最新“时代杯”年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题资料
初一创新杯数学邀请赛模拟试题集锦(5套)
初一数学“创新杯”邀请赛赛前训练题-1一、选择题1．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 是AM 的中点，则MN:PQ=（ ）QP M N A CBA.1B.2C.3D.4 2．若0<a ，0>b ，0<+b a ，则下列关系中正确的是（ ）A.a b b a ->->>B.b b a a ->>->C.a b a b ->->>D.a b b a >->>-3．若a ，b ，c 是非零有理数，且0=++c b a ，则abc abcc c b b a a +++所有可能值为（ ）A.0B.1或-1C.-1D.14．计算：)514131)(615141311()61514131)(5141311(++++++-++++++=（ ）A.21B.31C.41D.61 5．已知实数a ，b 满足ab =1且b a M +++=1111，bba a N +++=11，则（ ） A.N M > B.N M < C.N M = D.M 、N 的大小不能确定 6．观察以下数组：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……2011在（ ）A.第44组B.第45组C.第46组 D 无法确定 7．已知：523=-++x x ，54+-=x y ，则y 的最大值是（ ）A.12B.15C.17D.无法确定 8．有一块试验地形状为等边三角形（设其为△ABC ）,为了解情况，管理员甲从顶点A 出发，沿AB —BC —CA 的方向走了一圈回到顶点A 处。
管理员乙从BC 边上的一点D 出发，沿DC —CA —AB —BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，则甲、乙两位管理员从出发到回到原处，在途中身体（ ）A.甲、乙都转过︒180B.甲转过︒120，乙转过︒180C.甲、乙都转过︒360D.甲转过︒240，乙转过︒3609．在九张卡片上分别写着数字1，2，3，……9，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再写出1，2，3……,9，然后将每张卡片上的两个数字作差，则九个差的积（ ） A.一定是奇数 B.可能是奇数也可能是偶数 C.一定是偶数 D.一定是负数 10．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰好是4的倍数，这样的四位数中最大的一个的末位数字是（ ）A.6B.4C.3D.2二、填空题11．已知两个不相等的质数的和是一个质数，则较小的质数的倒数是 。
江苏省初中数学竞赛题（含答案）
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分.以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1.在-I一3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中，最大的是(B).(A)-|・3|3(B)-(-3)3(C)(-3)3(D)-332.“a的2倍与b的一半之和的平方，减去a、b两数平方和的4倍”用代数式表示应为()(A)2a+(—b2)-4(a+b)2(B)(2a+—b)2-a+4b22 2(c)(2a+b)2-4(a2+b2)(D)(2a+-^-b)2-4(a2+b2)23.若a是负数，则a+|-a|(C),(A)是负数(B)是正数(C)是零(D)可能是正数，也可能是负数4.如果n是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是().(A)2n+1(B)2n-1(C)-2n+l(D)-2n-l5.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、1、-1,那么|a+l|表示().(A)A、B两点的距离(B)A、C两点的距离(C)A、B两点到原点的距离之和(D)A、C两点到燎点的距离之和6.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是().(A)A点(B)B点(C)C点(D)D点b a7.已知a+b=O,a#b»则化简一(a+1)—0+1)得().a b(A)2a(B)2b(C)+2(D)-28.已知m<0»-l<n<0,则m,mn»mn?由小到大排列的顺序是().(A)m,mn.mn2(B)mn,mn2,m(C)mn2,mn,m(D)m,mn2,mn二、填空题(每小题?分，共84分)9.计算：—a—(ia—4b—6c)+3(—2c+2b)=_______324 35I10.计算：0.7xl—+2—x(—15)+0.7x-+-x(-i5)=______9 4 94IL某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12.在数-5,-3,-1,2,4,6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13.下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量,则表中问号表示的数是__________梨梨苹果苹果30梨型梨梨28荔枝香蕉苹果梨20香蕉香蕉荔枝苹果1920253014.某学生将某数乘以-1.25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25,则正确结果应是_________.15.在数轴上，点A、B分别表示和!，则线段AB的中点所表示的数是.16.已知2a'bn-i与-3a2b2m(m是正整数)是同类项，那么(2m-n)x=17.王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5,把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250,最后得到2088,则王恒出生在年月.18.银行整存整取一年期的定期存款年利率是2.25%,某人1999年12月3日存入1000元，2000年12月3日支取时本息和是元，国家利息税税率是20%,交纳利息税后还有元.19.有一列数a”a?,a,,…，a n»其中ai=6x2+l：32=6x3+2：a3=6x4+3：a4=6x5+4：则第n个数an=:当an=2001时，n=.20.已知三角形的三个内角的和是180。
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）注意事项：1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）．A． B． C． D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（）．A．12B．13C．518D．4114．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（）．A．45 B．46 C．48 D．49表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（）．A．1个 B．2个C．3个 D．4个密封线姓名学校考号D EF（（6．将 BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）．A ． 37B ．8C ．65D ．215二、填空题（每题6分，共24分） 7．若不等式组 ⎩⎨⎧x －a ＞2，b －2x ＞0的解集是－1＜x ＜1，则 (a ＋b )2009的值是 ．8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A 、B 、C ，甲车从A 出发匀速开往C ，乙车从B出发匀速开往A ．若两车同时出发，当甲车到达B 时，乙车离A 还有40km ；当乙车到达A 时，甲车正好到达C .已知BC ＝50km ，则A 、B 两镇相距 km.9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？． A B C ． ．CADBC AD E12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关．15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．C AD B EFO PQ2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．C ．6．A ． 二、填空题（每题6分，共24分）7．－1．8．200．9．337．10．233．三、解答题（每题18分，共90分）11．解：不相交． ……………… 3分由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．解：由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3），铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25= (a +1) cm.． (12)分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分 13．证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. (3)分因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ． (6)分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2= (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c2. ……………6分因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数. ……………18分14．解：（1）t =2n +1． ……………6分 （2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分 由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分 15．证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分A E F O P Q MNAE F O PQ N M证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ．所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2。
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案)
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（初中组）注意事项：1． 本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分） 1．已知m ≠0，下列计算正确的是（ ）．A ．m 2＋m 3＝m 5B ．m 2·m 3＝m 6C ．m 3÷m 2＝mD ．(m 2)3＝m 52．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）．A ．20B ．12C ．10D ．－6 3．设a ＋1与2 (a －1)的值互为相反数，则a 的值是（ ）．A ．3B ．1C ．0D ．134．（n ＋1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）．A ．360°B ．180°C ．90°D ．60°5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）．A ．15B ．14C ．25D ．456．There is a piece of work ．It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and Mr. B 30 alone days to finish ．It takes them （ ）days to work together to finish the work ． A ．10 B ．12 C ．15 D ．507．如图，已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为2，则⊙O 上到直线l 的距离为3的点的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知方程x 2－2│x │－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）． A ．0 B ．－2 C ．2 D ．89．已知实数a ，b 同时满足a 2＋b 2－11＝0，a 2－5b －5＝0，则b 的值是（ ）．A ．1B ．1，－6C ．－1D ．－6 10．如图，在△ABC 中， D 、E 分别是BC 、AC 的中点． 已知∠ACB ＝90°，BE ＝4，AD ＝7，则AB 的长为（）．A ．10B ．5 3C ．213D ．215二、填空题（每小题5分，共40分）11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分． 密封线姓名 学校考号（第7题）A B EC（第10题）D12．已知函数y 1与y 2分别由下表给出，那么满足y 1＞y 2的x 的值是 ．13．设a 1415．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上， AF ∥EC ，△AFD 与四边形AECF 的面积相等．已知 AB ＝6cm ，BC ＝3cm ，则AF 与CE 之间的距离是 cm ．16．设直线l 1是函数y ＝2x －4的图象，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 ．17．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，过 点D 作DE ⊥AC ，与CB 的延长线交于点E ，以BA 、BE 为邻边作长方形BAFE ，连接FD ．若∠C ＝60°，DF ＝3cm ， 则BC 的长为 cm ．18．在△ABC 中，已知∠ACB =90º，∠A ＝40º．若以点C 为中心，将△ABC 旋转θ角到△DEC 的位置，使B 点恰好落在 边DE 上（如图所示）．则θ＝ º． 三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分） 19．已知关于x 的方程（a －1）x 2－4x －1＋2a ＝0的一个根为x ＝3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．F A B DE C （第15题）EA DC FB （第17题）θ ACDB E （第18题） （第14题）20．（1）已知恒等式x 3－x 2－x ＋1＝（x －1）（x 2＋kx －1），求k 的值； （2）若x 是整数，求证：x 3－x 2－x ＋1x 2－2x ＋1是整数．21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h （米）与时间t （小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？ （2）求点P 的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是 多少米？小时)22．某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC ，剪出一个平行四边形DEFG ．记□DEFG 的面积为T ,（1）如图1，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，D 、G 分别是AB 、AC 的中点．求T （用S 表示）；（2）如图2，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，求证：T ≤12S ；（3）对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 还成立吗？请说明理由．图1AB CDEF GAF EDG图22008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C ． 二、填空题（每小题5分，共40分）11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2． …………… 3分所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++， ……………… 3分所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++，从而有11,1 1.k k -=-⎧⎨--=-⎩解得k ＝0． ………………………………7分（2）322221(1)(1)121(1)x x x x x x x x x --+--==+-+-． 因为x 是整数，所以x ＋1是整数．故322121x x x x x --+-+是整数． ……………… 14分21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为824=（米/小时）． 当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为13（米/小时）； 当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为52（米/小时）．因为13＜2，2＜52，所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为631+-=t h ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.631,82t h t h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.528,56h t 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ． 由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完． 当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为22525+-=t h ．当t ＝4时，25=h ，即h ＝2.5．所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG ∥BC ，且DG ＝12BC ．分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝12AM ．故T ＝12S ． ………………………6分（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ． 因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ． 同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ． 同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．T ＝S －S △ADG －S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－14] S＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤12S ．…………………12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′， 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′ ． 由（2）知，S □DEF ′G ′ ≤12S ．所以T ≤12S ．② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两 种情形，则图3-1ABDEF GG ′F ′ A 图3-2BCDEFGH F ’G ’T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF≤12 S △ABH + 12S △AHC =S ．第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上．①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ，作平行四边形MNKL ． 问题转化为（2）．则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤12S ．②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交G M 于点N ．易 得四边形DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤12S ．第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于 点N ．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时，如图3-6，延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于点N ．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S ．综上，对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 成立．…………………18分图3-3ABDEF G KL 图3-4AB D EF GKM N图3-5 ADEF GK MN ABCDE FG 图3-6K MN。
2022年江苏省中考数学竞赛试题附解析
2022年江苏省中考数学竞赛试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的盘中随机抛掷一枚骰子，落在阴影区域的概率（盘底被等分成12份，不考虑骰子落在线上情形）是（ ）A ．61B ．41C ．31D ．212．己半径分别为 1 和 5 的两个圆相交，则圆心距d 的取值范围是（ ）A ．d<6B ．4<d<6C ．4≤d ≤6D ．1<d<53．如图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走．按照这种方式，小华第四次走到场地边缘E 处时，∠AOE ＝56º，则α的度数是（ ）A ．52ºB ．60ºC ．72ºD ．76º4．已知反比例函数2y x=-过两点 （x 1,y 1）、（x 2,y 2），当120x x <<时，y, 与 y 2 大小关 系为（ ）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ． y 1与 y 2 大小不确定5．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1 > S 2B ．S 1 = S 2C ．S 1<S 2D ．S 1、S 2 的大小关系不确定6．面积为 2 的△ABC ，一边长为 x ，这边上的高为 y ，则 y 关于x 的变化规律用图象表示 大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为 .（ ）8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）9．把方程2460x x --=配方，化为2()x m n +=的形式应为（ ）A ．2(4)6x -=B ．2(2)4x -=C ．2(2)0x -=D ．2(2)10x -= 10．一组数据共40个，分为6组，第一组到第四组的频数分别为l0，5，7，6，第五组的频 率为0．1，则第六组的频数为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1011．下列几何体中，是直棱柱的是（ ）12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小李通过多次摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别为 15%和 45%，则口袋中白色球的数目很可能是（ ）A ．6个B ． 16个C ．18个D ．24个 13． 已知0x y +=，6xy =-, 则33x y xy +的值是（ ）A ．72B ．16C ．0D ．-72二、填空题14．如图，在ΔABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，则⊙A 的半径长 为 cm.15． 用长为6米的铝合金制成如图窗框，窗户的最大透光面积为 .1.5m 216．小王去参军，需要一张身份证复印件，则身份证复印件和原身份证 相似形 ( 填“是”或“不是”).17．菱形两对角线长分别为24 cm 和10 cm ，则菱形的高为 cm ．18．如图，在ABC △中，M N ，分别是AB AC ，的中点，且120A B ∠+∠=，则______ANM ∠=．19．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为4 cm ，则这个菱形的面积为 ．20．点P 1(5，-2)关于y 轴对称点是P 2，则P 1P 2的长为 ． BMN A21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD⊥AC，垂足为A，交BC于D，若AB=4，则CD ．22．自钝角的顶点引角的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1，则这个钝角的度数是_________．23．把线段AB延长到C，使BC=12AB，再把线段AB反向延长到E，使AE=34AB，D为线段EC的中点，若AB=2，则BD的长是．24．如图AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，那么有△ABE≌，理由是．25．12-= ，12-的相反数是 .三、解答题26．如图所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽 6m，坝高 lOm ，斜坡AB 的坡度为1：2，现要加高 2m，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50m的大坝，需要多少土？27．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．①请问AB与AC的大小有什么关系？为什么？②按角的大小分类，请你判断△ABC是哪一类的三角形，请说明理由．28．下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图．(1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；(3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．29．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．30．阅读下列解法，并回答问题：如图，∠1 = 75°，∠2 = 105°，说明 AB∥CD，以下几种说明方法正确吗？如果正确，请说出利用了平行线的哪一种判定方法，如果不正确，请给予纠正．解法1：∵∠1 +∠3 = 180°，∠1 = 75°，∴∠3= l05°，又∵∠2=105°，∴∠2 =∠3，∴.AB∥CD．解法2：∵∠2+∠4 = 180°，∠2 = 105°，∴∠4= 75°，又∵∠1= 75°，∴∠1 = ∠4，∴AB∥CD.解法 3：∵∠ 2 =∠5，∠2= 105°，∴∠5 =105°，又∵∠1 = 75°，∴∠1 +∠5 =180°，∴.AB∥CD．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．A4．C5．A6．C7．48．B9．D10．D11．D12．B13．D二、填空题14．215．16．是17．12018．1360°19．220．10，21．822．120°23．1．2524．△ACD，SAS25．11三、解答题26．据题意作出加固后的坝体横断面(如图中等腰梯形 CFEP)，过A 点作AH⊥BC 于 H，过E 点作 EM⊥BC 于M，则BH=2AH=20m.∴BC=2BH+AD=46m,1(646)102602AECDS=⨯+⨯=梯形(m2),∵EF=AD= 6 m,EM= 12 m, PM=24m.∴PC=54m,∴1(654)123602PCEFS=⨯+⨯=梯形(m2),∴加的面积为 360—260=100(m2),∴应增加100×50= 5000(m3)土．27．①AB=AC，连AD；②锐角三角形，连BF，证∠ABC<90°，∠ACB<90°，∠BAC<90°28．（1）可添在右下方；（2）可添在左下方或添在左边；（3）可添在右上角，图略29．30．解法都是正确的，解法l利用了同位角相等来判定两直线平行，解法2得用了内错角相等来判定两直线平行，解法3利用了同旁内角互补来证明两直线平行。
江苏省历年初中数学竞赛试题及解答(23份)
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 (1)第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试 (3)江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题 (6)江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级 第二试 (8)江苏省第十五届初中数学竞赛初三年级 (14)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛A 卷 (19)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B 卷 (24)第十六届江苏省初中数学竞赛试题(C 卷)初三年级 (29)江苏省第十七届初中数学竞赛 初一年级 第l 试 (33)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初一年级(第2试) (35)江苏省第十七届初中数学竞赛 初二年级 第l 试 (38)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初二年级(第2试) (40)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初三年级 (43)江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试 (46)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中一年级 第2试 (48)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中二年级 第2试 (52)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中三年级 (57)江苏省第十九届初中数学竞赛初一年级 第1试 (60)江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试 (62)江苏省第十九届初中数学竞赛试卷初二年级第2试 (65)江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级(第1试) (71)江苏省第十九届初中数学竞赛(保留)初三年级第l 试 (73)江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案初三年级(第2试) (80)第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )．(A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( )(A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )．(A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )．(A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离(C)A 、B 两点到原点的距离之和(D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )．(A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋ba (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn二、填空题(每小题?分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)= 10．计算：0．7×194+243×(－15)+0．7×95+41×(-15)= ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x =17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月．18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是 元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有 元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中a 1＝6×2+l ；a 2＝6×3+2；a 3＝6×4+3；a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝ ；当a n ＝2001时，n ＝ .20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D二、9.一6a +1 06． 10．一43．6． 11．男生比女生多的人数．1 2．90． 1 3．1 6． 1 4．0．1 2 5． 1 5．-151 1 6．1． 1 7．1988；1．18．1022．5；101 8．1 9．7n+6；2 8 5．2 O ．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。
初中竞赛数学第四届“创新杯”数学邀请赛(复试)初中一年级试题(含答案)
第四届“创新杯”数学邀请赛（复试）初中一年级试题一、选择题（每小题5分，共40分）1．若有理数a，b，c满足abc=-2005，a+b+c=1，则a，b，c中负数的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32．根据图1中骰子的三种不同状态显示的数字，推出x处的数字是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）6（1）（2）3．如图2，∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，则∠5=（）（A）45°（B）50°（C）55°（D）60°4．n个连续自然数按规律排成下表：0 3→4 7→8 11 …↓↑↓↑↓↑1→2 5→6 9→10这样，从2003到2005，箭头的方向应为（）（A）↑→（B）→↑（C）↓→（D）→↓5．甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，分别提供的信息如下图所示：可得到的正确判断是（）（A）该县第2个养鸡场产鸡的数量为1．3万只（B）该县第2个养鸡场产鸡的数量低于第一年养鸡场产鸡的数量（C）该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长（D）这7年中，第5年该县养鸡场产鸡的数量最多6．平面上六条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，•则它们彼此截得不重叠线段有（）条．（A）36 （B）33 （C）24 （D）217．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，1），C（4，1），将△ABC•向右平移4个单位，得△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°，得到△A″B•″C″，则点C″的坐标是（）（A）（9，4）（B）（8，5）（C）（5，2）（D）（4，9）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A•～F•共16个计数符号．这些符号与十进制的对应关系如下表：例如，用十六制表示：E+D=1B．则A×B（）（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0二、填空题（每小题5分，共40分）9．设p，q均为质数，且p+q=99，则p、q的积pq=________．×（x+1）=1的解是x=______．10．定义运算：○×：x○×y=x·（y-x），则方程（x-1）○11．现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每位参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这10种不同分值中的一种，测试结果A 班如表，B 班如图3所示，•若两班合计共有60人合格，则合格的分数线是________分．12．如图4，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE ，垂足为E ，ED ∥AC ，∠BAE=36°，•那么∠BED=_________度．（3） （4） 13．计算：[（11+14+17）-（12+23+29）]÷[（11-34-37）-（12-23-29）]=________． 14．某文具店只有8元一支和9元一支两种规律的钢笔，甲、乙两人到该店购买钢笔，已知两人购买的支数相同，且一共花费了172元，则每人在该店购买了______支钢笔． 15．一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行12个单位长度后，向左爬行22个单位长度；再向右爬行32个单位长度后，向左爬行42个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行92个单位长度后，向左爬行102个单位长度，到达A 点则A 点表示的数是____． 16．假设a ，b ，c ，d 都是不等于0的数，对于四个数ac ，-bd ，-cd ，-ab ，考察下述说法： ①这4个数全是正数； ②这4个数全是负数；③这4个数中至少有一个为正数； ④这4个数中至少有一个为负数； ⑤这4个数的和必不为0其中正确说法的序号是______．（把你认为正确说法的序号都填上） 三、解答题（第17、18题各20分，第19题30分，共70分）17．如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个正方形．如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，•那么这个长方形的周长最小是多少？18．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A ，B 的坐标分别为（0，a ）和（9，a ），•点E 在AB 上，且AE=13AB ，点F 在OC 上，且OF=13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为20，△GFB•的面积为16，试求a 的值．19．某租赁公司拥有100辆汽车．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．•当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月公司需要维护费150元，未租出的车每辆每月公司需要维护费50元．（1）已知1月份每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）已知2月份的维护费开支为12900元，问该月租出了多少辆车？（3）比较1、2两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？（4）试推测，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？（第4问只要求写出结果，不要求写出推算过程）．（注：月收益等于该月的租金与维护费之差）．参考答案一、1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．A 二、9．194 10．32 11．4 12．126 13．142514．10 15．-55 16．③，④三、17．设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x ，y ，z （如图，正方形边长均写成正方形内），则其它正方形的边长如图所示，从而，最大正方形的边长为x+3y+2z=3y+8x-z ， 化简得：7x=3z ． ① 又考虑长方形的宽，可得 6x+5y+2z=3x+8y+z ， 化简得：3x-3y+z=0 ② 由①，②得：73,169.x z x y =⎧⎨=⎩由于x ，y ，z 都是正整数，则x 的最小值为9，从而y 和z 的最小值依次为16，21，•此时长方形的邻边长分别为： 9x+6y=177， 6x+5y+2z=176．因此所求最小周长为（177+176）×2=706．18．设G 之坐标为（0，b ），b>0，∵S 长方形OABC -S △GEC =S △OGC +S △AGE +S △BEC ． ∴9a-20=12·9b+12·3（a-b ）+12·6a ． 解得b=32a-203． 同理，∵S 长方形OABC -S △GFB =S △ABG +S △OGF +S △BFC ． ∴9a-16=12·9（a-b ）+12·3b+12·6a ， 化简得3a=32-6b ． 将b=32a-203代入上式得 3a=72-9a ，解得a=6．19．（1）月租金为3600元时，未租出的车辆数为（3600-3000）÷50=•12，•故租出了100-12=88辆．（2）设2月份租出了x 辆，则 150x+50（100-x ）=12900，解得x=79，因此2月份租出了79辆车．（3）1月份的收益为（3600-150）×88-50×12=303000元，2•月份的月收益为3000+50×21=4050元，所以2月份的月收益为4050×79-12900=307050元， 故2月份收益多，多4050元．（4）月租金为4050元时，收益最大．。
“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛答案
“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2013年12月18日下午15∶30 ~ 17∶00）注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1．设a 为负数，化简，结果是 （ ） A ．- C ．-2．如图，AB 是圆O 的直径，PB ，PC 分别切圆O 于点B ，C ． 若∠ACE ＝25°，则∠P 等于 （ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x |x |－4x ＋1的图像与x 轴交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，点D 在边AB 上，且AD :DB = 3:2，AC ⊥CD ， 则tan A 等于 （ ） A ．25B ．35C ．235D ．3355．设a ，b 为实数，c 为整数，代数式ax 3＋bx ＋c 在x ＝1时的值为M ，在x ＝－1时的值为N ，则M 和N 一定不可能是 （ ）A ．M ＝1且N ＝2B ．M ＝3且N ＝1密封线姓名学校考号（第2题）DC BA（第4题）C ．M ＝2且N ＝4D ．M ＝4且N ＝66．如图所示的几何体是由11个相同的小正方体摆放而成，在不改变它的三视图的情况下，最多可以取走小正方体的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（每题7分，共28分）7．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，所取出两个数满足其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．8．如图，圆A 的半径为2cm ，圆B 的半径为4cm ．当点B 在圆A 的圆周上运动一周后，圆B 的圆周扫出的图形的面积为__________cm 2．9．设k 是正整数，记k !＝1×2×3×…×k ，S ＝1!·(12＋1＋1)＋2!·(22＋2＋1)＋3!·(32＋3＋1)＋…＋100!·(1002＋100＋1) ，则!1011S ＝ ． 10．在△ABC 中，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点．已知CE ＝6，BF ＝9，则△ABC 面积的最大值为 ．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）甲桶中有纯酒精5千克，乙桶中只有纯水10千克．第一次从甲桶中取出x 千克的酒精，从乙桶中取出x 千克的水，倒入对方桶内搅拌均匀．第二次再从甲桶中取出x 千克的混合液，从乙桶中取出x 千克的混合液，倒入对方桶内搅拌均匀． （1）用含x 的式子分别表示第一次倒入对方桶内搅拌后甲、乙两桶的酒精浓度； （2）若第二次倒入对方桶内搅拌后，甲、乙两桶的酒精浓度相等，求x 的值．（第8题）（第6题）正前方12．（本题满分18分）设n为正整数，a为非零实数，已知3252345nn na aa a a+++-++＝3，求1na-的值．13．（本题满分22分）如图，M是△ABC的边AB的中点，D是MC延长线上一点，满足∠ACM＝∠BDM．（1）求证：AC＝BD；（2）若∠CMB＝60°，求ABCD的值．A BCDM(第13题)14．（本题满分22分）（1）若一个整数m 可以表示为形如a 2＋kb 2（a ，b ，k 均为整数），则称m 为“k 型数”．如13是“3型数”，因为13＝12＋3·22．又如－26是“-3型数”，因为－26＝12＋(－3)·32． （i ）证明：若两个整数m ，n 都是“1型数”，则这两数的积mn 也是“1型数”； （ii ）已知两个整数m ，n 都是“k 型数”，试判断mn 是否是“k 型数”，并说明理由． （2）试求满足⎩⎨⎧xy ＋2zw ＝7，xz －yw ＝3的整数数组(x ，y ，z ，w )的个数．“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考解答一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1． D ． 2． A ． 3． C ． 4． C ． 5． A ． 6． B ．二、填空题（每题7分，共28分） 7． 13．8． 32π． 9． 101． 10．36．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）解：（1）第一次倒入对方桶内搅拌后甲桶的酒精浓度为55x-， 乙桶的酒精浓度为10x． …………… 6分 （2）第二次倒入对方桶内搅拌后甲桶的酒精浓度为5(5)5105x xx x-⨯-+⨯， 乙桶的酒精浓度为5(10)51010x xx x -⨯+⨯-． …………… 12分 由5(5)5105x x x x -⨯-+⨯＝5(10)51010x xx x -⨯+⨯-， …………… 15分 得29601000x x -+=，解之得103x =． 故符合题意的x 的值为103． …………… 18分密封线姓名 学校考号12．（本题满分18分）解：因为3252345n n n a a a a a+++-++ 3322111n n n a a a ----=++ ………… 6分 1221221(1)(1)1n n n n n a a a a a ------++=++ 11n a -=-， ………… 16分 而3252345n n n a a a a a+++-++＝3，所以11n a --＝3 故1n a-＝4． ………… 18分13．（本题满分22分）证明：（1）如图(1)，延长CM 到F ，使得MF ＝CM ，连接AF ，BF ． 因为M 是AB 的中点，所以四边形AFBC 是平行四边形．……… 5分 从而AC ＝FB ，且∠ACM ＝∠BFM ． 又因为∠ACM ＝∠BDM ， 所以∠BFM ＝∠BDM ， 从而BD ＝BF ．因此AC ＝BD ． ……… 10分 （2）如图（2），延长CM 到点E ，使得EM ＝CD ，则MD ＝EC ． ……… 14分 因为AC ＝BD ，∠ACE ＝∠BDM ，所以△ACE ≌△BDM ． ……… 18分 从而AE ＝BM ＝AM ． 又因为∠CMB ＝60°，所以EM ＝AM ，从而有AB ＝2AM ＝2EM ＝2CD ． 于是AB CD的值为2． ……… 22分ABCDFM(第12题(1))ABCDEM (第12题(2))14．（本题满分22分）解：（1）（i ）由题设，可令22m a b =+，22n c d =+，其中a ，b ，c ，d 均为整数，则 2222()()mn a b c d =++=22()1()ac bd ad bc ++⋅-，而ac ＋bd 和ad －bc 均为整数，所以mn 也是“1型数”． ………… 5分 （ii ） 由题设可令22m a kb =+，22n c kd =+，其中a ，b ，c ，d ，k 均为整数，则 2222()()mn a kb c kd =++=22()()ac kbd k ad bc ++⋅-，而ac ＋kbd 和ad －bc 均为整数，所以mn 也是“k 型数”． …………… 10分 （2）因为2222(2)2()72367xy zw xz yw ++-=+⋅=． 利用（1）中（ii ）的结论知222222(2)2()(2)(2)xy zw xz yw x w y z ++-=++． ……………… 14分所以2222(2)(2)67x w y z ++=．因为67为质数，所以⎩⎨⎧x 2＋2w 2＝1，y 2＋2z 2＝67或⎩⎨⎧x 2＋2w 2＝67，y 2＋2z 2＝1．从而解得⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝49，z 2＝9，w 2＝0，或⎩⎨⎧x 2＝49，y 2＝1，z 2＝0，w 2＝9．……………… 18分经检验，符合原方程组的数组(x ，y ，z ，w )＝(1，7，3，0)，(－1，－7，－3，0)，(7，1，0，－3)，(－7，－1，0，3)． 故所求数组(x ，y ，z ，w )的个数为4． ……………… 22分。
江苏省第十六届初中数学竞赛试题(B卷)及参考答案
江苏省第十六届初中数学竞赛试题（B 卷）及参考答案一、选择题(每题8分，共48分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)1．已知b>a>0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+等于( )． A ．-21B ． 3C ．2D ．-32．已知xB x A x x x ++=+-1322，其中A 、B 为常数，则A-B 的值为( )． A ．－8 B8C ．－1D ．43．1 O 个棱长为l 的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的表面积为( )．A ．30B ．34C ．36D ．484．如图所示．△ABC 中，∠B=∠C，D 在BC 上，∠BA D=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为( )．A ．15° B．25° C．30°D．50°5．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )．A ．4B ．5C ．8D ．96．如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 离城市的距离分别为4，10，15，17，l9，20 km ，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在( )．A ．A 处B ．C 处 C ．G 处D ．E 处二、填空题(每题8分，共48分)7．一列数71，72，73，…，72001，其中末位数是3的有 个．8．已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a －b)x －(a+b)y=a+b 有一组公共解，则公共解为 ．9．数a 比数b 与c 的和大于16，a 的平方比b 与c 的和的平方大1664．那么，a 、b 、c 的和等于10．数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为．11．若a1=5，a5=8，并且对所有正整数n，有a n+a n+1+a n+2=7，则a2001=12．三条线段能构成三角形的条件是：任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度．现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为三、解答题(每题16分，共64分)13．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍，问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?14．如图所示，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP= AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．15．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4(未按顺序排列)．求这5个数的值．16．如图所示，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．。
“时代杯”2017年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题及参考答案
“时代杯”2017年中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2017年12月20日15:00~16:30）注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）1．若非零实数a ，b ，c 满足 ⎩⎨⎧a －3b －2c ＝0，4a －2b ＋c ＝0，则 a ＋cb 的值是（ ）A ．－13B ．13C ．－3D ．32．小明有1张红色和1张绿色的卡片，小军有1张红色和2张绿色的卡片．如果两人随机地各自取1张自己的卡片，则取出的2张卡片颜色相同的概率为（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．233．设a ，b ，c ，d 为4个互不相等的实数，其中a 最大．记x ＝ab ＋cd ，y ＝ac ＋bd ，z ＝ad ＋bc ．若x ＞y ＞z ，则b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．b ＜d ＜cB ．c ＜d ＜bC ．b ＜c ＜dD ．d ＜c ＜b4．在平面直角坐标系xOy 中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．设k 为整数，若反比例函数y ＝6x 与函数y ＝kx －4图像的交点中至少有一个整点，则k 的所有可能取值的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设a ，b 为正整数，a ＞2b ，且a －b ，a ＋b ，3b 恰好可以是一个直角三角形的三边长，则此直角三角形的任意一条边的长不可能是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27密封线姓名 学校考号（第6题图）6．如图所示，已知一个圆形钟面的半径为30 cm ，半径为15 cm 的圆盘与圆形钟面相切．当切点在12点时，圆盘上的指针箭头竖直向上．圆盘沿钟面边界滚动，则当指针箭头再次竖直向上时，圆盘与钟面相切的切点在钟面的位置是（ ）A ．2点B ．3点C ．4点D ．6点 二、填空题（每题7分，共28分）7．已知实数a 满足a ＋5－a －1＝3，则a ＋5＋a －1的值为 ．8．在二次函数y ＝2x 2－3x －6中，若自变量x 分别取两个不同的值x 1，x 2时，所对应的函数值y 相等，则当x 取 x 1＋x 2 时，所对应的y 的值是 ． 9．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝1，BC ＝3，△ADE 为 正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边 形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值 是 ．10．已知一个长方体的长、宽、高各不相同，且此长方体相邻两个面的面积之和与长方体的所有棱长之和的比值只可能是3，5，7，则该长方体的长、宽、高之和是 ． 三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分） 11．（本题满分18分）已知一辆快车与一辆慢车沿相同路线从A 地到B 地， 所行路程与所用时间的函数图像如图所示． （1）求两车的速度； （2）求A ，B 两地间的距离．（第9题图）ABCDE(h)O s (km)（第11题图）420如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点． 求证：（1）∠AIC ＝90°＋12∠ABC ；（2）IB ·IC ＝IA ·BC ．13．（本题满分20分）（1）设a 为常数，解关于x 的方程x 2＋2x ＝a 2＋(a a ＋1)2；（2）解方程x 2＋(x x ＋1)2＝8．ABCI（第12题图）（1）若p，q，p＋q均为有理数，求证：p，q均为有理数；（2）若p，q，r，p＋q＋r均为有理数，求证：p，q，r均为有理数；（3）设x，y，z为整数，且x＜y＜z，求使2018x＋2018y＋2018z是正整数的所有三元数组(x，y，z)．“时代杯”2017年中学数学应用与创新邀请赛参考答案和评分标准（初中组）一、选择题（每题7分，共42分）1．A 2．C 3． D 4．B 5．D 6．C 二、填空题（每题7分，共28分）7．2 3 8．－6 9．75 10．696245三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分） 11．解：（1）设快车速度为v 1 km/h ，慢车速度为v 2 km/h ．根据图像可得：⎩⎪⎨⎪⎧12 v 1＝18 v 2， ①420v 2－420v 1＝2．② ………………………… 8分由①得v 1＝32v 2，代入②得，13×210v 2＝1，解得v 2＝70，从而v 1＝105． ………………………… 12分（2）A ，B 两地间的距离s ＝12v 1＝1260． ………………………… 16分 答：（1）快车速度为105km/h ，慢车速度为70km/h ；（2）A ，B 两地间的距离为1260km ．………………………… 18分12．证明：（1）因为I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点，所以∠AIC ＝180°－12∠BAC －12∠ACB＝180°－12（180°－∠ABC ）＝90°＋12∠ABC ，即∠AIC ＝90°＋12∠ABC ． ………………………… 6分（2）（方法一）如图，过点I 作IE ⊥IA ，交AC 于点E ，因此∠EIC ＝∠AIC －90°． 因为∠AIC ＝90°＋12∠ABC ，所以∠EIC ＝12∠ABC ＝∠IBC ．…………10分在△BIC 和△IEC 中，∠IBC ＝∠EIC ，∠BCI ＝∠ICE ， 所以△BIC ∽△IEC ，ABCI（第12题图） E从而BI IE ＝BCIC，即IB ·IC ＝IE ·BC ． ………………………… 14分 因为∠BAC ＝90°，且IA 平分∠BAC ， 所以∠IAC ＝45°，从而∠IEA ＝45°，即IA ＝IE ．因此IB ·IC ＝IA ·BC ． ………………………… 18分 （方法二）如图，延长BI ，交AC 于点E ． 因为I 在∠BCE 的角平分线上，所以BC EC ＝BIIE． ① ………………… 10分 因为I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点， 且∠BAC ＝90°，所以 ∠EIC ＝∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝45°，即∠EIC ＝∠IAC ．在 △EIC 和△IAC 中，由于∠ICE ＝∠ACI ， 所以△EIC ∽△IAC ， 从而EC IC ＝EIIA． ② ………………………… 14分 有①×②得BC IC ＝BIIA，即IB ·IC ＝IA ·BC ． ………………………… 18分 13．解：（方法一）（1）由题意知方程的判别式△＝4＋4 [a 2＋(a a ＋1)2]＞0，所以方程有两个不相等的实数根． ………………………… 4分 又△＝4[(a ＋1)2－2a ＋(a a ＋1)2]＝4(a ＋1－a a ＋1)2， 所以x 1，2＝－2±△2＝－1±a 2＋a ＋1a ＋1．因此方程的根为 x 1＝a 2a ＋1，x 2＝－a 2＋2a ＋2a ＋1． ………………………… 10分（2）由（1）可知，存在y 满足y ＝x 2x ＋1，或y ＝－x 2＋2x ＋2x ＋1，使得y 2＋2y ＝8．解得y ＝2，或y ＝－4． ………………………… 14分 当y ＝2时，x 2x ＋1＝2，或－x 2＋2x ＋2x ＋1＝2．解得x ＝1－3，x ＝1＋3或x ＝－2；ABCI（第12题图）E当y ＝－4时，x 2x ＋1＝－4，或－x 2＋2x ＋2x ＋1＝－4．解得x ＝－2或x ＝1－3，x ＝1＋3．经检验，x 1＝1－3，x 2＝1＋3，x 3＝－2是原方程的解．………………… 20分 （方法二）（1）由题意，得到x 2＋2x ＋1＝a 2＋1＋(a a ＋1)2，所以(x ＋1)2＝(a ＋1)2－2a ＋(a a ＋1)2，即(x ＋1)2＝(a ＋1－a a ＋1)2．………………………… 6分所以x ＋1＝±(a ＋1－aa ＋1)．因此x 1＝a 2a ＋1，x 2＝－a 2＋2a ＋2a ＋1． ………………………… 10分（2）由（1）可得 (x ＋1－x x ＋1)2＝9，所以x ＋1－xx ＋1＝±3． ………………… 14分 由x ＋1－x x ＋1＝3，得x ＝1－3或x ＝1＋3；由x ＋1－xx ＋1＝－3，得x ＝－2．经检验，x 1＝1－3，x 2＝1＋3，x 3＝－2是原方程的解．………………………… 20分14．解：（1）由题意，设p ＋q ＝s ，s 是正有理数，则p ＝s －q ，平方得(p )2＝(s －q )2，即p ＝s 2＋q －2sq ，所以q ＝s 2＋q －p2s．………………………… 2分因为p ，q ，s 均为有理数，所以s 2＋q －p2s 为有理数，所以q 是有理数．同理可得p 是有理数，故p ，q 都是有理数． ………………………… 5分 （2）由题意，设p ＋q ＋r ＝s ，s 是正有理数，则p ＋q ＝s －r ，平方得(p ＋q )2＝(s －r )2．所以p ＋q ＋2pq ＝s 2＋r －2s r ，即2pq ＝(s 2＋r －p －q )－2s r ．………………………… 7分记s 2＋r －p －q ＝A ，显然A ＞0．由s ，r ，p ，q 是有理数，得A 是正有理数． 从而2pq ＝A －2s r ，得(2pq )2＝(A －2sr )2，即r ＝A 2＋4s 2r －4pq 4As．由于A ，s ，r ，p ，q 是有理数，所以r 是有理数．同理p ，q 都是有理数．………………………… 10分（3）由（2）知2018x ，2018y ，2018z均是有理数， 则令2018x ＝qp ，2018y ＝sr，2018z ＝nm，p ，q ，s ，r ，n ，m 均为正整数， 且p 与q ，s 与r ，n 与m 均互质． ………………………… 14分 由2018x ＝qp，平方得2018p 2＝q 2x ．又p 与q 互质，得q 2可以整除2018． 而2018＝2×1009，2与1009均为质数，2018不含除1以外的平方因数， 所以q 2＝1，得q ＝1． 于是2018x ＝1p． 同理可得2018y ＝1r，2018z ＝1m． ………………………… 18分 所以1p ＋1r ＋1m为正整数．又由x ＜y ＜z ，得1x ＞1y ＞1z ，即1p ＞1r ＞1m ．所以m ＞r ＞p ．于是1≤1p ＋1r ＋1m ≤1＋12＋13，得1p ＋1r ＋1m＝1．又1＝1p ＋1r ＋1m ＜3p ，得3p ＞1，所以1≤p ＜3，得p ＝1或2．若p ＝1，则1r ＋1m＝0，不可能；若p ＝2，则1r ＋1m ＝12，及r ＞p ＝2，得2＜r ＜4，所以r ＝3，从而m ＝6．于是2018x ＝12，2018y ＝13，2018z ＝16． 即x ＝4×2018，y ＝9×2018，z ＝36×2018．所以满足条件的三元整数组是(4×2018，9×2018，36×2018)．………………………… 24分。
“时代杯”2016年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题及参考答案
“时代杯”2016年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2016年12月14日15:30~17:00）注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1．已知a ＝5＋12，则1122++aa 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．从分别写有2，3，4，5，6的5张卡片中任意取出3张，则这3张卡片上所写的数可以作为一个三角形的三边长的概率是（ ）A ．12B ．35C ．710D ．453．一个正方体的平面展开图如图所示．若对于实数x ，y ，z ，正方体相对两个面上的代数式的值相等，则x －y －z 的值为（ ） A ．3 B ．53C ．－1D ．－734．设实数x ，y 满足－6≤x ≤－2，3≤y ≤4，则2x ＋yx的最大值是（ ） A ．0 B ．12 C ．43 D ．325．如图，已知拱门模型的截面由10个全等的等腰梯形构成，则该等腰梯形中较大内角的大小为（ ）A ．97°B ．99°C ．101°D ．108°密封线姓名学校考号（第5题图）（第3题图）x +yz －1 5－6x 7x +2y3x +2 4x －36．如图（1），在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°．动点P 从顶点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 的路线运动，最后到顶点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ．若y 关于x 的函数的图像如图（2）所示，则梯形ABCD 的面积为（ ） A ．22 B ．24 C ．26 D ．28二、填空题（每题7分，共28分）7．如图，△ABC 内接于⊙O ．若∠ABC ＝25°，则∠OAC ＝ °．8．如图，阴影部分由7个单位正方形（边长为1）组成．设k ，b 是实数，直线PQ 是一次函数y ＝kx ＋b 的图像，点Q 的坐标为(3，4)．若直线 PQ 将图中阴影部分分成面积相等的两部分，则k 的值 为 ．9．设a ，b ，c 是三个互不相等的非零实数，满足2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，则a 2＋c 2b 2的值为 ．10．若存在整数a 1，a 2，…，a n ，满足 a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1a 2…a n ＝n ，则称数n 为“美丽数”．在1，2，…，2017这2017个正整数中，“美丽数”的个数是 ．（第7题图）4）（第6题图） （2）（1）三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分）11．（本题满分18分）如图，海岸线上有两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，与A相距6海里．海上有甲、乙两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75︒方向，与A相距42海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60︒方向，与B相距6海里的C处．求两艘轮船之间的距离．12．（本题满分18分）（1）设实数a，b满足a＋b≠0，且11＋a＋11＋b＝21＋ab，求证：ab＝1；（2）设a，b，c为非负整数，且满足a2a2＋b2＋c2a2＋c2＝2cb＋c，求证：关于x的方程x2－2(b＋c) x ＋b2＋c22＝0的两个实数根之差是偶数．BCD（第11题图）A13．（本题满分22分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，D ，E 分别是边AB 和AC 上的点，且 ∠ABE ＝∠BCD ．求证：2AD ·AE ＝BD ·CE ．14．（本题满分22分）设a ，x 1，x 2，x 3为四个整数，满足a ＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1＋x 3)＝(1－x 1)(1－x 2)(1－x 3)， 求ax 1x 2x 3的值．（第13题图） ABCDE“时代杯”2016年江苏省中学数学应用与创新邀请赛参考答案和评分标准（初中组）（2016年12月14日15:30~17:00）一、选择题（每题7分，共42分）1．B 2．C 3． A 4．D 5．B 6．C 二、填空题（每题7分，共28分）7．65 8．1199．20 10．1008三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．解：连接AC ．由题意知，BA ＝BC ＝6，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．因此AC ＝6，且∠BAC ＝60°． …………………… 6分 又甲船位于灯塔A 的北偏西75 方向，与A 相距42海里的D 处， 所以∠DAB ＝105°，从而∠DAC ＝∠DAB －∠BAC ＝45°．…………………… 9分在△DAC 中，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，则CE ＝AE ＝32，从而DE ＝AD －AE ＝2． …………………… 14分 在直角△DEC 中，CD ＝(32)2＋(2)2＝25．答：两艘船之间的距离为25海里． …………………… 18分 12．证明：（1）（方法一）因为11＋a ＋11＋b ＝21＋ab， 所以 (1＋ab )(1＋b )＋(1＋ab )(1＋a )＝2(1＋a ) (1＋b )， 即 ab 2＋ba 2＝a ＋b ，从而 (a ＋b ) (ab －1)＝0．因为 a ＋b ≠0 ，所以ab －1＝0，即ab ＝1． …………………… 6分 （方法二） 因为11＋a ＋11＋b ＝21＋ab， BCDAE（第11题图）所以 11＋a －11＋ab ＝11＋ab －11＋b， 即ab －a (1＋a )(1＋ab )＝b －ab (1＋b )(1＋ab ) ，从而 ab －a 1＋a ＝b －ab1＋b，所以 ab 2－a ＝b －ba 2， 即 (ab －1)(a ＋b )＝0．因为 a ＋b ≠0 ，所以ab －1＝0，即ab ＝1． …………………… 6分 （2）因为 a 2a 2＋b 2＋c 2a 2＋c 2＝2c b ＋c ，所以 a 2a 2＋b 2 － c b ＋c ＝ c b ＋c － c 2a 2＋c 2，即 a 2b －b 2c a 2＋b 2 ＝ a 2c －bc 2a 2＋c 2 ，从而 (a 2－bc )2(b －c )(a 2＋b 2)(a 2＋c 2)＝0，所以 a 2＝bc 或b ＝c ． …………………… 10分 设方程x 2－2(b ＋c )x ＋b 2＋c 22＝0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1，2＝2(b ＋c )± 2 (b ＋c )2－2(b 2＋c 2)2，所以 (x 1－x 2)2＝2 (b ＋c )2－2(b 2＋c 2)＝4bc ． …………………… 14分 当a 2＝bc 时，(x 1－x 2)2＝4a 2；当b ＝c 时，(x 1－x 2)2＝4b 2．因为a ，b ，c 为非负整数，所以|x 1－x 2|＝2a 或|x 1－x 2|＝2b ，即x 1－x 2是偶数， 因此，关于x 的方程x 2－2(b ＋c )x ＋b 2＋c 22＝0的两个实数根之差是一个偶数．…………………… 18分13．证明：（方法一）如图，过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 交BC 于点N ． 因为△ABC 是等腰直角三角形，且∠A ＝90°， 所以∠B ＝∠C ＝45°，从而DM ＝22BD ，EN ＝22EC ．……………… 6分在△ABE 和△MCD 中，∠A ＝∠DMC ＝90°，∠ABE ＝∠MCD ， 所以 △ABE ∽△MCD ，所以 AE MD ＝ BECD． …………………… 12分 在△ADC 和△NEB 中，∠A ＝∠ENB ＝90°，∠ACD ＝45°－∠BCD ＝45°－∠ABE ＝∠NBE ， 所以 △ADC ∽△NEB ，所以AD NE ＝ CDBE． …………………… 18分 （第13题图）ABCD EMN所以AE MD ·AD NE ＝1，所以AD ·AE ＝DM ·EN ＝22BD ·22EC ＝ 12BD ·CE ． 即 2 AD ·AE ＝BD ·CE ． …………………… 22分 （方法二）过点D ，E 分别作BC 的平行线，交AC ，AB 于点D 1，E 1． 则∠D 1DC ＝∠DCB ．因为∠ABE ＝∠BCD ，所以 ∠E 1BE ＝∠D 1DC ．…………………… 6分因为△ABC 是等腰直角三角形，且∠A ＝90°， 所以△A E 1E 和△ADD 1都是等腰直角三角形，从而 E 1E ＝2AE ，D 1D ＝2AD ，∠A E 1E ＝∠AD 1D ＝45°．…………………… 12分在△BE 1E 和△DD 1C 中， ∠E 1BE ＝∠D 1DC ，∠BE 1E ＝180°－∠AE 1E ＝180°－∠AD 1D ＝∠DD 1C ， 所以△BE 1E ∽△DD 1C ，所以 E 1E D 1C ＝ BE 1DD 1． …………………… 18分 所以2AE BD ＝ CE2AD，即2 AD ·AE ＝BD ·CE ． …………………… 22分 14．解：（方法一）因为a ＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1＋x 3)＝(1－x 1)(1－x 2)(1－x 3)， 所以a 2＝(1－x 12)(1－x 22)(1－x 32)． （*）…………………… 8分因为a ，x 1，x 2，x 3是整数，所以x 12，x 22，x 32为非负整数．若x 12，x 22，x 32都不小于2，则(1－x 12)(1－x 22)(1－x 32)＜0，而a 2≥0，矛盾． 所以x 12，x 22，x 32中至少有一个等于1或0． …………………… 14分 若x 12，x 22，x 32中有一个等于1，则a ＝0．取x 1＝1，x 2＝－1，x 3为任意实数，符合条件．则ax 1x 2x 3的值为0．…………………… 18分若x 12，x 22，x 32中有一个等于0，取x 1＝0，x 2＝－x 3，符合条件，则ax 1x 2x 3的值也为0． 因此ax 1x 2x 3的值为0． …………………… 22分 （方法二）由(1＋x 1)(1＋x 2)(1＋x 3)＝(1－x 1)(1－x 2)(1－x 3)，（第13题图） A BCDEE 1D 1得x1x2x3＋x1＋x2＋x3＝0．（*）……………………4分若x1，x2，x3全为正数，则x1x2x3＋x1＋x2＋x3＞0，与（*）不符；若x1，x2，x3全为负数，则x1x2x3＋x1＋x2＋x3＜0，与（*）不符；……………………6分若x1，x2，x3中有一个为0，不妨设x1＝0，取x2＝－x3，符合条件，此时ax1x2x3的值也为0．……………………10分若x1，x2，x3中有一个负数，两个正数，不妨设x1＜0，x2，x3＞0，则x2，x3均大于等于1．由于a，x1，x2，x3是整数，所以x1≤－1，x2x3＋1＞1，从而0＝x1x2x3＋x1＋x2＋x3＝x1(x2x3＋1)＋x2＋x3≤－(x2x3＋1)＋x2＋x3，得x2x3＋1－x2－x3≤0，即(x2－1)( x3－1)≤0．……………………16分因此x2，x3中至少有一个取1，则a＝0．取x1＝－1，x2＝1，x3为任意实数，符合条件．从而ax1x2x3的值为0．……………………20分若x1，x2，x3中有一个正数，两个负数，类似的，也可以证得a＝0，从而ax1x2x3＝0．因此ax1x2x3的值为0．……………………22分。
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案)
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（初中组）(2018年12月6日下午14∶00~15∶40)题号一二三总分1—1011—1819202122得分注意事项：1．本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分）1．已知m ≠0，下列计算正确的是（）．A ．m 2＋m 3＝m5B ．m2·m 3＝m6C ．m 3÷m 2＝m D ．(m 2)3＝m 52．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（）．A ．20B ．12C ．10D ．－6 3．设a ＋1与2(a －1)的值互为相反数，则a 的值是（）．A ．3B ．1C ．0D ．134．（n ＋1）边形的内角和比n 边形的内角和大（）．A ．360°B ．180°C ．90°D ．60°5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（）．A ．15B ．14C ．25D ．456．There is a piece of work ．It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and Mr. B 30 alone days to finish ．It takes them （）days to work together to finish the work ．A ．10B ．12C ．15D ．50 7．如图，已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为2，则⊙O 上到直线l 的距离为3的点的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．18．已知方程x 2－2│x │－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）．A ．0B ．－2C ．2D ．89．已知实数a ，b 同时满足a2＋b 2－11＝0，a 2－5b －5＝0，则b 的值是（）．A ．1B ．1，－6C ．－1D ．－610．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知∠ACB ＝90°，BE ＝4，AD ＝7，则AB 的长为（）．A ．10B ．5 3C ．213D ．215二、填空题（每小题5分，共40分）11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低分．密封线姓名学校考号．Ol（第7题）ABEC（第10题）D12．已知函数y 1与y 2分别由下表给出，那么满足y 1＞y 2的x 的值是．x 1 2 3 x 1 2 3 y 1131y 232113．设a >0，5－a 是整数，则a 的值为．14．在图示的运算流程中，若输出的数y ＝5，则输入的数x ＝．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AF ∥EC ，△AFD 与四边形AECF 的面积相等．已知AB ＝6cm ，BC ＝3cm ，则AF 与CE 之间的距离是cm ．16．设直线l 1是函数y ＝2x －4的图象，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是．17．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，与CB 的延长线交于点E ，以BA 、BE 为邻边作长方形BAFE ，连接FD ．若∠C ＝60°，DF ＝3cm ，则BC 的长为cm ．18．在△ABC 中，已知∠ACB=90o ，∠A ＝40o ．若以点C 为中心，将△ABC 旋转θ角到△DEC 的位置，使B 点恰好落在边DE 上（如图所示）．则θ＝o ．三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分）19．已知关于x 的方程（a －1）x 2－4x －1＋2a ＝0的一个根为x ＝3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．FABDEC（第15题）EADCFB（第17题）θ ACD BE（第18题）减1是否是否偶数输入x输出y 除以2（第14题）20．（1）已知恒等式x 3－x 2－x ＋1＝（x －1）（x 2＋kx －1），求k 的值；（2）若x 是整数，求证：x 3－x 2－x ＋1x 2－2x ＋1是整数．21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h （米）与时间t （小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（2）求点P 的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是多少米？t h O5876543214321QP乙甲(米)(小时)22．某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC ，剪出一个平行四边形DEFG ．记□DEFG 的面积为T,（1）如图1，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，D 、G 分别是AB 、AC 的中点．求T （用S 表示）；（2）如图2，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，求证：T ≤12S ；（3）对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 还成立吗？请说明理由．图1ABCDEFGAB CFEDG图22008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．B 3．D4．B5．C6．B7．B8．A9．A10．C ．二、填空题（每小题5分，共40分）11．212．213．1，4，514．10，或1115．1.216．417．118．80．(说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分）三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分）19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2．……………3分所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1．……………………………7分（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9；………………………11分②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1．那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．………………………14分20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx xk xk x ，………………3分所以32321(1)(1)1xxx xk x k x ，从而有11,11.k k 解得k ＝0．………………………………7分（2）322221(1)(1)121(1)xxx x x x xx x ．因为x 是整数，所以x ＋1是整数．故322121xxx x x 是整数．………………14分21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为824（米/小时）．当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为13（米/小时）；当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为52（米/小时）．因为13＜2，2＜52，所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度．……………………4分（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为631th．由.631,82tht h解得.528,56ht 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ．由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等．…………………10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完．当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为22525th．当t ＝4时，25h，即h ＝2.5．所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是 2.5米．……………………14分注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG ∥BC ，且DG ＝12BC ．分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝12AM ．故T ＝12S ．………………………6分（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ．因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ．同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ．同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．T ＝S －S△ADG－S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－14] S＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤12S ．…………………12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形的边上，第四个顶点不在三角形的边上．①当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′，易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′．由（2）知，S □DEF ′G ′≤12S．所以T ≤12S ．②当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两种情形，则图3-1ABCDEF GG ′F ′A图3-2BCDEFGH F ’G ’T= S□DEF′G’’+ S□F′G′GF≤12S△ABH+12S△AHC=S．第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上．①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG与三角形的两边AB、AC分别交于点L、K，作平行四边形MNKL．问题转化为（2）．则T=S□DEFG≤S□MNKL≤12 S．②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE、GF交BC于点K、M，过点K作KN∥DG，交G M于点N．易得四边形DKNG是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形，则T=S□DEFG≤S□DKN′G≤12 S．第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED、FG分别交AB、AC于点K、M，过点K作KN∥DG，交FM于点N．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则T=S□DEFG≤S□EFNK≤1 2 S第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时，如图3-6，延长ED、FG分别交AB、AC于点K、M，过点K作KN∥DG，交FM于点N．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则T=S□DEFG≤S□EFNK≤12 S．综上，对任意剪得的□DEFG，T≤12S成立．…………………18分图3-3AB CDE FGM NKL图3-4AB CDEFGK MN图3-5AB CDEFGKMNAB CDEFG图3-6KMN。
(2020年编辑)江苏省第十七届初一数学竞赛试题及解答
江苏省第十七届初一数学竞赛试题及解答时间：120分钟一、选择题（每小题7分，共56分）以下每题的4个结论中，仅有1个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．1、若a 3的倒数与392-a 互为相反数，则a 等于（ ）． A ．23 B ．23- C ． 3 dg2、若代数式6232+-x x 的值为8，则代数式1232+-x x 的值为（ ）．A ．1B ．2C ． 3D ． 43、若a ＞0＞b ＞c ,,,,1,cba Pbc a N a c b M c b a +=+=+==++则M 、N 、P 之间的大小关系是（ ）．A ．M ＞N ＞PB ．N ＞P ＞MC ．P ＞M ＞ND ． M ＞P ＞N4、某工厂今年计划产值为a 万元，比去年增长10%，如果今年实际产值可超过计划1%，那么实际产值将比去年增长( )A ．11%B ．10.1%C ． 11.1%D ． 10.01%5、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人．三个区在一条直线上，位置如下图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）．A ．A 区B ．B 区C ． A 区D ．D 区6、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为（ ）A ．21B ．24C ． 33D ． 377、用),min(b a 表示a 、b 两数中的较小者，用),max(b a 表示a 、b 两数中的较大者，例如5)5,5max(,3)3,3min(,5)5,3max(,3)5,3min(====．设a 、b 、c 、d 是互不相等的自然数，,),min(,),max(,),max(,),max(,),min(,),min(y n m n d c m b a x q p q d c p b a ======则（ ）．A ．X ＞yB ． X ＜yC ．X ＝ yD ．X ＞y 和X ＜y 都有可能已知：⑴汤姆与父母的血型都相同；⑵汤姆与姐姐的血型不相同；⑶汤姆不是A 型血．那么汤姆的血型是（ ）．A ．OB ．BC ． ABD ． 什么型还不能确定 二、填空题（每小题7分，共56分）9、仓库里的钢管是逐层堆放的，上一层放满时比下一层少一根．有一堆钢管，每一层都放满了，如果最下面的一层有m 根，最上面一层有n 根，那么这堆钢管共有____层． 10、在同一条公路上有两辆卡车同向行驶，开始时甲车在乙车前4千米，甲车速度为每小时45千米，乙车速度为每小时60千米，那么乙车赶上甲车的前1分钟两车相距___米． 11、把两个长3cm 、宽2 cm 、高1 cm 的小长方体先粘合成一个大长方体,再把它切分成两个大小相同的小长方体,最后一个小长方体的表面积最多可能比最初的一个小长方体的表面大__________cm 2．12、已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是__________． 13、一个长方体的长、宽、高分别为9 cm 、6 cm 、5 cm 先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方形．那么，经三次切割后剩余部分的体积为__________cm 3．14、今年某班有56人订阅过《初中生数学学习》，其中，上半年有25名男生、15名女生订阅了该杂志，下半年有26名男生、25名女生订阅了该杂志，那么只在上半年订阅了该杂志的女生有__________名．15、电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为_____米．（圆周率π取3.14计算） 16、如下图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC=2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为_________．三、解答题（每小题12分，共48分）17、有一张纸，第一次把它分割成4片，第二次把其中的一片分割成4片，如此进行下去，试问：⑴经5次分割后，共得到多少张纸片？⑵经n次分割后，共得到多少纸片？⑶能否经若干分割后共得到2003张纸片？为什么？不能，因为2003-1不能整除318、从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路（两段路的长度不等但坡度相同）．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路比走平路时的速度快20%，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．⑴判断a与b的大小；⑵求a与b的比值．19、如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．⑴能否分成5张满足上述条件的纸片？可以⑵能否分成6张满足上述条件的纸片？不行（若能分，有“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．）20、某公园门票价格，对达到一定人数的团队，按团体票优惠，现有A、B、C三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．⑴这三个旅游团各有多少人？⑵在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符：参考答案：二、填空题9、1+-n m 10、250 11、10 12、2，7，11，13或1，14，11，13 13、73 14、3 15、282.6 16、307 17、（1） 16 （2）3n+1 （3）若能分得2003片，则3n+1=2003，3n=2002，n 无整数解，所以不可能经若干次分割后得到2003张纸片． 18、（1）因为上学比放学用时少，即上学比放学走的上坡路少，所以a ＜b （2）把骑车走平路时的速度作为“1”（单位速度），则上坡时的速度为0.8，下坡时的速度为1.2，于时518.02.1,612.18.0=+=+b a b a 可得b a 38=，即83=b a ． 19、（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有1×1，1×2，1×3，1×4，1×5或1×1，1×2，1×3，2×2，1×5，画出示意图（略）（2）若能分成6张满足条件的纸片，其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形纸片的面积之和为1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5=19，所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 20、（1）360+384+480－72=1152（元） 1152÷72=16（元/人），即团体票是每人16元，因为16不能整除360，所以A 团未达到优惠人数，若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360︰384︰480=15︰16︰20，即三个团的人数分别为725115⨯、725116⨯、725120⨯，这都不是整数（只要指出其中某一个不是整数即可），不可能，所以B 、C 两团至少有一个团本来就已达到优惠人数，这有两种可能：①只有C 团达到；②B 、C 两团都达到．对于①，可各C 团人数为480÷16=30（人），A 、B 两团共有42人，A 团人数为423115⨯，B 团人数为423116⨯，不是整数，不可能；所以必是②成立，即C 团有30人，B 团有24人，A 团有18人．（2）（团体票人数限制也可是“须超过18人”等）。
最新江苏省无锡市中考数学竞赛试卷附解析
江苏省无锡市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是（ ）A ．2cmB ．C ．6cmD ．8cm把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ˊB ˊC ˊ，那么锐角A 、A ˊ的余弦值的关系为（ ）A ．cosA ＝cosA ˊB ．cosA ＝3cosA ˊC ．3cosA ＝cosA ˊD ．不能确定 3．矩形、正方形、菱形的共同性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．每一条对角线平分一组对角 4．下列命题的逆命题是假命题的有（ ）①平行四边形的对角线互相平分；②两个图形成中心对称，那么它们全等；③如果a=b ，那么a 2=b 2；④三角形的中位线平行于第三边．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，E 为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（ ）A ．55°B ．35°C ．25°D ．30° 6．下面四个语句：①内错角相等； ②OC 是∠AOB 的角平分线吗？③π不是有理数．其中是真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ”时，应假设（ ） A ．a 不垂直于cB ．a ，c 都不垂直bC ．a ⊥cD ．a 与c 相交 8．要了解全市八年级学生身高在某一范围内的学生所占比例的大小，需要知道相应样本的 （ ）A ．平均数B ．最大值C ．众数D ．频率分布 9．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．43>mB ．43≥mC ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m 10．学校快餐店有2元，3元，4元三种价格的饭菜供师生选择（每人限购一份）．右图是某月的销售情况统计图，则该校师生购买饭菜费用的平均数和众数是（ ）A ．2.95元，3元B ．3元，3元C ．3元，4元D ．2.95元，4元11．如图，AB ∥CD ，那么（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠412．化简1(1)(1)n n a a +-+-（n 为正整数）的结果为（ ）A ．0B ． -2C ． 2D ．2 或-2二、填空题13．如图，直线 AB 经过⊙O 上一点 C ，且OA=OB ，CA= CB ，则直线 AB 与⊙O 的位置关系是 ． 14．某灯泡厂的一次质量检查，从 2000 个灯泡中抽查了 100 个，其中有 8个不合格，则出现不合格的灯泡的频率为 ，在这2000 个灯泡中，估计将有 个灯泡不合格.15．若函数ｙ＝（ｍ＋１）231m m x++是反比例函数，则m 的值为 .－216．圆的半径等于2cm ，圆内一条弦长为23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离为 cm.17．命题“如果a>b ，b>c ，那么a >c”是 命题．18．在相同条件下，对30辆同一型号的汽车进行耗油1 L 所行驶路程的试验，根据测得的数据画出频数分布直方图如图所示．本次试验中，耗油1 L 所行驶路程在13．8～14．3 km 范围内的汽车共有 辆．30辆汽车耗油1 L 所行驶路程的频数分布直方图19．若22a a a a =-- 成立，则a 的取值范围是 ． 20．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为____________．21．已知正方形的面积是2296x xy y ++，0x >，0y >，则正方形的边长是 .22．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是 .23．某初一2班举行“激情奥运”演讲比赛，共有甲、乙、丙三位选手，班主任让三位选手抽签决定演讲先后顺序，从先到后恰好是甲、乙、丙的概率是 ．24．小明、小伟、小红三位同班同学住在A 、B 、C 三个住宅区，如图所示，A 、B 、C 三点共线，且AB=60 m ，BC=100m ，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点．为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在 ．25．若整式A 与23a b -的积等于(224a 6b ab -)，则A= .26． 计算1422-÷⨯的结果为 ． 三、解答题27．如图所示是一个四棱柱，小红同学画出了它的三种视图. 请你判断小红画得对吗？如果不对，指出其错误，并画出正确的视图.28．某车站在春运期间为改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t (以下简称购票用时，单位为分钟)．下面是这次调查统计分析得到的频数分布表和频数分布直方图．解答下列问题：(1)这次抽样的样本容量是多少?(2)在表中填写缺失的数据并补全频数分布直方图；(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组?(4)若每增加一个购票窗口可以使平均购票用时降低5分钟，要使平均购票用时不超过10分钟，那么请你估计最少需增加几个窗口?29．有8张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到8的一个自然数．从中任意抽出一张卡片，请计算下列事件发生的概率：(1）卡片上的数是偶数；(2）卡片上的数是3的倍数．30．如图，从建筑物顶端A处拉一条宣传标语条幅到地面C处，为了测量条幅AC的长，在地面另一处选一点D，使D、C、B（B为建筑物的底部）三点在同一直线上，并测得∠D=40°，∠ACB=80°，求∠DAC的度数．ABDC【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．C4．C5．B6．A7．D8．D9．C10．A11．C12．A二、填空题13．相切.14．0.08,16015．16．1或317．真18．1219．a>220．0.521．22．3x y以AB为对称轴作轴对称图形，再向右平移8格23．124．6B25．2ab26．-16三、解答题27．小红画的三视图中，左视图，俯视图都是正确的；主视图是错误的，因为少画了两条看不见的轮廓虚线.如解图所示是正确的主视图.28．⑴样本容量是100；⑵50，0.10， 略；⑶第4小组；⑷至少增加2个窗口. 29．（1）21=P ；（2）41=P ． 30．40°。
江苏初中数学试题及答案
江苏初中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是圆的面积公式？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = r²答案：A2. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足x² = 9 + 16，那么第三边长x是多少？A. 5B. 3C. √13D. √25答案：C3. 一个数的相反数是-8，则这个数是：A. 8B. -8C. 16D. -16答案：A4. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 26C. 28D. 30答案：A5. 一个分数的分子是5，分母是10，这个分数化简后的结果是：A. 0.5B. 0.1C. 1/2D. 5/10答案：C6. 一个数的平方是36，那么这个数是：A. 6B. ±6C. 36D. ±√36答案：B7. 以下哪个选项是不等式x+2>5的解集？A. x>3B. x>5C. x<3D. x<58. 一个数的立方是-27，那么这个数是：A. 3B. -3C. 27D. -27答案：B9. 以下哪个选项是方程2x-3=7的解？A. x=5B. x=3C. x=1D. x=7答案：A10. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为5cm，那么它的周长是多少厘米？A. 16B. 21C. 22D. 26答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
12. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长是______。
答案：5cm13. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：414. 一个数的立方根是3，那么这个数是______。
答案：2715. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
答案：2三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个等腰三角形的顶角是80°，求它的两个底角的度数。