B.7C.5D.46.设处则在a x a x a f x f ax =-=--→,1)()()(lim2（）。
A.0)()(≠'=a f a x x f 处可导且在B.的极大值（为))(x f a fC.的极值（不是))(x f a fD.处不可导在a x x f =)(7.设⎰=40sin ln πxdx I ，⎰=40cot ln πxdx J ，⎰=40cos ln πxdx K ，则I，J，K 的大小关系为（）。
(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
微积分练习题
一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。
一个与球内接多面体体积有关的问题
在所有周长相等的长方形中，正方形拥有最大的面积；在所有周长相等的平面图形中，圆拥有最大的面积；在所有表面积相等的长方体中，正方体拥有最大的体积；在所有表面积相等的立体图形中，球拥有最大的体积。
所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗？George Pólya 在Mathematical Discovery一书中的第15 章里举了下面这个例子。
在给定圆周上选取四个点构成一个四边形，那么正方形的面积一定是最大的吗？答案是肯定的。
只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处，我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处，使得整个图形的面积变得更大。
好了，我们现在的问题是，在球面上选取八个点构成一个顶点数为8 的多面体，那么正方体一定是体积最大的吗？答案居然是否定的。
单位球中的内接正方体，体对角线将会等于球的直径2 ，那么这个正方体的边长x 就应该满足x2 + x2 + x2 = 22，解得x = 2 / √3。
因而，这个正方体的体积就是(8 / 9) · √3。
现在，让我们再想象这样一种单位球中的内接多面体：作出赤道面上的内接正六边形，再把它的各个顶点与南北极相连，构成一种由两个正六棱锥拼接而成的立体图形。
每一个正六棱锥的底面都是一个边长为1 的正六边形，其面积为(3 / 2) · √3；由于棱锥的高也是 1 ，因此棱锥的体积就是(1 / 3) · (3 / 2) · √3= (1 / 2) · √3。
两个这样的棱锥拼在一起，总体积就是√3，这比单位球里的内接正方体体积更大。
看来，在与几何图形相关的最值问题中，并不是最对称的那个图形就是最好的。
为什么会出现这种情况呢？其中一种原因是，立方体虽然非常对称，但它的面太少了。
可以想象，如果两个多面体内接于同一个球里，并且它们的顶点数相同，那么谁的面更多一些，谁就有希望占据更大的空间。
事实上，我们可以推出，对于顶点数目一定的多面体，如果面数达到最大，则每个面都将会是三角形。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》（三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分,共72分）.1.求函数在点(0,0）处的二次极限与二重极限。
解：，因此二重极限为.……（4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。
……（9分）2.设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数，求.解：对两方程分别关于求偏导：，……（4分）。
解此方程组并整理得。
……（9分）3.取为新自变量及为新函数，变换方程.设（假设出现的导数皆连续）。
解：看成是的复合函数如下：。
……（4分）代人原方程，并将变换为。
整理得：。
……（9分）4.要做一个容积为的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解:设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: ，约束条件: . ……（3分）构造Lagrange函数:。
令……（6分）解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。
……(9分)5.设,计算.解:由含参积分的求导公式……(5分). ……（9分）6.求曲线所围的面积,其中常数。
解：利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
. ……（3分)则……（6分）……(9分）。
7。
计算曲线积分，其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向。
解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧，则的法向量为。
……(3分）由Stokes公式得……（6分）……（9分)8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧。
解:椭球的参数方程为，其中且。
……（3分)积分方向向下,取负号,因此,……(6分）……(9分)二。
证明题（共3题，共28分)。
9.（9分）讨论函数在原点（0，0)处的连续性、可偏导性和可微性。
解：连续性：当时，，当，从而函数在原点处连续。
……（3分）可偏导性：,,即函数在原点处可偏导.……（5分)可微性：不存在,从而函数在原点处不可微。
退而求其次（4）——椭圆中的最大矩形
退⽽求其次（4）——椭圆中的最⼤矩形 在椭圆x2+4y2=4 中有很多内接的矩形，这些矩形的边平⾏于x轴和y轴，找出它们中⾯积最⼤的⼀个。
先作图，椭圆的中⼼在原点，其内接矩形的中⼼也在原点。
设矩形的其中⼀点内接椭圆于P(x,y) ， P在第⼀象限： 矩形的两条边长分别是2x和2y，⾯积是A=4xy 。
还知道x和y都在椭圆上，因此问题可以转换为约束条件下的极值：数学⽅案 最直接的⽅案是使⽤拉格朗⽇乘⼦法： 由于拉格朗⽇乘⼦法⽆法确定最值的类型，所以还要计算函数边界值。
当P在椭圆上移动时，如果正好落在x轴上，则长⽅形退化成直线，此时⾯积是0；另⼀个边界值是P落在y轴上，⾯积也是0。
所以判定4是⾯积的最⼤值，P的坐标是(1.414, 0.707)抛开数学的遗传算法 格朗⽇乘⼦法很简单，但前提是需要了解偏导、梯度、拉格朗⽇乘⼦等⼀系列前置知识，⽽遗传算法的优点是不需要复杂的数学知识，可以直接对问题编程求解，这对庞⼤的程序员群体来说⽆疑是个福⾳。
可以通过椭圆得到x和y的关系： 矩形的⾯积可以写成： 只需要对x进⾏基因编码就可以利⽤遗传算法求得最优解。
在编写代码前，可以考虑是否能够去掉影响算法运⾏速度和计算精度根号。
由于x和y都⼤于等于0，所以当4xy达到最⼤值时，(4xy)2也将达到最⼤。
在求最值问题时，常系数起不到任何作⽤，因此求(4xy)2的最⼤值相当于求x2y2的最⼤值。
结合x和y的关系，原问题转换为： 现在看起来简单多了。
我们把问题精确到⼩数点后3位，从0.000到1.000之间有999个数，由于999转换成⼆进制是1111100111，因此可以使⽤10位⼆进制基因编码表⽰y。
代码如下：1import math2import random3import numpy as np4import matplotlib.pyplot as plt56 MAX, MIN = 0.999, 0 # y的最⼤值和最⼩值7 CODE_SIZE = 10 # 基因编码长度8 POPULATION_SIZE = 20 # 种群数量910def print_solution(code):11'''12打印解决⽅案13 :param code: 基因编码14'''15 x, y, A = decode(code)16print('x = {0}, y = {1}, A = {2}'.format(x, y, A))1718def decode(code:list):19'''20解码21 :param code: 基因编码22 :return: x,y,4xy （x,y都放⼤了1000倍）23'''24 y = int(''.join(code), 2) * 0.001 # 将code转换成⼗进制数25if y > MAX: # y超过了边界26return -1, -1, -127 x = math.sqrt(4 - 4 * (y ** 2)) # x = sqrt(4 -4(y^2))28# 使⽤退⼀法保留⼩数点后三位有效数字29 x, y = float('%.3f' % x), float('%.3f' % y)30return x, y, 4 * x * y3132def fitness_fun(code):33''' 适应度函数 '''34return decode(code)[2]3536def max_fitness(population):37''' 种群中的最优适应个体 '''38return max([fitness_fun(code) for code in population])3940def init_population():41''' 构造初始种群 '''42 population = []43for i in range(POPULATION_SIZE):44 population.append(random.choices(['0', '1'], k=CODE_SIZE))45return population4647def selection(population):48''' 精英选择策略'''49# 按适应度从⼤到⼩排序50 pop_parents = sorted(population, key=lambda x: fitness_fun(x), reverse=True)51# 选择种群中适应度最⾼的40%作为精英52return pop_parents[0: int(POPULATION_SIZE * 0.4)]5354def crossover(population):55''' 单点交叉 '''56 pop_new = [] # 新种群57 code_len = len(population[0]) # 基因编码的长度58for i in range(POPULATION_SIZE):59 p = random.randint(1, code_len - 1) # 随机选择⼀个交叉点60 r_list = random.choices(population, k=2) # 选择两个随机的个体61 pop_new.append(r_list[0][0:p] + r_list[1][p:])62return pop_new6364def mutation(population):65'''单点变异'''66 code_len = len(population[0]) # 基因编码的长度67 mp = 0.2 # 变异率68for i, r in enumerate(population):69if random.random() < mp:70 p = random.randint(0, code_len - 1) # 随机变异点71 r[p] = '1'if r[p] == '0'else'1'72 population[i] = r7374def ga():75''' 遗传算法 '''76 population = init_population() # 构建初始化种群77 max_fit = max_fitness(population) # 种群最优个体的适应度78 max_fit_list = [max_fit] # 每⼀代种群的最优适应度79 i = 080while i < 5: # 如果连续5代没有改进，结束算法81 pop_next = selection(population) # 选择种群82 pop_new = crossover(pop_next) # 交叉83 mutation(pop_new) # 变异84 max_fit_new = max_fitness(pop_new) # 新种群中最优个体的适应度85if max_fit < max_fit_new:86 max_fit = max_fit_new87 i = 088else:89 i += 190 population = pop_new91 max_fit_list.append(max_fit_new)92# 按适应度值从⼤到⼩排序93 population = sorted(population, key=lambda x: fitness_fun(x), reverse=True)94# 返回最优的个体和每⼀代种群中最优个体的适应度95return population[0], max_fit_list9697def pop_curve(max_fit_list):98''' 显⽰种群进化曲线 '''99 x = np.arange(1, len(max_fit_list) + 1, 1)100 y = np.array(max_fit_list)101 plot = plt.plot(x, y, '-')102 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # ⽤来正常显⽰中⽂标签103 plt.title('种群进化曲线')104 plt.xlabel('种群代数')105 plt.ylabel('种群总成本')106 plt.show()107108if__name__ == '__main__':109# code = ['1','0','1','1','0','0','0','0','1','1'] # 707的⼆进制基因编码110# print_solution(code)111 best, max_fit_list = ga()112 print_solution(best)113 pop_curve(max_fit_list) decode⽅法先将y的基因编码转换成对应的⼗进制数，之后乘以0.001变成相应的⼩数。
吉林大学作业及答案-高数A2作业答案
高等数学作业AⅡ答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( C )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x xx ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分收敛的是（ D ） A ．0cos d x x +∞⎰B ．221d (1)x x -⎰C ．01d 1x x +∞+⎰D ．321d (21)x x +∞-∞+⎰3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( C )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d b af xg x x -⎰； （D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( C )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）402d S y y =⎰； （C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）402d S x x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( D )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( B )．（A ）π(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x -+-⎰；（B ）π(2()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰；（C ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x -+-⎰；（D ）π(()())(()())d bam f x g x f x g x x ---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a 12-．2．摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02π)t ≤≤的弧长 8 ．3．2d 25x x +∞-∞=+⎰π5． 4．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件1n m ->时收敛． 5．由曲线22,y x x y ==围成图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 3π10． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．解： 000e d(1e )d 1e 1e [ln(1e )]ln 2xxx x x x -∞-∞-∞+=++=+=⎰⎰ 则该无穷积分收敛． 2．判断反常积分的收敛性：13sin d x x x+∞⎰解：33sin 1x xx≤Q而131x +∞⎰收敛． 13sin d xx x+∞∴⎰收敛．3．已知22lim 4e d xx a x x a x x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求a 的值． 解：()21e lim lim e e1xa ax a a x a x x a a a x a x x a a x ----→∞→∞⋅⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 222222222222222222224e d 2de 2e 4e d 2e 2de 2e 2e 2e d 2e 2e e (221)e .x xaaxx aaa xaa xx aaa a x aa x x x x x xa x a x xa a a a +∞+∞--+∞+∞--+∞--+∞+∞---+∞----=-=-+=-=-+=+-=++⎰⎰⎰⎰⎰由已知222e (221)e a a a a --=++，即(1)0a a +=．所以0a =或1a =-．4．求连续曲线π2cos d x y t t -=⎰的弧长.解：由cos 0x ≥可知ππ22x -≤≤. 因此所求弧长为 π22π21d s y x -'=+⎰()π22021cos d x x =+⎰π2022cos d 42xx ==⎰.5．计算由x 轴，曲线1-=x y 及其经过原点的切线围成的平面图形绕x 轴旋转所生成立体体积．解：设切点为00(,)x y ，则过切点的切线方程为0001()21Y y X x x -=--令0,0X Y ==，得002,1x y ==．2212211π12π(1)d 32πππ.362x V x xx x =⨯⨯--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰6．在第一象限内求曲线21y x =-+上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．解：设所求点为(,)x y ，则过此点的切线方程为2()Y y x X x -=-．由此得切线的x 轴截距为212x a x+=，y 轴截距为21b x =+．于是，所求面积为12031()(1)d 21112.4243S x ab x xx x x =--+=++-⎰令2211()32411130,4S x x x x x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得驻点13x =．又因为3131126043x S x x =⎛⎫⎛⎫''=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13x =为极小值点，也是最小值点．故所求点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，而所求面积为12(233)93S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以x 轴所围图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体体积． 解：设切点00(,)A x y ，则切线方程为：20002()y x x x x -=-，得切线与x 轴交点为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭．由02200011d 2212x x x x x -⋅⋅=⎰，得01x =．∴切点为(1,1)A ，切线方程：21y x =-1222011()d 13230V x x πππ=⋅-⋅⋅⋅=⎰．8．半径为r 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则22d ()d ()r y y g r y ωπρ=-⋅⋅+224()()d 43rr g r y r y ygr ωπρπρ-=⋅-+=⎰第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1. 平面10x y z +--=与22230x y z +-+=的关系（ A ）． （A ）平行，但不重合； （B ）重合；（C ）垂直；（D ）斜交．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ B ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ C ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．曲面2222x y z a ++=与22(0)x y zax a +=>的交线在xoy 平面上的投影曲线是（ D ）．（A ）抛物线；（B ）双曲线；（C ）椭圆；（D ）圆．5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ C ）．（A ）π6； （B ）π4； （C ）π3； （D ）π2． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ C ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为π2． 2．设向量x 与向量2=-+a i j k 共线，且满足18⋅=-a x ，则=x (6,3,3)-- ．3．过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面是 340x y z --+= ．4．若||3=a ，||2=b ，且a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b 5，||⨯=a b 3 ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为221x y +=． 6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为222300x y y z ⎧+--=⎨=⎩．7．若直线L 平行于平面π：3260x y z +-+=，且与已知直线132:241x y zL -+==垂直，则L 的方向余弦(cos ,cos ,cos )αβγ为 65585,,25525⎛⎫- ⎪⎝⎭ ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．解：过L 的平面束为：22(1)0x z y λ+-+-=即(2,,1)λ=n ，由n 与(2,1,2)=--S 垂直，有420,2λλ--== ∴ 所求平面为2240x y z ++-=．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离． 解：(3,2,1)=-s 设0(2,1,3),(1,1,0)M M - 则00(3,0,3)6126i =⨯=--MM S MM j k ∴ 0||621||7d ⨯==S MM S3．求曲面220x y z +-=与平面10x z -+=的交线在Oxy 平面上的投影曲线． 解：因为曲线220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩ 在Oxy 平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy 平面的柱面与Oxy 平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z 的项，则可得到垂直于Oxy 平面的柱面方程．由220,10x y z x z ⎧+-=⎨-+=⎩消去z ，得到关于Oxy 平面的投影柱面2210x y x +--=，于是得到在Oxy 平面上的投影曲线为2210,0.x y x z ⎧+--=⎨=⎩4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．解：过L 平面束为4236(2)0x y z x y λ++-++=． 即(42)(2)360x y z λλ++++-=． 由222|6|2(42)(2)3λλ-=++++得2λ=-则所求平面为2z =．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面π:0x y +=，求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．解：L 的方向向量(1,2,1)(1,2,1)(4,0,4)=⨯-=-S而(1,1,0)=n ∴ ||41sin ||||2422θ⋅===⋅S n S n ，∴ 6πθ=将y x =-代入L 方程．解得111,,222x y z =-==∴ 交点111,,222⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．向量a 与x 轴的负向及y 轴、z 轴的正向构成相等的锐角，求向量a 的方向余弦． 解：依题意知ππ,,02αθβθγθθ⎛⎫=-==<< ⎪⎝⎭， 因为222cos cos cos 1αβγ++=，即222cos ()cos cos 1πθθθ-++=， 所以23cos 1θ= 或 3cos 3θ=． 故333cos ,cos ,cos 333αβγ=-==.第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．()220lim ln x y xy x y →→+=（ B ）．（A ）1； （B ）0； （C ）12； （D ）不存在．2．二元函数()()()()()22,,0,0,,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点)0,0(处（ D ）．（A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ B ）. (A)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．0011limx y xyxy →→--= 1/2 ．2. 设函数44z x y =+，则(0,0)x z '= 0 .3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设xz xy y=+，则d z = 21d d x y x x y y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．设函数(,)()()()d x yx y u x y f x y f x y g t t +-=++-+⎰，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，则2222u ux y∂∂-=∂∂ 0 ．三、计算题1．设()0,1y z x x x =>≠，证明12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂． 证明：因为1,ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂，所以 12ln y y x z zx x z y x x y∂∂+=+=∂∂. 2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim11x x y kx k x x xyk x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e,e ln 111yy xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦ 4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e d e d xz yzt u t t =-+⎰⎰22x z e uz x∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂ 2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂ 5．设222r x y z =++，验证：当0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．证明：22222r x xx rx y z ∂==∂++ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂ 6．设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处，（1）偏导数是否存在？ （2）偏导数是否连续？ （3）是否可微？解:（1）2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0x x x x f x f x f xx∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,2201()sin(0,0)(0,0)()(0,0)limlim 0y y y y f y f y f yy∆→∆→∆+∆-∆'===∆∆,故函数在点(0,0)处偏导数存在. （2）当 (,)(0,0)x y ≠时， 222222222112(,)2sin()cos ()x x f x y x x y x y x y x y -'=++⋅+++2222221212sincos x x x y x y x y=-+++, 又 22222200121lim (,)lim(2sincos )x x x y y x f x y x x y x y x y→→→→'=-+++， 当(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，上式222121lim(2sincos )x y x x x x y →==-+ 不存在， 故偏导数(,)x f x y '在点(0,0)不连续.由函数关于变量,x y 的对称性可知，(,)y f x y '在点(0,0)不连续。
最优化方法：拉格朗日乘数法
最优化⽅法：拉格朗⽇乘数法解决约束优化问题——拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法（Lagrange Multiplier Method）应⽤⼴泛，可以学习⿇省理⼯学院的在线数学课程。
拉格朗⽇乘数法的基本思想 作为⼀种优化算法，拉格朗⽇乘⼦法主要⽤于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引⼊拉格朗⽇乘⼦来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题。
拉格朗⽇乘⼦背后的数学意义是其为约束⽅程梯度线性组合中每个向量的系数。
如何将⼀个含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的⽆约束优化问题？拉格朗⽇乘数法从数学意义⼊⼿，通过引⼊拉格朗⽇乘⼦建⽴极值条件，对n个变量分别求偏导对应了n个⽅程，然后加上k个约束条件（对应k个拉格朗⽇乘⼦）⼀起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个⽅程的⽅程组问题，这样就能根据求⽅程组的⽅法对其进⾏求解。
解决的问题模型为约束优化问题： min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0. 即：min/max f(x,y,z) s.t. g(x,y,z)=0数学实例 ⾸先，我们先以⿇省理⼯学院数学课程的⼀个实例来作为介绍拉格朗⽇乘数法的引⼦。
【⿇省理⼯学院数学课程实例】求双曲线xy=3上离远点最近的点。
解： ⾸先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即： min f(x,y)=x2+y2（两点之间的欧⽒距离应该还要进⾏开⽅，但是这并不影响最终的结果，所以进⾏了简化，去掉了平⽅） s.t. xy=3. 根据上式我们可以知道这是⼀个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的⼀个变量⽤另外⼀个变量进⾏替换，然后代⼊优化的函数就可以求出极值。
我们在这⾥为了引出拉格朗⽇乘数法，所以我们采⽤拉格朗⽇乘数法的思想进⾏求解。
微积分同步练习
（Ａ）、平行 标面。 （Ｂ）、平行 轴
（Ｃ）、垂直于 轴 （Ｄ）、通过 轴
4．以下平面中通过坐标原点的平面是．
（Ａ）、 (Ｂ)、 (C)、 (D)、
三、化曲线 为参数方程．
画出以下曲线在第一卦限内的图形：
１． ；２. ．
四、求通过三点 、 和 的平面方程．
§8.5平面及其方程(2)(3)§8.6空间直线及其方程
3．设直线 与 ，那么 与 的夹角为．
（A） /6（B） /4（C） /3（D） /2
4．两平行线 与 之间的距离是．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
三、设直线 通过 ，且与 相交，又与 垂直，求直线 的方程．
四、求通过 轴，且与平面 的夹角为 的平面方程．
三、设 ，求 在 轴上的投影及在 轴上的分向量．
四、已知 为三个模为1的单位向量，且 ，求 之值．
五、已知 ，计算：
； ； ．
六、设 ，问 知足何关系时，可使 与 轴垂直？
七、已知 ， ，求△ 的面积．
§8.3曲面及其方程
一、一动点与两定点 等距离，求这动点的轨迹方程．
二、方程 表示什么曲面？
三、将 平面上的双曲线 别离绕 轴及 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
一、填空题：
１．过点 且平行于直线 的直线方程为．
２．过点 且与直线 垂直的平面方程为．
３．过点 且与二平面 和 平行的直线方程是．
4．当 时，直线 与平面 平行．
二、选择题：
1．以下直线中平行与 坐标面的是．
（A） （C） （B） （D）
2．直线 与平面 的关系是．
（A）平行（B）垂直相交（C） 在 上（D）相交但不垂直
高考数学公开课祖暅原理ppt课件
针对典型题目进行深入解析，剖析其解题思路和方 法，帮助考生掌握类似题目的解题技巧。
03
通过真题训练，提高考生对祖暅原理的熟练程度和 解题速度，增强应试能力。
06
祖暅原理的拓展与应用
祖暅原理在其他数学领域的应用
立体几何
利用祖暅原理求解立体图形的体积，如圆柱、圆 锥等。
微积分
在定积分的应用中，祖暅原理为求解曲边梯形面 积提供了几何直观。
祖暅原理的基本内容
01 02
原理表述
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平 面所截，如果所得两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体积相 等。
应用范围
祖暅原理在求解一些立体几何问题，特别是与柱体、锥体、台体等有关 的体积问题时，具有广泛的应用价值。
03
证明方法
祖暅原理的证明方法采用了“出入相补”的原理，即通过图形的分割和
例题1
利用祖暅原理判断两个立体图形 的体积是否相等，并给出证明过
程
例题2
利用祖暅原理求一个复杂立体图形 的体积
例题3
结合实际问题，利用祖暅原理进行 建模并求解
04
祖暅原理与解析几何
解析几何中的等积问题
01
等底等高的几何体体积相等
02
平行截面面积相等的几何体体积相等
通过坐标变换求解等积问题
03
利用祖暅原理解决解析几何问题
拼接来证明两个立体图形的体积相等。这种方法体现了中国古代数学的
独特思维方式和智慧。
02
祖暅原理的几何意义
几何图形的等积变换
1
祖暅原理指出，如果两个几何体在同高处所截得 的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等。
椭圆内接矩形面积最大值
椭圆内接矩形面积最大值椭圆内接矩形是指用椭圆可以直接或间接地围成的矩形，也称为椭圆矩形。
椭圆内接矩形的面积是椭圆上可定义的矩形面积的最大值。
椭圆的定义为：椭圆的定义是由一个椭圆的两个焦点和一条连接两个焦点的直线组成的曲线。
两个焦点分别是F1和F2，而直线l连接两个焦点，称为椭圆的直径。
二、椭圆内接矩形面积最大值求解1.显然椭圆内接矩形的面积最大值与两个焦点的距离有关,，即S = 2 * a * b (a、b分别为椭圆的长轴和短轴，a > b) 由此可求出a + b的最大值，即：a +b =c (c为椭圆的直径)2.把椭圆的一个焦点定在原点，将另外一个焦点拉到直径上任意一点，如P(x,y)，对此椭圆内接矩形的面积最大值分别为：S1 = 2 * x * y (x、y分别为P(x,y)点与原点之间的距离)S2 = 2 * (c - x) * (c - y)S1和S2取其最大值即为椭圆内接矩形的面积最大值。
3.求解椭圆内接矩形的面积最大值的解法：（1）将椭圆的一个焦点定在原点，将另外一个焦点拉到直径上任意一点P(x,y)，连接P(x,y)、原点和另一焦点F2构成三角形△OF2P；（2）设△OF2P中P(x,y)点到F2焦点的距离为t，△OF2P的面积为S0；△OF2P 与圆内接矩形构成相同的三角形，由面积相等（S = S0）可得2 * a * b = t * (c - t)代入原方程得a +b = t + c（3）由上述关系，可得t = (a + b + c)/2说明一旦确定椭圆的长轴、短轴和直径，则可确定椭圆内接矩形的面积最大值，用以下公式表示：S = 2 * a * b = (a + b + c) * (a + b - c)/44.椭圆内接矩形的面积最大值的性质（1）椭圆的直径c是椭圆内接矩形的面积最大值的关键参量，直径越大，椭圆内接矩形的面积最大值越大；（2）椭圆内接矩形的面积最大值依赖于椭圆的长轴、短轴和直径，当这三个参量固定时，椭圆内接矩形的面积最大值也固定；（3）椭圆内接矩形的面积最大值与椭圆的形状有关，即当椭圆形状发生变化时，椭圆内接矩形的面积最大值也会发生变化。
球内接圆锥的最大体积
球内接圆锥的最大体积球内接圆锥的最大体积导言：球内接圆锥是一个数学几何问题，考虑将球内切面上的圆绕一个点转动，当圆面转动到最大距离时，与球内面的交点连线恰好构成一个圆锥体，如何求出这个圆锥体的最大体积，是本文要讨论的问题。
一、定义和公式：1. 球内接圆锥概念：球内接圆锥指的是一个锥体，锥底是球上的一个圆，锥顶在球心。
2. 相关公式：对于一个球心角为Φ的扇形，圆锥体积公式为：V=1/3πr^2h，其中r为圆锥底面半径，h为圆锥高。
3. 最大化体积的问题：对于给定的半径r，如何找到一个圆心角Φ，使得圆锥体积达到最大值。
二、分析和求解：1. 利用勾股定理：根据圆锥的结构，圆锥高h= r cos(Φ/2)，将圆锥高带入圆锥体积公式中，得到V=1/3πr^2h=1/3πr^3cos(Φ/2)。
为了求得最大的V，我们需要求出V'(Φ)，取极值时Φ的值。
2. 求导并取极值：V'(Φ)= -(1/6)r^3πsin(Φ/2)，将其置零，即得到最大值，即sin(Φ/2)=0，此时Φ=π。
因此，当圆心角Φ等于π时，圆锥体积达到最大值,Vmax=2/3πr^3。
三、应用：1. 球内接圆锥的应用：球内接圆锥在日常生活中并不常见，但在工程、科学领域有着广泛的应用。
例如，工程设计中常常需要考虑如何利用体积最大的圆锥来储存物品，科学家也会利用圆锥的特性来研究物质的性质和规律。
2. 数学意义：球内接圆锥的求解过程是一种优化问题，同样可以在工程、经济等领域中得到应用。
四、结论：利用求导法，我们得到了球内接圆锥最大体积的解析解，即2/3πr^3，只需将圆心角设为π即可。
球内接圆锥拥有着广泛的应用，对于求解最优化问题有着重要的意义。
考研数学二多元函数微分学模拟试卷24_真题-无答案
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷24(总分64,考试时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设则( )A. B.C. D.2. 极限A. 等于0B. 不存在C. 等于D. 存在且不等于0及3. 设u=f(r)，而f(r)具有二阶连续导数，则A. B.C. D.4. 设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，u'1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则u"11(x，2x)= ( )A. B.C. D.5. 下列结论正确的是( )A. z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B. z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C. z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续D. z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界6. 利用变量替换u=x，可将方程化成新方程( )A. B.C. D.7. 若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)= ( )A. x+yB. x—yC. x2一y2D. (x+y)28. 设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A. 最大值点和最小值点必定都在D的内部B. 最大值点和最小值点必定都在D的边界上C. 最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D. 最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上9. 设函数则函数z(x，y)在点(0，0)处( )A. 不连续，而两个偏导数z'x(0，0)与z'y(0，0)存在B. 连续，而两个偏导数z'x(0，0)与z'y(0，0)不存在C. 连续，两个偏导数z'x(0，0)与z'y(0，0)都存在，但不可微D. 可微2. 填空题1. 设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所确定，则2. 函数的定义域为_____________．3. 设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设则4. 设则f'x(0，1)=_____________．5. 设z=esinxy，则dz=____________．6. 已知u(0，0)=1，求u(x，y)的极值点__________，并判别此极值是极__________(大、小)值．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
椭球内接长方体的最大体积
椭球内接长方体的最大体积
椭球内接长方体（Ellipsoidal cuboid）是指能完全容纳在椭球体内部的长方体，它包含着
一种特殊的几何形状，在几何学和机械设计中应用十分广泛。
那么，椭球内接长方体的最
大体积是多少呢？
首先，在计算椭球内接长方体最大体积时，需要知道椭球体的体积，它的体积取决于其长、宽和高三个长度。
假设椭球体的长宽高分别为a,b,c，那么椭球体的体积V即为：V= 4/3 * 3.14 * a * b * c
接下来，在确定出椭球体的体积后，就可以开始取出椭球内接长方体的最大体积。
一般来说，用于固定椭球体的容器有四个，它们分别是x 、y 、z和h，其中x和y分别为长方
体的长宽，z为长方体的高，而h则为椭球体的高。
因此，椭球内接长方体的最大体积
V1可以表示为：V1 = x * y * z
从上面的表达式可以看出，椭球内接长方体的最大体积V1 = xyzh，它是由椭球体的长宽
高及容器的确定共同决定的。
根据不同的几何形状，最大体积可以多少，也取决于椭球体
的长宽高以及容器的确定。
总之，椭球内接长方体的最大体积是由椭球体的长宽高以及容器的确定决定的，其最大体积V1 = xyzh。
它在几何学和机械设计中都有着广泛应用，未来会继续发挥着重要的作用。
单位球内接正圆锥体体积最大值
单位球内接正圆锥体体积最大值
单位球内接正圆锥体的体积最大值定义为V，则V的计算公式可以
表示为V= πr^2h/3，其中r表示正圆锥的半径，h表示正圆锥的高度。
根据单位球内接正圆锥体体积最大值原理，由上述定义可知V的
最大值取决于r和h，即V= πr2h/3的最大值为Vmax，则要计算出最
大体积，需要求取出最大的r和h。
首先考虑半径r，由于半径r必须小于或等于1，因此有r≤1，所
以Vmax的最大值是当r=1时。
接下来求解高度h，由于h>0, 因此h的最大值只能取决于r的值，即h的最大值hmax = 1/r。
根据上述分析，结合V= πr2h/3该公式， r=1， hmax = 1，因
此单位球内接正圆锥体体积最大值为Vmax = π/3。
因此，单位球内接正圆锥体的体积最大值为Vmax，其最大值为Vmax = π/3 。
球体内接圆柱最大体积
球体内接圆柱最大体积
要确定球体内接圆柱的最大体积，我们可以采用优化方法。
以下是求解该问题的一般步骤：
1.设计变量：假设球体的半径为 R，内接圆柱的高度为 h。
2.建立目标函数：我们的目标是最大化内接圆柱的体积V，
即最大化V = πr^2h，其中 r 表示内接圆柱的半径。
3.约束条件：由于内接圆柱需要完全位于球体内部，因此内
接圆柱的底面半径 r 必须小于球体的半径 R，即 r < R。
另外，根据勾股定理可得 r^2 + (h/2)^2 = R^2，这是内接圆柱和球体之间的关系。
4.建立约束方程：将上述条件转化为约束方程，即r < R 和
r^2 + (h/2)^2 = R^2。
5.建立优化模型：将目标函数和约束方程结合起来，形成一
个优化模型。
这个模型的目标是最大化内接圆柱的体积V = πr^2h，同时满足约束条件 r < R 和 r^2 + (h/2)^2 = R^2。
6.求解优化模型：可以使用数学优化算法（如拉格朗日乘数
法或二次规划方法）求解建立的优化模型，以找到使目标函数最大化的变量值，即最大化内接圆柱的体积。
通过上述步骤，可以找到球体内接圆柱的最大体积，并确定相应的半径和高度。
请注意，由于本问题涉及到约束条件，可能需要数值求解方法来找到最优解。
球内接圆锥最大体积
球内接圆锥最大体积球内接圆锥是指一个圆锥体，其底面是一个圆，且该圆与球的表面相切。
在给定球的半径的情况下，我们需要找到一个圆锥的尺寸，使其体积最大化。
本文将探讨如何确定球内接圆锥的最大体积。
让我们考虑球内接圆锥的基本性质。
由于圆锥的底面是一个圆，我们可以使用圆的半径作为圆锥的一个尺寸。
设圆锥的底面半径为r，球的半径为R。
由于底面圆与球的表面相切，因此底面圆的半径等于球的半径，即r=R。
我们需要确定圆锥的高。
为了找到最大体积，我们可以假设圆锥的高为h，并且寻找一个与之相对应的半径r，以使体积最大化。
接下来，我们可以使用几何关系来确定半径r和高h之间的关系。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：r^2 + h^2 = R^2现在，我们可以利用这个关系式来消除r，并将体积表示为h的函数。
首先，我们可以将r^2替换为R^2-h^2，然后将其代入圆锥体积的公式V=1/3πr^2h中：V = 1/3π(R^2-h^2)h= 1/3π(R^2h - h^3)为了找到体积的最大值，我们可以对这个函数进行求导并令其导数等于零。
这样我们可以找到函数的临界值，即体积最大的高度。
我们有：dV/dh = 1/3π(R^2 - 3h^2) = 0解这个方程，我们可以得到h的值。
然而，我们需要确保这个值对应的是一个极大值而不是极小值。
为了验证这一点，我们可以计算二阶导数d^2V/dh^2并将h的值代入其中。
如果二阶导数大于零，则意味着我们找到了一个体积最大值。
假设我们求解出的h值为h0。
然后，我们可以将这个值代入到体积函数中，得到最大体积V0：V0 = 1/3π(R^2h0 - h0^3)因此，我们找到了球内接圆锥的最大体积，其高度为h0，底面圆的半径为R。
总结一下，球内接圆锥的最大体积可以通过求解体积函数的极值来确定。
我们假设圆锥的高为h，并利用几何关系消除半径r，将体积表示为高度h的函数。
然后，我们对该函数进行求导并令其等于零，找到体积函数的临界值。