灰色系统分析方法

年份
降水量 年份
1981 1982
435. 278. 9 9 1991 1992
1983
483 1993
1984
510. 6 1994
1985
398. 2 1995
1986
430. 6 1996
1987
一、灰色关联度分析
灰色关联分析方法在数据少的情况下完全可 以在Excel中实现。但是如果数据量庞大的话，Ex cel就显得笨拙了。那么，我们就得另辟蹊径：Ma tlab。据我所知，在座各位同学对Matlab熟练掌 握的人很少。下面我给大家介绍一个软件：DPS数 据处理系统。DPS是一套通用多功能数据处理、数 值计算、统计分析和模型建立软件，与目前流行 的同类软件比较，具有较强的统计分析和数学模 型模拟分析功能。是目前国内功能最完整的统计 软件包。
灰色系统分析方法
主要内容
一、灰色关联度分析 二、灰色GM（1,1）模型
三、灰色GM（2，1）模型 四、灰色GM（1，N）模型
一、灰色关联度分析
关联度是对两个系统或两个因素之间关联性大小 的度量。灰色关联度分析法是建立在灰色系统理 论基础上的一种对系统发展变化态势的定量描述。 它根据评价因素间发展态势的相似和相异程度来 确定评价因素的关联程度。 关联度分析的核心是计算关联系数和关联度。
二、灰色GM（1,1）模型
二、步骤
（1）由原序列 X 按照 生成 1 t ，以弱化原始数列的随机性和波动性； X 序列
m 1
0
X
1
i X 0 m
n
（2）按
X 1
a BT B u
1 X 2 1 X B 2 1 X 2
采用最小二乘法按下式确定模型参数
式中，ri 为曲线 xi 对参考曲线 x0 的关联度。根 据关联度 ri 可计算出参评因素的权重
i ri / ri 100i 1， 2， ，n
i 1
n
根据关联度的计算可以看出，它的大小主要取 决于各时刻的关联系数，而关联系数的值又取 决于各时刻xi与x0之差。显然，xi与x0的量纲不 同，就会影响关联度ri的计算结果。为消除量 纲的影响，就需要在进行关联度计算之前，
二、灰色GM（1,1）模型
模型建立的方法与步骤 （一）方法 设时间序列 X(0) = x0 1, x0 2, x0 3,, x0 n
其累加生成的序列为 X(1) =
x 1, x 2, x 3,, x n
1 1 1 1


建立GM(1,1)预测模型进行灾变日期预测。
二、灰色GM（1,1）模型
应用实例 如果年降水量小于或等于300mm，就认为发生了旱灾。 试用灾变预测法对下一个灾变到来的年份进行预测。 某地区年降水量(mm)
年份 降水量 1971 1972 298. 489. 7 9 1973 398. 6 1974 345 1975 289. 8 1976 478. 3 1977 515. 6 1978 421. 5 1979 299. 8 1980 432. 1
-4.9844
3.3541 4.2218 -3.4078
二、灰色GM（1,1）模型
得到上表的结果根据计算得到的预测模型是
x(t+1)=1989033.435309exp(0.081739t)-1851541.435309
模型精确检验值为C=0.2657（好），p=0.9677 （好）表明上述模型可以进行预测。
一、灰色关联度分析
（3）标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和 标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标 准差，得到的数据即为标准化序列。
一、灰色关联度分析
实例分析
沙漠化土地面积及其影响因素 沙漠化土 地/x1 年平均降水 年平均大风 量/x2 日数/x3 农牧业总人 耕地面 口/x4 积/x5 牲畜总 数/x6
二、灰色GM（1,1）模型
基本原理 此模型建立的基本过程是：对时间变化的序列无 明显趋势时，采用“累加”的方法，建立一个随 时间变化趋势明显的时间序列。例如，时间序列 （1，3，4，7，5，9）变化趋势不明显，对其元 素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列（1，2， 8，15，20，29）。按照累加后序列的增长趋势 可以简历考虑灰色因子的预测模型进行预测，然 后采用“累减” 的方法进行逆运算，回复原时 间序列，得到预测结果。
一、灰色关联度分析
对各要素的原始数据作初等变换或均值变换等，然后 利用变换后所得到的数据作关联度计算。原始数据变 换方法如下： （1）均值化变换：先分边求出各个序列的平均值，再 用平均值去除对应序列中的各个原始数据，所得到新 的数据列即为均质化序列。 （2）初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
0 0 0
的点数被认为是具有异常值的点（灾变发生点），
二、灰色GM（1,1）模型
把它们按原来的顺序挑出来组成一个新的数据 序列（灾变数列）
x i x q | x q

0 ' 0 0
作灾变映射 变日期形成的序列
p : i ' q ，则灾变预测就是按灾 p p(1' ), p(2' ),, p(n' )
1
2 s2
0 1 0 t ) ( t m 1 t 1
m
2
p |
0
t
0
在计算方
| 0.6745 s1
。根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当p >0.95和c<0.35时，模型精度良好；当p>0.8和c<0.5 时，模型合格；当p>0.7和c<0.65时，模型勉强合格； 当p<=0.7和p>=0.65时，模型不合格。
0
0
at

u a
然后对 X 1 求导还原得到

X

0
u at 0 t 1 a X 1 e a
0
0 0 t t 及相对误 x t （4）计算 与x 之差 差 t
二、灰色GM（1,1）模型
一、灰色关联度分析
如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操 作实现。
第一步：将数据输入DPS数据处理系统中；
第二步：在“其他”菜单栏中找到“灰色系统方 法”，在其箭头里找到“灰色系统分析” 第三步：在对话框中实现。
一、灰色关联度分析
在数据序列转换方式， 一般为均质化。母序 列个数一般为0；是 否令min为0，如果要 精确的话，尽量不要 为0；分辨系数（白 化值），一般情况设 为0.5.
一、灰色关联度分析
设 x1 , x2 ,, xN为N个因素，反应各因素变化特性 的数据列分别为 x1 t , x2 t ,, xN t , t 1,2,, M 因素 x j 对
i (k )
i
xi 的关联系数定义为 min min x0 k xi k max max x0 k xi k
0
1
1
二、灰色GM（1,1）模型
（5）模型检验与预报：为保证模型的可靠性，必须 对模型进行检验，方法是对模型进行后验误差检验， t ) s ( x t x 即先计算实测数据离差
2 1 m 0 0 2 t 1
及残差的离差 s2 c 差比 以及小误差概率 s


，其中，
BT YN
X X
1 1
1

1 1
1 1 1
1 2 1 2
X 0 2 X 0 3 YN X 0 n
1
X
1
2 1
二、灰色GM（1,1）模型
u t 1 X 1 e X （3）将灰色参数代入时间函数 a
1879653
2098764 2200625
一、灰色关联度分析
关联度取灰数的白化值为0.5（ =0.5） 完整的计算步骤是完全根据前面介绍的得来
1 0.703707 0.732491 0.571372 0.73455 0.713403 0.703707 1 0.720905 0.655688 0.74416 0.549267 0.732491 0.720905 1 0.787908 0.774496 0.805972 0.571372 0.655688 0.787908 1 0.648738 0.588216 0.73455 0.74416 0.774496 0.648738 1 0.727275 0.713403 0.549267 0.805972 0.588216 0.727275 1
按后者建立微分方程模型为
dX 1 aX u dt
1
二、灰色GM（1,1）模型
式中所对应的时间响应函数为
u at u 0 X t 1 X 1 e a a
1
确定a、u,按模型递推，便得到预测的累加序列， 进行检验后“累减”便可得到预测值。
二、灰色GM（1,1）模型
应用实例
利用上一节的沙漠化数据进行预测
年代 沙漠化土地 /x1 拟合值 预测数据 残差 相对误差/%
1950-1959
129535
X(t+1)=234928.17969
1960-1969
1970-1979 1980-1989 1990-1999
168462
187856 205678 224595
二、灰色GM（1,1）模型
灾变预测 一般地，如果表征系统行为特征的指标通过了某个 临界值，则称发生了灾变，所以灾变是相对于所研 究问题的表征变量而言的。
N x 1 , x 2 , , x 设表征系统行为的原始数据列为 0 x 规定一个灾变临界值 ， i 中那些<= 或 >=
根据（3 ）讲述的基础公式，对一次累加成数列的预 测值 x t ，可以求得原始数的还原值
1
x t x t x t 1
式中t=1,2,„，N，并规定还原值初始值为0.原始数 据的还原值与实际观测值之间的残差值 0 t 和相对 误差 qt 如下 0 0 0 t x t x 0 t 1 0 0% q t 0 x t
为分辨系数，一般在0与1之间选 两级最大差； 取,一般取0.5。
0 i
0 i
i
k
i
k
0.5 i (k ) 1
关系数的个数很多，信息过于分散，不便于比较， 为此有必要将各个时刻的关联数集中为一个值， 这个值便是关联度，其表达式为
1 N ri i (k ) N k 1
一、灰色关联度分析
178050.4459
190090.1424 209672.0046 227530.247
X(t+2)=254937.54808
X(t+3)=276651.15996 X(t+4)=300214.16965 X(t+5)=325784.09457
-7900.63
6369.492 9144.534 -7287.19
129535
168462
29பைடு நூலகம்.87
298.56
44.6
42.3
48355
69345
16519
48796
1288030
1456793
187856
205678 224595
325.35
309.84 295.89
36.6
47.5 50.3
82134
94567 108031
53679
56346 59199
x0 k xi k max max x0 k xi k
i k k i k
i (k ) 为第k个时刻比较曲线 x i 与参考曲线 x0 式中， 的相对差值，称为 x i对 x0在k时刻的关联系数；
一、灰色关联度分析
max max x k x k 为 min min x k x k 为两级最小差；