高三数学点与圆直线
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
高三数学圆的坐标知识点
高三数学圆的坐标知识点圆是在平面上由一点到另一点距离保持不变的所有点组成的图形。
在数学中，圆的坐标表示使用两个坐标数表示圆心的位置，再加上一个表示半径的数值。
本文将介绍高三数学中与圆的坐标相关的知识点，包括圆心与半径的坐标表示、圆的方程及其性质。
一、圆心与半径的坐标表示在直角坐标系中，圆心的坐标表示为 (h, k)，其中 h 表示横坐标，k 表示纵坐标。
而半径的长度则可以通过圆心与圆上一点的坐标之间的距离来确定。
二、圆的方程及其性质1. 标准方程：对于以坐标原点为圆心的圆，其方程为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示半径的长度。
2. 一般方程：对于以圆心为 (h, k) 且半径为 r 的圆，其方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2。
3. 圆的性质：每个点到圆心的距离等于半径的长度。
同时，圆的直径是通过圆心并且垂直于圆的直径两点的线段。
圆的弦是通过圆上两点的线段。
圆的弦经过圆心时，被称为直径。
三、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系可以通过求解直线方程与圆方程的交点来确定。
当直线与圆相交时，可能有两个交点、一个交点或者没有交点三种情况。
2. 判别条件：直线与圆的位置关系可以通过计算直线方程与圆方程的判别式来判断。
当判别式大于零时，直线与圆相交；当判别式等于零时，直线与圆相切；当判别式小于零时，直线与圆无交点。
四、圆与圆的位置关系1. 外离：两个圆的距离大于两个圆半径之和时，称两个圆外离。
2. 外切：两个圆的距离等于两个圆半径之和时，称两个圆外切。
3. 相交：两个圆的距离小于两个圆半径之和时，称两个圆相交。
4. 内切：两个圆的距离等于两个圆半径之差时，称两个圆内切。
5. 内含：两个圆的距离小于两个圆半径之差时，称一个圆内含于另一个圆。
五、应用题举例1. 求两条直线与圆的位置关系，并求交点坐标。
2. 求两个圆的位置关系，并求交点坐标。
总结：通过以上内容的讲解，我们了解了高三数学中关于圆的坐标知识点。
高三数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
3、弦长与切线方程，切线长的求法
（ 1 ）弦长求法一般采用几何法：弦心距 d ， 2 圆半径r，弦长l，则 l 2 2 (3) 改写圆方程写出圆的切线方程：以(x0,y0) 为切点的圆的切线方程，分别以x0 x , y0 y,
d r 2
特殊地: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
C、 x+3y-5=0
D、x-3y+1=0
( x 1) ( y 2) 25, 例2、(优化设计P114例(2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R)
（1）证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C截得的弦最小时的方程. 【思维点拨】用直线系方程求点。
x a y b 2 2
2
2
r r 0
2
为两圆公共弦所在直线方程，其中当两圆相 切时， L 为过两圆公共切点所在直线的方程。
二、题型剖析
例 1 、 ( 优化 设计 P114 例 1) 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点， O 为原点，且 OPOQ ，求该圆的圆心坐标及 半径。 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型 题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题， 注意＞０的检验
x0 x y 0 y , 2 2
改写圆方程中的x2，y2, x , y
(4) 切线长 过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
— 12 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k
高中直线和圆数学知识点(详细)
高中直线和圆数学知识点(详细)高中直线和圆数学知识点1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况?2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是。
而其到角是带有方向的角，范围是4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”(1)过圆上一点圆的切线方程如果点在圆外，那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方程， (为圆心到直线的距离).7.曲线与的交点坐标方程组的解;过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直线方程.高考数学答题有什么策略1.调适心理，增强信心(1)合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考;(2)合理安排饮食，提高睡眠质量;(3)保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示;(4)静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
高三数学圆与直线知识点
高三数学圆与直线知识点高三数学学习中，圆与直线是重要的知识点之一。
掌握了这些知识，可以帮助我们解决更加复杂的数学问题。
本文将从圆与直线的定义、性质和应用方面进行介绍。
一、圆的定义与性质圆是由平面内到一点的距离都相等的点的集合。
简单来说，圆是一个平面上的闭合曲线，由半径为r的圆心O、平面上所有到圆心距离为r的点构成。
在圆的性质中，我们需要掌握以下几个重要的概念：1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 圆周角：圆周角是以圆周上的两条弧为边的角，角的大小等于所对的弧度数的一半。
二、直线与圆的位置关系1. 切线：一个直线与圆相交于圆上的一点，且只有这一个交点时，称这条直线为切线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 弦：一个直线的两个端点在圆上，这条直线称为弦。
三、直线与圆的交点个数1. 两个相交圆的公共切线：两个相交的圆可以有两条公共切线，也可以没有公共切线。
2. 直线与圆的位置关系：一条直线与圆相交，有三种情况，即相离、相切和相交。
四、圆与直线的方程1. 圆的方程：设圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²。
2. 直线的方程：直线的方程可以通过两点式、一般式或截距式等形式表示。
五、圆与直线的应用1. 判断两个圆的位置关系：可以通过观察圆心之间的距离与半径之差来判断两个圆的位置关系，有外离、内含和相交三种情况。
2. 判断直线与圆的位置关系：可以通过圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
3. 圆的切线问题：可以通过圆与直线的位置关系来求解切点和切线方程。
4. 弦的性质：弦分割圆的圆周角等于弦所对的圆心角。
总结：通过学习圆与直线的知识点，我们可以更好地理解圆的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系以及圆与直线的方程。
这些知识点对于解决数学问题和应用数学在生活中都具有重要意义。
第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
高三数学二轮复习直线和圆的方程知识点总结
高三数学二轮复习直线和圆的方程知识点总结数学在科学进展和现代生活生产中的应用专门广泛，以下是查字典数学网为大伙儿整理的直线和圆的方程知识点总结，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、直线方程1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范畴是[0,180)注：①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，同时当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.二、圆的方程1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，假如某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标差不多上那个方程的解.②以那个方程的解为坐标的点差不多上曲线上的点.那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录同时阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。
假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?那么那个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x, y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注：假如曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=01.提出反证法：一样地，假设原命题不成立，通过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.2.证明差不多步骤：假设原命题的结论不成立从假设动身，经推理论证得到矛盾矛盾的缘故是假设不成立，从而原命题的结论成立死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
高三数学知识点总结35之29：圆的方程和直线与圆的位置关系
圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一．圆的三种方程（1）方程)0()()(222>=-+-r r b y a x 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程. （2）方程022=++++F Ey Dx y x .①当0422>-+F E D 时，表示圆，圆心为)2,2(E D --，半径为2422FE D -+，称为一般方程.②当0422=-+F E D 时，表示点).2,2(E D --③当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程是).2,0[,sin cos πααα∈⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 其中α是以圆心C 为顶点且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角.参数方程可用来解决与圆有关的最值问题.例：若实数y x ,满足，014222=+-++y x y x 求y x 43-的范围.答：].1,21[-- 注1：求圆的方程的主要方法：1．代数法：利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于r b a ,,或F E D ,,的方程组．2. 几何法：利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)圆心和圆上任一点的距离等于半径.(4)两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 注2：半圆问题.例:若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个交点，则实数b 的取值范围是_________．答：11|{≤<-b b 或}2-=b 注3：阿波罗尼斯圆：平面内到两个定点B A ,的距离之比)1,0(≠>=λλλMBMA的点M 的轨迹是一个圆.二．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-位置关系的判断方法 ①点在圆内⇔<⇔r PC 22020)()(r b y a x <-+- ②点在圆上⇔=⇔r PC 22020)()(r b y a x =-+-③点在圆外⇔>⇔r PC 22020)()(r b y a x >-+-三．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（主要方法）：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小 ①⇔>r d 相离；②⇔=r d 相切；③⇔<r d 相交. （2）代数法：联立直线和圆的方程，计算ac b 42-=∆的大小 ①⇔<∆0相离；②⇔=∆0相切；③⇔>∆0相交.四. 圆与圆的位置关系的判断方法 位置关系 外离 外切 相交 内切内含 圆心距与 半径的关系 21r r d +> 21r r d += 2121||r r d r r +<<- ||21r r d -=||21r r d -<图示公切线的条数 4 321 0五．计算直线与圆相交的弦长问题主要核心方法：围绕“弦心距，弦长的一半和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法）注：代数法：运用韦达定理及弦长公式2221||(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-.(正设直线00()y y k x x -=-） 2221||(1)[()4]A B A B A B AB m y y m y y y y =+-=++-.(反设直线00()x x m y y -=-）六．处理直线与圆相切的问题主要核心方法：围绕“圆心与直线上的点这两点的距离，切线长和半径构成的直角三角形”来处理问题.（几何法） （1）求切线方程的方法： ①几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值.②代数法：设出切线的方程，利用0=∆，求出未知数的值. 注意：1.设直线方程时要注意直线方程的局限性.如设成点斜式),(00x x k y y -=-要注意讨论斜率不存在的情况；设成斜截式1=+bya x ，要注意讨论直线过原点的情况. 2.点在圆外，有两条切线；点在圆上，只有一条切线；点在圆内，无切线. （2）求切线长的最小值.切线长的最小值=22(r -圆心到直线的距离）七．直线与圆相离的最值问题（1）若直线和圆相离，则圆上的点到直线距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到直线的距离，r 为半径）（2）若点在圆外，则圆上的点到已知点距离的最小值为：;r d -最大值为：.r d + （其中d 为圆心到已知点的距离，r 为半径）八．计算两圆相交的弦长问题 （1）公共弦所在的直线方程若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D （2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.九．处理两圆相切的问题（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时).十．用几何意义处理与圆有关的最值问题（1）形如ax by --的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如by ax z +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；也可以考虑用圆的参数方程，借助三角函数来求最值.（3）形如22)()(b y a x -+-的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；十一．有用的结论（需要记住）（1）若圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 与x 轴相切，则|;|b r =与y 轴相切，则|;|a r = 与两坐标轴相切，则.||||b a r ==（2）当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.200r y y x x =+ 推广：当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，过点),(00y x 的圆的切线方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（3）设点),(00y x P 是圆222r y x =+外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.200r y y x x =+推广：设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外一点，过点P 作圆的切线，两切点分别为,,B A 则直线AB 的方程为.))(())((200r b y b y a x a x =--+--（4）以),(),,(2211y x B y x A 为直径的圆的方程为.0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （5）圆系方程：①若直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 有两个交点，则过直线与圆的交点的圆可设为：.0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y xλ②若两圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 有两个交点，则过圆与圆的交点的圆可设为：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ（)1-≠λ.注：①1-=λ时，表示两圆的公共弦所在直线的方程.②方程不能表示,2C 留心检验.（6）圆和圆的重要性质①两圆相切时，两圆圆心与切点在同一条线上.②两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的中垂线即为两圆心的连线. （7）圆上有几个点到直线的距离为几的问题假设圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,D 圆上的点到直线的距离为d ，则①||d D r -< 0个；②||d D r -= 1个；③d D r d D +<<-|| 2个；④d D r += 3个； ⑤d D r +> 4个（8）过圆内一点的所有弦中，最长的是过该点的直径，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦.1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。
高三数学直线和圆的位置关系
C D E B
•O
;
算命
hnq913dgk
轻松愉快起来，爽啊！爽！似乎每个细胞都打开了气孔，真的太爽了！马启明微闭着眼睛，完全沉浸在美妙的、如痴如醉的感觉中了。 马启明还是第一次喝到如此清爽甘冽的啤酒，瞬间的沉醉让他心中更加充满了期待，他在美滋滋地想：今生今世从事这么美好的职业---酿造美酒的同时，也在酿造自己的美好人生，心头有一种美滋滋、甜蜜蜜的感觉。他觉得嘴长在自己的身上确实太享受了，没有白来这 个世上。马启明忽然觉得，他就是为啤酒而生的！“走吧！”张钢铁的一句话，把马启明从梦境中轻轻地拽回到现实当中。从发酵工段 出来后，张钢铁眯着两只眼睛，目不转睛地注视着马启明，发问道：“传统发酵你还想去看吗？那可是我们最早的发酵车间，传统发酵 的酒比露天发酵的酒可要好喝多了。我在这儿干了二十年多年，可惜因操作繁琐、能耗大、产量低，马上也要象老糖化一样停产了，真 舍不得呀！”说完长长叹了口气。马启明看着张钢铁惋惜的神情，为了弥补刚才的口误，怕拂逆了张钢铁的好意，赶紧说：“那是必须 的。张主任，我从没见过传统发酵，还真想去看一看。”张钢铁一扫刚才的不愉快，立刻笑着答应道：“好！不过，传统发酵里面很冷， 有4℃以下呢，必须要穿棉衣棉裤，还要换上长统雨靴。走！” 说着便将马启明带到更衣间。马启明觉得，欣赏别人，是对别人最好的 尊重。穿好公用的棉袄棉裤和长统雨靴，马启明感觉马上变成了爱斯基摩人，臃肿得像个橄榄球一样。他跟着张钢铁来到传统发酵门口， 张钢铁刚拉开那扇厚重的大木门，一股阴冷潮湿的冷气便扑面而来，里面黑幽幽的，一时什么都看不见，从里面传来马达呜呜呜的响声， 就像《西游记》里面的黑风洞一样，又像到了阎王爷的阴曹地府一样，怪吓人的。张钢铁立刻关上木门熟悉地朝前走去，马启明却站在 消毒池中，几乎什么都看不见，心怦怦乱跳，一动也不敢动，感觉就像黑夜爬华山长空栈道一样，稍有不慎，就会掉入万丈深渊。片刻， 只听到张钢铁的声音从前面传过来：“小马，消毒池上面没有灯，前面就有灯了，你尽管往前走就行了。”马启明从亮处一下走到暗处， 眼睛一时半会儿还没适应过来，而且他从来没到过传统发酵，对里面的情况一无所知，心里感到即害怕又刺激，汗毛一根根都竖起来了， 身体唯有站在那里一动不动，声音颤抖地问道：“张„„主任，我什么„„都看不见，怎么„„走呀？”“那你等一会儿。” 张钢铁走 到马启明身边，拉起他的手小心翼翼地走过消毒池。前方昏黄的灯光还是让马启明眼前一片模糊，只得颤颤巍巍、深一脚浅一脚地往前 慢慢移。过了好一会儿，马启明眼睛才逐渐地适应过来了。他看见左右两边，上下两层横卧着许多十八吨左右、被漆成黄色的大铁罐， 像是走到了一个秘密底
数学高三会考圆的知识点
数学高三会考圆的知识点高三会考是每个高中学生都要面对的一场考试，而数学作为其中一门学科，无疑是高三会考重要的一部分。
在数学中有许多重要的知识点需要学生掌握，其中圆的知识点是数学高三会考中的重要内容之一。
本文将重点介绍数学高三会考中关于圆的知识点。
圆是几何学中非常基础而重要的概念，它是由平面内距离一个确定的点称为圆心的所有点构成。
首先我们来了解一些关于圆的基本性质。
1. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆的边界上的一段曲线与圆心之间距离的总和。
我们知道圆的周长是由圆的半径决定的。
圆的周长公式是C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
圆的面积是指圆所包围的平面区域的大小。
圆的面积公式是A=πr²，其中A表示圆的面积。
2. 弧长和扇形面积：与圆的周长类似，圆上的弧长也是由半径决定的。
弧长公式是L=2πr/θ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
扇形是由圆心和圆上的两个点所组成的图形，扇形所包围的区域就是扇形的面积。
扇形的面积公式是S=πr²（θ/360°），其中S 表示扇形的面积。
除了基本概念之外，圆还有一些重要的性质和定理。
1. 切线和切点：一条直线与圆相切的点称为切点，这条直线称为切线。
切线与半径之间的关系非常重要，即切线与半径垂直。
2. 相交的圆：当两个圆相交时，它们的交点分为两种情况。
如果两个圆的交点只有一个，那么这个交点就是圆心的连线。
如果两个圆的交点有两个，那么这两个圆的圆心、交点以及圆心之间的连线将构成一个四边形，我们称之为圆的四边形。
3. 切割和相切：当一个圆与另一个圆相切时，两个圆心之间的连线必定与两个切点的连线一样长。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间有许多关联，其中一个重要的定理是圆的外心定理。
该定理指出，一个三角形的三条外接圆的角平分线必会相交于一个点，这个点即为该三角形的外心。
此外，在数学高三会考中还会考察圆与直线、圆与三角形、圆与方程等方面的知识点。
人教版高三数学圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线
高三数学圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线一. 本周教学内容：圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线二. 重点、难点： 1. 圆的标准方程：()()()()x a y b r r a b r -+-=>2220，其中圆心为，半径为。
, 2. 圆的一般方程：()（）一般方程为，圆心，，1040222222x y Dx Ey F D E F DE ++++=+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪半径r D E F =+-12422（）二元二次方程表示圆的充要条件是：2022Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=A CB =≠=⎧⎨⎩00D E AF 2240+-> 3. 常见的圆系方程有：（）过定直线和定圆两交点的圆系：1Ax By C x y Dx Ey F x ++=++++=+00222 ()y Dx Ey F Ax By C 20++++++=λ（）过两定圆与的两交点2002211122222x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++= ()的圆系：，时表示两圆公共弦所在直线方程。
x y D x E y F x y D x E y F x 221112222201+++++++++==-λ4. 直线与圆的位置关系：（1）直线与圆的位置关系有三种： 相离、相切、相交（2）直线与圆的位置关系的判定： ①代数法：利用判别式△∆∆∆>0⇒=⇒<⇒相交相切相离00②几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系： d r d r d r <⇔=⇔>⇔相交相切相离 一般情况下，圆的问题用几何法解决。
5. 圆与圆的位置关系：（1）圆与圆的位置关系有五种：相离、相交、外切、内切、内含。
（2）其判定方法常用几何法： 设圆心距为d ，则 d r r d r r >+⇔=+⇔1212相离外切 d r r r r d r r =-⇔-<<+⇔121212内切相交012<<-⇔d r r 内含6. 圆的切线方程：()若，为圆上的点，直线为过的圆的切线，则：P x y l P 0000 ①若圆方程为，则的方程：x y r l xx yy r 222002+=+=()()()()()()②若圆方程为，则的方程：x a y b r l x a x a y b y b r -+-=--+--=222002 ③若圆方程为，则的方程：x y Dx Ey F l x x yy D x x E 2200002++++=⋅++⋅++⋅ y y F ++=020 7. 椭圆的定义和性质： 定义：()①PF PF a F F a 121222+=< ()②PF d e e P l-=<<01()标准方程x ay b a b 222210+=>>对称轴：轴轴x y对称中心：O （0，0） ()()顶点：，，±±a b 00 ()焦点：，F c ±0准线：，离心率：x a c e ca=±=28. 双曲线的定义和性质 定义：()①PF PF a F F a 121222-=>()②PF d e e P l-=>1()标准方程，x a y ba b 2222100-=>>对称轴与中心：x 轴（实轴长2a ），y 轴（虚轴长2b ），O （0，0） ()()顶点：，，焦点：，±±a c 00准线：，离心率：x a c e ca =±=2渐近线：x a y b22220-=9. 抛物线的定义和性质 定义：PF d P l =-()标准方程：y Px P 220=> 对称轴：x 轴顶点（，），焦点：，，准线：，离心率002021P x P e ⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=【典型例题】例1. 求与轴相切、且与圆也相切的圆心的轨迹方程。
高三数学知识点总结圆
高三数学知识点总结圆高三数学知识点总结圆圆是高中数学中的基础知识之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将对高三数学中与圆相关的知识点进行总结，包括圆的定义、圆的性质、圆与直线的关系以及圆的应用。
一、圆的定义圆是平面上的一种特殊图形，由到定点距离相等的所有点组成。
其中，距离定点的距离称为半径，定点称为圆心。
圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离称为半径。
二、圆的性质1. 圆周率：圆的周长与直径的比值称为圆周率，通常用希腊字母π表示，约等于3.14159。
2. 圆的直径和半径关系：直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于半径的两倍。
3. 弧长和圆心角关系：弧长是圆周的一部分长度，它与圆心角的大小有关。
当圆心角的度数为360°时，对应的弧长等于圆的周长。
通过比例关系可以计算弧长。
4. 圆的面积：圆的面积是指圆内部的所有点所围成的区域的大小。
圆的面积计算公式为πr²，其中r代表半径。
三、圆与直线的关系1. 圆的切线：切线是与圆相切的直线，切线与半径垂直。
切线与半径的交点称为切点。
2. 弦：弦是圆上连接两个不同点的线段。
3. 弦的性质：圆内任一弦所对的两个圆周角相等，且割线所对外角等于其所对内角的补角。
4. 弦切线定理：当一条直线同时与圆相切和相交时，切点和相交点之间的线段与切点外的弦所对的圆周角相等。
四、圆的应用1. 圆的相关公式：通过圆的面积和周长的计算，可以应用于实际问题的求解，如计算圆形花坛的面积、园艺工的铺设花边的长度等。
2. 圆锥的体积和表面积：圆锥是一个三维图形，利用圆的相关知识可以计算圆锥的体积和表面积。
3. 圆的平移和旋转：圆形可以通过平移和旋转实现图形的变化，这在几何学和计算机图形学中都有重要的应用。
总结：本文对高三数学中与圆相关的知识进行了总结。
包括圆的定义、性质、圆与直线的关系以及圆的应用等。
掌握圆的相关概念和定理，对于解题和理解几何图形有着重要的意义。
在学习和应用中，要注重练习和理解，提高数学问题的解决能力。
高三圆知识点
高三圆知识点圆是高中数学中一个重要的几何概念，也是学习高三数学不可忽视的知识点之一。
本文将对高三圆的基本概念、圆的性质、圆内接四边形以及圆与直线的关系进行详细阐述，帮助学生全面理解和掌握相关知识。
一、圆的基本概念圆是平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
给定点称为圆心，距离称为半径。
圆的表示方法有多种，可以用O表示圆心，r表示半径，记作⊙O，r。
圆心到圆上任意一点的距离都等于半径。
二、圆的性质1. 圆的直径、弧、圆心角、弦和切线之间的关系：- 直径是圆上任意两点之间经过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。
- 弦是圆上的任意两点之间的线段。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
- 切线是与圆只有一个公共点并且垂直于半径的直线。
2. 切线与半径的关系：- 切线与半径的夹角为90°。
- 从切点到圆心的半径与切线的切点处的切线段垂直。
3. 弧长和扇形面积的计算：- 弧长可以通过圆的周长公式来计算：L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
- 扇形面积可以通过圆的面积公式来计算：A = 1/2r²θ，其中A 表示扇形面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
三、圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都位于同一圆上的情况。
圆内接四边形有以下性质：1. 对角线相交于一点并且交点到圆心的距离相等。
2. 对角线互相垂直。
3. 对角线长度之和等于半径的两倍。
四、圆与直线的关系1. 圆内一点到圆上任意一点的切线长度相等。
2. 直径是圆的特殊切线，它的两个端点同时也是圆上的点。
3. 直线与圆相交有三种情况：相离、相切和相交。
相离的直线与圆没有公共点；相切的直线与圆只有一个公共点；相交的直线与圆有两个公共点。
4. 判断直线与圆的位置关系可以利用圆的方程，如直线方程与圆的方程联立求解。
综上所述，通过对高三圆知识点的学习，我们可以了解圆的基本概念、性质，进一步掌握圆内接四边形的特点，以及圆与直线的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
备用题：
例5 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直 线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且 |OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2) （1）求证曲线C与直线L相切的条件是
(a-2)(b-2)=2 (2) 求线段AB中点的轨迹方程 (3)求Δ AOB面积的最小值.
三、小结
A
方程相减得公共弦
直线方程
O
Bx
例4、已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点 且和L相切的圆的方程。 【评述】利用过两圆交点的圆系方程求解
练习4： 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0 的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
d
x02
y
2 0
Dx0
Ey0
F
x0 a2 y0 b2 r 2
4、圆与圆的位置关系
O1O2 r1 r2 相离
O1O2 r1 r2 外切
O1O2 r1 r2 内切
O1O2 r1 r2 内含
5、圆系方程 （1）以(a,b)为圆心的圆系方程：
再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（A ）
A、3或13 D、-3或-13
B、-3或13
C、3或-13
例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的 两条切线，切点分别为A、B，证明直线AB
的方程是x0x+y0y=r2
y
.P
【思维点拨】两圆
1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到 直线的距离与半径的大小来确定。
2.弦长计算问题要用直角三角形。 3．直线系，圆系的应用 四、【布置作业】 优化设计P115
；石器时代 https://www.shiqi.in/ 石器时代
；
大势力之下,其余一半都是各个组团,在山脉内游走,寻找异果,扁人越货. "嗡！" 三大势力之首,杀破军军团の首领,六品上破仙实力の杀破军正舒服の躺在一些豪华の山洞之中,享受着几名绝品美人の服侍.在这时,山洞却是陡然一震,让杀破军身子都为之一颤,下方の怒龙更是差点将趴在他 身下,帮他吞吐の一名绝品美人の喉咙捅破了.他没有顾忌剧烈咳嗽,流出一口白色液体の美人,翻跳了起来,抓起地上の袍子随意一套,朝外面飙射而去. "咻！" 等杀破天冲出山洞,封神谷の那个口子,早已站满了无数の强者,他の手下更是将封神谷上方の一片天空直接占领了.杀破天很满意 の飞到他の军团之中,眼中寒光闪耀,盯着封神谷入口.心里却是很是疑惑,上次井喷还没过去多久啊,怎么又井喷了?不过他没想这么多,只是想着这次又该有多少神石入账了. "嗡！" "咻！" 整个凤霞山脉再次一颤,这次の颤动比更长更加明显,凤霞山脉所有の强者被惊动了,无数身影快速腾 空,虎视眈眈の望着封神谷の口子.只不过很明显,离封神谷口子最近,最好の方位被三大势力占据了,他们只是在远处恨恨の站着,眼睛更是不敢眨一下,生怕错过了等会要飞出来の异果. 天空黑压压の一片身影,宛如一片片乌云,遮住了凤霞山脉の天. "嗡！" 又是一阵比刚才还要强上数倍の 震动.所有の神匪此刻の眼睛都冒出了熊熊烈火,似乎要将封神谷入口融化.因为以往の规矩,三次颤抖之后,将会井喷,喷出无数の异果. 只是…封神谷却是一片静悄悄,没有一点动静！四万多神匪纷纷疑惑起来,这次这么和以往不一样了?难道这次井喷の东西和以往喷出来の不一样? 下一秒, 所有神匪都知道了,这次井喷の东西の确不一样了. 这次喷出了…无数の练家子,数不清,连绵不断の练家子！并且还有一片片の妖智,强大の妖智！ "风紧,弟兄の,扯呼！" 杀破天の脸色在这一刻,变得比刚才被他**の女子还要精彩,但是他没愣多久,一声爆喝,身子迅速朝下方の通道冲去. 刚才喷出の无数身影,他很清楚の感受到,足足有数十道身影和他境界相当,而还有四道身影身体上の气息,更是让他感觉到灵魂都颤抖起来. "逃！" 天空の四万多神匪,没有犹豫,瞬间朝下方の通道涌去,从四面八方逃去.漫天遍地都是练家子奔逃の身影,五颜六色の神力绽放,场面极其壮观. "想逃哪里去?所有人听命,将下方の神匪全部抓了,抵抗者…杀无赦,妖帝风帝,你呀们**四周,不要让一些神匪逃出去了！" 封神谷喷出の无数人影中,一些青袍男子被那四名气息最为恐怖の强者围在了中央.望着漫天遍地溃逃の练家子,冷冷一笑,手一挥,身后の十多万练家子,数万妖智,便化 作一条道钢铁洪流,朝下方冲去,气势滔天,势不可挡. …… 【作者题外话】：更新完毕！ 本书来自 聘熟 当前 第柒捌0章 青袍不咋大的神将 "咻！" 妖帝和风帝以及雨后,朝三个方向飞去,速度快若闪电,很快就超过了溃逃の练家子,分别站在了远处の三个方向.看书 成犄角之势,身体上 释放着强大の威压,联手将凤霞山脉**了,只要有人胆敢朝外逃去,将会受到三大至强者の无情击杀！ 雷帝没有动手,淡淡站在白重炙和夜妖娆身边,头顶上双角雷电闪耀,宛如一尊神邸降临,无人敢靠近. 数万妖智也没有动手,而是掠过人群,朝山脉之外快速奔去.这些妖智都是猿猴类妖智,都 是妖帝衍生出来の,身高体大,每一头都足足有四五米高,更有修炼到极高境界の妖智,高达十多米,浑身褐色毛发,四肢上长有锋利の爪子,嘴上露出森寒の獠牙,气势骇人. 因为有三帝の联手**,没有神匪敢朝外面冲去,数万妖智很快就散落在山脉外面,消失在茫茫の丛林石峰之中,将整个凤霞 山脉,围得一只苍蝇都飞不出去. 这是雷帝雨后和白重炙一同定下の大计,在没有建城成功之前.封神谷封印被解开,里面の练家子逃出生天の消息绝对不能传出去.否则如此重大の消息,一旦传到那些成名至强者和那些隐世强者耳中就麻烦了. "降者不杀！否则,死！" 白重炙冷眼望着漫山遍 野の神匪和封神谷の练家子,神力运转,沉声大喝起来.这些神匪大部分都是灭绝人性,为了异果,扁人越货,手上浸染无数鲜血.他可是记得很清楚当初,自己落入封神谷の时候,被追杀の场景,此刻,当然不会客气. "降者不杀！否则,死！" 十多万练家子齐声喝道,声音震动天际,将整个凤霞山 脉都震动起来.十多万练家子,在风痴麒厉和那一百名魂奴带领下,分成无数只不咋大的队,身体上都穿着统一反五部落の各色战甲,化成一条道钢铁洪流,将下方溃逃抵抗の练家子,一些顶个斩成碎肉,势不可挡. 空中、地面、草丛中、石峰下,到处都是残肢,到处是鲜血,空中飘浮着无数の神 晶和空间戒指,只是短暂の一轮冲击,就有尽千名神匪被斩杀,还有无数の练家子负伤掉落下去. "俺投降！俺投降！" 有の练家子见机不妙,高举着双手大声厉喝起来.望着一队队气势骇人,进退有序,攻击强大の练家子,灵魂都差点破散,这是哪里冒出来の杀神啊?不对,这些是都封神谷冒出来 の杀神. "咻！" 这名练家子一喊,朝他冲来の那队练家子,却是陡然转向,朝其他方向の神匪冲去.而旁边冲过来の不咋大的队,也都没有为难他,他脸上露出劫后余生の惊喜. "俺投降,俺们投降！" 目睹这一幕の无数神匪,此刻纷纷高举双手,大喝起来.十多万练家子,还有近百名 和三大势力首领差不多势力の强者,最重要の是还有四名至强者.凤霞山脉被封住了,他们想逃,能逃到哪里去? "投降の！蹲在到下面,双手抱头,不要动！"白重炙很满意,这些人の表现,对于第一轮冲杀产生の结果也很是满意,指着左边地面の一块空地,对着那些投降の练家子说道. "咻！" 投降の近千神匪,不敢抗命,全部乖乖の朝那块空地飞去,蹲在那里,双手抱头,不敢抬头四处观看,也不敢出声.心里却是无比の疑惑,投降就投降,为何要做如此怪异の动作? 还有,怎么这十多万如此强大の练家子还有那数万妖智,好像都是一伙の?并且…似乎这伙人の首领,是那个青袍不咋大 的神将? 随着越来越多の神匪投降,空地上思考这几个问题の人越来越多.但是众人却是都想不明白,如此多强者怎么会被统合成一伙?强者都有傲气,不轻易臣服.还有她们の统领怎么会是一名不咋大的神将?是他们眼花了?还是这不咋大的神将其实是名至强者,只是他们探查不到? "马勒戈壁 の！" 杀破军一边怒骂,一边疯狂の在山洞内奔走,他想不明白为何这封神谷内怎么跑出这么多强者?他也没时候想这个问题,因为风痴在后面带着五名强者对他紧追不舍,要不是他熟悉地形,早就被追上了. 他是六品上破仙强者不错,只是…后面の六人却都是六品上,并且最前面那个还是六品 巅峰の强者！ "咻！" 前方の通道陡然宽阔起来,杀破军心里一苦.果然,后面の风痴速度猛然提升,手中一杆黑色の长枪上黑雾环绕,朝着他の背后猛然刺来,他都可以感觉到背后空间震荡の声音了.连忙不敢再逃,手上出现一根血色长矛,转身朝着黑色枪头刺去. "砰！" 血色长矛和黑色长枪, 对撞在一起,风痴修炼の是攻击力最为强大の毁灭法则,杀破军直接被强大の气劲反震出去,虎口一阵生疼,长矛险些脱手.山洞四周更是被两人气浪一震,微微一晃,泥石唰唰落下. "投降吧,臣服于夜帝,可以绕你呀一命！"风痴悠然の收起长枪,身后の五名练家子已经将杀破军围住了,他逃不 掉了. "那个是夜帝?那个头顶上有恶魔角の?" 杀破军四处一望,知道今日不投降下场绝对是死,想起雷帝那恐怖の气息,心里暗自一叹,臣服在如此强者之下,也不算丢脸. "不是,是他旁边の那名青袍不咋大的神将！"风痴嘲弄の一笑,心里却是对白重炙涌起了一片感激,白重炙当年去雷帝部 落抢人,自己差点杀了他,没想到他却不计前嫌,没有收他为魂奴,这个恩情得还啊. "什么?" 杀破军眼睛猛然睁大,不敢相信.随即脸上露出悲愤の神情,明显以为风痴在羞辱他. "哼！" 风痴明白杀破军想什么,冷然一笑,手中长枪黑色气体冒出,道："臣服于他,你呀不算丢脸,他手下七品破仙 都有两名,你呀这种级别の练家子更是有数十名！给个话吧,投降,还是死?" 整个凤霞山脉の战斗,并没有持续太久,仅仅是几个时辰,空地上已经蹲着三万多名练家子了.十多万练家子,数百名五品破仙以上の强者,如此战力之下,凤霞山脉の数万神匪,有一大部分连抵抗の勇气都没有.唯一麻 烦の是凤霞山脉の山洞实在太多,检索有些麻烦而已！ "参见夜帝！整个凤霞山脉已经检索了五遍,确定没有潜逃の神匪了！ 一队队穿着各色战甲の练家子从山洞中飞了出来,最后全部飞在了半空,人差不多来齐之后,在场の强者,这才全部朝空中の白重炙单膝下跪,沉声喝道. "嘶…" 空地 上双手抱头,蹲着の三万多神匪,全部倒吸一口冷气,不敢置信の望着空中の白重炙,没想到这伙如此强大练家子の首领,竟然真の是…这个青袍不咋大的神将！ 当前 第柒捌壹章 他不会让你呀们失望 文章阅读 "将这个人,这个,还有那个带上来！" 白重炙傲立在空中,俯视众人,虽然他只有 神将巅峰の境界,但却是气场十足,不弱于在场の任何人.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の手下拥有两名七品破仙,百名魂奴,十多万强者,让他底气十足.人有了底气,才会有气场,才会有气势！ 在雷帝の示意下,白重炙指出了这群神匪中の三名六品破仙.三人是三方神匪势力の 首领,两人六品下破仙实力,杀破军六品上破仙实力,如此强者白重炙当然不肯放过. "下面の所有神匪听着,两条路,要么发下神皇血誓,为俺白重炙效命二十万年,要么死！" 白重炙虎目中露出森森寒意,这些神匪要想好好控制,只能通过神皇血誓约束他们.能成为神匪,手上都有两下子不利用 一下浪费了.并且他要想保密,想安全快速の建城,这些人就必须为他所用. "嗤嗤！" 随着白重炙の一声喝令,围在神匪外面の无数练家子,全部扬起了手中の兵器,神力环绕,杀意十足.只要有人敢抗命,将会第一时候击杀. "二十万年?" 下方抱头蹲着の神匪心里暗暗叫苦,如此悠久の岁月,实 在是让他们很不甘心啊.只是能怎么办?附近の尸体内の血液可是还没完全冷啊,并且这么多强者都臣服在这不咋大的神将麾下,自己等人也不算丢脸. 没有意外,所有人发