历年高等数学A(下)试卷和解答

高等数学A （下）试题A 参考答案（080119）一、单项选择 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B二、填空 1.2(0)ki k ≠， 2.0， 3.1-， 4.202(1)!n nn e x n +∞=-∑， 5.36t ， 6.12三、1.解 22202Res ,0Res ,12021)1)1)原式＝　＋＝（（（zz zC e e e dz i i i z z z z z z πππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥---⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰。

2.解 111lim lim 1,1n nn n c n R c n λλ+→∞→∞+=====, 而1(1)发散，nn n +∞=±∑所以0(2)3的收敛域为(1,).n n n x +∞=-∑ 20012(2)(2)((2))(2)1(2)(3)nnn n x n x x x x x x +∞+∞=='⎛⎫-'-=--=-= ⎪---⎝⎭∑∑。

3．解 41121I dx x +∞-∞+⎰1分＝，3441241()1,1i i f z z e z e z ππ===+在上半平面内有级极点41R es[(),],(1,2),(1)4k k k z z z f z z k z ==='+=-34412().244iie e I i πππ=--=102222sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)Re ,Re ,0Re ,1|2sin 2.1(1)(1)(1)z z z z z z z s s s z z z z z z z z ==⎛⎫'⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪∞=-+=-+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭4.解四、1.解 []2cos 39，s t s =+L []22229cos 3,(9)9s s t t s s '-⎛⎫== ⎪++⎝⎭L 2222(2)9cos3,((2)9)ts e t t s -+-⎡⎤=⎣⎦++L 22245()(413)s s F s s s s +-=++2.解 []0222204(1cos 2)()2222＝＝j t j tj t j t e e f t e dt e dt j j j ωωωωωωωω--------+=-⎰⎰F ，[]24(1cos 2)()(2).j F f t e j ωωωω-=+=F3.解 21()(1)(2)21z f z z z z z ==-++++，在011z ||<+<内， 0211()2(1)(1),(1)111n n n f z z z z z +∞==-=-+-++++∑在12z <+<+∞内， 1200212111()2(2)122(2)(2)n n n n f z z z z z z z +∞+∞++===-=-=-++-++++∑∑。

五、解 2331111()1(1)(1)s s F s s s s s s ++==--+++，111231112!1()()()()112!(1)2tt f t e t e s s s ---=--=--++－－f L L L 六、解 令()[()]()F s f t s =L ，两边取Laplace 变换，得：2211()()1，s F s F s s s s--=+2221111()sin sin ,2122(1)＝＝（)()（)s d F s t s t t s ds s '⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭L L ()s i n 2。

t f t t = 七、证明 1100(sin )10(111,2,),由于,n n n x a dx x dx x n n <=≤=++=⎰⎰ 则当1,2,,时，n =11(1)(1)1有，n n n n n n a λλλ+≤≤+-又110n n λλ+∞=>∑当时，级数收敛， 因此级数1(1)nn n a +∞=-∑为绝对收敛。

一、单项选择 1.D 2.B 3.A 4.C 5.A二、填空 1. 0， 2. 0， 3.0(1)(1)n nn x +∞=--∑ 4. 1e -， 5. 22t ， 6. 1三、1.解1(1)(2)1lim lim 1,1(1)n nn n c n n R c n n λλ+→∞→∞++=====+，而1(1)(1)nn n n +∞=+±∑发散， 所以 0(1)1nn n n x +∞=+∑的收敛域为(-1,)，312(1)()1(1)nn n n x x n n x x xx x x +∞+∞+==''⎛⎫''+=== ⎪--⎝⎭∑∑。

2.解 22221112Res ,0Res ,12Res sin ,02046z 1)1)z z i i i i z z z z ππππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤++⎪⎪⎡⎤++=++=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭2分原式＝（（3.解 2Re 45ix e I dx x x +∞-∞++⎰1分＝，12()1245ize f z z i z z ==-+++在上半平面内有级极点，1222R es[(),2],(45)2iz iz i e e f z i z z i--=-+-+='++=121Re{2}cos2.2i e I i e i ππ---=⋅= 0112222Re ,0|1,Re ,1||0(1)(1)(1)z z z z z zz z z e e e e ze e s s z z z z z z z ==='⎡⎤⎡⎤⎛⎫-===== ⎪⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎝⎭4.解 222Re ,Re ,0Re ,11(1)(1)(1)z z z e e e s s s z z z z z z ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤∞=-+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭. 四、1.解 []2cos39s t s =+，L 222c o s 3,(2)9t s e t s -+⎡⎤=⎣⎦++L 2022c o s 3,[(2)9]t s e d s s τττ-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦++⎰L 32232222101626().[(2)9](413)s s s s F s s s s s s '⎛⎫++++=-= ⎪++++⎝⎭2.解 10(12)10(12)11()()()22j t j t f t t u t e t u t e -+--=+， 101110!()u t t s⎡⎤=⎣⎦，L []111110!11()2(12)(12)f t s j s j ⎡⎤=+⎢⎥+-++⎣⎦，L []111110!11()2(12)(12)f t j j j j ωω⎡⎤=+⎢⎥-+++⎣⎦，F 3.解 111()[]211f z z z =++-，在012z ||<+<内 2011111(1)()[]21(1)2212nn n z f z z z z +∞+=+=+=⋅-++-+∑，在21z <+<+∞内, 10111112()[]21(1)221(1)nn n f z z z z z +∞+==+=⋅+++-++∑. 五、解 221111()1(1)F s s s s s =-++++，1111.221111()()()()()11(1)t tf t t e te s s s s ----=-++=-++++－－f L L L L 六、解 令()[()]()F s f t s =L ，两边取Laplace 变换，得：222()()s F s F s s+=，2222211()2[],1(1)F s s s s s==-++ ()2(s i n f t t t =- 七、证1111|(1)|/1,n nn n n n n +∞+∞+∞===-==∑∑由于发散且，则1|(1)|nn +∞=-∑发散设11(),1,x f x x x +=> 则112ln 1()0,1x x x f x xx x +-+'=>>，故此数列单调减少，又0n =，所以级数1(1)nn +∞=-∑,因此级数1(1)nn +∞=-∑.一、单项选择 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D二、填空 1. 0， 2. 2(2)!n n x e n +∞=-∑， 3.1e -，4. 2，5. sin t ，6. 2三、1.解1(2)1lim lim 1,1(1)n nn n c n R c n λλ+→∞→∞+=====+， 而1(1)(1)nn n +∞=+±∑发散， 所以0(1)(1)0nn n x +∞=++∑的收敛域为(-2,)，210011(1)(1)((1))nn n n x n x x x x+∞+∞+=='+⎛⎫'++=+== ⎪-⎝⎭∑∑.2.解 33321221cos 2Res[,]02Res[,0]211(1)C Cz z z dz dz i i i z z z z z πππ++++-∞+----⎰⎰原式＝ ＝＝＝ 3.解 2Im 22ix e I dx x x +∞-∞++⎰1分＝，12()1122ize f z z i z z ==-+++在上半平面内有级极点,121R es[(),1]|,(22)2iz iz i e e f z i z z i--=-+-+='++= 11Im{2}sin1.2i e I i e i ππ---=⋅=- (说明：如果求留数时写成实函数的留数扣2分)0012222(1)Re [,0]()||2,Re [,1]|1(1)(1)(1)z z z z z zz z z e e e z e e e s s e z z z z z z z===-+'====-=-----4.解 222Re [,](Re [,0]Re [,1])2(1)(1)(1)z z ze e e s s s e z z z z z z ∞=-+=----.四、1.解[]22sin 24t s =+，L 22s i n 2,(1)4te t s -⎡⎤=⎣⎦++L []21(),[(1)4]f t s s =++L 2.解 (2)(2)11()()()22n j t n j t f t t u t e t u t e j j-+--=+， 1!()nn n u t t s +⎡⎤=⎣⎦，L []11!11()2(2)(2)n n n f t j s j s j ++=++-++[]，L []11!11()2(2)(2)n n n f t j j j j j ωω++=+-+++[]F . 3.解 在022z ||<-<内,12100111(2)(1)()()((1))(2)2222(2)22n n n n n n n n z n f z z z z z ++∞+∞-+==--''=-⋅=--=---+-∑∑, 在2z <<+∞内,23301112()12/(2)nn n f z z z z z z +∞+===⋅=--∑. 五、解 2222222221)1111()(212(1)(1)s s s s F s s s s s ++-==-++++，1111()(())sin cos sin .222f t F s t t t t t -==++f L 六、解 令()[()]()Y s y t s =L ，两边取Laplace 变换，得：221()()1ss Y s Y s s s +=++，22222211(),1(1)(1)(1)s s sY s s s s s s s =+=-+++++ 1()1c o s s i n .2f t t t t =-+ 七、证11sin()(1)nn n +∞+∞===-∑∑由于(),2n nπ→∞12n nπ∞=∑发散，则1|(1)|n n +∞=-∑发散.又sinlim 0n →∞=,且,则级数1(1)n n +∞=-∑收敛, 因此原级数为条件收敛.。