2020江苏高考数学一轮复习学案：第23课__三角函数的基本概念 含解析.docx

第四章 三 角 函 数____第23课__三角函数的基本概念____1. 理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．2. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．3. 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1. 阅读：必修4第4～15页．2. 解悟：①正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同角的含义；②弧度制下的弧长、扇形面积公式；③任意角的三角函数的定义．3. 践习：在教材空白处完成必修4第7页练习第3、8题；第10页练习第8题；第15页练习第3题.基础诊断1. 若角α的终边与角120°的终边相同，则α2是第__一、三__象限角．解析：由题意得，a ＝360°·＋120°(∈)，则α2＝180°·＋60°(∈)，所以α2是第一、三象限角．【备用题】 用弧度制表示下列集合：(1) y 轴负半轴；(2) 第二、四象限角平分线；(3) 第一象限角．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π－π2，k ∈Z . (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋3π4，k ∈Z .(注意是π！) (3) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z .注：(1)、(2)答案不唯一，也常写成：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋3π2，k ∈Z .(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π－π4，k ∈Z .2. 若角α的终边经过点P(，－6)，且tan α＝－35，则的值为__10__．解析：tan α＝－35＝－6x，则＝10.3. 若扇形周长为10，面积是4，则扇形圆心角的弧度数为__12__．解析：设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝10，12θr 2＝4，得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)，所以扇形的圆心角的弧度数为12.4. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角． 其中正确的命题是__③__. (填序号)解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的一个内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．范例导航考向❶ 三角函数的值及符号的判定 例1 已知sin α<0且tan α>0. (1) 求角α的集合； (2) 求角α2终边所在的象限；(3) 判断tan α2·sin α2·cos α2的符号．解析：由sin α<0得角α在第三、四象限或y 轴的负半轴上，由tan α>0得α在第一、三象限，故满足题意的角α在第三象限．(1) 角α的集合为{α|2π＋π<α<2π＋3π2，∈}．(2) 由2π＋π<α<2π＋3π2，∈，得π＋π2<α2<π＋3π4，∈，故α2的终边在第二、四象限．(3) 当α2的终边在第二象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0；当α2的终边在第四象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0.综上，tan α2·sin α2·cos α2>0.若θ是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第几象限角？解析：因为θ是第二象限角，所以2π＋π2<θ<2π＋π，∈，则π＋π4<θ2<π＋π2，∈，所以θ2为第一、三象限角．又因为|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2<0，所以θ2为第三象限角．【注】 (1) 三角函数值的符号取决于角终边所在的象限． (2) 写α2终边所在的象限时，要对的奇偶性进行分类讨论.考向❷ 三角函数定义的应用例2 若α是第二象限角，P(，5)为其终边上的一点，且cos α＝24，求sin α的值． 解析：因为OP ＝x 2＋5，所以cos α＝xx 2＋5＝24.又α是第二象限角，所以<0，得＝－3，所以sin α＝5x 2＋5＝104.已知角α的终边经过点P(，－2)(≠0)，且cos α＝36，求sin α＋1tan α的值． 解析：因为P(，－2)(≠0)，所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36，所以cos α＝x x 2＋2＝36.因为≠0，所以＝±10，所以r ＝2 3. 当＝10时，点P 坐标为(10，－2)．由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝－102＝－5， 所以sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66. 当＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.【注】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意异于坐标原点的点的横坐标，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，若题中已知角的终边在一条直线上，此时注意分两种情况进行分析．【备用题】 已知角α的终边过点(a ，2a)(a ≠0)，求α的正弦、余弦、正切函数值． 【点评】 本题是依据条件求三角函数值，要先由＝a ，y ＝2a 求出r ＝5|a|后再用定义． 解析：因为过点(a ，2a)(a ≠0)， 所以r ＝5|a|，＝a ，y ＝2a.当a>0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a 5a＝255，cos α＝xr＝a 5a＝55，tan α＝2； 当a<0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55；tan α＝2.反思比较：比书上例题多了不确定因素，所以需要分类讨论. 考向❸ 弧长公式及扇形的面积公式例3 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径为R. (1) 若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该扇形内的弓形的面积； (2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：(1) 设扇形的弧长l ，该扇形内的弓形的面积为S ，当α＝π3，R ＝10cm 时，可知l ＝αR ＝10π3cm ，而S ＝S 扇形－S △AOB ＝12lR －12R 2sin π3＝12×10π3×10－12×100×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2.(2) 2R ＋l ＝C ，l ＝|α|·R ＝αR ， 所以2R ＋αR ＝C ， 所以R ＝C2＋α，所以S扇形＝12|α|R 2＝12αR 2＝12α×⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝12C 2×αα2＋4α＋4＝12C 2×1α＋4α＋4≤12C 2×14＋4＝116C 2.当且仅当α＝2时，等号成立，即当α＝2弧度时，该扇形有最大面积116C 2.扇形的面积为20cm 2，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？解析：设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为|α|r.因为0<α<2π，所以扇形面积S ＝12αr 2＝20，则r ＝40α＝210α.又因为扇形的周长C ＝2r ＋αr ＝(2＋α)r ＝210α(2＋α)＝210⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋α≥85，当且仅当α＝2弧度时，周长取得最小值．【注】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起;也方便得多，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．自测反馈1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__－π3__． 解析：将分针拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，化为弧度数为－π3.2. 已知角α的终边经过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝__12__．解析：角α的终边经过点P(－8m ，－3)，又因为cos α＝－45<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，所以OP ＝64m 2＋9，cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝12.3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与直线y ＝3重合，则角α的正弦值为__±10． 解析：由题意得，tan α＝3，所以角α的终边在第一、三象限，若角α的终边在第一象限，则sin α＝31010.若角α的终边在第三象限，则sin α＝－31010，所以角α的正弦值为±31010.4. 若角α与8π5终边相同，则在[0，2π]上终边与角α4的终边相同的角是__π5，π10，π5，π10__．解析：由题意得，α＝2π＋8π5，∈，所以α4＝k π2＋2π5，∈.又因为α4∈[0，2π]，所以＝0，1，2，3时，α4分别为2π5，9π10，7π5，19π10.1. 任意角的三角函数是学习三角函数的基础，要注意在求解相关三角函数值时对符号的讨论，牢记“角优先”，明确角的取值范围．2. 运用三角函数的定义解三角函数有关问题，既体现了“回到定义”的思维策略的重要意义，也是一种重要的转化方法，应该重视这种“代数化”的思想．3. 你还有那些体悟，写下;：。