中考数学复习切线的概念判定性质[人教版]
人教版九下数学第二十四章 第2节 第2课时 切线的判定与性质
人教版九下数学第二十四章第2节第2课时切线的判定与性质课标要求:了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念、性质和判定,探索切线与过切点的半径的关系教材分析:切线的性质和判定它是学了直线和圆三种位置关系之后提出的,切线的性质和判定定理是研究三角形的内切圆,切线长定理的基础。
学好它今后数学和物理学科的学习会有很大的帮助。
学情分析:学生在七、八年级基础上有了一定的分析、归纳和简单的逻辑推理能力,以及通过添加辅助线解决几何问题的能力,本节课通过学生动脑动手进一步提升学生的识图能力和总结经验方法的能力。
学之难,教之困,思维误区与障碍:学生普遍的问题是看到题没思路,不会用已学知识,方法解决问题,没有捕捉典型图的能力,识图能力弱,分析能力弱,缺少给什么想什么,缺什么找什么的意识,导致没思路,而且思路不清,逻辑关系混乱,推理过程繁琐。
教学目标:1.通过练习回顾知识,形成相应的知识结构,从而整体复习圆的切线的判定定理与性质定理。
2.通过题组练习,让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题,并进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力。
3.通过运用圆的切线的判定定理和性质定理解决数学问题的过程中,拓宽了解题思路,提高了解题技巧,从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
教学重点:让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题,并归纳总结运用切线的性质和判定解决问题的方法。
教学难点:掌握切线性质和判定解决问题的方法,并能灵活运用。
教学环节一、知识回顾在上面三个图中,直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__.设计意图通过具体图形形象直观的感受切线的特征。
通过几个图形的识别复习了切线的三种判定方法。
以及判定和性质的符号语言。
二、新课导入问题1:我们这一章主要研究了什么图形?请大家看图,你有什么样的方法判断直线与圆相切呢?生活动:教师引导,在图形中,直线l满足了什么条件?“,我们可以把直线与圆相切的定义,从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义?引导学生得出:d=r板书:今天我们重点研究切线,如何判断一条直线是否是某个圆的切线呢?定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.数量关系法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,∠BAC 的平分线交 BC 于 D,以 D为圆心,DB 长为半径作⊙D .求证:AC 是⊙O 的切线.证明:如图,过 D 作 DE ⊥AC 于 E.∵∠ABC = 90°∴ DB ⊥AB.∵ AD 平分∠BAC ,DE ⊥AC ,∴ DE = DB = r实例引入法切线的性质与判定的内容看似与生活关系不大,实际上,生活中有不少的圆的切线的例子.本节课的教学中可以从生活中的实例引入,提出问题,激发学生的求知欲.如图所示,下雨天,快速转动雨伞时雨滴飞出的方向和用砂轮打磨工件火星飞出的方向都是沿圆的切线方向飞出的.那么,怎么判定是不是圆的切线呢?图1通过实例引出问题,让学生带着问题去听课,加强学习的针对性,增强学生的听课效果,并让学生明确本节课的知识目标.二:提出问题,问题1:我们这一章主要研究了什么图形?请大家看图1,你能过圆上的点A 画出⊙O 的什么线? 师生活动:学生思考,并动手画一画,然后教师借助几何画板演示,过点A 的无数条直线中,有圆的割线、切线,割线可以画出无数条,而圆的切线只有一条. O A l设计意图:通过问题,引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系,为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫.由旧知得出新知,探索切线的判定定理问题2:在生活中,有许多直线和圆相切的实例,你能举出几个吗?设计意图:通过展示实际生活中的图片,让学生感受切线与现实有着密切的联系. 问题3:在图1中,除了上面提到的当直线与圆有唯一公共点时,直线是圆的切线.我们还可以根据什么判断一条直线是圆的切线?你能过点A画出⊙O的切线吗?师生活动:让学生回顾上节课所学内容,什么是圆的切线?学生思考得出,要想准确画出圆的切线,就得出现d=r,因此得需要做出半径r和d.连接OA,过点A 作直线l⊥OA,则此时直线l是⊙O的切线(如图2).问题4:你能从图形的角度概括上面得出的结论吗?师生活动:教师引导,在图形中,直线l满足了什么条件?“垂直于半径”、“经过半径的外端”.为了便于应用,我们可以把直线与圆相切的定义,从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义?引导学生得出:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,同时引导学生得出切线判定定理的符号语言.设计意图:通过问题,引导学生借助旧知得到新知,也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理;学生通过自己思考,动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA⊥l于A∴ l 是⊙O 的切线.4.运用定理,解决问题.例2. 如图,△ABC 中,AB = AC ,以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P ,PE ⊥AC 于 E. 求证:PE 是 ⊙O 的切线.证明:连接 OP ,如图.∵ AB = AC ,∴∠B =∠C.∵ OB = OP ,∴∠B =∠OPB.∴∠OPB =∠C.∴ OP ∥AC.∵ PE ⊥AC ,∴ PE ⊥OP.∴ PE 为 ⊙O 的切线.三.探索切线的性质定理.问题1:把得到的切线的判定定理中题设结论反过来,结论还成立吗?如图3,l 为⊙O 的切线,切点为A ,那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直? 师生活动:学生通过观察思考,发现半径OA 垂直于直线l.师生讨论后发现直接证明垂直并不容易.此时引导学生可以考虑反证法:假设OA 与直线l 不垂直,过点O 作OM ⊥l ,根据垂线段最短的性质,有OM <OA ,这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ,于是直线l 就与圆相交,而这与直线l 是⊙O 的切线矛盾.因此OA 与直线l 垂直.从而得到切线的性质定理,同时引导学生得出切线性质定理的符号语言. 切线的性质 O A B E P O A 图3 l圆的切线垂直于经过切点的半径.∵直线 l 是⊙O 的切线,A 是切点,∴直线 l⊥OA例1:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线师生活动:教师引导学生分析证明思路:1中由于直线AB经过⊙O上的点C,所以连接OC,只需证OC⊥AB即可。
天津市中考数学一轮专题复习 切线的性质与判定-人教版初中九年级全册数学试题
切线的性质与判定一选择题:1.如图,P是⊙O直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A的度数为()°°°°2.如图,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则⊙C的半径为()3.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上一点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E 等于()°°°°4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm的长为半径作圆,则⊙C与AB 的位置关系是( )5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°,则∠ACB度数是( )A.80° B.110° C.120° D.140°6.已知如图, AB 是半圆 O 的直径,弦. AD 、 BC 相交于点 P ,那么等于∠ BPD 的()A.正弦 B.余弦 C.正切 D.以上都不对7.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°,则∠DFE度数是()A.55° B.60° C.65° D.70°8.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是()A. B. C.3 D.29.如图,△ABC中AB=AC=5,BC=6,点P在边AB上,以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F,则⊙P 的半径PE的长为( )A. B.2 C. D.⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,若∠CPD=20°,则∠CAP等于()°°°°°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形,如果所剪得的两个正方形边长都是1,那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是()A.4:5B.2:5C.:2D.:12.如图,点A、B分别在x轴、y轴上(),以AB为直径的圆经过原点O,C是的中点,连结AC,BC.下列结论:①; ②若4,OB =2,则△ABC的面积等于5; ③若,则点C的坐标是(2,),其中正确的结论有()13.一个直角三角形的斜边长为8,内切圆半径为1,则这个三角形的周长等于 ( )A.21 B.20 C.19 D.1814.如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是()A. B. C. D.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点,则r的取值X围是()A.r≥1 B.1≤r≤C.1≤r≤D.1≤r≤416.如下图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.下面四个结论:①ED是⊙O的切线;②BC=2OE;③△BOD为等边三角形;④△EOD∽△CAD.正确的是()A.①② B.②④ C.①②④ D.①②③④17.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是()B. C. D.18.如图,在平面直角坐标系中,直线经过、,的半径为2(为坐标原点),点是直线上的一动点,过点作的一条切线,为切点,则切线长最小值为( )A. C. D.19.如图,在△ABC中,AB=10,AC =8,BC=6,经过点C且与边相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ 长度的最小值是()A. B. C. D.20.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA于D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,则下列结论:①AG=CH;②GH=;③直线GH的函数关系式;④梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,⊙P的半径为.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二填空题:21.如图,点D为AC上一点,点O为AB上一点.AD=DO,以O为圆心,OD长为半径作圆,交AC于另一点E,交AB于点F,G,连接EF,若∠BAC=220,则∠EFG的大小为(度)22.如图,⊙O是以数轴原点O为圆心,半径为3的圆,与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点,OB平分∠AOC,点P在数轴上运动,过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点,则线段OP的取值X围是.⊙O等高,如图放置,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC相交于点E,则CE的长为cm.24.如图,直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M、N两点,现有半径为1的动圆圆心位于原点处,并以每秒1个单位的速度向右作平移运动.已知动圆在移动过程中与直线MN有公共点产生,当第一次出现公共点到最后一次出现公共点,这样一次过程中该动圆一共移动秒.25.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值是.26.如图,点P在双曲线y=(x>0)上,⊙P与两坐标轴都相切,点E为y轴负半轴上的一点,过点P作PF ⊥PE交x轴于点F,若OF-OE=8,则k的值是.27.如图,在正方形ABCD中,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ.给出如下结论:①DQ与半圆O相切;②;③∠ADQ=2∠CBP;④cos∠CDQ=.其中正确的是(请将正确结论的序号填在横线上).28.如图,扇形OAB的半径为4,∠AOB=90°,P是半径OB上一动点,Q是弧AB上的一动点.(1)当P是OB中点,且PQ∥OA时(如图1),弧AQ的长为;(2)将扇形OAB沿PQ对折,使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点(如图2).若OP=3,则O到折痕PQ 的距离为.29.如图,平面直角坐标系中,分别以点A(﹣2,3),B(3,4)为圆心,以1、2为半径作⊙A、⊙B,M、N分别是⊙A、⊙B上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值等于.30.如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A 出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A →B滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过路线围成的图形面积为.三简答题:31.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以O为圆心,OA为半径的⊙O经过点D.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD=5,DC=3,求AC的长.32.如图,已知AB是⊙的直径,AC是弦,点P是BA延长线上一点,连接PC,BC.∠PCA=∠B (1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若PC=6,PA=4,求直径AB的长.33.如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为,OP=1,求BC的长34.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于E点,D为BC的中点.求证:DE与⊙O相切.35.如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点D,点E为的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点G.(1)求证:AB=AG;(2)若DG=DE,求证:GB2=GC•GA;(3)在(2)的条件下,若tanD=,EG=,求⊙O的半径.36.如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若OF∶OB=1∶3,⊙O的半径为3,求的值.37.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.38.如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且AC=CF,∠CBF=∠CFB.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;(2)若点D,点E分别是弧AB的三等分点,当AD=5时,求BF的长和扇形DOE的面积;(3)填空:在(2)的条件下,如果以点C为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5,则r 的取值X围为.39.如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)求证:ED平分∠BEP;(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.40.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)试说明DF是⊙O的切线;(2)若AC=3AE,求tanC.参考答案5.B6.B7.C.8.B.9.A【解答】解:连结CP,作AH⊥BC于H,如图,设⊙P的半径为r,∵AB=AC=5,∴BH=CH=BC=3,∴AH==4,∵以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F,∴PE⊥BC,PF⊥AC,∵S△ABC=S△PAC+S△PBC,∴BC×AH=BC×PE+AC×PF,即6×4=6r+5r,∴r=.故选A.13.C17.B解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,∵⊙P的圆心坐标是(3,a),∴OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3,∴D点坐标为(3,3),∴CD=3,∴△OCD为等腰直角三角形,∴△PED也为等腰直角三角形,∵PE⊥AB,∴AE=BE=AB=×4=2,在Rt△PBE中,PB=3,∴PE=,∴PD=PE=,∴a=3+.故选:B.20.D.试题分析:①∵四边形OABC是矩形,∴OE=BE,BC∥OA,OA=BC,∴∠HBE=∠GOE,∵在△BHE和△OGE中,∠HBE=∠GOE,OE=BE,∠HEB=∠GEO,∴△BHE≌△OGE(ASA),∴BH=OG,∴AG=CH.④如图2,连接BG,∵在△OCH和△BAG中,CH=AG,∠HCO=∠GAB,OC=AB,∴△OCH≌△BAG(SAS),∴∠CHO=∠AGB.∵∠HCO=90°,∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,∴OH平分∠CHF,∴∠CHO=∠FHO=∠BGA.∵△CHE≌△AGE,∴HE=GE.∵在△HOE和△GBE中,HE=GE,∠HEO=∠GEB,OE=BE,∴△HOE≌△GBE(SAS),∴∠OHE=∠BGE.∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,∴∠BGA=∠BGE,即BG平分∠FGA.∵⊙P与HG、GA、AB都相切,∴圆心P必在BG上.过P做PN⊥GA,垂足为N,则△GPN∽△GBA,∴,设半径为r,则,解得r=.故选D.0 22.0<OP≤3 23. 3 cm. 24.2 25.26.1627.①③【解答】解:①如图1连接DO,OQ,在正方形ABCD中,AB∥CD,AB═CD,∵P是CD中点,O是AB中点,∴DP∥OB,DP═OB,∴四边形OBDP是平行四边形,∴OD∥BP,∴∠1=∠OBQ,∠2=∠3,又∵OQ=OB,∴∠3=∠OBQ,∴∠1=∠2,在△AOD和△QOD中,,∴△AOD≌△QOD,∴∠OQD=∠A=90°,∴DQ与半圆O相切,①正确;②如图2连接AQ,可得:∠AQB=90°,在正方形ABCD中,AB∥CD,∴∠ABQ=∠BPC,设正方形边长为x,则CP=x,由勾股定理可求:BP=,∴cos∠BPC=,cos∠ABQ=,∴=,又AB=x,可求,BQ=x,PQ=x,∴=,②不对;③如图3连接AQ,OQ,由①知,∠OQD=90°,又∠OAD=90°,可求∠ADQ+∠AOQ=180°,∵∠3+∠AOQ=180°,∴∠3=∠ADQ,由②知,∠1+∠4=90°,又∠4+∠CBP=90°,∴∠CBP=∠1,∵OA=OQ,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠1+∠2,∴∠3=2∠CBP,∴∠ADQ=2∠CBP,故③正确;④如图4,过点Q作QH⊥CD,易证QH∥BC,设正方形边长为x,由②知:PQ=x,cos∠BPC=,可求:PH=x,HQ=x,∴DH=DP+PH=x,由勾股定理可求:DQ=x,∴cos∠CDQ==,故④不正确.综上所述:正确的有①③.28.(1)π;(2).【解答】解:(1)如图1,连接OQ,∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点,∴OP=2,OQ=4,∵PQ∥OA,∴∠BPQ=∠AOB=90°,∴∠1=30°,∴∠2=∠1=30°,由弧AQ的长==π,故答案为:π;(2)如图2,找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′、O′B、O′C、O′P,则OM=O′M,OO′⊥PQ,O′P=OP=3,点O′是所在圆的圆心,∴O′C=OB=4,∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点,∴O′C⊥AO,∴O′C∥OB,∴四边形OCO′B是矩形,在Rt△O′BP中,O′B==2,在Rt△OBO′K,OO′==2,∴OM=OO′=×2=,即O到折痕PQ的距离为,故答案为:.29.﹣330.4-π31.(1)证明:连接OD;∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠3.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴OD∥AC.∴∠ODB=∠ACB=90°.∴OD⊥BC.∴BC是⊙O切线.(2)解:过点D作DE⊥AB,∵AD是∠BAC的平分线,∴CD=DE=3.在Rt△BDE中,∠BED=90°,由勾股定理得:,在Rt△AED和Rt△ACD中,,∴Rt△AED ≌ Rt△ACD∴AC=AE,设AC=x,则AE=x,AB=x+4,在Rt△ABC中,即,解得x=6,∴AC=6.32.1)证明:连接OC,如图所示:∵AB是⊙的直径,∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°,∵OB=OC,∴∠2=∠B,又∵∠PCA=∠B,∴∠PCA=∠2,∴∠1+∠PCA=90°,即PC⊥OC,∴PC是⊙O的切线;(2)解:∵PC是⊙O的切线,∴PC2=PA•PB,∴62=4×PB,解得:PB=9,∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5.33.1)证明略(3分)(2)BC=234【解答】解:连接OD,OE,∵O,D分别是AB,BC中点,∴OD∥AC,∴∠2=∠A,∠3=∠1,∵OA=OE,∴∠A=∠3,∴∠1=∠2,在△OED和△OBD中,,∴△OED≌△OBD,∴∠OED=∠ABC=90°,∴DE⊥OE,∵点D在⊙O上,∴DE与⊙O相切.35.(1)证明:如图,连接OB.∵AB为⊙O切线,∴OB⊥AB,∴∠ABG+∠OBG=90°,∵点E为的中点,∴OE⊥CD,∴∠OEG+∠FGE=90°,又∵OB=OE,∴∠OBG=∠OEG,∴∠ABG=∠FGE,∵∠BGA=∠FGE,∴∠ABG=∠BGA,∴AB=AG;(2)证明:连接BC,∵DG=DE,∴∠DGE=∠DEG,由(1)得∠ABG=∠BGA,又∵∠BGA=∠DGE,∴∠A=∠D,∵∠GBC=∠D,∴∠GBC=∠A,∵∠BGC=∠AGB,∴△GBC∽△GAB,∴,∴GB2=GC•GA;(3)连接OD,在Rt△DEF中,tanD=,∴设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,∵DG=DE,∴DG=5x,∴GF=DG﹣DF=x.在Rt△EFG中,由勾股定理得GF2+EF2=EG2,即(3x)2+x2=()2,解得x=1,设⊙O半径为r,在Rt△ODF中,OD=r,OF=r﹣3x=r﹣3,DF=4x=4,由勾股定理得:OF2+FD2=OD2,即(r﹣3)2+(4)2=r2,解得r=,∴⊙O的半径为.36.解:(1)连接OD,∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF,∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF,∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°,而OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线(2)∵OF∶OB=1∶3,∴OF=1,BF=2,设BE=x,则DE=EF=x+2,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE,而∠ADO=∠A,∴∠BDE=∠A,又∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴==,即==,∴x=2,∴==37.(1)证明:连接OD,∵PD切⊙O于点D,∴OD⊥PD,∵BE⊥PC,∴OD∥BE,∴∠ADO=∠E,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠OAD=∠E,∴AB=BE;(2)有(1)知,OD∥BE,∴∠POD=∠B,∴cos∠POD=cosB=,在Rt△POD中,cos∠POD=,∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,∴,∴OA=3,∴⊙O半径为3.38.(1)证明见解析;(2),;(3)<r<.(1)∵∠CBF=∠CFB,∴CB=CF,又∵AC=CF,∴CB=AF,∴△ABF是直角三角形,∴∠ABF=90°,∴直线BF是⊙O的切线;(2)连接DO,EO,∵点D,点E分别是弧AB的三等分点,∴∠AOD=60°,又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°,又∵∠ABF=90°,AD=5,∴AB=10,∴BF=;扇形DOE的面积==;(3)连接OC,则圆心距OC=,由题意得,<r<,故答案为:<r<.39.(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3).(2)∵AB、CD为⊙O的直径,∴∠AEB=∠CED=90°,∴∠3=∠4(同角的余角相等),又∵∠PED=∠1,∴∠PED=∠4,即ED平分∠BEP;(3)设EF=x,则CF=2x,∵⊙O的半径为5,∴OF=2x﹣5,在RT△OEF中,,即,解得x=4,∴EF=4,∴BE=2EF=8,CF=2EF=8,∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵AB=10,BE=8,∴AE=6,∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,∴△AEB∽△EFP,∴,即,∴PF=,∴PD=PF﹣DF==.40.(1)证明见试题解析;(2).试题解析:(1)连接OD,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线;(2)连接BE,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵AB=AC,AC=3AE,∴AB=3AE,CE=4AE,∴BE==AE,在RT△BEC中,tanC==.。
圆的切线的性质和判定(教案)
切线的判定与性质(复习)教案一、教学内容:中考数学复习——切线的判定与性质二、教学目标:1、知识技能:(1)掌握切线的判定定理,能判断一条直线是否为圆的切线;(2)掌握切线的性质定理,能利用切线的性质定理解决相关问题。
2、能力技能(1)通过观察、比较切线的判定方法,发展学生的推理与归纳能力;(2)学生通过运用切线的性质解决问题的过程,逐渐形成用数学语言表述问题的能力。
(3)通过学习添加辅助线,提高思维能力。
3.情感、态度与价值观经历复习圆的切线的判定与性质的过程,发展学生的数学思考能力;通过积极引导,帮助学生有意识地积累学习经验,获得成功的体验;利用数学中的素材,设计具有挑战性的情景,激发学生求知、探索的欲望.三、重、难点:重点:掌握切线的判定定理和性质定理难点:切线的判定定理和性质定理应用四、教学过程(一)知识简要归纳——温故而知新1.经过半径的 并且 的直线是圆的切线。
如图所示,它的符号语言表示为:2.判断一条直线是否为圆的切线,现已有 种方法:一是看直线与圆公共点的个数:( 与圆有 公共点的直线是圆的切线)二看圆心到直线的距离d与圆的半径之间的关系;(当d r 时,直线是圆的切线) 三是利用 。
3.认真观察下列图形,看看下列说法是否正确(1).与圆有公共点的直线是圆的切线. ( )(2).和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; ( )(3).垂直于圆的半径的直线是圆的切线; ( )(4)4.切线的性质定理:圆的切线 的半径。
如图所示,它的符号语言表示为:(二)、合作探究图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5)例1直线A B经过⊙O上的点C,并且O A=O B,C A=C B,求证:直线A B是⊙O的切线.归纳小结:象例1 这种证明方法可简记为:有“切点”,连半径,证垂直。
例2:已知:O为∠B A C平分线上一点,O D⊥A B于D,以O为圆心,O D为半径作⊙O。
求证:⊙O与A C相切。
初中数学切线性质和切线长知识点归纳
初中数学切线性质和切线长知识点归纳切线性质和切线长切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角同学们,看了这些学问点的介绍,很熟识了吧,要准时复习哦。
这样才能记得更好的。
中考物理学问归纳:压强和浮力1.压力:垂直作用在物体外表上的力叫压力。
2.压强:物体单位面积上受到的压力叫压强。
3.压强公式:P=F/S ,式中p单位是:帕斯卡,简称:帕,1帕=1牛/米2,压力F单位是:牛;受力面积S单位是:米24.增大压强方法 :(1)S不变,F↑;(2)F不变,S↓ (3) 同时把F↑,S↓。
而减小压强方法则相反。
5.液体压强产生的缘由:是由于液体受到重力。
6.液体压强特点:(1)液体对容器底和壁都有压强,(2)液体内部向各个方向都有压强;(3)液体的压强随深度增加而增大,在同一深度,液体向各个方向的压强相等;(4)不同液体的压强还跟密度有关系。
7.液体压强计算公式:,〔ρ是液体密度,单位是千克/米3;g=9.8牛/千克;h是深度,指液体自由液面到液体内部某点的竖直距离,单位是米。
〕8.依据液体压强公式:可得,液体的压强与液体的密度和深度有关,而与液体的体积和质量无关。
9.证明大气压强存在的试验是马德堡半球试验。
10.大气压强产生的缘由:空气受到重力作用而产生的,大气压强随高度的增大而减小。
11.测定大气压强值的试验是:托里拆利试验。
12.测定大气压的仪器是:气压计,常见气压计有水银气压计和无液气压计〔金属盒气压计〕。
13.标准大气压:把等于760毫米水银柱的大气压。
1标准大气压=760毫米汞柱=1.013×105帕=10.34米水柱。
14.沸点与气压关系:一切液体的沸点,都是气压减小时降低,气压增大时上升。
中考数学切线的性质总复习
⒉切线还有什么性质? 切线还有什么性质?
观察右图: 观察右图: 如果直线AT 如果直线 的切线, 是 ⊙O 的切线, A 为切点,那么 为切点, AT和半径 是 和半径OA是 和半径 是一定垂直? 不 是一定垂直?
O AM T
[切线的性质定理] 切线的性质定理] 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 推论1 推论2 推论2 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的性质
学习目的
掌握切线的性质定 理及其推论, 理及其推论,并能运 用它们解决有关问题
问题: 问题: ⒈前面我们已学过的切线的性质有哪些? 前面我们已学过的切线的性质有哪些? 答:①,切线和圆有且只有一个公共点; 切线和圆有且只有一个公共点; ②,切线和圆心的距离等于半径. 切线和圆心的距离等于半径.
A D O
B
∠ADC=90° ° △ABD为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 ∠ABD=45° °
△ABC为直角三角形 为直角三角形 AD=DC
AD=DB
练习4 练习 求证: 求证:经过直径两端点的切线互相平行
已知:如图, 的直径, 已知:如图,AB 是⊙O的直径, 的直径 AC,BD是⊙O的切线 的切线. , 是 的切线 求证: 求证 AC‖BD ‖ 证明:如图, 证明:如图, AC,BD是⊙O的切线 , 是 的切线 AB 是⊙O的直径 的直径 AB⊥AC ⊥ AB⊥BD ⊥ A C
证明:如图,连接OC, 则 证明:如图,连接 OC⊥AB ⊥ 根据垂径定理, 根据垂径定理,得 AC=BC
A C
O
B
的中点. ∴ C是AB的中点 是O中,AB为直 中 为直 为弦, 径, AD为弦, 过B点的切 为弦 点的切 线与AD的延长线交于点 的延长线交于点C, 线与 的延长线交于点 , 且AD=DC 的度数. 求∠ABD的度数 的度数 解: AB为直径 为直径 BC为切线 为切线 C ∠ABC=90° ° ∠ADB=90° °
中考数学一轮复习几何部分专题21:切线的判定与性质(教师用,附答案)
中考数学一轮复习几何部分专题21:切线的判定与性质必考知识点:1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。
必考例题:【例1】如图,AC 为⊙O 的直径,B 是⊙O 外一点,AB 交⊙O 于E 点,过E 点作⊙O 的切线,交BC 于D 点,DE =DC ,作EF ⊥AC 于F 点,交AD 于M 点。
(1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)EM =FM 。
分析:(1)由于AC 为直径,可考虑连结EC ,构造直角三角形来解题,要证BC 是⊙O 的切线,证到∠1+∠3=900即可;(2)可证到EF ∥BC ,考虑用比例线段证线段相等。
证明:(1)连结EC ,∵DE =CD ,∴∠1=∠2 ∵DE 切⊙O 于E ,∴∠2=∠BAC ∵AC 为直径,∴∠BAC +∠3=900∴∠1+∠3=900,故BC 是⊙O 的切线。
(2)∵∠1+∠3=900,∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ,∴EF ∥BC ∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD =CD ,∴EM =FM【例2】如图,△ABC 中,AB =AC ,O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证:AC 是⊙O 的切线。
分析:由于⊙O 与AC 有无公共点未知,因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ,证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明:连结OD 、OA ,作OE ⊥AC 于E∵AB =AC ,OB =OC ,∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线,∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ,∴OE =OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图,已知AB 是⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,切点为B ,OC 平行于弦AD ,OA =r 。
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)求OC AD ⋅的值;(3)若AD +OC =r 29,求CD 的长。
平面几何中的证明:中考数学切线与割线
平面几何中的证明:中考数学切线与割线在平面几何中,切线与割线是经常出现的重要概念。
在中考数学中,对于这些概念的掌握以及对于切线、割线相应定理的证明都是非常重要的。
本文将介绍中考数学中切线和割线的基本概念以及相应的证明方法。
一、切线的概念所谓切线,是指一个曲线在某一点上的切线,即这条切线与曲线在该点处相切,并且仅在该点处相切。
二、割线的概念所谓割线,是指一个曲线的两点之间所经过的直线,其中这两点分别不在直线之上,相应地,这条直线也与曲线在这两点上相交。
三、切线定理1.定理一:曲线的任何一点处只有一条切线。
证明:假设曲线在某点处有两条不同的切线,则这两条切线将会构成一个三角形,在这个三角形中,切线段I和切线段II之间将会形成一个锐角或平角,而这是不可能的,因为这个角不可能大于九十度,也不可能小于零度。
所以,曲线在任何一点处只有一条切线。
2.定理二:切线垂直于半径。
证明:取代数较少的 Approa ch在圆心 O 处,画出半径 OA1 . 由于切点 A1 处的切线仅在该处与圆相切,所以在圆上以点 A1 为圆心绘制一条半径 A1 B 和半径 OA1 之间的夹角定义为β.此时,切点处的切线 T1 就与半径 OA1 处的半径 OA1 垂直;而对于这个锐角的余角β,由余角定理可知,β = α ,所以证毕。
3.定理三:切线与半径夹角相等的定理。
证明:如下图所示,在圆心 O 处,画出半径 OA1 . 对于点 A2(切点),连接 OA2 .则在Δ OA1 A2 中,β = α ,因为圆的半径和切线在切点处垂直。
又因为角β 与角γ 分别为Δ OA2 A1 中的内角和外角,所以γ = β = α (由内角和定理及外角定理可知)。
结合角γ 与角 A2 OA1 所对应的圆周角不等于 90°,即γ ≠ 90°,可以得出切线与半径夹角相等的定理:γ = α 。
四、割线定理1.定理一:割线与该圆的几何平均线段成正比。
中考数学切线的性质
上世纪五十年代初,厂里的中心区还很小。被铁丝网围住的仅仅只有中苏、友好、团结、互助四个村子。后来又增添了独立、自由、富强、民主四个村。
在这个四方的围子里,只有东西两向分别有进出人员的大门。东边的出口,在现在的小学围墙至步步高超市之间,铁丝网下面就是一条较宽的防洪沟,有点类似于古城前的护 城河。西面的出口则在爱国桥头,过河就是尚未被开发的农村用地。
那些外人,如卖菜的农民,来厂探亲的亲朋好友,则必须有人到门卫来引领,他们才被准许进入家属区。
那时,工厂是湘潭市内为数不多的中央直管企业,对外名称最初叫湖南湘潭缝纫机厂,后又改名叫湖南汽轮机厂。这些厂名都直接跟工厂当时生产的主导民品有关。后随着这 些民品下马,工厂才最后定名为江南机器厂。
村子的南面,是正在建设中的主厂区,每天人来车往,十分紧张。而村子的北面,即现在的防洪沟后面,则驻扎着专门负责工厂建设的省建四公司的一干人马。
在我的记忆中,进出家属区的东西口子都有持枪的门卫守着,职工凭工作证,家属凭家属证,而学生则凭学校发的布质校徽出入。校徽就象现在的校牌一样,一律要求用别针 别在左胸前的衣服上。
专题08 切线的性质与判定重难点题型分类(原卷版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介:本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型,具体包含的题型有:切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型;其中,重点是切线的判定这一大类题型,本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型:第I类:用等量代换证半径与直线的夹角等于90°;第II类:用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°;第III类:用全等证半径与直线的夹角等于90°;第IV类:没标出切点时,证圆心到直线的距离等于半径。
本份资料所选题目均出自各名校初三试题,很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用,也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。
切线的性质:告诉相切,立即连接圆心与切点,得到半径与切线的夹角等于090。
1.如图,AB是⊙O的切线,点B为切点,连接AO并延长交⊙O于点C,连接BC.若∠A =26°,则∠C的度数为()A.26°B.32°C.52°D.64°(第1题图)(第2题图)2.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,⊙P与x轴相切于点Q,与y轴交于M (0,2),N(0,8)两点,则点P的坐标是()A.(5,3)B.(3,5)C.(5,4)D.(4,5)3.(长郡)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,O为直角边BC上一点,以O为圆心,OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另一点E.(1)求证:△AOC≌△AOD;(2)若BE=1,BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.4.(师大)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,连接BE,经过C、D、E三点作⊙O,(1)求证:CD是⊙O的直径;(2)若BE是⊙O的切线,求∠ACB的度数;(3)当AB=,BC=6时,求图中阴影部分的面积.切线长定理:5.如图,P A,PB分别切⊙O于点A,B,OP交⊙O于点C,连接AB,下列结论中,错误的是()A.∠1=∠2B.P A=PB C.AB⊥OP D.OP=2OA 6.(长郡)如图,P A、PB切⊙O于点A、B,P A=10,CD切⊙O于点E,交P A、PB于C、D两点,则△PCD的周长是.(第6题图)(第7题图)7.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为()A.44B.42C.46D.478.(青竹湖)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,以AB 为直径作⊙O ,恰与另一腰CD 相切于点E ,连接OD 、OC 、BE .(1)求证:OD ∥BE ;(2)若梯形ABCD 的面积是48,设OD =x ,OC =y ,且x +y =14,求CD 的长.内切圆与外接圆半径问题9.两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm .10.已知,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,AB =10,则三角形内切圆的半径为 .11.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,△ABC 的内切圆半径为1,则△ABC 的周长为( )A .13B .14C .15D .1612.(雅礼)已知三角形三边分别为3、4、5,则该三角形内心与外心之间的距离为_________.13.(长沙中考)如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,∠BAD =∠CAD ,CE ∥AD ,CE 交BA 的延长线于点E ,BC =8,AD =3.(1)求CE 的长;(2)求证:△ABC 为等腰三角形.(3)求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离.14.(青竹湖)如图,在矩形ABCD 中,AC 为矩形ABCD 对角线, DG AC ⊥于点G ,延长DG 交AB 于点E ,已知6AD =,8CD =。
中考数学切线的性质
AM T
[切线的性质定理]
圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1
推论2
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
直线经过切点 切线垂直于半径 经过圆心 垂直于切线 直线经过切点
经过圆心
垂直于切线Leabharlann 经过圆心直线经过切点
D
例 如图,AB为⊙O的 直径, C为⊙O上一点, 2 3 AD和过C点的切线互相 A 垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
AB⊥BD AC∥BD
O D
B
①、切线和圆有且只有一个公共点
②、切线和圆心的距离等于半径
③、圆的切线垂直于经过切点的半径 ④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
作
业
P101
7
8
/ 健康煲汤网
脸面,是她自己别要,咎由自取,那就休要怪他别客气!随着最后壹道防线の解除,他就差拿着壹各放大镜,壹寸壹寸地毯式搜索婉然身上任何壹各可能存有箭伤の地方。可 是,令他极度失望の是,没什么找到任何壹各箭伤,连“疑似”箭伤都没什么,连壹各红点都没什么!望着壹丝别挂却是壹点点箭伤都没什么の婉然,二十三小格直到现在才 明白,原来婉然刚刚那样拼命与他顽抗,就是为咯狠狠地激怒他,以求壹死!猜透咯婉然の心思,他气急败坏地留下壹句意味深长の话:“想死?没什么那么容易!爷别会让 您死,爷只会让您生别如死!”第壹卷 第578章 感谢送走咯皇上壹行,王爷总算如释重负地长长出咯壹口。此时左臂の箭伤痛得他汗水出咯壹身又壹身,即使是萧瑟の秋风 中,竟湿透咯里三层外三层の衣裳。幸好当时出咯松露亭之后,他迅速更换咯新の外袍,所以从外面根本看别出任何异样,但是,当他回到房间,秦顺儿替他脱下湿透の衣服 之后,两人那才发现,他の胳膊早已经肿得老高,留下壹片紫得已经发黑の箭痕,而直接参与咯对抗那枚小箭の地方,皮肤被生生地震裂,肌肉都有些外翻出来。即使受咯那 么重の伤,王爷仍是别敢请太医,否则今晚の壹切就要前功尽弃。好在创伤药是园子里常备の药品,秦顺儿赶快就取咯过来,仔细地给他上咯药,又将伤处用绷带缠上,以便 于伤口尽快愈合。药膏敷在伤处,凉丝丝の,随着药力渐渐渗入皮肤,有效地缓解咯胳膊の疼痛,虽然伤口处仍是突突地跳着痛,但已经是可以忍受范围内の事情咯。包扎好 伤口,他の第壹各想法就是派秦顺儿去跟水清传各话,表达对她の谢意。但是想咯想,他又变咯主意,让秦顺儿给他披上披风,亲自来到咯水清院子。来到水清の住处,他并 没什么派秦顺儿先过去,而是直接进咯院子,刚好见到月影从水清の房间里出来。月影没想到那各时候王爷会亲自过来,于是赶快俯身请安。他急于见到水清,就壹边直接进 咯门,壹边问月影:“您家主子呢?”“回爷,仆役在里间刚歇下咯。”他万没什么料到水清已经歇下咯,因为按照惯例,他若是在园子里,她是需要前来向他请安の。今天 她还没什么过来请安,怎么就歇下咯?那各意外情况让他进退两难。进去吧,她已经歇下咯,他晓得她の睡眠极为别好,壹旦被惊搅,那壹夜都别想再睡咯。别进去吧,他可 是特意来感谢她の,无功而返让他很别甘心。犹豫半响,他只得稍微提高咯些声音对月影说道:“告诉您家主子,爷过来谢谢她。”其实,他那句话就是想亲自对水清说,别 管她是否睡着咯,他都亲自来向她表示咯最真诚の谢意。半天也没什么得到里屋有任何回音,想来她是已经睡着咯,那各结果也是意料之中の事情。累咯整整壹天,原本就是 弱别禁风の身子,如此高强度の操劳,又加上松露亭那惊心动魄の壹幕,精神遭受极度惊吓,别给累坏咯才怪呢。可是他又有些失落与惆怅,他多么希望她能亲耳听到他亲口 说出来の那句感谢の话!他对她尽善尽美の接驾无比赞美,他对她の机智勇敢心生敬佩,她从来都别会辜负咯他の期望,别但别会辜负他の期望,而且永远都会给他带来意料 之外の惊喜。四十三天の王府管家已经做得十分完美,而今日の迎接圣驾则是将那份完美发挥到咯极致,更逞论松露亭那化险为夷の壹幕,她真の是仙女吗?点石成金,化腐 朽为神奇,难道她就是老天爷派给她の仙女,救他于危难?第壹卷 第579章 解释仙女没什么睡着,仙女听到咯他の真心感谢,但是仙女再次假装睡着咯,因为仙女早就预料 到他会前来对她进行壹番感谢,而仙女根本就别想听他の那些所谓感谢の话!她今天之所以会那么做,只是尽壹各诸人の本分而已,她是他の诸人,壹荣俱荣,壹损俱损,她 最天然の职责就是为他排忧解难,尽自己最大の力量协助他。所以她今天の所作所为完全是她份内之事,有啥啊需要他来感谢の呢?假设那件事情也需要感谢,那她岂别是天 天都要感谢他?她要感谢他给咯她那么尊贵体面の地位,那么奢华无忧の生活?而那些也全是他作为壹各王爷,作为壹各男人,理所当然应该给予他の侧福晋应有の生活,是 理所当然の事情。既然他为她做の那壹切都是理所当然,为啥啊她为他做の事情就要接受他の感谢?等咯壹段时间,仍
初中数学切线的性质和判定
图29-3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质,即可得OA⊥PA,OB⊥PB,又由圆周角 定理,求得∠AOB的度数,继而求得∠APB的大小; (2)由切线长定理,可求得∠APO的度数,继而求得∠AOP的度数,易得 PO是AB的垂直平分线,然后利用三角函数的性质,求得AD与OD的长.
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29-6,△ABC 内接于⊙O,∠B=60°,
CD 是⊙O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的一点,
且 AP=AC.
(1)求证:PA 是⊙O 的切线;
(2)若 PD= 3,求⊙O 的直径.
图29-6
切线的性质和判定
解
(1)证明:连接 OA, ∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题,主要是切线长定理的运 用.解决此类问题,常转化到直角三角形中,利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决.
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29-5,设 AB 是⊙O 的直径,如 果圆上点 D 恰使∠ADC=∠B,那么直线 CD 与⊙O 相切吗?若相切,请给出证明.
∴S△AOB=12×AB×OD=12×10 3×5=25 3(cm2).
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线,这两条切 线的长相等,是解题的基本方法.(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理,切线长定理,圆的半径相等紧密相连.
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度: 1. 三角形的内切圆的定义; 2. 求三角形的内切圆的半径.
中考数学切线的性质
A
C
O
AC、BD是⊙ O的切线 AB 是⊙ O的直径
B
D
AB⊥AC AB⊥BD
AC∥BD
①、切线和圆有且只有一个公共点 ②、切线和圆心的距离等于半径 ③、圆的切线垂直于经过切点的半径 ④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
作业
Hale Waihona Puke P10178学习目的
掌握切线的性质定 理及其推论,并能运 用它们解决有关问题
问题: ⒈前面我们已学过的切线的性质有哪些? 答:①、切线和圆有且只有一个公共点;
②、切线和圆心的距离等于半径。
⒉切线还有什么性质?
观察右图:
如果直线AT 是 ⊙ O 的切线, A 为切点,那么 AT和半径OA是 不 是一定垂直?
[切线的性质定理] 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 垂直于切线 直线经过切点
切线垂直于半径 直线经过切点 经过圆心
DC
例 如图,AB为⊙ O的
直径, C为⊙ O上一点, AD和过C点的切线互相
23
1
垂直,垂足为D.
A
O
B
求证:AC平分∠DAB.
证明:如图,连接OC.
DC
CD是 ⊙ O的切线
OC⊥CD AD⊥CD
1 23
OC∥AD
A
∠1=∠2
O
B
OC = OA
∠1=∠3
∠1=∠3
AC平分∠DAB
B
练习1
按图填空:
中考数学切线的性质
D
O
且AD=DC
求∠ABD的度数.
C
解: AB为直径
∠ABC=90°
B
BC为切线
∠ADB=90°
△ABC为直角三角形
AD=DB
AD=DC ∠ADC=90°
△ABD为等腰直角三角形
∠ABD=45°
练习4 求证:经过直径两端点的切线互相平行
已知:如图,AB 是⊙O的直径, AC、BD是⊙O的切线.
求证: AC∥BD
O AM T
; https:// bmi计算公式
;
难道是趁着车少人稀,在马路上撒钉子? “干吗?”修车老汉正好弯下腰,我大吼一声。 兴许太专注撒钉子了,老汉没注意到我已逼近,被吓住了:老汉直直站着没动,左手拿着两个估计来不及撒下去的钉子,右手有一团黑乎乎的东西。 “嗯!”老汉发现是我,顿时轻松了下来, “吓死了!” 苍白的头发,风干的皱纹,微驼的腰背,在晨曦中分外耀眼,我却没了心悸和怜悯,心里只有厌恶和憎恨! “怎么能这样?!”粗话我骂不出口,但声音绝对够大,大到桥下江里的鱼虾大约都能听见。 “嗯!啊?”老汉还是言简意赅,只比刚才多了一个语气词。 “别再 这样了!”哎!面对像乡下父亲一样的老汉,怎么说他好呢? …… 出差回来好长一段时间不用“帮衬”老汉。老汉被我撞见撒钉子后,或许是良心发现了,不再撒钉子,生意也就似乎“冷清”起来,上下班高峰期不再忙得没空站起来,常常见他微驼着背站着朝桥上张望。 我每次都是 呼啸而过,不停一分一秒。 但愿老汉改过自新了! 老汉不知改过了没有,老汉却死了。原本,像老汉这样一个卑微生命的离去,于世人毫无影响,也无人会记挂。然而,老汉在离去后半年,却引起了轰动——本城晚报报道了老汉的事:修车老汉数年如一日,用磁铁吸走不法分子撒在桥 面用来扎车轮胎的钉子,不幸遭遇车祸…… 对照那篇报道,我才
中考数学复习切线的概念判定性质[人教版](201908)
中考知识点切线
中考知识点切线切线是数学中一个重要的概念,在中考数学中也是一个常见的考点。
掌握切线的概念和相关的基本性质,可以帮助我们解决与曲线有关的问题。
本文将以“stepby step thinking”的方式,详细介绍切线的定义、性质和相关解题方法。
一、切线的定义 1. 切线是指与曲线只有一个交点,并且在该交点处与曲线有相同的斜率的直线。
二、切线的性质 1. 切线与曲线在交点处的切点重合。
2. 切线与曲线在交点处的切线斜率相等。
3. 切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、切线的求解方法 1. 已知曲线方程,求切线: a. 求曲线方程的导函数,得到切线的斜率。
b. 将切线的斜率和已知点代入斜截式方程,求得切线方程。
2.已知曲线上一点和切线斜率,求切线:a.将已知点代入曲线方程,得到曲线上的坐标。
b.将曲线上的坐标和已知切线斜率代入斜截式方程,求得切线方程。
3.已知两条曲线的交点,求切线:a.求两条曲线的导数分别得到切线的斜率。
b.将切线的斜率和交点代入斜截式方程,求得切线方程。
四、切线的应用举例 1. 求曲线上某一点的切线方程:例如,已知曲线y = x^2,在点(1,1)处的切线方程。
解:曲线的导函数是y’ = 2x,所以切线的斜率是2。
将斜率和已知点代入斜截式方程,得到切线方程为y = 2x - 1。
2.求曲线与直线的切点和切线方程:例如,已知曲线y = x^2和直线y= 2x + 1的交点和切线方程。
解:将曲线和直线相交,得到方程x^2 = 2x + 1。
解方程得到x = -1和x = 3两个解,对应的y值分别是y = 2和y = 10。
因此,交点为(-1, 2)和(3, 10)。
分别求出切线的斜率为-2和6,代入斜截式方程,得到切线方程为y = -2x + 0和y = 6x + 4。
五、总结切线是与曲线在一个交点处切线斜率相等的直线。
我们可以通过切线的定义和性质,以及相关的解题方法,来求解与切线有关的问题。
人教版数学第二十四章 第2节 切线的判定与性质
人教版数学第二十四章第2节切线的判定与性质一、内容和内容解析本节课的内容是人教版九年级数学下册《圆》这一章的第二节直线和圆的位置关系。
圆是几何学习中的重点难点,尤其是切线的相关知识是中考中的热点与难点。
切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。
除了在证明和计算中有着广泛的应用外,它也是研究三角形内切圆的作法,切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础,所以它是《圆》这一章的重要内容,也可以说是本章的核心。
本节课的教学内容如下:一、切线的判定方法1.定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,但是不常用。
2.数量法(距离法):圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。
3.判定定理(最常用的方法):经过半径的外端,并且垂直半径的直线是圆的切线,这是从位置关系进行判定。
其中使用判定定理时,两个条件缺一不可。
经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、证明切线作辅助线的两种方法1.如果已知直线经过圆上一点,则连接这点和圆心得到辅助半径,再证所作半径与这条直线垂直。
简记:有公共点、连半径、证垂直。
2.如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线。
再证垂线段的长等于半径的长,即为有公共点、作垂直、证半径。
让学生在经历数学知识的探索和发现过程中,体验几何学习中推理的无穷乐趣,感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性。
二、目标和目标解析按照课标要求,学生经历探索切线判定定理的过程,要能够灵活运用会运用切线的判定定理解决问题。
鉴于本节课是新授课,根据《数学课程标准》,数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,所以我确定了如下目标:1.知识与技能:①理解切线的判定定理,并能初步运用它解决简单的问题。
②知道判定切线的常用的三种方法,初步掌握方法的选择。
③掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。
2.过程与方法:①通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力。
中考数学切线的性质
人的一生,总是风风雨雨,恩恩怨怨,跌宕起伏,很多说不准或者说你根本意想不到的事情时不时就会纷至沓来,在你的人生旅途中,你永远不知道下一秒会发生什么,正因为如此,孟郊激动的时 候写出“春风得意马蹄疾,一日看尽长安花。”杜甫悲哀时写出的是“朱门酒肉臭,路有冻死骨。”
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
A D
3角形的三边 都有公共点,则r的取值范围是 . 4.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于 B,OC交⊙O于D,连AD并延长交BC于E. ⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A ⑵若取BE的中点F,连DF. O D 求证:DF是⊙O的切线. M ⑶过点D作DG⊥BC于 EGF B G,OE与DG交于M,试 C 判断DM与GM是否相等,并说明理由.
⑴直线和圆有 公共点时,叫做直线和 圆相切.其中的直线叫做圆的 ,唯一的 公共点叫做 .直线和圆 公共点时,叫 做直线和圆相离.直线和圆有 公共点 时,叫做直线和圆相交. ⑵⊙O的半径为r,O到直线L的距离为d. ① d>r ; ② . 直线L和⊙O相切; ③ . 直线L和⊙O相交;
2.切线的判定和性质
⑴判定定理:经过半径的 是圆的切线. 的直线
⑵性质定理:
①经过圆心垂直于切线的直线必经过 ②圆的切线垂直于 的半径;
. ③经过切点垂直于切线的直线必经过
;
检测练习: 1.设⊙O的半径为R,圆心到直线L的 距离为d,已知R=2,d=3,则直线与圆的 位置关系是 ; 若R=√5,则当 时, 直线与圆相交. 2.如图,以O为圆心,OA为 半径的⊙O交OB于C.若 O C OA=3,AB=4,BC=2,则AB A B 与⊙O的位置关系是 .
复习(一)
切线的概 念· 判定· 性 质
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
知识要点: 1.直线和圆的位置关系:
3.已知⊙O的半径r=7cm,直线a//b, 且a与⊙O相切,圆心O到b的距离为 9cm,则a与b的距离为 . 4.如图,直角梯形ABCD 中,AD//BC ∠A=900,以 A D CD为直径的圆切AB于E. E O 已知AD=3,BC=4,则⊙O B C 的直径为 .
5.如图,D是△ABC的AC边上一点, A 0 且AD:DC=2:1.已知∠C=45 , D 0 ∠ADB=60 .求AB是 C B △BCD的外接圆的切线. O 6.如图,在△ABC B 0 中,∠C=90 ,⊙O切 AB于D,切BC于E, D E 切AC于F,求∠EDF O A C 的度数. F
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC. ⑴求证:DC是⊙O的切线; ⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD· OC的值; ②若有AD+OC=9r/2, 求CD的长.
D A O B
C
课堂作业:
1.⊙O的圆心O到直线L的距离为d,⊙O 的半径为R.若d,R是方程x2-8x+15=0的 两个根时,则直线L与圆的位置关系 是 ;当d,R是方程x2-2x+m=0的两根, 若直线L与圆相切时,m= . 2.如图,OA,OB是⊙O的半 径,OA⊥OB.延长OB到C, 使BC=OB,CD切⊙O于D, 则∠OAD= 度. O B C
; / 布袋除尘器 泊头市净化除尘设备厂
zth40awb
再问:“如你说,便该怎的?”刘晨寂便讲了几样药味,又道:“这倒是险了些,论平常,我也不敢用,但需等到病者痰粘至不能喘息,扶起来, 把这灌下去,倒能好了。”又道:“需早些煎下,一直热着等,上气不接下气时立刻灌下,若早些灌,怕伤了身体,若迟些灌,怕病人就不能吞 咽了。”于大夫走后,因刘晨寂太年轻,进内帏不便,另换个老大夫给表 诊脉,为着道上尊重同僚的本份,方子未动过。刘晨寂虽讲得理路清晰, 别人也未敢就叫他进内院,但今早起,表 病情又凶险,痰越积越重,又只苦咳不出,喘气越来越艰难,丫头们便谈论起刘晨寂前日的说话来。宝 音听得此话,人命关天,倒是要紧,便问:“如今是吃什么方子?”“还是老方,听说不见效。”“刘大夫呢?”“芋大娘吃坏了肚子,他来诊 脉,正好在。”芋大娘是厨中的厨娘,几样小菜、卤味,极是拿得出手,却是馋了点——或者正因为馋了点,厨艺才精进?——怪道宝音刚才在 厨房未见她呢,却原来节下不检点,替人添麻烦。宝音皱皱眉,道:“我去看看芋大娘。”“宝音你在这里!”苍老的声音,邱妈妈气喘吁吁的 赶来。宝音敬她年来,忙迎上前扶住了,又给她行礼,她且顾不得这个,一把扯住宝音,哭诉姑娘不好了,听说有个刘大夫说过一帖奇方,求宝 音帮帮忙,先让人煎上。“有方子,自然能煎,”宝音斥旁边小丫头飘儿道,“府里头药房是作什么的,叫邱妈妈这把年纪跑到这里来找人?” 第六章 前生后世两茫茫(2)飘儿委委屈屈解释:表 现在大夫又不是刘大夫。于大夫去后换了位老大夫嘛不是?刘大夫说的方子,老大夫也看了, 批说太凶险,病灶除去,怕病人也跟着一命呜呼了。药房听说此语,就不敢煎。这也没错啊!邱妈妈耳背,听飘儿的话听了半天,不是帮自己的, 把她气得一推,自己跟宝音啰哩啰嗦的讲,姑娘这病真是凶了,凶得可怕了,老大夫看来不中用,实在不行就试试刘大夫的,左不过不中用。刘 大夫没见病人的面都能说出这些来,照她想是比其他大夫还可信的。宝音当机立断道:“药先煎上,若表 真有刘大夫所说的症状,老大夫有应对 之法还是先用老大夫的,”握握邱妈妈的手,“终是年老沉稳靠得住些。但要是他没法子急救,便照刘大夫的药进上!但愿不必有那么凶险时候 罢!”又道,“你们先去药房传话,我去找刘大夫要那药方。”邱妈妈怀中掏出油纸包藏的一张纸:“我有!上次听她们讲,我央会字的人给我 写下来了!”她对自小乳大的 ,真是忠心耿耿。飘儿与邱妈妈便先往药房去了。宝音晓得大太太、二太太都不太待见表 ,更不愿在表 的病情上 担肩膊,去回了也无用,老太太年纪大了,精神易疲乏,这上下在养神呢,不便打扰,因此一力承担下来,料药