河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若直线过圆’厂2■■: \ ■的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.2 2解答：圆x +y +2x-4y=0的圆心为（-1, 2）,代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0,「. a=1,故选Co点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设：：：E I-;，命题"若•，则方程.■ x' ：■ ■ :■- =「:有实根”的逆否命题是（）A. 若方程:;有实根，则•B. 若方程• J ：…='二有实根，则C. 若方程V- .■- :没有实根，则•D. 若方程:没有实根，则-【答案】D【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程/ + x-m = 0没有实根，则m 0 ,故选D.考点：四种命题.3. 命题“存在：-, ”的否定是（）A.不存在 _______________________B.存在儿，C.对任意的!，::叮 ___________D.对任意的!,【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,所以为对任意的比ER, 故选D。
4. 若直线匚-丫十.-■?与圆：：；/：_「=「有公共点，则实数的取值范围是（）A. | - ■ IB. | 打C. | .■■.! ID. -J'：.-【答案】C|a卜1|厂【解析】由题意可得•，，解得' ：i I，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。
河北省邢台市2017-2018学年高二(上)期中数学模拟试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC 上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC 为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，△ABC 为等腰直角三角形，P 在面ABC 上的射影为圆心O ，过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，连结PD ，则∠PDO 为二面角P ﹣AB ﹣C 的平面角，在△ABC △中，PO=2，OD=BC=，∴，si nθ=．故选：C ．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法： ①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥． 其中正确的说法序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等． 因此相等向量的模相等，故①正确； 因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y﹣（﹣2）=（x﹣0），即4x﹣3y﹣6=0故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x 0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线PC 与AE 所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M （2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
【配套K12】[学习]河北省邢台市2017-2018学年高二数学上学期第三次月考试题 理
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邢台市2017—2018学年高二（上）第三次月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若1a b +>，则,a b 中至少有一个大于1”的否定为（ ） A ．若,a b 中至少有一个大于1，则1a b +> B ．若1a b +≤，则,a b 中至多有一个大于1 C ．若1a b +≤，则,a b 中至少有一个大于1 D ．若1a b +≤，则,a b 都不大于12. 下列方程表示焦点在轴上且短轴长为2的椭圆是（ ）A ．2212y x += B ．2213x y += C ．22145x y += D ．22154x y += 3. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面是梯形ABCD ，//,AD BC AC BD ⊥,且PA AD =，则下列判断错误的是（ ）A ．//BC 平面PADB ．PD 与平面ABCD 所成的角为045 C ．AC PD ⊥ D ．平面PAC ⊥平面PBD4. 若双曲线2222mx y +=的虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（ ）A ．．5. 设有下面四个命题：1:p 抛物线212y x =的焦点坐标为1(0,)2； 2:p m R ∃∈，方程222mx y m +=表示圆；3:p k R ∀∈，直线23y kx k =+-与圆22(2)(1)8x y -++=都相交；4:p 过点且与抛物线29y x =有且只有一个公共点的直线有2条.那么，下列命题中为真命题的是（ ）A ．13p p ∧B ．14p p ∧C ．24()p p ∧⌝D ．23()p p ⌝∧6. 若动圆P 与圆22:(2)1M x y ++=和圆22:(3)(14)N x y λλ++=≤≤都外切，则动圆P 的圆心的轨迹（ ）A ．是椭圆B ．是一条直线C ．是双曲线的一支D ．与λ的值有关7. 当双曲线222:14x y M m m -=+的离心率取得最小值时，M 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =±C ．y =D ．12y x =±8.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若3CB BF =，则AF BF= （ ）A ．2B ．52 C ．3 D ．949.已知m 为正数，则“1m >”是“11lg 1m m+< ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+ D ．16163π+11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,A B P 为函数y =点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A ．13 B ．34 D ．35 12.过点(2,0)P -的直线与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 到原点的距离为 （ ）A ．53 B ．2 C D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线4y =+与直线l 垂直，则l 的倾斜角为 ．14.如图，H 是球O 的直径AB 上一点，平面α截球O 所得截面的面积为9π， 平面,:1:3AB H AH HB α==，且点A 到平面α的距离为1，则球O 的表面积为 ．15.若,A B 分别是椭圆22:1(1)x E y m m+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线AP 与直线BP 的斜率之积为4m-，则椭圆E 的离心率为 ． 16.如图，在ABC ∆中，4AB =，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且3DE =，四边形AEDH 为矩形，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC ∆的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且,C D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，点C 到直线AH 的距离为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知:,sin cos p x R m x x ∀∈≥-；:q 方程2221mx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）当1m =时，判断p q ∨的真假； （2）若p q ∧为假，求m 的取值范围.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,0),(3,0)A B -，动点M 满足1MA MB ⋅=，记动点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）若直线:4l y kx =+与C 交于,P Q 两点，且6PQ =，求k 的值.19.已知椭圆222:1(0)9x y M b b +=>的一个焦点为(2,0)，设椭圆N 的焦点为椭圆M 短轴的顶点，且椭圆N 过点. （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =-与椭圆N 交于,A B 两点，求AB .20. 如图，四边形ABEF 是正四棱柱1111ABCD A BC D -的一个截面，此截面与棱1CC 交于点E ，12,1,AB CE C E BG ME BE ====⊥,其中,G M 分别为棱111,BB B C 上一点. （1）证明：平面1A ME ⊥平面ABEF ；（2）为线段BC 上一点，若四面体11A B MG 与四棱锥N ABEF -的体积相等，求BN 的长.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且过点(0,2)-. （1）求C 的方程；（2）若动点P 在直线:l x =-过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标. 22.已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D . （1）若D 的坐标为(0,2)，求a 的值；（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为(0,)a -，过(0,2)M a的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，求PQ MG的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACBB 6-10: DAACA 11、C 12：D 二、填空题 13.56π 14. 40π4 三、解答题17.解：因为sin cos )[4x x x π-=-∈，所以若p为真，则m由2221mx y +=得221112x y m +=，若q 为真，则112m >，即02m <<， （1）当1m =时，p 假q 真，故p q ∨为真； （2）若p q ∧2m ≤< ，所以，若p q ∧为假，则([2,)m ∈-∞+∞.18.解：（1）设(,)M x y ，则(3,),(3,)MA x y MB x y =---=--， 所以2291MA MB x y ⋅=-+=， 即2210x y +=，此即为C 的方程.（2）由（1）知C 为圆心是(0,0)设(0,0)到直线l 的距离为d，则d =，因为6PQ ==，所以1d =1=，解得k =19.解：（1）设N 的方程为22221(0)x y n m m n+=>>，则2225n m b -==，又221321m n+=，解得221,6m n ==， 所以N 的方程为2216y x +=. （2）由22216y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得27420x x --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212,77x x x x +==-，所以127AB ===，20.（1）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1,AB BC BB ⊥⊥底面ABCD ，所以1BB AB ⊥，又1BB BC B =，所以AB ⊥平面11BCC B ，则AB ME ⊥，因为,ME BE BEAB B ⊥=，所以ME ⊥平面ABEF ，又ME ⊂平面1A ME ，所以平面1A ME ⊥平面ABEF .(2)解：在Rt BEC ∆中，BC CE =,所以045BEC ∠=，因为ME BE ⊥，所以0145MEC ∠=，因为11C E =，所以11MC =，又112B C =，所以11B M =， 因为1BG =，所以12B G =，所以四面体11A B MG 的体积11112221323G A B M V V -==⨯⨯⨯⨯=.取BE 的中点H ，因为BC CE =，所以GH CE ⊥，又AB ⊥平面11BCC B ， 所以AB CH ⊥，则CH ⊥平面ABEF ,过N 作//NP CH ，交BE 于P ，则BP ⊥平面ABEF，所以12233N ABEF V NP -=⨯⨯⨯=.21.解：（1）由题意知2b =，22222223c a b a a -===，所以212a =， 所以椭圆C 的方程为221124x y +=. （2）因为直线l的方程为x =-00(),(P y y -∈ ， 当00y ≠时，设1122(,),(,)M x y N x y ，显然12x x ≠，联立2211222221212222112401241124x y x x y y x y ⎧+=⎪--⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+, 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率00133y y --⋅=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+即)3y x =+，显然l '恒过定点(， 当00y =时，l '过点(3-， 综上所述，l '过点(.22.解：（1）由抛物线2:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为12，得12p =， 则抛物线C 的方程为2x y =-.设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-得220x kx ++=，由280k ∆=-=得k =±当k =A 的横坐标为2k-=2(2a =-=-，当k =-2a =-.（2）由（1）知，(0,),(0,)N a D a -，则以线段ND 为直径的圆为圆222:O x y a +=， 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l '即可，因为G 为直线l '与圆O 的切点，所以OG MG ⊥，1cos 22a MOG a∠==，所以3MOG π∠=，所以,l MG k '==，所以直线l '的方程为2y a =+，代入2x y =-得220x a +=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以12122,380x x x x a a +==∆=->，所以PQ ==所以PQ MG===， 设1t a=-，因为1a <-，所以(0,1)t ∈，所以238(0,11)t t +∈，所以PQ MG==.。
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题 (word版含答案)
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设命题p ：R x ∈∃0，2000x x e x >-，则命题p 的否定为（ ）A ．R x ∈∀，2x x e x ≤-B ．R x ∈∃0，2000x x e x<-C ．R x ∈∃0，2000x x e x ≤-D ．R x ∈∀，2x x e x >-2．双曲线13422=-y x 的虚轴长为（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．323．圆012422=++++y x y x 的圆心到直线1-=+y x 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．2 4．“52>m ”是“方程131222=+-y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．下列直线中，与函数x x x f ln )(+=的图象在1=x 处的切线平行的是（ ） A ．012=++y x B ．012=+-y x C ．012=--y x D ．012=--y x6．若以双曲线)0(14222>=-a y a x 的左、右焦点和点)2,2(为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．267．函数)(x f y =的图象如图所示，则)('x f y =的图象可能是（ ）8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．316π B ．34π C ．914π D ．916π9．设B A ,是椭圆C ：121222=+y x 的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：1022=+y x 的一个交点，则=-||||||PB PA （ ）A ．22B ．34C ．24D ．2610．抛物线M ：x y 42=的准线与x 轴交于点A ，点F 为焦点，若抛物线M 上一点P 满足PF PA ⊥，则以F 为圆心且过点P 的圆被y 轴所截得的弦长约为（参考数据：2.25≈）（ ）A ．4.2B ．3.2C ．2.2D ．1.211．在三棱锥ABC S -中，34,5,41======AB SC AC SB BC SA ，则三棱锥ABC S -外接球的表面积为（ ）A ．π25B ．π50C ．π100D ．3100π12．设函数m x x x x g m x x x f --+=+--=1232)(,6)(232，))(,()),(,(2211x f x Q x f x P ，若]2,1[],2,5[21-∈∃--∈∀x x ，使得直线PQ 的斜率为0，则m 的最小值为（ ） A ．8- B ．25-C ．6-D ．2 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．直线l 与直线02=-+y x 垂直，且它在y 轴上的截距为4，则直线l 的方程为 . 14．若双曲线的渐近线方程为x y 2±=，它的一个焦点是)5,0(，则双曲线的方程是 .15．过点)1,2(P 总可以作两条直线与圆C ：02222222=-++++k y kx y x 相切，则k 的取值范围为 .16．若函数xx a x x f 4)1()(3+-+=在)2,1(上有最小值，则a 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p ：若1sin =x ，则0cos =x ，q ：01,0200=+-∈∃x x R x .（1）写出p 的逆否命题；（2）判断q p q p q ∧∨⌝,,的真假，并说明理由.18．已知函数5ln 2)(--+=x xax x f ，其中R a ∈，且)(x f 在2=x 处取得极值. （1）求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间.19.如图，已知直三棱柱111C B A ABC -的侧面是正方形11A ACC ，4=AC ，3=BC ，2π=∠ACB ，M 在棱1CC 上，且MC M C 31=.（1）证明：平面⊥1ABC 平面BC A 1；（2）若平面BM A 1将该三棱柱分成上、下两部分的体积分别记为1V 和2V ，求21V V 的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，原点为O ，过F 作倾斜角为θ的直线l 交抛物线C 于B A ,两点.（1）过A 点作抛物线准线的垂线，垂足为'A ，若直线F A '的斜率为3-，且4=AF ，求抛物线的方程；（2）当直线l 的倾斜角θ为多大时，AB 的长度最小.21. 已知双曲线122=-y x 的焦点是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的顶点，1F 为椭圆C 的左焦点且椭圆C 经过点)33,22(. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右顶点作斜率为k （0<k ）的直线交椭圆C 于另一点B ，连结1BF 并延长1BF 交椭圆C 于点M ，当AOB ∆的面积取得最大值时，求ABM ∆的面积. 22．已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=. （1）设函数)(1)()(R b b x x f x g ∈++=，若曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为034=-+y x ，求b a ,的值；（2）是否存在实数a ，使得2)(x x f ≤对),0(+∞∈x 恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5：ADBAB 6-10：BDDCA 11-12：BC二、填空题13．04=+-y x 14．1422=-x y 15．)289,2()4,289( -- 16．)1,11(- 三、解答题17．解：（1）p 的逆否命题：若0cos ≠x ，则1sin ≠x .（2）若1sin =x ，则011cos 2=-=x ，∴0cos =x ，∴p 为真，∵方程012=+-x x 的判别式0<∆，∴方程无解，∴q 为假. 故q ⌝为真，q p ∨为真，q p ∧为假.18．（1）xx a x f 12)('2--= 因为)(x f 在2=x 处取得极值所以02142)2('=--=a f ，解得6=a ，经检验，符合题意. （2）由（1）知)0(5ln 62)(>--+=x x xx x f)0()32)(2(162)('22>+-=--=x x x x x x x f当0)('>x f 时，即2>x ，)(x f 在),2(+∞上单调递增；当0)('<x f 时，即20<<x ，)(x f 在)2,0(上单调递减；所以)(x f 的增区间为),2(+∞，减区间为)2,0(.19.（1）证明：因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以⊥1CC 底面ABC ，所以BC CC ⊥1，又2π=∠ACB ，即AC BC ⊥，且C AC CC = 1，所以⊥1AC 平面BC A 1又⊂1AC 平面1ABC ，所以平面⊥1ABC 平面BC A 1. （2）解：因为14423)43(311111=⨯⨯+⨯==-B BMC A V V V柱体244)3421(=⨯⨯⨯=， 所以1014241=-=V ，57101421==V V . 20.（1）准线与x 轴的交点为M ，则由几何性质得p F A FM A 2',60'0==∠，∵060'=∠F AA 且AF AA ='，∴F AA '∆为等边三角形，得42'===p AF F A ， ∴抛物线方程为x y 42=.（2）∵)0,2(p F ，∴直线l 的方程可设为2p my x +=， 由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p m y x pxy 得0222=--p mpy y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎩⎨⎧-==+221212py y mp y y ，得4221p x x =， 所以p p x x p x x AB 22||2121=+≥++=，当且仅当221px x ==等号成立， ∴090=θ.21．（1）由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=14321222b a a ，得⎩⎨⎧==12b a ，所以C 的方程为1222=+y x . （2）由已知结合（1）得，)0,1(),0,2(2-F A ，所以设直线AB ：)2(-=x k y ，联立C ：1222=+y x 得02424)21(2222=-+-+k x k x k ，得)2122,21222(222k k k k B +-+-，)0()2()1(2212|2122|221||||21220<-+-=+-=+-⨯⨯=⨯=∆k k k k k k k y OA S AOB ， 当且仅当k k 21-=-，即22-=k 时，AOB ∆的面积取得最大值， 所以22-=k ，此时)1,0(B ， 所以直线1BF ：1+=x y ，联立1222=+y x ，解得)31,34(--M ， 所以)12(32)221(23421||21+=+⨯⨯=⨯=∆d BM S ABM . 22. 解：（1）2)1()(ln )1)(1()('+--+-=x ax x x a x x g ，则424)1(2)1('a a a g -=+-=，又b a g +-=2)1(，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-2124142b a a 解得2,3==b a .（2）由2)(x x f ≤对),0(+∞∈x 恒成立，得xx x a 2ln -≥对),0(+∞∈x 恒成立，设222ln 1)(',ln )(xxx x x x x x --=-=ϕϕ，设x x x h ln 1)(2--=， 因为xx x h 12)('--= 所以)(x h 在),0(+∞上为减函数，0)1(=h ，则当10<<x 时，0)(')(>=x x h ϕ；当1>x 时，0)(')(<=x x h ϕ.∴1)1()(max -==ϕϕx ，∴存在实数a ，且1-≥a .。
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷(理科)
河北省邢台市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合， M={﹣1，1}，则M∩N=（）A . {﹣1，1}B . {0}C . {﹣1}D . {﹣1，0}2. （2分）若过点P的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A . 若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥nB . 若m∥α，n⊂α，则m∥nC . 若m∥α，n∥α，则m∥nD . 若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α4. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出的S=（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·射洪期中) 圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条6. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；③当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A . ①B . ②C . ③D . ①②7. （2分） (2017高三上·太原期末) 如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·南湖期中) 如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A . 2B . 4C . 2D . 610. （2分） ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（）A . BD∥平面CB1D1B . AC1⊥BDC . AC1⊥平面CB1D1D . AC1⊥BD111. （2分）若圆x2+y2-2x-4y＝0的圆心到直线x-y+a＝0的距离为，则a的值为（）A . -2或2B . 或C . 2或0D . -2或012. （2分）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）A . 3B .C . 2D . 2二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点P（0，﹣1），Q（0，1），若直线 l：y=mx﹣2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是________14. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线上有两个点和 ,且为一元二次方程的两个根,则过点且和直线相切的圆的方程为________.15. （1分）正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为________．16. （1分）若直线y=x﹣b与曲线，θ∈[0，2π）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高一下·长春期末) 已知直线l过定点（1.4）,求当直线l在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小时,此直线的方程.18. （10分）(2014·江苏理) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．19. （5分）(2017·北京) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．20. （10分）(2017·长沙模拟) 在平面直角坐标系xoy中，点，圆F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0，以动点P为圆心的圆经过点F1 ，且圆P与圆F2内切．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线l过点（1，0），且与曲线E交于A，B两点，则在x轴上是否存在一点D（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2017高二下·定州开学考) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A1ACC1 ， AB=3 ，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A1E=4．（1）求证：平面A1DC1∥平面AB1C；（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．22. （10分） (2017高二下·金华期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB= ，求实数t的值；（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求• 的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河北省邢台市2017-2018学年高二(上)期中数学模拟试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等．因此相等向量的模相等，故①正确；因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A ．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x 2+y 2+4y=0与直线3x +4y +2=0相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x ﹣3y ﹣6=0B ．4x +3y +6=0C ．3x +4y +8=0D ．4x ﹣3y ﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB 的垂直平分线是垂直于直线3x +4y +2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y ﹣（﹣2）=（x ﹣0），即4x ﹣3y ﹣6=0故选：A ．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP 的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM ∥面PAD…（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出异面直线PC与AE所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M（2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC ﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2017-2018年河北省邢台市高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣32．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．9．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE10．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=511．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．13．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．14．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．15．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．17．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．20．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．2．（5分）若，若∥，则（）A．x=1，y=1 B．C．D．【解答】解：∵，且∥，可设=λ，则（1，﹣2y，9）=λ（2x，1，3），即，解得λ=3，x=，y=﹣．故选：C．3．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．4．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O 1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．5．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．6．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A1﹣BC﹣D的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：由AB⊥BC，A1B⊥BC，得∠A1BA是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，在△ABA1中，∠ABA1=二面角D1﹣BC﹣D的大小为．故选B．7．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（1﹣t﹣2，1﹣t﹣t，t﹣t）=（﹣t﹣1，1﹣2t，0）==（﹣t﹣1）2+（1﹣2t）2=5t2﹣2t+2∴当t=时，有最小值∴的最小值是故选：C．8．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．9．（5分）如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．故选：C．10．（5分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．4πC．D．【解答】解：作△ABC的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，如图所示；∵AB=BC=CA=2，∴CM==；又PC⊥平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM2=PC2+CM2=22+=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球面积为S外接球=4πR2=π•=．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）12．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．13．（5分）若平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），则α与l所成角的正弦值为．【解答】解：∵平面α的一个法向量=（2，1，1），直线l的一个方向向量为=（1，2，3），∴α与l所成角θ的正弦值为：sinθ=|cos＜＞|===．故答案为：．14．（5分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为=．故答案为：15．（5分）若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3] ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即y﹣3=﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，∴该几何体的体积V==64．（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1==4，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为==5，∴该几何体的面积S=2（）+8×6=88+24．17．（12分）（Ⅰ）已知圆经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5）两点，若圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，求圆M的方程；（Ⅱ）求过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1）的圆N的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，﹣4），直线AB的斜率为=，∴线段AB的中垂线方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．联立方程组，解得x=﹣1，y=﹣2，即所求圆的圆心M（﹣1，﹣2），∴圆的半径，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．（Ⅱ）设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆N过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，1），∴列方程组得解得D=﹣2，E=2，F=﹣3，∴圆N的方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3=0．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD．∵矩形ACC1A1中，O是A1C的中点，又点D是BC的中点，∴△A1BC中，OD∥A1B．∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知O是A 1C的中点，故点A1到平面ADC1的距离与点C到平面ADC1的距离相等，设为h．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，BC⊥CC1，∴AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1．在Rt△C 1CD中，，则，；在Rt△ACD中，；…（8分）∵三棱锥C﹣ADC1与三棱锥C1﹣ACD的体积相等，即，∴，解得．即点A1到平面ADC1的距离为．…（12分）19．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．（Ⅰ）求证：D1F⊥平面ADE；（Ⅱ）求异面直线EF与BD1所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，CD 的中点．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D1（0，0，2），F（0，1，0），A（2，0，0），D（0，0，0），E（2，2，1），=（0，1，﹣2），=（2，0，0），=（2，2，1），•=0，=0+2﹣2=0，∴D1F⊥DA，D1F⊥DE，∵DA∩DE=D，∴D1F⊥平面ADE．（Ⅱ）B（2，2，0），=（﹣2，﹣1，﹣1），=（﹣2，﹣2，2），设异面直线EF与BD1所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线EF与BD1所成角的余弦值为．20．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．【解答】因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．（Ⅰ）证明：因，，故，∴AP⊥DC由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因∴，∴cos＜＞=（Ⅲ）设平面AMC、平面BMC的法向量分别为，由，取；，由，取cos＜＞=．平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为．。
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题
河北省邢台市2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线3x+y+a=0过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．-32． 设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 3．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥ C ．对任意的x ∈R ，020x ≤D ．对任意的x ∈R ，020x >4．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞5．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是 A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切7．．已知直线,l m ，平面,,,l m αβαβ⊥⊂且，给出下列四个命题 ①若//αβ，则l m ⊥②若l m ⊥，则//αβ ②若,//l m αβ⊥则④若//,l m αβ⊥则其中正确命题 的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知p ：k ；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∃∈，使得3sin cos 5x x = B ．(),0x ∃∈-∞，21x > C ．x R ∀∈，21x x ≥-D ．()0,x π∀∈，sin cos x x >10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．123π+ B ．136πC ．73π D ．52π 11．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．1212．三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ．3π B ．4π C ．163πD ．283π二、填空题13．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 14．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则.15．命题“2000,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 .16．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是______．三、解答题17．给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．18．（1）已知圆经过3(2,)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆M 的方程；（2）求过点(1,0)A -、(3,0)B 和(0,1)C 的圆N 的方程. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点1A 到平面1ADC 的距离. 20．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a ≠；q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩． （1）若1a =，且p q ∨为真，p q ∧为假，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：（1）PA ⊥底面ABCD ；（2）//BE 平面PAD ； （3）平面BEF ⊥平面PCD .22．已知直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m R ∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=.（1）证明：直线l 恒过一定点P ； （2）证明：直线l 与圆C 相交；（3）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值.参考答案1．B 【详解】分析：圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a 的值． 解答：圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）， 代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1， 故选 B ．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 2．D 【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤，故选D. 考点：四种命题. 3．D 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题． 4．C 【解析】由题意得圆心为(,0)a ，． 圆心到直线的距离为d =， 由直线与圆有公共点可得≤|1|2a +≤，解得31a -≤≤． ∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ． 5．B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.6．B 【解析】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又211212r r OO r r -<<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ． 考点：圆与圆的位置关系． 7．C 【解析】试题分析：对①，若α∥β，又l α⊥，所以l β⊥.又m β⊂，l m ∴⊥，正确； 对②，α、β可以平行，也可以相交，故错；对③，若αβ⊥，则l 、m 有可能平行，也有可能异面，也有可能相交，故错； 对④，若l ∥m ，因为l α⊥，所以m α⊥.又m β⊂，所以αβ⊥．正确.考点：空间直线与平面的位置关系. 8．B 【详解】直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝11=，解得k ＝即q ：k ＝因为p ：k ⌝p ：k ，⌝q ：k ≠ 所以⌝p 是⌝q 的必要不充分条件． 9．C 【解析】A ：由sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()2sin cos 12sin cos 2x x x x +=+≤，所以1sin cos 2x x ≤，错误； B ：当(),0x ∈-∞时，021x <<，错误；C ：221331244x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，正确； D ：在区间()0,π内，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x <，错误， 故选C ．点睛：本题中A 由sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，考察辅助角公式的应用；B 考察指数函数的认识；C 考察二次函数的化简；D 考察正弦函数和余弦函数的认识．充分考察了函数的图象和性质，学生需充分掌握函数的基本性质． 10．B 【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为考点：三视图，空间几何体体积11．C 【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 12．D 【详解】作ABC ∆的外接圆，过点C 作外接圆的直径CM ，连接PM ，则PM 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，如图所示:∵2AB BC CA === ∴2sin 60CM ==︒又 PC ⊥平面ABC ∴ PC CM ⊥∴ 2221628433PM PC CM =+=+=，即22(2)PM R = ∴ 23428S R ππ==,故选D. 13．6π 【详解】2πr=2π，r =1，S 表=2πrh+2πr 2=4π+2π=6π. 14．2【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0，半径r =d ==所以弦长AB ==考点：直线与圆相交的相关问题15．a -≤【解析】试题分析：由题意可得命题:x R ∀∈,22390x ax -+≥为真命题.所以()234290a ∆=--⨯⨯≤,解得a -≤≤考点：命题的真假.16．1⎡⎤-⎣⎦【分析】由曲线x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线y=3+2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围． 【详解】由曲线得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，即21b d =≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3， 把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 1≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，]．故答案为1,1⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 17．()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可判断出p 与q 一真一假，分类讨论即可得出实数a 的取值范围. 【详解】对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立0a ⇔=或20440a a a a >⇔≤<∆=-<⎧⎨⎩； 关于x 的方程20x x a -+=有实数根11404a a ⇔∆=-≥⇔≤； 由于p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 与q 一真一假；（1）如果p 真，且q 假，有04a ≤<，且11444a a >⇒<<； （2）如果q 真，且p 假，有0a <或4a ≥，且104a a ≤⇒<.所以实数a 的取值范围为：()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的取值范围，考查不等式恒成立问题及一元二次方程存在解问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．（1）()()221210x y +++=；（2）222230x y x y +-+-= 【分析】（1）由直线AB 的斜率，中点坐标，写出线段AB 中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A 的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；（2）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入题中三点坐标，列方程组求解即可【详解】（1）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=． ∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上，∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，∴ 半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=；（2）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ， ∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=．【点睛】本题考查了圆的方程求解，考查了待定系数法及运算能力，属于中档题．19．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）连接A 1C ，交AC 1于点E ，连接DE ，则DE ∥A 1B ．由此能证明A 1B ∥平面ADC 1；（2）由（1）知A 1B ∥平面ADC 1，则点A 1与B 到与平面ADC 1的距离相等，从则C 到与平面ADC 1的距离即为所求．【详解】（1）证明：连接A 1C ，交AC 1于点E ，则点E 是A 1C 及AC 1的中点．连接DE ，则DE ∥A 1B ． 因为DE ⊂平面ADC 1，且A 1B ⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1．（2）由（1）知A 1B ∥平面ADC 1，则点A 1与B 到与平面ADC 1的距离相等，又点D 是BC 的中点，点C 与B 到与平面ADC 1的距离相等，则C 到与平面ADC 1的距离即为所求．因为AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥A 1A ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1．作于CF ⊥DC 1于F ，则CF ⊥平面ADC 1，CF 即为所求距离．在Rt △DCC 1中，CF ＝11DC CC DC ⨯．所以A 1到与平面ADC 1【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，考查点到平面距离的求法，问题的转化思想，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.20．(1)(2,3),(2) a∈(1,2]【解析】试题分析：（1）化简条件p,q ，根据p∧q 为真,可求出；（2）化简命题，写成集合，由题意转化为(2,3](3a,a)即可求解.试题解析：(I)由22x 60280x x x ⎧--≤⎨+->⎩,得q:2<x≤3. 当a=1时,由x 2-4x+3<0,得p:1<x<3,因为p∧q为真,所以p真,q真.由23,13xx<≤⎧⎨<<⎩得23,x<<所以实数x的取值范围是(2,3).(II)由x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a)<0.①当a>0时,p:a<x<3a,由题意,得(2,3](a,3a),所以即1<a≤2;②当a<0时,p:3a<x<a,由题意,得(2,3](3a,a),所以无解.综上,可得a∈(1,2].21．(1)证明见解析.(2) 证明见解析.(3) 证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．（3）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．解：（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD ⊥EF ②．而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD ⊥平面BEF ．由于CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．22．（1）()31P ，；（2）相交；（3）34-【解析】 试题分析：（1）将直线l 方程变形为()()2740x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩即可即得定点坐标； （2）通过直线l 转化为直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线l 与圆C 相交；（3）说明直线l 被圆C 截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l 垂直，求出斜率即可求出直线的方程．试题解析：（1）直线l 方程变形为()()2740x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 恒过定点()31P ，；（2）∵ 5PC =<，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交；（3）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-， 而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是()21121m m +=-+，解得34m =-. 点睛：对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错．。
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学文
2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线过圆的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选C。
点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（）A. 若方程有实根，则B. 若方程有实根，则C. 若方程没有实根，则D. 若方程没有实根，则【答案】D考点：四种命题.3. 命题“存在，”的否定是（）A. 不存在，B. 存在，C. 对任意的，D. 对任意的，【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题，所以为“对任意的，”，故选D。
4. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，解得，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。
5. 设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平面与不平行，所以充分性不成立；必要性：若，则平面内的任意直线都与平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。
故选B。
6. 圆和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【答案】A【解析】两圆的方程可化为，两圆心距离．由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交．故本题答案选．7. 已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：对①，若∥，又，所以.又，，正确；对②，、可以平行，也可以相交，故错；对③，若，则、有可能平行，也有可能异面，也有可能相交，故错；对④，若∥，因为，所以.又，所以．正确.考点：空间直线与平面的位置关系.8. 已知条件，条件直线与圆相切，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】：，解得，所以是的必要不充分条件，根据逆否关系同真假，则是的必要不充分条件。
河北省邢台市2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题文扫描版2017101601177
河北省邢台市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题文（扫描版）高二年级文科数学试题答案1-5 BDCAB 6-10 CDDDD 11-12 AC13.16或64 14. 15.222316.①③17.解:设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO ＝42－22＝2 3.AE EB 3 r如图所示易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴r＝1。
AO OC 22 3S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2 3π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.18.解:(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为1圆心，半径r＝|AB|＝10.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.21(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝03由Error!得Error!即圆心坐标是C(3,2)．r＝|AC|＝3－12＋2＋22＝2 5.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则Error!⇒Error!∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.19.解:（1）证明：取中点，连结，，∵，，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）由已知条件得，所以，所以20.解：（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB//CD，点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF ，∴ AB / /EF .（2）在正方形 ABCD 中， CD AD ，又∵平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD AD ，∴CD 平面 PAD ，又∵ AF 平面 PAD ，∴CD AF ，由（1）可知 AB / /EF ，又∵ AB / /CD ，∴CD / /EF ，由点 E 是棱 PC 中点，∴点 F 是棱PD 中点，在 PAD 中，∵ PA AD ，∴ AF PD ，又∵ PD CD D ，∴ AF 平面 PCD .21． （ 1）连接NO , NC , NB1；NC NB51NO CB1O CB为中点1BB C C BCCB为正方形1 111CB 平面BNCCBNC1111（2）延长 CA ， C N 交于 Q ，连接 BQ ，延长 CM 交 BQ 于 P ，连接OP.1NA / /CC11QA ACNA CC122 , AB 2, QBBCQB BCQB B BCCQBB C平面1 1B C BC11OPC 为直线 CM 与平面BNC 所成角的平面角123 4 3 BCP ,PBC , BC 2 ，cos ,PC .62 PC6 2 32 6 sinOPC所以，直线 CM 与平面4 3 43BNC 所成角的正弦值为16 4. （（3）思路二：取 A B 中点为 H ，连接C H 则 1 / / , 1 1 , C H CM C H 与平面1 1BNC 所成角等于1直线 CM 与平面 B NC 所成角，可等体积法求得 H 到平面1BNC 的距离 h ，然后求线面角的正1 6弦值hC H1)22.解析：（1）因为 AA底面 ABCD ， 所以1CC底面 ABCD ，因为 BD 底面1ABCD ，所 以 CCBD 因 为 底 面 ABCD 是 梯 形 ， AB / /DC ， BAD90，1.1 .ABADCD 因为 AB1，所以 AD1， CD 2.所以 BD 2 ， BC 2.2所以在 BCD 中， BD 2 BC 2 CD 2.所以 CBD 90.所以 BD BC .又因为CC 1BD .所以 BD 平面 BCC 1.因为 BD平面BDC ，所以平面 1BCC平面1BDC 1.（2）存在点 P 是C D 的中点，使 AP / / 平面 BDC .1 111C D 的中点为点 P ，连结 AP ,所以 C P CD ，且1 / / C P CD .因为证明如下：取线段1 1121AB / /DC ，. C 1P / /AB ，且 1.ABCD 所以 C P AB 所以四边形 ABC P 是平行四边形.12所以 A P / /BC .1又因为BC平面 BDC ， AP 平面 BDC ，所以 AP / / 平面BDC 1.1117。
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2017-2018学年度第一学期高二期中考试理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．-32.若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若//a b ，则（ ）A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =， 32y =- D ．16x =-，32y =-3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]- C ．[3,1]- D ．(,3][1,)∞-+∞4.圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离 C. 外切 D ．内切5.已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥.其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．46.正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC D --的大小为（ ） A ．30° B ．45° C.60° D ．135°7.已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则||a b -的最小值为（ ）A B C.115D 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．123π+ B ．73π C.136π D ．52π9.过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．1 C.12 D ．12- 10.如图，在四面体D ABC -中，若AB BC =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE11.过圆224x y +=外一点作圆(4,2)P 的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆的方程为（ ）A ．22(4)(2)1x y -+-= B ．22(2)4x y +-= C. 22(2)(1)5x y +++= D ．22(2)(1)5x y -+-=12.三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ．3π B ．4π C. 163π D ．283π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于,A B 两点，则||AB = ． 14.若平面a 的一个法向量(2,1,1)n =，直线l 的一个方向向量为(1,2,3)a =，则α与l 所成角的正弦值为 ．15.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为 ．16.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的表面积S .18.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆M 的方程；（2）求过点(1,0)A -、(3,0)B 和(0,1)C 的圆N 的方程. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点1A 到平面1ADC 的距离. 20. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点.（1）求证：1D F ⊥平面ADE ；（2）求异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值.21. 已知直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m R ∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=. （1）证明：直线l 恒过一定点P ； （2）证明：直线l 与圆C 相交；（3）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值.22.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=°，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 14.; 15. ; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：17. 解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48， ∴该几何体的表面积88S =+ 18.解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=． ∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=．19.解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， ∴ 1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =12ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅，∴ 1112332AD h AD ⋅=⨯⨯，解得h =即点1A 到平面1ADC． 20.解：如图，以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则0n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =- ∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,EF BD EF BD EF BD⋅==⋅EF 与1BD ．21.解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ；（Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交；（Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-， 而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-. 22.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ．（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =， 故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-．同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13. 14.6; 15. 3; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； …………………………………………5分 （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48，∴ 该几何体的表面积88S =+10分 18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=．…………………………………………2分∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，………4分∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； ………6分 （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，…………………10分∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=． ……………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，∴ 1A B ∥平面1ADC ； ……………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =1ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ……………………………………8分 ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅， ∴11123232AD h AD ⨯⋅=⨯⨯，解得5h =即点1A 到平面1ADC……………………………………12分20. （本题满分12分）解：如图，以点D 为坐标原 点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方 向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．……………………………………4分（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =-∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； ……………………………………8分 （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,3EF BD EF BD EF BD ⋅==⋅，即异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值为3．……………………………………12分21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交； ……………………………………8分 （Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-，而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-.……………12分22. （本题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ． ……………………………………………2分（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．……………………………………5分（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． …………………………………………8分 （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．…………………12分。