2.2正则与退化的二阶张量
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
二阶张量的谱分解 算法
二阶张量的谱分解算法一、引言张量在许多领域，如机器学习、信号处理、图像处理等，都有着广泛的应用。
对于二阶张量（Tensor）这种多阶结构，其谱分解算法的研究具有重要的理论和实践价值。
本文将介绍一种适用于二阶张量的谱分解算法。
二、算法描述1. 准备工作：首先，我们需要对二阶张量进行适当的坐标变换，将其转化为对角矩阵形式，以便后续的谱分解。
2. 特征值分解：对变换后的二阶张量进行特征值分解，得到其特征向量矩阵和特征值向量。
3. 谱因子选取：根据实际需求，选取需要的谱因子，如对角线元素或特定位置的元素。
4. 构造分解矩阵：根据选取的谱因子和特征向量矩阵，构造出对应的分解矩阵。
5. 反变换：将构造的分解矩阵代入变换后的二阶张量中，得到原始二阶张量的一种表示形式。
三、算法实现1. 输入：二阶张量T和选取的谱因子。
2. 输出：分解后的二阶张量T'和对应的分解矩阵M。
3. 算法步骤：a. 对T进行坐标变换，得到变换后的二阶张量T'；b. 对T'进行特征值分解，得到特征向量矩阵Q和特征值向量D；c. 根据需求，选取对角线元素或特定位置的元素作为谱因子；d. 构造分解矩阵M = QΛD^(-1)Q^T；e. 将M代入T'中，得到分解后的二阶张量T' = M*T'；f. 输出T'和M。
四、算法优缺点分析1. 优点：该算法具有较高的稳定性和准确性，适用于各种类型的二阶张量。
同时，算法的实现过程简单明了，易于理解和实现。
2. 缺点：对于大规模的二阶张量，计算量可能会较大，需要优化算法以提高效率。
此外，对于某些特殊类型的二阶张量，可能存在无法完全分解的情况。
五、应用场景与案例分析该算法可以应用于机器学习、信号处理、图像处理等领域中，如用于降维、数据压缩、特征提取等。
以机器学习为例，通过对数据集进行二阶张量的谱分解，可以提取出关键的特征向量，从而更有效地进行分类或回归。
张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
右特征矢量：
u1 0u2 u3 0
∵
u1
0u2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0u3
0
u1 0u2 u3 0
;∴
是方程组（1）的非零解。
u1 0
u
2
a
u 3 0
（a是任意实数）
uai2
A u ( i 1 i 3 i 2 i 1 i 2 i 2 i 3 i 1 ) ( a i 2 ) a i 2 1 u
（3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。
或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
d e t( A I) 0
( a )
d e t( A * I) 0
( b )
∵
d e t ( A I ) * d e t ( A * I ) d e t ( A I )
ω
1 2
e
:
A
1 2
(eijk
iii
j
ik
)
:
(
Amnimin
)
1 2
eijk
Ajk
ii
1 2
( A23i1
A31i2
A12i3
A32i1
A21i3
A13i2
)
1 2
(2A23i1
在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
二阶张量主不变量的推导
二阶张量主不变量的推导二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以帮助我们了解张量的性质和特征。
在本文中，我们将推导二阶张量主不变量的计算公式，并解释其物理意义。
我们回顾一下二阶张量的定义。
二阶张量是一个具有两个下标的矩阵，可以表示为一个2x2的矩阵。
在三维空间中，二阶张量可以表示为一个对称矩阵，其中的元素表示了不同方向上的物理量的关系。
为了推导二阶张量主不变量的计算公式，我们先考虑二阶张量的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们可以帮助我们了解矩阵的性质。
对于一个二阶张量T，我们可以通过解特征值问题来求得其特征值和特征向量。
特征值问题可以表示为以下形式：T·v = λ·v其中，T表示二阶张量，v表示特征向量，λ表示特征值。
我们可以将特征值问题转化为一个线性方程组来求解。
假设特征向量v为非零向量，我们可以得到以下方程组：(T - λ·I)·v = 0其中，I表示单位矩阵。
由于v非零，所以方程组有非零解的条件是矩阵(T - λ·I)的行列式为0。
计算矩阵(T - λ·I)的行列式，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程，形式如下：det(T - λ·I) = 0将行列式展开并进行计算，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到二阶张量的两个特征值。
特征值表示了二阶张量在特征向量方向上的伸缩比例。
通过计算特征值，我们可以得到二阶张量在不同方向上的伸缩程度。
二阶张量主不变量可以由特征值计算得到。
具体而言，二阶张量主不变量的计算公式如下：I1 = λ1 + λ2其中，I1表示二阶张量的主不变量，λ1和λ2表示二阶张量的特征值。
二阶张量主不变量的物理意义是描述了二阶张量在不同方向上的伸缩总和。
通过计算主不变量，我们可以了解二阶张量的整体伸缩情况。
总结起来，二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以通过计算二阶张量的特征值得到。
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
第2章 二阶张量
8．正交张量：QT = Q−1，Q ⋅ QT = QT ⋅ Q = G
[ （1）在任意斜坐标系中 QT ] ≠ [Q]T ，只有在迪卡尔坐标系中有：[QT ] = [Q]T
（2）正交变换的保内积性：∀u、v有 (Q ⋅ u) ⋅ (Q ⋅ v ) = u ⋅ v
（3）逆定理：u、v变换后内积不变，则变换一定是正交的 （4）正交张量的并矢表达：
T3
•2
T2 •2
T3
δ ε ε • 3
T2 •3
T3
= 1ε 3!
T ⊗T ⊗T
ε=1 6
1 ijk l m n T T T = 6 lmn • i • j • k
T T T ijk
l mn
lmn • i • j • k
•1
•2
•3
[共有6项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
Ni ij
=
1 2
T + T i
ii
ij
j
N ii = 1 j2
T + T ii
i
j
ij
( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， 1
Ω = Ω +Ω
2 ij
ij
ji
Ωij = 1 Ωij + Ω ji 2
张量重正化
张量重正化
在机器学习和深度学习领域，"张量重正化"通常指的是对神经网络中的张量进行正则化的过程。
正则化是一种常用的技术，目的是防止模型在训练数据上过拟合，提高其在未见过数据上的泛化能力。
在深度学习中，常见的正则化方法包括L1正则化、L2正则化和批量归一化（Batch Normalization）。
这些方法中的一些可以被认为是对网络中的张量进行正则化的方式。
以下是几种与张量正则化相关的方法：
1.L1正则化：在神经网络的损失函数中加入L1正则化项，强制
使权重矩阵中的一些元素趋向于零。
这可以促使模型学习更加稀疏的表示。
2.L2正则化：类似于L1正则化，L2正则化在损失函数中加入L2
范数的平方项。
这有助于防止权重值过大，促使权重值趋向于分布在较小的范围内。
3.批量归一化（Batch Normalization）：批量归一化是一种通过
规范化输入来加速深度神经网络训练的技术。
它对每一层的输入进行归一化，有助于防止梯度爆炸和消失，并有正则化的效果。
在实际应用中，可以通过在模型的损失函数中引入正则化项，或者在层的定义中添加正则化参数来实现张量的正则化。
这有助于提高模型对未知数据的泛化性能，防止过度拟合。
张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量
T
1 1
T
T T
T 1
满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性 变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理 三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射 为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明 （式1.8.25）、(1.8.22)
detT
lmn
u v w detT u v w
l m n
Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。 （2）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 的二阶张量。可证
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
二阶定向张量
二阶定向张量二阶定向张量（second-order tensor）是张量分析中的重要概念，它在物理学、工程学等领域有广泛应用。
本文将从定向张量的基本概念、性质和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用二阶定向张量。
一、基本概念1.张量的定义：张量是向量或矩阵的推广，可以视为具有多个分量的多维数组。
在二阶张量中，每个分量可以表示为T_ij，其中i和j分别代表张量的坐标轴。
2.二阶定向张量：二阶定向张量是一个具有有限个分量的二阶张量。
它可以用矩阵形式表示，例如A = [A_ij]。
其中i和j分别代表矩阵的行和列，A_ij表示矩阵A的(i,j)位置的元素。
3.张量的指标表示：二阶定向张量中的分量通常可以用上标和下标的形式表示。
上标表示张量的行索引，下标表示张量的列索引，例如A^i_j。
二、性质和运算1.定向张量的对称性：对称张量是指满足A^i_j = A^j_i的张量。
对称张量的特点是其矩阵表示具有关于对角线对称的性质，即A_ij =A_ji。
2.定向张量的迹运算：张量的迹运算是指将张量的对角线上的元素相加。
对于二阶定向张量A，其迹的表示为tr(A) = A^i_i。
3.张量的乘法运算：两个二阶定向张量A和B的乘法运算可以通过矩阵乘法来实现。
设C = AB，那么C_ij = A^i_k * B^k_j。
值得注意的是，张量的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
三、应用1.物理学中的应用：在物理学中，二阶定向张量经常出现在力学、电磁学等领域的描述中。
例如，应力张量用于描述物体受到的力和压力，磁感应强度张量用于描述磁场的特性等。
2.工程学中的应用：在工程学中，二阶定向张量广泛应用于力学、土木工程等领域。
例如，在应力分析中，应力张量可以用于描述材料内部的应力状态，帮助工程师设计和分析结构的强度和稳定性。
3.图像处理中的应用：在图像处理中，二阶定向张量可以用来提取图像的纹理信息和边缘特征。
通过计算每个像素点处的定向张量，可以实现图像的边缘检测、纹理分析等任务。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
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第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
二阶张量的指标升降关系
二阶张量的指标升降关系二阶张量在物理学和数学中有着重要的应用，而指标升降关系是张量运算中的基本操作。
本文将详细介绍二阶张量的指标升降关系，并探讨其物理意义和数学性质。
我们来回顾一下张量的概念。
在物理学中，张量是描述物理量在不同坐标系中的变换规律的数学工具。
而在数学中，张量是多线性映射的推广，用于描述向量和向量场的性质。
二阶张量是指具有两个上标和两个下标的张量。
上标表示逆变性，下标表示协变性。
指标升降是指将上标转化为下标或将下标转化为上标的操作。
在二阶张量的指标升降中，我们通常使用度规张量（或称为度量张量）来进行。
度规张量是一个对称的二阶张量，用于定义内积的概念。
在欧几里得空间中，度规张量就是克氏符号对应的二阶张量。
在度规张量的作用下，我们可以将上标和下标相互转化。
具体来说，对于一个二阶张量$T$，我们可以通过度规张量进行指标升降操作。
指标升降的规则如下：1. 将上标转化为下标：$T_{ij} = g_{ik}T^{kj}$2. 将下标转化为上标：$T^{ij} = g^{ik}T_{kl}g^{lj}$其中，$g_{ij}$和$g^{ij}$分别表示度规张量的分量和逆分量。
度规张量的分量满足$g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k$，其中$\delta_i^k$为克罗内克δ符号。
通过指标升降操作，我们可以方便地在不同坐标系中描述二阶张量的变换性质。
指标升降还具有一些重要的性质，例如：1. 指标升降是线性的，即$(aT+bS)_{ij} = aT_{ij}+bS_{ij}$2. 指标升降满足交换律，即$(T_{ij})_{k} = T_{ijk} = (T_{ij})_{k}$3. 指标升降与求迹操作可交换，即$Tr(T_{ij}) = Tr(T^{ij})$指标升降关系的物理意义在于描述了张量在不同坐标系中的变换规律。
在相对论中，度规张量描述了时空的几何结构，指标升降操作使得我们可以在不同的参考系中描述物理现象。
张量的阶数
张量的阶数张量是数学中最重要的概念之一，它涉及非常多的应用，从机器学习到物理学都有用到。
张量的阶数是它最重要的特征之一，也是张量的最基本属性。
本文将介绍张量的定义、属性和阶数，以及张量阶数的用途和应用。
一、张量的定义和属性张量（Tensor）是数学中的一个重要概念，它可以看作是一个多维的数据存储容器。
张量是一类多重数组，它描述了一种多元函数的变换表达式，可以表示高阶空间中的一切点。
张量可以按照维数分为一维、二维、三维以及其他更高维数的张量。
张量定义为一个元素序列，每个元素都是一个多重数组，可以用常见的矩阵来表示它，它拥有零个到多个维度，每个维度都有自己的长度。
张量的阶数取决于它的维数，也就是说，一维的张量称为标量（scalar），二维的张量称为向量（vector），三维的张量称为矩阵（matrix），四维以上的张量称为高阶张量（higher order tensor）。
二、张量的阶数张量的阶数就是其维数，也就是张量所包含的元素数量。
在二维张量中，就等于行数乘以列数，在三维张量中，就等于行数乘以列数乘以高数，以此类推。
张量的阶数是它的元素数量，也可以用来表示它的维数，这是张量的最基本属性之一。
张量的阶数在机器学习中有重要的应用：1.量的阶数可以表示输入和输出的维度，可以用来构建合适的神经网络网络结构。
2.量的阶数可以用来衡量网络参数的复杂程度，从而控制网络的大小。
3.量的阶数可以用来控制神经网络中层数的增加，从而提高网络性能。
4.量的阶数可以用来表示神经网络中各层连接关系的复杂度，从而控制网络的复杂度。
三、张量阶数的用途和应用1.量的阶数是机器学习中一个重要的概念，用来表示神经网络的结构，控制网络的大小，控制神经网络中层数的增加，衡量网络参数的复杂程度，以及表示神经网络中各层连接关系的复杂度。
2.量的阶数也可以用来表示高维数据的结构，用于提取特征，并将特征用于学习任务。
3.量的阶数可以用来构建更加复杂的机器学习系统，例如深度神经网络（Deep Neural Network），用来实现更加强大的学习效果。
两点变换张量
两点变换张量摘要：一、两点变换张量的概念1.变换张量的定义2.两点变换张量的特点二、两点变换张量的性质1.线性性质2.结合律3.单位元和逆元三、两点变换张量的应用1.图像处理2.机器学习3.信号处理四、两点变换张量的局限性及发展方向1.局限性2.发展方向正文：两点变换张量（Two-point Transform T ensor）是一种在数学和物理学中广泛应用的张量，具有重要的理论和实际意义。
本文将对两点变换张量的概念、性质、应用及局限性进行探讨。
首先，我们来了解两点变换张量的概念。
变换张量是一个多元函数，用于描述各向同性物理系统中一点的物理量如何随着空间位置的变化而变化。
两点变换张量是在两个空间点之间进行变换的张量，具有以下特点：1）具有对称性，即对空间点的顺序不敏感；2）具有反对称性，即当两个空间点重合时，变换张量为零。
接下来，我们来探讨两点变换张量的性质。
1）线性性质：两点变换张量满足线性组合的性质，即任意两个变换张量相加（或相乘）仍为变换张量；2）结合律：两点变换张量的结合律满足交换律和结合律；3）单位元和逆元：存在单位元和逆元，使得任意两点变换张量可以通过单位元和逆元进行变换。
两点变换张量在许多领域都有广泛应用。
在图像处理领域，两点变换张量可以用于图像的扭曲、缩放和旋转等变换；在机器学习领域，两点变换张量可以用于特征提取和降维等任务；在信号处理领域，两点变换张量可以用于信号的时频分析。
然而，两点变换张量也存在局限性。
例如，当应用于非线性问题时，线性变换张量的性质可能不再成立。
此外，随着实际应用问题的复杂性不断增加，对两点变换张量的理论研究和发展也提出了更高的要求。
张量不同的秩的研究现状及意义
张量不同的秩的研究现状及意义张量秩概念上源于几何中的空间维度，但随着现代研究的进展，其用法却更加深入广泛，应用于多个领域，促进了这些领域的发展。
然而，各种秩的张量有着特定的计算方法和特性，所以它们的研究对张量应用具有重要意义。
一般而言，张量的秩指的是表示张量的元素的维数。
在数学中，可以准确地定义出张量的秩：一阶张量是标量，表示一个单一的值；二阶张量是矩阵，表示一个拥有两个维度的值；三阶张量则表示一个拥有三个维度的值，依次类推，得出从一阶到n阶的张量。
可以看出，张量秩与维数密切相关，每增加一阶，负责表示张量的元素就会增加一维，并且张量秩越高，负责表示张量的元素就越多。
张量不同秩之间具有许多不同特性。
一阶张量由单独的元素组成，是最简单也是最基本的张量。
它们可以表示某个时刻的数据或指标值，以及有关物理量的定义。
二阶张量由矩阵的元素组成，可以表示数据的变化趋势，以及变量或物理量之间的关系。
三阶张量由立方体组成，可以表示数据的空间变化趋势，以及变量或物理量之间的复杂关系。
高秩张量可以表示物理量之间空间上更复杂的关系，以及多种变量之间的多重特征。
张量不同秩的研究可以帮助我们理解、掌握大规模数据的复杂关系，并开发出更有效的分析策略。
它们可以用来处理复杂的非线性数据，研究物理量之间的复杂关系，以及让计算机能够以人类的方式理解和解决问题。
例如，使用多秩张量，可以进行图像处理、机器学习、自然语言处理等多种任务，这些任务经常要处理多维度、复杂的数据。
此外，张量秩还可以用于探索大型数据集中，潜在的关联性。
张量不同秩之间的协同匹配可以帮助我们去找出潜在的规律，以及物理量之间的关联关系。
这可以为研究者们提供一种有效的数据分析和模式发现的工具，以帮助他们更好地分析和预测潜在的规律和关联性，为后续的研究提供更加准确的依据。
近年来，张量不同秩的研究取得了长足的进步，在各个领域都受到了极大的关注。
许多研究工作都通过提出不同的数学模型，提升了张量的计算效率和存储能力，这对张量的应用起到了重要作用，从而推动了多个领域的发展。
2.5几种特殊的二阶张量
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
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（3）正则的二阶张量 映射的满射性 ）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 对于正则的二阶张量 ， 阶张量T 阶张量 -1，使
T T 1 = T 1 T = G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 称为正则的二阶张量的逆 的二阶张量。 的二阶张量。可证
[T ] = [T ]
1
1
detT
1 T
(T )
1 1
=T
(T ) = (T )
T 1
对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 满射性 对于正则的二阶张量 对于任意矢量 所做的线性 变换Tu=w，必存在唯一的逆变换，使T -1u=w。 变换 ，必存在唯一的逆变换， 。
张量分析 及连续介质力学
2.2 正则与退化的二阶张量
2.2.1 关于映射的几个定理
任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 定理 任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集. 关的矢量集 证明 设矢量集 设矢量集u(i)(i=1, 2, …, I )线性相关，则存在不全为零 线性相关， 线性相关 的实数α(i)，使得 ，
T v T w ] = detT [u v w ]
证明 （式1.8.25）、(1.8.22) ） )
= detT
lmn
u v w = detT [u v w ]
l m n
[T u
T v T w] =
j T il u lT m v mT k n wn ijk
2.2.2 正则与退化
的二阶张量T 的二阶张量 称为正则的二阶张量； 定义 detT≠0的二阶张量 称为正则的二阶张量；否 称为退化的二阶张量。 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 是正则的， 也是正则的。 正则二阶张量的性质： 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 ） 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 映射为另一组线性无关的 线性无关的矢量组 映射为另 矢量组Tu(i)(i=1，2，3)。 矢量组 。 等价表述： 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 Tu=0，当且仅当 ，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 ；或者， 充分条件是存在u≠0 使得 使得Tu=0。 充分条件是存在 。 （2）正则的二阶张量 映射的单射性 对于任意 个不等 ）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：Tu≠Tv。 映射以后仍不相等： 的矢量 ， 。
∑ α (i )u(i ) = 0
i =1
I
0 = T ∑ α (i )u(i ) = ∑ α (i )(T u(i ))
i =1 i =1
I
I
三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u， ， 定理 三维空间中任意二阶张量 将任意矢量组 ，v，w 映射 为另一矢量组，满足 为另一矢量组，
[T u