2.2正则与退化的二阶张量

[T ] = [T ]
1
1
det T
( )
1
1 = detT
1 T
(T )
1 1
=T
(T ) = (T )
T 1
对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 满射性 对于正则的二阶张量 对于任意矢量 所做的线性 变换Tu=w，必存在唯一的逆变换，使T -1u=w。 变换 ，必存在唯一的逆变换， 。
（3）正则的二阶张量 映射的满射性 ）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 对于正则的二阶张量 ， 阶张量T 阶张量 -1，使
T T 1 = T 1 T = G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 称为正则的二阶张量的逆 的二阶张量。 的二阶张量。可证
张量分析 及连续介质力学
2.2 正则与退化的二阶张量来自百度文库
2.2.1 关于映射的几个定理
任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 定理 任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集. 关的矢量集 证明 设矢量集 设矢量集u(i)(i=1, 2, …, I )线性相关，则存在不全为零 线性相关， 线性相关 的实数α(i)，使得 ，
∑ α (i )u(i ) = 0
i =1
I
0 = T ∑ α (i )u(i ) = ∑ α (i )(T u(i ))
i =1 i =1
I
I
三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u， ， 定理 三维空间中任意二阶张量 将任意矢量组 ，v，w 映射 为另一矢量组，满足 为另一矢量组，
[T u
T v T w ] = detT [u v w ]
证明 （式1.8.25）、(1.8.22) ） )
= detT
lmn
u v w = detT [u v w ]
l m n
[T u
T v T w] =
j T il u lT m v mT k n wn ijk
2.2.2 正则与退化
的二阶张量T 的二阶张量 称为正则的二阶张量； 定义 detT≠0的二阶张量 称为正则的二阶张量；否 称为退化的二阶张量。 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 是正则的， 也是正则的。 正则二阶张量的性质： 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 ） 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 映射为另一组线性无关的 线性无关的矢量组 映射为另 矢量组Tu(i)(i=1，2，3)。 矢量组 。 等价表述： 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 Tu=0，当且仅当 ，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 ；或者， 充分条件是存在u≠0 使得 使得Tu=0。 充分条件是存在 。 （2）正则的二阶张量 映射的单射性 对于任意 个不等 ）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：Tu≠Tv。 映射以后仍不相等： 的矢量 ， 。