信号习题课

3.16 设以8kHz 的抽样频率对24个信道和一个同步（标识脉冲）信道进行抽样，并按时分组合。

各信道的频带限于3300Hz 以下，试计算PAM 系统传送这个多路组合信号所需的最小带宽。

解：
F c =2
1
NF s
（P.128 3.2.15）
=
2
1
×(24+1)*8 =100（kHz ）
其中F c 为所需最小信道带宽，N 为信道数，F s 为抽样频率
3.19 考虑图P3-19所示的PCM 系统，有10路信道作时分复用。

(1) 最小抽样速率应为多少？
(2) 抽样速率为30000样值/s 时，在PCM 输出端的比特率(bit/s)是多少？在1、2、3点处所需的最小带宽是多少？ 解：（1）
f m =πω2=π
π210203
⨯=10 (kHz)
F s =2f m =2×10=20 (kHz)
（奈奎斯特定律）
（2）线性PCM 编码中，最常用的为二进码。

n 位二进制码元有M=2n
种不同的组合(P131--3.3.1)。

128级量化后，则需要
n=lg 2M= lg 2128=7(bit)
则PCM 输出端的比特率为：30000样值/s ×7bit/样值×10路信道=2.1M bit/s
B 1=N ×f m =10×
2
s F =10×230000=1.5×105（Hz ）
量化后尚未编码，所以带宽不增加，所以
B 1=B 2＝1.5×105 Hz
脉冲编码后抗噪声性能增强，但是带宽增加,
B 3=n ×B 2＝7×1.5×105＝1.05(MHz)
因此在1、2、3点处所需的最小带宽分别为0.15、0.15、1.05MHz 。

3.24 设二进制符号序列为“110010001110”。

试以矩形脉冲为例，分别画出相应的单极性、双极性波形，单极、双极归零波形，二进制差分码波形，8电平波形及AMI 码的波形。

解：P142
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
5
10
15
20
25
双极性
5
10
15
20
25
单极归零
双极归零
510
15
2025
5
10
15
20
25
传号交替反转码（AMI ）
1
2
3
4
56
7
8
9
8电平码
3.26 设基带系统的发送滤波器、信道及接收滤波器的总特性为H(ω)。

若要以2/T b baud 的速率进行数据传输，试检验用P 3.26 的各种H(ω)是否满足消除抽样点上码间串扰的条
件。

解:
把一个基带传输系统的传输特性H(ω)分割为
s T π2宽度，各段在(－s T π，s
T π)区间能叠加成一个矩形频率特性，那么它在以f s 速率传输基带信号时，就能做到无码间串扰。

(P152)
Fs=2/T b Ts ＝T b /2
所以H(ω) 在(－
s T π2，s
T π2)区间能叠加成一个矩形频率特性,那么它在2/T b 速率传输基带信号时，就能做到无码间串扰
由图可以看出只有（c ）满足消除抽样点上码间串扰的条件。

3.30
设二进制基带系统中，C (ω)=1,G T (ω)=G R (ω)=)(ωH ,现已知
H (ω)=⎩⎨⎧
+)cos 1(000
ωττ 0
其他
τπω≤
（1） 若噪声n (t )的双边功率谱密度为
2
n 试确定G R (ω)的输出噪声功率 （2） 若在抽样时刻kT (k 为任意整数上,接收滤波器输出信号以相同的概率取0、A 电平，
而输出噪声V 为服从下述概率密度分布的随即变量
p (V )=λ
λ
V
e -21 λ>0 (常数)
试求系统的最小误码率p e
解：C (ω)为信道的传输特性,G T (ω)为发送滤波器的传输特性，G R (ω)为接收滤波器的传输特性。

(1) 输入噪声n (t )的双边功率谱密度为
2
n ，即 p i (ω)=2
0n
则通过G R (ω)后的输出噪声功率谱密度函数为
p o (ω)=p i (ω)|G R (ω)|2=
2
n ()cos 1(00ωττ+)2 当0
τπω≤
时 所接收滤波器的输出噪声功率为
p =⎰
⎰-∞
+∞
-+=
00
2000
))cos 1((2
21)(21τπτπωωττπ
ωωπd n d p =
⎰
-+00
)cos 1(2
21000
τπτπωωττπ
d n =
2
n (3) 在二进制等概率情况下，最佳门限就是p 1(V )和p 0(V )曲线交点所对应的V 值（P160）
因为 p 0(V )＝ λ
λ
V
e -21
（1）
p 1(V )＝λ
λ
A
V e
--21
（2）
由 p 1(V )＝p 0(V ) 得 V=2
A 则最佳门限b 为
b=
2
A
(3)
总的误码率为
P e ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+
⎰⎰+∞
∞
-b b
dV V p dV V p )()(2101 （P160 3.5.59） 将(1),(2),(3)式带入上式，得最小误码率
P emin =λ
λ
A
e -21
3.32 信号的波形如图P3.32所示
（1） 决定与这个信号相匹配的滤波器的冲激相应，以及概略画出它的时间轴波形； （2） 画出此匹配滤波器的输出波形； （3） 输出的峰值是什么？ 解：
(1) 匹配滤波器对应的冲激相应h (t )为
h (t )=ks i *(t 0-t ) (P164 3.6.12)
其中k 为任意常数，t 0为获得最大信噪比的抽样时刻。

一般总希望t 0尽量小。

为了保证匹配滤波器的物理可实现性，当输入信号s i (t )的持续时间为(0,T )时，t 0≥T .所以选取t 0= s i (t ) 所以
h (t )=ks (T -t )
即为输入信号s i (t )的镜像s i (t )在时间轴上右移T 得到 (2) 匹配滤波器的输出信号为
S 0(t )=k
⎰
+∞
∞
---τττd t S t S i i )(*)(0
(P165 3.6.14)
将t 0=T ,带入上式，计算可以获得
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧-+----kT
t T k t T k t T k )32()34()2(0 2
022
322
30,2T t T t T
T
t T T t T
t T t <
≤<≤<≤<≤<≥
A/2
-A/2
A/2
-A/2
-A 2A 2A 2-A 2
3.34
在二进制信号传输中，消息之一用宽度为T,高度为A 的矩形脉冲，另一个消息用
空位传输。

匹配滤波器的冲激响应是h (t )=S (T -t )=S (t ).试计算t ＝T 时刻的信噪比)
()
(202t n t S o 。

假
设白噪声的功率谱密度为2
0n。

如果在收信端不用匹配滤波器，而用RC 低通滤波器。

试计算由这种滤波器能获得的最
大信噪比)
()
(202t n t S o 。

并与相应的匹配滤波器的结果比较。

解：
SNR (T)⎰
⎰∞
+∞
-+∞
∞-=
ωωωπ
ωωωπωd H p d e
H s n T
j 2
2
))()((21))()(21(=
π
21
⎰
∞
+∞
-ωωωd p s n i )
()
(2
（1）
S i (t )＝A
t =(0,T ) （2）
又白噪声的功率谱密度为
2
n 即
p n (ω)=
2
n 则
SNR (T)=
T A n 2
2 （2）
SNR (T)⎰
⎰
∞
+∞
-+∞
∞-=
ωωωπ
ωωωπωd H p d e H s n T j 2
2
))()((21))()(21( （3）
当采用RC 低通滤波器，则此滤波器冲激响应的频域表示H (ω)表示为
RC
j H ωω+=
11
)(
（4）
当t =T 时,S 0(t )最大
当
0=dRC
dSNR
时，信噪比SNR 最大。

所以将t =T 和公式(4)带入（3）式，然后求导得出 当RC=26.1T 时，信噪比最大为0
263.1n T
A 。

没有匹配滤波器得出的信噪比高。

3.15.
由表易知，最小抽样频率fs=80kHz (2) Fc=fs=40kHz。