江苏省普通高等学校17年高三数学招生考试模拟测试试题(十八)
(江苏)高三数学-江苏省2017年自主招生模拟考试数学试题 Word版含答案
数学与逻辑试卷毕业学校： 准考证号： 姓名：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟．试卷满分150分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把所选项前的字母代号填在答题卡．．．上的对应题的表格内） 1．关于x 的不等式x －m ＞0，恰有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ▲ ） A ．3＜m ＜ 2 B ．3≤m ＜2C ．3≤m ≤ 2D ．3＜m ≤22．如图，已知AB ∥DE ,∠ABC =75°，∠CDE =145°，则∠BCD 的值为（ ▲ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°3．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝30°，则BD ׃ DC 等于（ ▲ ） A ．33B ．22 C ．21-D ．31-4．已知△ABC 的周长是24，M 为AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积为（ ▲ ）A ．12B ．16C ．24D ．305．对于方程x 2－2|x |+2=m ，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于（ ▲ ）A ．1B ．3C ．2D ．2.56．某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了 （ ▲ ）A ．10%B ．9.9%C ．8.5%D ．8.9%7．已知点P （1－2m ，m －1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AB CD第3题第2题ABCDE8．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0 ，bx 2+cx +a =0 ，cx 2+ax +b =0恰有一个公共实数根，则abc ac b bc a 222++的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知x 、y 均为实数，且满足xy +x +y =5，x 2y +xy 2=6，则代数式 x 2+x y + y 2的值为（ ▲ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1110．四边形ABCD 内部有1000个点，以顶点A 、B 、C 、D 、和这1000个点能把原四边形分割成n 个 没有重叠的小三角形，则个数n 的值为 （ ▲ ）A ．2002B ．2001C ．2000D ．1001二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把结果直接填在答题卡．．．上的对应题中的横线上）11．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2a －|a －b |= ▲ ．12．当x =a 或x =b （a ≠b ）时，代数式x 2－4x +2的值相等，则当x =a +b 时，代数式x 2－4x +2的值为 ▲ ．13．分解因式9－6y －x 2+y 2= ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F在y 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数4y x=的图象过点B 、E ．则 AB 的长为 ▲ ．15．如图，已知M （3，3），⊙M 的半径为2，四边形ABCD 是⊙M 的内接正方形，E16．如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =15，E 、F 分别为矩形外两点，DF =BE = 4，AF =CE =3，则EF 等于 ▲ ．x17．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23=EB AE ，DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB = ▲ ．18．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =78，∠BCD =162，设AD 、BC 延长线交于E ，则∠AEB = ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：2131|()2sin 602---o（2）先化简，再求值：2121(1)1a a a a ++-⋅+，其中a 21.20．（本题满分6分）如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CN // AB ，DN 交AC 于点M ，MA = MC ． 求证：CD = AN ．时，S max ＝52＝25＜174. 当t ∈(5，10]时，S max ＝10×10－25＝75＜174. …………………10分 当t ∈(10，30]时，令－41t 2＋15t －50=174， …………………11分MBDA BCD FEG第17题第16题D CEBFABADC第18题解得t 1＝28，t 2＝32，10＜t ≤30，故t ＝28，所以河流污染发生28h 后将侵袭到乙城. …………………12分26．（本题满分10分）解：（1）由题意，∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10∵ AP =DE =x ，∴AD =PE =54x ，PD =53x ， …………………1分 点E 落在边BC 上，PE ∥AB ，∴AC CP =AB PE ，∴88x =504x∴ x =41200 …………………3分（2）∵△EDB 为等腰三角形①若DE =EB （如图）作EM ⊥AB 于M ，则DM =21DB =PE =AD =103， ∴54x=103，∴ x =625，∴AP =625………………………5分 ②若BD =DE （如图） x =10－54x ，解之x =950，∴AP =950。
江苏省普通高等学校2017年高三数学招生考试模拟测试试题(十)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高．13一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，B ＝{－1，2，5}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝(i 是虚数单位)，则|z|＝________．2＋i1－i 3. 书架上有3本数学书，2本物理书．若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________． S←1For I From 1 To 7 Step 2 S←S＋I End For Print S5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________．7. 已知实数x ，y 满足则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．{x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，)8. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方310体的棱长为________．9. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝，cosB ＝，则π435边c ＝________．10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为13DC → BD → AD → BC→ ________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A 、B 两点．若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．13.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)＝2x ＋，设g(x)＝m2x 若函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是{f （x ），x >1，f （－x ），x ≤1，)________．14. 设函数y ＝的图象上存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直{－x3＋x2，x <e ，alnx ，x ≥e )角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．[－π2，π2]16.(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面ACC 1A 1是正方形，点O 是侧面ACC 1A 1的中心，∠ACB＝，M 是棱BC 的中点．求证：π2(1) OM∥平面ABB 1A 1；(2) 平面ABC 1⊥平面A 1BC.如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16 km 处，直线AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：① 垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；② 垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)．现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t 和50 t ，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x 0，y 0)是椭圆C ：＋y 2＝1上一点，从原x24点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r>0)作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.(1) 若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；(2) 若r ＝.255① 求证：k 1k 2＝－；14② 求OP·OQ 的最大值．已知函数f(x)＝的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，其中e 是自然对数的底数．axex (1) 求实数a 的值；(2) 若对任意的x∈(0，2)，都有f(x)＜成立，求实数k 的取值范围；1k ＋2x －x2(3) 若函数g(x)＝lnf(x)－b(b∈R )的两个零点为x 1，x 2，试判断g′的正负，(x1＋x22)并说明理由．设数列{a n}共有m(m∈N，m≥3)项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m－i 项a i＋1，a i＋2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i－B i(i＝1，2，3，…，m－1)．(1) 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；(2) 若数列{a n}是单调数列，且满足a1＝1，r i＝－2，求数列{a n}的通项公式；(3) 试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n＋c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(m∈N，m≥3)，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由(十)1. {－1} 解析：由A ＝{－1，1}，B ＝{－1，2，5}，则A∩B＝{－1}．本题考查了集合交集的概念，属于容易题．2. 解析：z ＝＝＋i ，|z|＝＝.本题主要考查复数的模的概1022＋i 1－i 1232(12)2 ＋(32)2 102念及除法运算等基础知识，属于容易题．3. 解析：基本事件数共10种，取出的2本书都是数学书的事件有(数1，数2)，310(数1，数3)，(数2，数3)，共3种，则取出的2本书都是数学书的概率为.本题考查了310古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．4. 17 解析：由题设伪代码的循环体执行如下：S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17.本题考查伪代码的基础知识，属于容易题．5. 17 解析：360×＝18人，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17.20400本题主要考查分层抽样的概念，属于容易题．6. 解析：由题设知抛物线的方程为y 2＝2px ，将P(1，3) 代入y 2＝2px ，得92p ＝，即抛物线焦点到准线的距离为p ，即为.本题主要考查抛物线的方程，以及p 的几9292何意义，属于容易题．7. －3 解析：画出可行域发现z ＝x －y 过点(1，4)时，z ＝x －y 取得最小值－3.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．8. 2 解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，该正方体的棱长310为2.本题主要考查简单的几何体的体积问题，属于容易题．9.7 解析：由cosB ＝，得sinB ＝，则sinC ＝sin(A ＋B)＝，由正弦定理得35457210＝，得c ＝7.本题主要考查和差角公式，以及利用正弦定理解三角形．本题属于a sinA csinC 中等题．10. 20 解析：a n ＞0，前n 项和S n ＞0, S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，则(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，S 9－S 6＝(S 6－S 3)2/S 3＝(S 6－2S 3＋S 3)2/S 3＝(5＋S 3)2/S 3＝(S ＋10S 3＋25)23/S 3＝S 3＋ 25/S 3＋ 10，由均值不等式得：当且仅当S 3＝5时，S 3＋25/S 3有最小值5＋5＝10，此时S 3＋25/S 3 ＋10有最小值10＋10＝20，则S 9－S 6的最小值为20.本题主要考查等比数列的性质以及基本不等式．本题属于中等题．11. －2 解析：由AB ＝AC ＝3，cos∠BAC＝，利用余弦定理得BC ＝2，·＝133AD → BC→·＝·＋·，而由利用余弦定理知cosB ＝，可得·＝－2.本(AB → ＋13BC → )BC → AB → BC → 13BC → BC → 33AD →BC → 题主要考查余弦定理和向量的数量积问题．本题属于中等题．12. x±3y ＋4＝0 解析：由设AB 的中点为H ，连接AC ，HC ，设HC ＝y ，AH ＝x ，则由勾股定理得：，得tan HPC=，则k=，直线l 过22229255x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y ==∠13±13点P(－4，0)，则直线l 的方程为x±3y ＋4＝0. 本题主要考查垂径定理，勾股定理，斜率与倾斜角的关系．本题属于中等题．13. 解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)＝2x ＋，由f(0)＝0，[－32，32]m 2x得m ＝－1，作出y ＝g(x)的图象，再作直线y ＝t ，可以发现当t∈时，y ＝g(x)的[－32，32]图象与直线y ＝t 有且只有一个交点，即函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点，所以实数t的取值范围是.本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了利用导数求最值和恒[－32，32]成立问题．本题属于难题．14. 解析：不妨设点P 在y 轴左侧，Q 在y 轴右侧，P 一定在y ＝－x 3＋x 2(0，1e ＋1]上．① 若Q 在y ＝－x 3＋x 2上，设Q(x ，－x 3＋x 2)，则P(－x ，x 3＋x 2)，OP⊥OQ，·＝－x 2＋(x 3＋x 2)(x 2－x 3)＝0，所以x 4－x 2＋1＝0，无解．② 若Q 在OQ → OP→ y ＝alnx 上，设Q(x ，alnx)(x≥e)，则P(－x ，x 3＋x 2)，OP⊥OQ，·＝－x 2＋alnx(x 3＋x 2)＝0，化简得alnx(x ＋1)＝1.因为a≠0，所以OQ → OP→ lnx(x ＋1)＝.设f(x)＝lnx(x ＋1)(x≥e)，f′(x)＝lnx ＋＋1，x≥e 时，f′(x)>0恒成1a 1x 立，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(e)，即lnx(x ＋1)≥e＋1，所以≥e＋1，即0＜a≤1a .本题突出了函数思想和分类讨论思想，考查了向量数量积处理垂直问题、利用导数求1e ＋1最值问题．本题属于难题．15. 解：(1) 由图象知，A ＝2，(2分)又＝－＝，ω＞0，所以T ＝2π＝，得ω＝1.(4分)T 45π6π3π22πω所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z )，即(π3，2)π3π2φ＝＋2kπ(k∈Z )．π6又－＜φ＜，所以φ＝.(6分)π2π2π6所以f(x)＝2sin.(8分)(x ＋π6)(2) 当x∈时，x ＋∈，(10分)[－π2，π2]π6[－π3，2π3]所以sin ∈，即f(x)∈[－，2]．(14分)(x ＋π6)[－32，1]316. 证明：(1) 在△A 1BC 中，因为O 是A 1C 的中点，M 是BC 的中点，所以OM∥A 1B.(4分)又OM 平面ABB 1A 1，A 1B 平面ABB 1A 1，所以OM∥平面ABB 1A 1.(6分)⊄⊂(2) 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，所以CC 1⊥BC.又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC 1，AC 平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC＝C ，所以BC⊥平面π2⊂ACC 1A 1.(8分)而AC 1平面ACC 1A 1，所以BC⊥AC 1.⊂又ACC 1A 1是正方形，所以A 1C⊥AC 1.而BC ，A 1C 平面A 1BC ，且BC∩A 1C ＝C ，所以⊂AC 1⊥平面A 1BC.(12分)又AC 1平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面A 1BC.(14分)⊂17. 解：(解法1)由条件①，得＝＝.(2分)PA PB 503053设PA ＝5x ，PB ＝3x ，则cos∠PAB＝＝＋，(6分)（5x ）2＋162－（3x2）2×16×5x x 1085x 所以点P 到直线AB 的距离h ＝PAsin∠PAB＝5x·1－(x 10＋85x )2 ＝＝，(10分)－14x4＋17x2－64－14（x2－34）2＋225所以当x 2＝34，即x ＝时，h 取得最大值15 km ，34即选址应满足PA ＝5 km ，PB ＝3 km.(14分)3434(解法2) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．(2分)则A(－8，0)，B(8，0)．由条件①，得＝＝.(4分)PA PB 503053设P(x ，y)(y ＞0)，则3＝5，（x ＋8）2＋y2（x －8）2＋y2化简，得(x －17)2＋y 2＝152(y ＞0)，(10分)即点P 的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x 轴上方的半圆．则当x ＝17时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15 km.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中且坐标为(17，15)．(14分)18. (1) 解：因为椭圆C 右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M 的坐标为，3(3，±12)(2分)从而圆M 的方程为(x －)2＋＝.(4分)3(y ±12)2 14(2) ① 证明：因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以＝，即(4－5x )25520k ＋10x 0y 0k 1＋4－5y ＝0，(6分)2120同理，有(4－5x )k ＋10x 0y 0k 2＋4－5y ＝0，20220所以k 1，k 2是方程(4－5x )k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y ＝0的两根，(8分)2020从而k 1k 2＝＝＝＝－.(10分)14② 解：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，联立解得{y ＝k1x ，x24＋y2＝1，)x ＝，y ＝，(12分)2121同理，x ＝，y ＝，22所以OP 2·OQ 2＝·＝·＝·(14分)≤＝，当且仅当k 1＝±时取等号．所以OP·OQ 的最大值为.(16分)254125219. 解：(1) 由题意得f′(x)＝，因函数在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，所a （1－x ）ex以f′(0)＝＝1，得a ＝1.(4分)a1(2) 由(1)知f(x)＝＜对任意x∈(0，2)都成立，所以k ＋2x －x 2＞0，即x ex 1k ＋2x －x2k ＞x 2－2x 对任意x∈(0，2)都成立，从而k≥0.(6分)又不等式整理可得k ＜＋x 2－2x ，令g(x)＝＋x 2－2x ，ex x exx 所以g′(x)＝＋2(x －1)＝(x －1)＝0，得x ＝1，(8分)ex （x －1）x2(exx2＋2)当x∈(1，2)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以k ＜g(x)min ＝g(1)＝e －1.综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．(10分)(3) 结论是g′＜0.(11分)(x1＋x22)证明：由题意知函数g(x)＝lnx －x －b ，所以g′(x)＝－1＝，1x 1－xx 易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以只需证明＞1即可．(12分)x1＋x22因为x 1，x 2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x 2－x 1＝ln .{x1＋b ＝lnx1，x2＋b ＝lnx2，)x2x1不妨令＝t ＞1，则x 2＝tx 1，则tx 1－x 1＝lnt ，所以x 1＝lnt ，x 2＝lnt ，x2x11t －1tt －1即证lnt>2，即证φ(t)＝lnt －2·>0.(14分)t ＋1t －1t －1t ＋1因为φ′(t)＝－＝>0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，1t 4（t ＋1）2（t －1）2t （t ＋1）2所以φ(t)>φ(1)＝0.综上所述，函数g(x)总满足g′<0成立．(16分)(x1＋x22)20. 解：(1) 因为a n ＝2n 单调递增，所以A i ＝2i ，B i ＝2i ＋1，所以r i ＝2i －2i ＋1＝－2i ，1≤i≤m－1.(4分)(2) 若{a n }单调递减，则A i ＝a 1＝1，B i ＝a m ，所以r i ＝a 1－a m >0，不满足r i ＝－2，所以{a n }单调递增．(6分)则A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1，所以r i ＝a i －a i ＋1＝－2，即a i ＋1－a i ＝2，1≤i≤m－1，所以{a n }是公差为2的等差数列，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，1≤n≤m－1.(10分)(3) 构造a n ＝n －，其中b n ＝n ，c n ＝－.(12分)(12)n (12)n下证数列{a n }满足题意．证明：因为a n ＝n －，所以数列{a n }单调递增，(12)n所以A i ＝a i ＝i －，B i ＝a i ＋1＝i ＋1－，(14分)(12)i (12)i ＋1所以r i ＝a i －a i ＋1＝－1－，1≤i≤m－1.(12)i ＋1因为r i ＋1－r i ＝－[－1－(12)i ＋2 ][－1－(12)i ＋1 ]＝>0，(12)i ＋2所以数列{r i }单调递增，满足题意．(16分)(说明：等差数列{b n }的首项b 1任意，公差d 为正数，同时等比数列{c n }的首项c 1为负，公比q∈(0，1)，这样构造的数列{a n }都满足题意．)。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx 12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
江苏省普通高等学校17年高三数学20套随堂小测试试题
随堂小测评(一)1. 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A∪B)＝____________．2. 函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是__________．3. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →²PB →的最大值为____________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S←1I←1 While I<8 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________．6. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝____________．7. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝__________．1. 设集合M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝__________． 2. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只颜色不同的概率为________．3. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，若函数f(x)＝sin(3x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝__________．4. 对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ① 若m∥α，m ⊥n ，则n⊥α； ② 若m⊥α，m ⊥n ，则n∥α； ③ 若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ； ④ 若m⊥α，m ∥n ，n β，则α⊥β. 其中正确的命题是__________．(填序号)5. 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__________．6. 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为__________．7. 将函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为________．1. 已知集合M ＝{x|x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x|y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M∩N＝__________．2. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线的离心率为__________．3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________．4. 已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x ＞1.若函数f(x)的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为____________．6. 已知常数t 是负实数，则函数f(x)＝12t 2－tx －x 2的定义域是____________． 7. 在体积为V 的三棱锥SABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥SAPC 的体积大于V3的概率是____________．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N M ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z 满足z －－2＝i(1＋i)(i 为虚数单位)，则z ＝____________．3. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为____________．4. 若一组样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为____________．5. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤2，x －y≥－1，x ＋y≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为__________．6. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时{a n }的前n 项和最大．7. 动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得最大值时，k 的值为____________．1. 函数y＝x－1的定义域为A，函数y＝lg(2－x)的定义域为B，则A∩B＝__________．2. 已知复数z＝2i1－i－1，其中i为虚数单位，则z的模为__________．3. 已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(k，－2)，若(a－2b)⊥c，则实数k＝____________．4. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________．5. 下图是一个算法的流程图，则输出的n＝__________．6. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．7. 设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i＝a2i(i＝1，2，3)，则数列{b n}的公比为__________．1. 已知集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{2，2a－1}，A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为__________． 2. 已知复数z ＝(1＋i)(1－2i)(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．3. 现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为__________．4. 已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________ cm 3.5. 已知双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，则m ＝_______．6. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α、β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．7. 已知圆C ：(x －a)2＋(y －a)2＝1(a ＞0)与直线y ＝3x 相交于P 、Q 两点，若∠PCQ＝90°，则实数a ＝________．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝__________．2. 设复数z ＝a ＋i1－i (i 是虚数单位，a ∈R )．若复数z 的虚部为3，则a ＝__________．3. 下图是一个算法的伪代码，输出结果是__________．S←0a←1For I From 1 To 3 Step 1 a←2³a S←S＋a End For Print S4. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．5. 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是__________．6. 设函数f(x)＝x 2＋c ，g(x)＝ae x的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，函数y ＝f(x)－g(x)的负零点在区间(k ，k ＋1)(k∈Z )内，则k ＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝3，当a n ≠0时，a n ＋1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；当a n ＝0时，a n ＋1＝0.则a 2 016＝____________．(注：[x]为不超过实数x 的最大整数，记{x}＝x －[x]．)1. 已知复数z 满足(1－i)z ＝1＋i ，则z 的模为____________．2. 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是__________．3. 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x ≥1，y ≥1，则z ＝x －2y 的最小值为__________．4. 在区间[－1，1]上随机地取一个实数x ，则使得cos πx 2的值介于0到12的概率为__________．5. 已知等差数列{a n }，a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________．6. 如图，圆O 的内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →²AM →＝4，则AB ＝__________．7. 设f(x)＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n(m 、n∈R )是R 上的单调增函数，则m ＝____________．1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若A B ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a²b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．1. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，3，B ＝{x|x 2≥1}，则A∩B＝__________．2. 已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝____________．3. 已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为____________．4. 下图是一个算法流程图，则输出k 的值是____________．5. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA ＝____________．6. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y2x －y的最小值为____________．7. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12也是等比数列，则S n ＝____________．1. 设全集U ＝{x∈N |x≥2}，集合A ＝{x∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝__________． 2. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则a n ＝________.3. 在平面向量a 、b 中，若a ＝(4，－3)，|b|＝1，且a ²b ＝5，则向量b ＝____________．4. 为了解某学校1 500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图，据此估计该校高中男生体重在70～78 kg 的人数为__________．5. 过圆x 2＋(y －2)2＝4外一点A(2，－2)，引圆的两条切线，切点为T 1、T 2，则直线T 1T 2的方程为____________．6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________．7. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时k 为__________．1. 设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝____________． 2. 函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为____________．3. 向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝____________．4. 若不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是 ，则实数a 的取值范围是____________．5. 已知抛物线y 2＝4px(p ＞0)与双曲线x 2a －y2b＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为____________．6. 已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f(a n )，若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11＝____________．7. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________ cm 3.1. 已知tan α＝2，则sin （π＋α）＋cos （π－α）sin （－α）＋cos （－α）＝____________．2. 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是____________．3. 设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则f(x)的极________值点为x ＝________．4. 下面的程序运行后输出的结果为________．x←5y←－20 If x<0 Then x←y－3 Else y←y＋3 End IfPrint x －y ；y －x5. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________．6. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．7. 若数列{a n }中，a 1＝12，且对任意的正整数p 、q ，都有a p ＋q ＝a p ²a q ，则a n ＝____________．1. 设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9<0}，B ＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝____________． 2. 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝____________．3. 设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式为____________．4. “sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)条件．5. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是____________．6. 已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，则当n ＝____________时，a nn 取得最小值．7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝____________．1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为____________．2. 设复数z满足z2＝3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．3. 袋中装有大小相同且质地一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三球上的数恰好能构成等差数列的概率是__________．4. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n＝________．5. 已知四边形ABC D为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．6. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是____________．7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．1. 集合A ＝{0，2}，B ＝{1，a 2}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a ＝____________． 2. 在等差数列{a n }中，若a n ＋a n ＋2＝4n ＋6(n∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝____________．3. 已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )²c 的最大值是________．4. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为____________．5. 已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是____________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x|＋|y －3|的取值范围是____________．1. 设复数z＝1＋i，若1，1z对应的向量分别为OA→和OB→，则|AB→|＝__________．2. 已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝[0，2]，则A∩B＝__________．3. 不等式2x2－x<4的解集为____________．4. 已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为______________．5. 已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n.若S k－a k＋5＝44(k∈N*)，则k＝__________．6. 下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题是__________．(填序号)7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交曲线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________．1. 函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为____________．2. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为____________．3. 已知抛物线y 2＝2px 过点M(2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为____________． 4. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________ m.5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n ＝____________．6. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________．1. 若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1²z 2为纯虚数，则实数a ＝____________．2. 已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．3. 以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4. 已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为____________．5. 已知直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：ax －by ＋1＝0，a 、b∈{1，2，3，4}，则直线l 1与直线l 2没有公共点的概率为____________．6. 若不等式x 2＋2＋|x 3－2x|≥ax 对x∈(0，4)恒成立，则实数a 的取值范围是____________．7. 设函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3和g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx 的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM →²ON →＝__________．1. 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 为____________．2. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为__________．3. 设等差数列{a n }的前n n 576＋a 8＝－2，则当S n 取得最大值时n 的值是__________．4. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)²(AC →＋BD →)＝__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为__________．6. 若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是__________．7. 已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →²AN →的最大值为__________．1. 若复数(a －2)＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝__________．2. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝____________． 3. 为了了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为12，则样本容量是____________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．5. 已知等差数列{a n }满足：a 1＝－8，a 2＝－6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为____________．6. 若抛物线y 2＝8x 的焦点F 与双曲线x 23－y 2n ＝1的一个焦点重合，则n 的值为____________．7. 在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →²AC →的最小值为____________．1. 在复平面内，复数z 1的对应点是Z 1(1，1)，z 2的对应点是Z 2(1，－1)，则z 1²z 2＝__________．2. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的一条对称轴是____________． 3. 已知|a|＝3，|b|＝4，(a ＋b )²(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为__________．4. 运行如图所示的流程图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．5. 已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1²a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝__________．6. 已知△ABC 的面积为12，且sinA ＝14，则1b ＋2c的最小值为__________． 7. 已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使得PA 、PO 、PB 成等比数列，则PA →²PB →的取值范围为____________．1. 已知p ：x 2－2x －3＜0，q ：1x －2＜0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是____________． 2. 复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是____________．3. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为____________．4. 某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为________．5. 已知{a n }是递增数列，且对任意的n∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是____________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，点F 为DE 的中点，则BF →²DE →的值为__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为__________．1. 已知集合M ＝{3，2a}，N ＝{a ，b}，若M∩N＝{4}，则M∪N＝________．2. 已知复数z ＝3－2i i(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．3. 根据如图所示的伪代码，输出的S 的值为________．S←0I←0While I ≤4I←I＋1S←S＋IEnd WhilePrint S4. 设l 、m 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)① 若l⊥α，m ∥β，α⊥β，则l⊥m；② 若l∥m，m ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③ 若l∥α，m ∥β，且α∥β，则l∥m；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，l β，l ⊥m ，则l⊥α.5. 存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是____________．6. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为____________．7. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M 、N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →²CN →的取值范围为____________．1. 已知z²(1＋i)＝2＋i ，则复数z ＝__________．2. 在等比数列{a n }中，已知a 3＝4，a 7－2a 5－32＝0，则a 7＝__________．3. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝12”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．4. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为__________．5. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出________人．6. 若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则这两条直线的斜率之积为__________． 7. 若二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a c 2＋4＋c a 2＋4的最小值为__________．1. 已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－2，－1，0}，则A∩∁U B ＝__________．2. 函数f(x)＝xn 2－3n(n∈Z )是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 若实数m ，n ∈{－1，1，2，3}，且m≠n，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为________．5. 设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝__________．6. 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，所得函数图象关于原点中心对称，则φ＝____________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．1. 若集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{3，4}，则∁U (A∪B)＝__________．2. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)²2－x，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为__________．4. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为__________．6. 已知函数f(x)＝x(|x|＋4)，且f(a 2)＋f(a)＜0，则a 的取值范围是__________．7. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为____________．1. 若复数z ＝(x ＋i)(1＋i)是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z －＝__________．2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为__________．3. 已知A 、B 均为集合U ＝{2，4，6，8，10}的子集，且A∩B＝{4}，(∁U B )∩A＝{10}，则A ＝__________．4. 函数y ＝1x＋2lnx 的单调递减区间为__________． 5. 直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝__________．6. 已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．7. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k∶1，则实数k 的取值范围为__________．随堂小测评(一)1. {4} 解析：A∪B＝{1，2，3}，所以∁U (A∪B)＝{4}．2. [2，3)∪(3，＋∞) 解析：要使函数有意义，x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x≠3. 3. 1 解析：在正三角形ABC 中，内切圆半径r ＝13²32²23＝1，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°，∠POD ＝θ(θ∈[0，π])．PA →²PB →＝(PO →＋OA →)²(PO →＋OB →)＝PO → 2＋(OA →＋OB →)²PO →＋OA →²OB →＝OP → 2＋2OD →²PO →＋OA →²OB →＝OP → 2－2OD →²OP →＋OA →²OB →＝1＋2cos θ＋4cos120°＝2cos θ－1.∴ (PA →²PB →)max ＝1.4. 7 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝3，I ＝4；第2次循环S ＝5，I ＝7；第3次循环S ＝7，I ＝10.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. π3或2π3 解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ，即1sin π6＝3sinB ，解得sinB ＝32.因为b>a ，所以B ＝π3或2π3. 6. 50 解析：由等比数列性质得a 10a 11＝a 9a 12，则a 10a 11＝e 5，∴ lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝ln(a 1²a 2²…²a 20)＝ln[(a 1a 20)²(a 2a 19)²…²(a 10a 11)]＝50. 7. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3²π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2.本题考查ω与周期的关系，以及利用五点作图法逆求φ的值．本题属于中等难度题．随堂小测评(二)1. {－2，0，2} 解析：∵ M＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴ M ∪N ＝{－2，0，2}．2. 56解析：基本事件有6种：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，其中颜色不同的事件有5种，则这2只球颜色不同的概率为56.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．3. －1010 解析：因为角φ的终边经过点P(1，－2)，所以sin φ＝－25，cos φ＝15，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝22(15－25)＝－1010. 4. ④ 解析：①②n 与α可能平行、垂直或在平面α内；③α与γ可能平行、垂直或相交．5. 2x －4y ＋3＝0 解析：当直线l 与直线CP 垂直时，∠ACB 最小．∴ k PC ＝1－012－1＝－2.∴ k l ＝12.∴ l 的方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 6. 8 解析：画出可行域，可知该区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5，2)处时，取得最大值z ＝8.7. －22 解析：由题意g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则3x －3π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，sin(3x －3π4)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.故y ＝g(x)的最小值为－22. 随堂小测评(三)1. (1，＋∞) 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322－14，a ∈R ＝[－14，＋∞)，N ＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，M ∩N ＝(1，＋∞)．2. 3 解析：不妨设P 点在右支上，PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＝6a ，则PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，则∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角，∠PF 1F 2＝30°.cos ∠PF 1F 2＝（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22²4a ²2c ＝3a 2＋c 24ac ＝32.化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－23²c a ＋3＝0，e ＝ 3. 3. 63 解析：设BC ＝a ，AC ＝b ，作CD 垂直AB ，ME 垂直AB ，CM ＝BM ＝a 2，AM ＝b 2＋a 24，CD ＝2ME ，sin ∠BAM ＝ME AM ＝13，ME ＝13AM ，CD ＝ab a 2＋b 2，则12ab ²1a 2＋b 2＝13b 2＋a 24，化简得2b 2＝a 2，所以sin ∠BAC ＝CD AC ＝63. 4. －12 解析：1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）（－i ）2i （－i ）＝－1－i 2，实部为－12.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 5. (－5，0) 解析：当m ＝0时，函数f(x)的图象与x 轴有且只有1个交点；当m>0时，函数f(x)的图象与x 轴没有交点；当m<0时，函数f(x)的图象要与x 轴有且只有两个不同的交点，则f(0)<0，且f(1)>0，得实数m 的取值范围为(－5，0)．本题综合考查了函数思想和数形结合思想的运用．本题属于中等题．6. [3t ，－4t] 解析：12t 2－tx －x 2≥0 (x ＋4t)(x －3t)≤0，∵ t<0，∴ x ∈[3t ，－4t]．7. 23 解析：由题意可知V SAPC V SABC ＞13.如图所示，三棱锥SABC 与三棱锥SAPC 的高相同，因此V SAPC V SABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＝AP AB ＞13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23. 随堂小测评(四)1. 1 解析：由N M 知1∈M，则x ＝1.本题考查了集合的子集的概念．本题属于容易题．2. 1－i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则x －yi －2＝i －1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴ z ＝1－i. 3. x 29－y 227＝1 解析：由渐近线方程y ＝3x ，得b a＝ 3.抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线的一个焦点为(－6，0)，即c ＝6.由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝36，b ＝3a ，得a 2＝9，b 2＝27. 4. 2 解析：8，x ，10，11，9的平均数为10，则x ＝12. 该组样本数据的方差s 2＝(4＋4＋1＋1)÷5＝2.本题考查了平均数和方差公式．本题属于容易题．5. 1 解析：本题画出可行域发现z ＝2x ＋y 过点(0，1)时，z ＝2x ＋y 的最小值为1.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．6. 8 解析：由a 7＋a 8＋a 9＞0得3a 8＞0，a 8＞0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，则a 9＜0，故当n ＝8时，S n 最大．7. －33解析：△AOB 的面积取得最大值，则∠AOB＝90°，则半圆的圆心到直线的距离为12，利用点到直线的距离公式可得k 2＝13，由图形知k ＜0，则k 的值为－33.本题考查三角形面积公式，点到直线的距离公式．本题属于中等题．随堂小测评(五)1. [1，2) 解析：A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，则A∩B＝[1，2)．2. 5 解析：z ＝－2＋i ，z 的模为 5.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 8 解析：a －2b ＝(1，4)，(a －2b )²c ＝k －8＝0，则k ＝8.本题考查了向量的坐标运算，属于容易题．4. －14 解析：由正弦定理a∶b∶c＝2∶3∶4，因此cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－162³2³3＝－14. 5. 9 解析：由流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝2，n ＝3；第2次循环S ＝10，n ＝5；第3次循环S ＝42，n ＝7；第4次循环S ＝170，n ＝9.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. －e 解析：k 1＝e －1，k 2＝a ，两直线垂直，则e －1 a ＝－1，a ＝－e.本题考查了导数的几何意义及两条直线垂直，属于容易题． 7. 3＋2 2 解析：设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d.因为a 1＜a 2，所以d ＞0.又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d)2(a ＋d)2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍去)，则d ＝±2a.若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22＜1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.随堂小测评(六)1. 1 解析：2a －1＝1，a ＝1.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 3 解析：复数z ＝(1＋i)(1－2i)＝3－i ，z 的实部为3.本题考查复数的基本运算和复数实部的概念．本题属于容易题．3. 35解析：从5件产品中任意抽取2件有10种不同的方法，其中抽得一件合格、另一件不合格的方法种数为6种，所以所求的概率为P ＝610＝35.本题主要考查概率知识．本题属于容易题．4. 1＋26 解析：几何体是由一个棱长为1的正方体和一个正四棱锥组成，正方体的体积为1，正四棱锥的高为22，底面积为1，体积为26，则该空间几何体体积V ＝1＋26.本题考查了正方体和正四棱锥的体积．本题属于容易题．5. 2 解析：双曲线x 24－y 2m ＝1(m>0)的渐近线方程为x 24－y 2m ＝0，即y ＝±m 2x ，又双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，所以m ＝2. 本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题．6. cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则cos2α＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝c 2＋a 2a 2＋b 2＋c2，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（c 2＋a 2＋b 2）a 2＋b 2＋c2＝2.本题考查类比问题，考查线面角的概念及简单计算．属于中等题． 7. 52 解析：圆的半径为1，∠PCQ ＝90°，故圆心到直线的距离为22.由点到直线距离公式得|3a －a|9＋1＝22，又a>0，故a ＝52.本题考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中等题．随堂小测评(七)1. {－1，1，3} 解析：B 中的奇数有－1，1，3, A ∩B ＝{－1，1，3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 5 解析：∵ z＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －12＋a ＋12i ，且z 的虚部为3，∴ a ＋12＝3，解得a ＝5.本题主要考查复数的基本概念、基本运算等基础知识，属于容易题．3. 14 解析：图中伪代码表示的算法是S ＝2＋4＋8＝14，所以输出S ＝14.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．4. 13解析：用列举法列出基本事件总数：(一、二)，(一、无)，(二、一)，(二、无)，(无、二)，(无、一)，两人都中奖的基本事件数为2，两人都中奖的概率为13.本题主要考查古典概型的求法．本题属于容易题．5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54. 6. －1 解析：由题意，因为函数f(x)＝x 2＋c 与g(x)＝ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，所以c ＋4＝ae 2＝t ，f ′(x)＝2x ，g ′(x)＝ae x .因为曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，所以f′(2)＝g′(2)，即4＝ae 2，所以a ＝4e 2，c ＝0，f(x)＝x 2，g(x)＝4e2e x .记F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝1－4e >0，F(0)＝f(0)－g(0)＝0－4e＜0，所以F(－1)F(0)＜0，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)的负零点在区间(－1，0)内，故k ＝－1.本题主要考查导数的几何意义、导数的求法，函数零点存在性定理及其应用等基础知识，考查等价转化与数形结合思想，属于中等题．7. 3－12 解析：由已知条件给出的数列递推关系可得a 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13＝13－0＝33，a 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2＝{3}＝3－1，a 4＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3＋12＝3＋12－1＝3－12，a 5＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23－1＝{3＋1}＝3＋1－2＝3－1，由此计算过程可发现，当n 为大于2的奇数时，a n ＝3－1，当n 为大于2的偶数时，a n ＝3－12，故a 2 016＝3－12.本题用新定义创新考查了递推数列，考查了阅读理解与归纳推理能力，属于中等题．随堂小测评(八)1. 1 解析：z ＝1＋i 1－i ＝2i 2＝i ，z 的模为1.本题主要考查复数模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 2. 5 解析：B ＝{0，－1，－2，1，2}．3. －2 解析：画出可行域，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.由图可知，z min ＝－2.本题考查线性规划基础知识．本题属于容易题．4. 13解析：这是一个几何概型，其概率的值就是对应区间长度的比值．因为－1≤x≤1时－π2≤πx 2≤π2，又当－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2时，0≤cos πx 2≤12，此时－1≤x≤－23或23≤x ≤1，故所求概率P ＝13＋132＝13. 5. 20 解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 7＋a 5)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.6. 7 解析：取AC 的中点N ，则AO →＝AN →＋NO →，ON ⊥AC ，则AO →²AC →＝(AN →＋NO →)²AC →＝12|AC →|2.同理AO →²AB →＝12|AB →|2.又AO →²AM →＝4，则AO →²AM →＝12AO →²(AB →＋AC →)＝14|AB →|2＋14|AC →|2＝4，得AB ＝7.本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容．本题属于中等题． 7. 6 解析：f′(x)＝12x 2＋2mx ＋m －3≥0恒成立，则Δ＝4m 2－48(m －3)≤0，即m2－12m ＋36＝(m －6)2≤0，即m ＝6.本题考查函数单调性与导数、一元二次不等式恒成立的条件，本题属于中等题．随堂小测评(九)1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a²b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a²b ＋b 2＝6，两式相减得4a²b ＝4，故a²b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7³62d ＝7，15a 1＋15³142d ＝75 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1， 故S n ＝－2n ＋n （n －1）2³1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2³20＋20³192³12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题．7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即 2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．随堂小测评(十)1. {－1，3} 解析：(－1)2≥1，32≥1，则A∩B＝{－1，3}．本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．2. 1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. y 2－x 23＝1 解析：c ＝2，a ＝1，则b 2＝3，双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1.本题考查抛物线的焦点、双曲线的离心率等概念．本题属于容易题． 4. 6 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环后S ＝38，k ＝2；第2次循环后S ＝34，k ＝3；第3次循环后S ＝26，k ＝4；第4次循环后S ＝10，k ＝5；第5次循环后S ＝－22，k ＝6.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. －14 解析：由正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，则b ＝32c ，a ＝2c ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22²32c ²c ＝－14.6. 4 解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，x 2＋y 2x －y ＝x 2－2xy ＋y 2＋2xy x －y ＝（x －y ）2＋4x －y＝x －y ＋4x －y ≥4，则x 2＋y 2x －y的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用．本题属于中等题．7. 3n －12 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝n ，S n ＋12＝n ＋12，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12不是等比数列；当q≠1时，S n ＝1－q n 1－q ，∴ S n ＋12＝1－q n 1－q ＋12＝1－q n ＋12－12q 1－q ＝12（3－q ）－q n 1－q.∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列，∴ q ＝3，从而S n ＝3n －12. 随堂小测评(十一)1. {2} 解析：∁U A ＝{x∈N |2≤x<5}＝{2}．2. 2n －1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＝9，即3a 1＋3d ＝9，所以a 1＋d ＝3.因为a 1＝1，所以d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 解析：|a|＝5，cos 〈a ，b 〉＝a²b |a||b|＝1，a 、b 方向相同，则b ＝15a ＝⎝⎛⎭⎪⎫45，－35. 4. 180 解析：由频率分布直方图得到体重在70～78 kg 的男生的频率为(0.02＋0.01)³4＝0.12，所以该校1 500名高中男生中体重在70～78 kg 的人数大约为0.12³1 500＝180.5. x －2y ＋2＝0 解析：设切点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则AT 1的方程为x 1x ＋(y 1－2)(y －2)＝4，AT 2的方程为x 2x ＋(y 2－2)(y －2)＝4，则2x 1－4(y 1－2)＝4，2x 2－4(y 2－2)＝4，所以2x －4(y －2)＝4，即x －2y ＋2＝0.6. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 解析：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公比q ＝32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 7. 1 解析：平面区域为三条直线围成的△ABC，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＋2＝0，得A(1，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，kx －y ＝0，得B(1，k)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，kx －y ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1，－2k k ＋1；S ＝12|AB|(1－x C )＝12(k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋4k ＋1＋4.∵ k ≥0，∴ k ＋1>0，∴ S ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（k ＋1）²4k ＋1＋4＝4，当且仅当k ＋1＝4k ＋1，即k ＝1时，等号成立． 随堂小测评(十二)1. [0，4) 解析：因为M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}．2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（log 2x ）2－1>0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12. 3. －12解析：m a ＋b ＝(2m ，3m)＋(－1，2)＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，则－2m ＋1＝12m ＋8，解得m ＝－12. 4. {a|－1＜a ＜3} 解析：由题意得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5. 2＋1 解析：设双曲线的左焦点为F′，连结AF′.∵ F 是抛物线y 2＝4px 的焦点，且AF⊥x 轴，∴ 设A(p ，y 0)，得y 20＝4p³p，得y 0＝2p ，A(p ，2p)，∴ 在Rt △AFF ′中，|AF|＝|FF′|＝2p ，得|AF′|＝22p ，∴ 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距2c ＝|FF′|＝2p ，实轴2a ＝|AF′|－|AF|＝2p(2－1)，由此可得离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝2p 2p （2－1）＝2＋1. 6. 3＋13526 解析：由题意得a 3＝12，a 5＝23，…，a 11＝813.。
江苏省普通高等学校17年高三数学招生考试模拟测试试题(二)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x≤1}，则A∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________． 12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝ex －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD⊥OE；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m (1≤a≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a ＋y2b ＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m ＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题． 8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB →＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧12λ＝x ，13λ＝y①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD →＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分) 因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7. 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC⊥底面ABCD ，平面PAC∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD⊥OE.(6分)(2) 因为AB∥CD，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ， 所以CO∶OA＝CD∶AB＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO∶OA＝PE∶EA，所以EO∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ， 所以EO∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan (∠ACD－∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分) (2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan (∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x≤1或3≤x≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF⊥OP，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分)又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分) 所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bc a2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) (3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c a2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2c a2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c 2a ＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增． 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数． 又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx＋2a 在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(16分)。
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十七) Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA·AC ＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD ，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD，∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0，(6分)设该方程两根为t 1，t 2，则t 1·t 2＝－1.(8分)∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为 右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0，(8分) 所以，原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2，3， P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256， P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256，(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时，结论成立， 即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， 由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k，(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1），即当n＝k＋1时，结论成立．综上，由①和②可知，结论成立．(10分)。
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十七) Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA·AC ＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD ，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD，∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0，(6分)设该方程两根为t 1，t 2，则t 1·t 2＝－1.(8分)∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为 右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0，(8分) 所以，原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2，3， P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256， P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256，(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时，结论成立， 即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， 由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k，(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1），即当n＝k＋1时，结论成立．综上，由①和②可知，结论成立．(10分)。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年江苏省高考数学卷及答案解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1．（5分）已知集合A ={1，2}，B ={a ，a 2+3}．若A ∩B ={1}，则实数a 的值为 ． 2．（5分）已知复数z =（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入x 的值为161，则输出y 的值是 ．（第4题） （第6题） （第12题） 5．（5分）若tan （α﹣4 ）=61．则tan α= ．6．（5分）如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则21V V 的值是 ． 7．（5分）记函数f （x ）=26x x -+定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ． 9．（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=47，S 6=463，则a 8= ． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 11．（5分）已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=，其中e 是自然对数的底数．若)2()1(2a f a f +-≤0．则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与的夹角为α，且tan α=7，与的夹角为45°．若=m +n （m ，n ∈R ），则m +n = ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若⋅≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 ．14．（5分）设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2，其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ，则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含参考答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2x ．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，．【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,1AB AC =--=， 则111111(1cos ,7||||A B AC A B AC A B AC ⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin 4θ==． 因此二面角B -A 1D -A ． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
江苏省普通高等学校17年高三数学招生考试模拟测试试题(十九)
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝__________．2. 已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是__________．3. 一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．(第5题)4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是__________．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值为________．6. 已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为__________．7. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．8. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________ cm 3. 9. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，3x －y≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为________．10. 已知函数f(x)＝sinx (x∈[0，π])和函数g(x)＝12tanx 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为__________．11. 若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4x 与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为__________．12. 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c|的最大值为__________．13. 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为__________．14. 已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.求：(1) CD 的长； (2) △BCD 的面积．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：(1) 平面AMP⊥平面BB1C1C；(2) A1N∥平面AMP.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点M ，N 是椭圆C 上的两点，且四边形POMN 是平行四边形，求点M ，N 的坐标．18. (本小题满分16分)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1＜x ＜14)百元时，该商品的月供给量为y 1万吨，y 1＝ax ＋72a 2－a(a ＞0)；月需求量为y 2万吨，y 2＝－1224x 2－1112x ＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．(1) 若a ＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝exe ，g(x)＝ax －2lnx －a(a∈R ，e 为自然对数的底数)．(1) 求f(x)的极值；(2) 在区间(0，e]上，对于任意的x 0，总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，求a 的取值范围．20. (本小题满分16分)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，3a n ，n ＝2k (k∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值；(3) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，求出所有的正整数对(m ，n)；若不存在，请说明理由.(十九)1. {1，3} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 1－3i 解析：z ＝10i3＋i＝1＋3i ，z 的共轭复数是1－3i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 1 解析：最低分为86，若最高分为9x ，此时平均分不是91，说明最高分为94，去掉86和94，89＋92＋91＋92＋90＋x ＝91×5，则x ＝1.本题主要考查平均分的基础知识．本题属于容易题．4. 14 解析：基本事件数为8种，一次游戏中甲胜出的基本事件数为2种，则所求的概率为14.本题考查用列举法解决古典概型问题．本题属于容易题．5. 3 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环n ＝6，k ＝1；第2次循环n ＝3，k ＝2；第3次循环n ＝1，k ＝3.本题关键是把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. 43解析：F(1，0)，准线方程x ＝－1，由第一象限的点A 到其准线的距离为5，则A(4，4)，则直线AF 的斜率为43.本题考查抛物线方程的特征，直线斜率公式．本题属于容易题．7. 179 解析：S 5S 3＝a 1×5＋12×5×4da 1×3＋12×3×2d＝5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，则d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.本题考查了等差数列的通项与前n 项和的公式的应用．本题属于容易题．8. 96π 解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6，此圆锥的高为8，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π.本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积求法．本题属于容易题．9. 494 解析：设z ＝3x －4y －10，画出可行域，利用线性规划求出－494≤z ≤－7，则|z|的最大值为494.本题考查了线性规划的内容和绝对值的意义．本题属于容易题．10.34π 解析：sinx ＝12tanx ＝12·sinx cosx得2cosxsinx ＝sinx ，(2cosx －1)sinx ＝0，x ∈[0，π]，x ＝π3或0或π，则△ABC 的面积为12×π×sin π3＝34π.本题考查了三角函数的图象和性质，以及同角三角函数的关系．本题属于容易题．11. 71717 解析：设曲线上任意一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1＋4x 0，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋1＋4x 017，当x 0>0时，d ＝4x 0＋1＋4x 017≥917，当x 0<0时，d ＝－4x 0－1－4x 017≥717.综上所述，d min ＝71717.本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用．本题属于中等题．12. 6＋22解析：建立平面直角坐标系，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，令c ＝(x ，y)，则a －c ＝(1－x ，－y)，b －c ＝(－x ，1－y)．∵ (a －c )·(b －c )＝1，∴ x 2＋y 2－x －y ＝1，x ＋y ＝x 2＋y 2－1，(x ＋y)2＝(x 2＋y 2－1)2＝x 2＋y 2＋2xy≤2(x 2＋y 2)，2－3≤x 2＋y 2≤2＋3，6－22≤|c|≤6＋22，|c|max ＝6＋22.本题考查了用解析法解决向量数量积的问题，并利用重要不等式求解或者利用距离模型求解．本题属于中等题．[试题更正：原题中“(a －c )(3b －c )＝1”更正为“(a －c )(b －c )＝1”．]13. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析：x ＋y ＋4＝2xy≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，x ＋y≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取＝.∵ (x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0，∴ (x ＋y)＋1x ＋y≥a.∵ (x ＋y)＋1x ＋y ≥174，则a≤174.本题考查对数函数的性质和基本不等式的运用．本题属于中等题．14. 459 解析：假设圆心所在直线为y ＝kx ，则k －121＋12k ＝2－k1＋2k，k ＝1.故假设圆C 1：(a －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＝a 25，圆C 2：(b －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＝b 25，圆C 1：36a 2－100a ＋65＝0，圆C 2：36b 2－100b ＋65＝0.∴ a＋b ＝10036，a ×b ＝6536，∴ C 1C 2＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝459.本题考查了正切的差角公式、圆的对称性、两点间的距离公式和韦达定理的运用．本题综合性强，属于难题．15. 解：(1) 因为tan ∠ADC ＝－2，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.(2分)所以sin ∠ACD ＝sin(π－∠ADC－π4)＝sin (∠ADC＋π4)＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010.(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD·sin ∠DAC sin ∠ACD ＝ 5.(8分)(2) 因为AD∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55.(10分) 在△BDC 中，由余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC·CD·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7，(12分)所以S △BCD ＝12×7×5×sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7.(14分)16. 证明：(1) 因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以BB 1⊥底面ABC. 因为AM ⊂底面ABC ，所以BB 1⊥AM.(2分) 因为M 为BC 中点，且AB ＝AC ，所以AM⊥BC.又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AM⊥平面BB 1C 1C.(4分)因为AM ⊂平面APM ，所以平面APM⊥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 取C 1B 1中点D ，连结A 1D ，DN ，DM ，B 1C.由于D ，M 分别为C 1B 1，CB 的中点，所以DM∥CC 1且DM ＝CC 1，故DM∥AA 1且DM ＝AA 1.则四边形A 1AMD 为平行四边形，所以A 1D ∥AM.又A 1D 平面APM ，AM ⊂平面APM ，所以A 1D ∥平面APM.(9分)由于D ，N 分别为C 1B 1，CC 1的中点，所以DN∥B 1C. 又P ，M 分别为BB 1，CB 的中点，所以MP∥B 1C. 则DN∥MP.又DN ⊄ 平面APM ，MP ⊂平面APM ，所以DN∥平面APM.(12分) 由于A 1D ∩DN ＝D ，所以平面A 1DN ∥平面APM.由于A 1N ⊂平面A 1DN ，所以A 1N ∥平面APM.(14分)17. 解：(1) 由题意知，1a 2＋94b2＝1，2a ＝4.(2分)解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则ON 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 22，PM 的中点坐标为(1＋x 12，32＋y 12)．因为四边形POMN 是平行四边形，所以⎩⎨⎧1＋x 12＝x 22，32＋y 12＝y 22.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2－1，y 1＝y 2－32.(6分)因为点M ，N 是椭圆C 的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 22＋4y 22＝12，3（x 2－1）2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－322＝12.(8分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32.(12分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－32.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝0. 所以，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，N(2，0)；或M(－2，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32.(14分) 18. 解：(1) 若a ＝17，由y 2＞y 1，得－1224x 2－1112x ＋1>17x ＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫172－17.解得－40<x<6.(3分)因为1<x<14，所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧y 1·x ，1<x<6，y 2·x ，6≤x ＜14.(5分)当1<x<6时，g(x)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x<g(6)＝337.(7分)当6≤x<14时，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1224x 2－1112x ＋1x ，则g′(x)＝－1224(3x 2＋4x －224)＝－1224(x －8)(3x ＋28)，由g′(x)>0，得x<8，所以g(x)在[6，8)上是增函数，在(8，14)上是减函数，当x ＝8时，g(x)有最大值g(8)＝367.(10分)(2) 设f(x)＝y 1－y 2＝1224x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112＋a x ＋72a 2－1－a ， 因为a>0，所以f(x)在区间(1，14)上是增函数．若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6，14)上有零点，(12分)所以⎩⎪⎨⎪⎧f （6）≤0，f （14）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋10a －117≤0，72a 2＋13a>0，解得0＜a≤17.(15分)答：(1) 若a ＝17，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2) 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，17.(16分) 19. 解：(1) 因为f(x)＝ex e x ，所以f′(x)＝（1－x ）eex.(2分) 令f′(x)＝0，得x ＝1.(3分)当x∈(－∞，1)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．所以f(x)在x ＝1时取得极大值f(1)＝1，无极小值．(5分)(2) 由(1)知，当x∈(0，1)时，f(x)单调递增；当x∈(1，e]时，f(x)单调递减．因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(e)＝e ·e 1－e＞0，所以当x∈(0，e]时，函数f(x)的值域为(0，1]．(7分)当a ＝0时，g(x)＝－2lnx 在(0，e]上单调，不合题意；(8分)当a≠0时，g ′(x)＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x，x ∈(0，e]，故必须满足0<2a <e ，所以a>2e.(10分)此时，当x 变化时，g ′(x)，g(x)的变化情况如下：所以x→0，g (x)→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝2－a －2ln a ，g(e)＝a(e －1)－2. 所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g （e ）≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a （e －1）－2≥1.(13分)令m(a)＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a)＝－a －2a ，由m′(a)＝0，得a ＝2. 当a∈(2，＋∞)时，m ′(a)<0，函数m(a)单调递减；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a)>0，函数m(a)单调递增． 所以，对任意a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m(a)≤m(2)＝0， 即2－a －2ln 2a ≤0对任意a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立． 由a(e －1)－2≥1，解得a≥3e －1.综上所述，当a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)．(16分)20. 解：(1) 由题意，数列{a n }的奇数项是以a 1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a 2＝2为首项，公比为3的等比数列． (1分)所以对任意正整数k ，a 2k －1＝2k －1，a 2k ＝2×3k －1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n2－1，n ＝2k (k∈N *)．(3分) (2) ① 当n 为奇数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2×2×3n ＋12－1＝n ＋n ＋2，所以2×3n －12＝n ＋1.令f(x)＝2×3x －12－x －1(x≥1)，由f′(x)＝23×(3)x×ln 3－1≥23×3×ln 3－1＝ln3－1>0，可知f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(1)＝0，所以当且仅当n ＝1时，满足2×3n －12＝n ＋1，即2a 2＝a 1＋a 3.(6分)② 当n 为偶数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，得2(n ＋1)＝2×3n 2－1＋2×3n ＋22－1，即n ＋1＝3n2－1＋3n2，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立． 综上，满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值只有1.(8分) (3) S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝n （1＋2n －1）2＋2（1－3n）1－3＝3n ＋n 2－1，n ∈N *.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.(10分)假设存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1，则3n ＋n 2－1＝m(3n －1＋n 2－1)，所以3n －1(3－m)＝(m －1)(n 2－1)，(*) 从而3－m≥0，所以m≤3.又m∈N *，所以m ＝1，2，3.(12分)① 当m ＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立．② 当m ＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n 2－1)＝0，n ＝1，所以S 2＝3S 1.(14分)③当m＝2时，(*)式可化为3n－1＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n－1＝3k1，n＋1＝3k2且k1＋k2＝n－1，从而3k2－3k1＝3k1(3k2－k1－1)＝2，所以3k1＝1，3k2－k1－1＝2，所以k1＝0，k2－k1＝1，于是n＝2，S4＝2S3.综上可知，符合条件的正整数对(m，n)只有两对：(2，2)，(3，1)．(16分)11。
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试模拟测试附加题数学试题(十七)Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】在A.B.C.D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分．若多做,则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC内接于圆O,BE是圆O的直径,AD是BC边上的高．求证：BA·AC＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T把平面上的点(3,－4),(5,0)分别变换成(2,－1),(－1,2),试求变换T对应的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为π3.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C：ρ＝6cosθ.若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x 为实数,求证：(x 2＋x ＋1)2≤3(x 4＋x 2＋1)．【必做题】 第22.23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X 的分布列．23. 设实数a 1,a 2,…,a n 满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝0,且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |≤1(n ∈N *且n ≥2),令b n ＝a n n (n ∈N *)．求证：|b 1＋b 2＋…＋b n |≤12－12n(n ∈N *)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径,∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD,∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD,∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d , 由题意,得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2,(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数),(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程,得 t 2＋2(3－1)t －1＝0,(6分)设该方程两根为t 1,t 2,则t 1·t 2＝－1.(8分) ∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为 右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0,(8分) 所以,原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意,得X ＝0,1,2,3, P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256, P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764, P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128, P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256,(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时,a 1＝－a 2,∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1,即|a 1|≤12, ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2,即当n ＝2时,结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时,结论成立, 即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0,且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时,有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时,由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0,且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1, ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1,∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0,且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1, 由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k,(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1）,即当n＝k＋1时,结论成立．综上,由①和②可知,结论成立．(10分)。
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江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n i ＝1n x i .柱体的体积V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1U ＝________．2. 已知复数z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为________．3. 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为__________．(第4题)4. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值为__________．5. 已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．6. 将一枚骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m ，n ，则点P(m ，n)在直线y ＝12x 下方的概率为__________．7. 函数f(x)＝1lgx－2的定义域为__________． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为__________．9. 已知两曲线f(x)＝cosx ，g(x)＝3sinx ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点A ，若两曲线在点A处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，则线段BC 的长为__________．(第10题)10. 如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为__________．11. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n∈N *)，则k ＝1100(a k a k ＋1)的值为__________．12. 已知函数f(x)＝x 2＋ax(a∈R )，g(x)＝(f′(x)为f(x)的导函数)．若方程g(f(x))＝0有四个不等的实根，则a 的取值范围是__________．(第13题)13. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点C ，D 在函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的图象上．记AB ＝m ，BC ＝n ，则mn2的最大值为__________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2.若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，n ＝(cosB ，sinB)，且m⊥n .(1) 求A －B 的值；(2) 若cosB ＝35，AC ＝8，求BC 的长．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2BC ，M ，N 分别是棱PA ，CD 的中点．求证：(1) PC∥平面BMN ； (2) 平面BMN⊥平面PAC.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q.(1) 若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2) 若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．18. (本小题满分16分)某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1 m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形．现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1) 若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2) 若四根木条总长为6 m ，求窗口ABCD 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n∈N *)．(1) 若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2) 若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列； (3) 若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.20. (本小题满分16分)设函数f(x)＝xe x－asinxcosx (a∈R ，其中e 是自然对数的底数)． (1) 当a ＝0时，求f(x)的极值；(2) 若对于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x)≥0恒成立，求a 的取值范围；(3) 是否存在实数a ，使得函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(十八)1. {0} 解析：∁U A ＝{0}．本题主要考查补集的概念．本题属于容易题．2. 3＋4i 解析：z ＝3－4i ，则z 的共轭复数为3＋4i.本题主要考查共轭复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 2 解析：通过数据发现乙同学的数据波动大，即方差大，则成绩较稳定(方差较小)的是甲，他的平均成绩为90，方差为2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 3 解析：由流程图知循环体执行3次，第1次循环S ＝11，n ＝3；第2次循环S ＝8，n ＝5；第3次循环S ＝3，n ＝7.本题考查了算法语句及流程图的基本概念．本题属于容易题．5. π∶ 3 解析：由正三棱柱的体积为34a 3，圆柱的体积为πb 34，34a 3＝πb 34，则a 3∶b 3的值为π∶ 3.本题考查了圆柱与棱柱的体积公式．本题属于容易题．6. 16 解析：一枚骰子连续抛掷2次的基本事件数为36种，点P(m ，n)在直线y ＝12x 下方，即y ＜12x ，当y ＝1时，x ＝3，4，5，6；当y ＝2时，x ＝5，6；共有6种基本事件，所求的概率为16.本题考查古典概型，属于容易题．7. (1，10] 解析：由1lgx ≥2，即0<lgx ≤12，1<x ≤10.则函数的定义域为(1，10]．本题考查了函数的定义域，对数不等式的解法，属于容易题．8. y ＝±24x 解析：抛物线y 2＝－12x 的焦点坐标为(－3，0)，双曲线x 2a 2－y 2＝1中c＝3，a 2＋1＝9，a 2＝8，则双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±24x.本题考查了抛物线方程、双曲线方程的结构特征，以及双曲线的渐近线的方程．本题属于容易题．9. 433 解析：由cosx ＝3sinx ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x ＝π6，A(π6，32)，k 1＝－sinπ6＝－12，k 2＝3cos π6＝32.两条切线方程分别为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.它们与x 轴交点的横坐标分别为π6＋3、π6－33.则线段BC 的长为π6＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33＝433.本题考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义以及直线方程．本题属于中等题．10. －16 解析：由AP →＝AQ →－PQ →，PQ →·CB →＝0，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →－PQ →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB → 2－AC → 2＝9－25＝－16.本题考查了向量线性分解、向量数量积的运算．本题属于中等题．11. 100101 解析：由(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1得1a n ＋1－1a n ＝1，则a n ＝1n ，原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1100×101＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.本题考查了等差数列的定义、通项公式，以及裂项法．本题属于中等题．12. a ＜0或a ＞2 解析：g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，2x ＋a ，x<0.当a ＝0时，显然不成立；当a>0时，g(x)的图象如图①.图①g(t)＝0有2个不等实根t 1＝0，t 2＝－a2，则t 1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t 2＝f(x)＝－a2需有2个不等实根，f(x)的图象如图②.图②只要－a 2>－a24，即a>2；当a<0时，g(x)的图象如图③.图③g(t)＝0有2个不等实根t 1＝0，t 2＝－a ，则t 1＝f(x)＝0需有2个不等实根，t 2＝f(x)＝－a 需有2个不等实根，f(x)的图象如图④.图④只要－a>－a24即a<0即可．综上a<0或a>2.本题考查了二次函数的性质、分段函数，函数的导数以及数形结合思想和分类讨论思想．本题属于难题．13. 14 解析：设D(x 1，n)，C(x 2，n)(0<x 1<x 2)，由x ＋1x＝n 得x 2－nx ＋1＝0，解之得x 1＝n －n 2－42，x 2＝n ＋n 2－42，则m ＝x 2－x 1＝n 2－4，即n 2＝m 2＋4，∴ m n 2＝m m 2＋4＝1m ＋4m≤14，当且仅当m ＝2时取“＝”，∴ m n 2的最大值为14.本题考查了数形结合思想和基本不等式的运用．本题属于难题．14. [1，3＋23] 解析：如图，设∠APC 1＝θ，则AP ＝2tan θ.∴ S △ABP ＝12AP 2sin2θ＝12·2tan 2θ·sin2θ＝2cos 3θsin θ＝1，即1－tan 2θ1＋tan 2θ＝tan θ－1. ∵ θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ tan θ＝1，即θ＝π4，此时PC 1＝2.则点P 在圆C 1′：(x －1)2＋y 2＝4上，又点P 在圆C 2：(x －m)2＋(y ＋m)2＝m 2上，∴ 圆C 1′与圆C 2有交点，即|2－m|≤C 1′C 2≤2＋m ，解之得1≤m≤3＋23，∴ 正数m 的取值范围时[1，3＋23]．本题考查了圆的切线的性质、三角函数的运用、圆与圆相交的条件．本题属于难题．15. 解：(1) 因为m⊥n ，所以m·n ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cosB ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3sinB＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ＝0.(3分)又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＋π3－B∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，(5分)所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(7分)(2) 因为cosB ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sinB ＝45.(9分)所以sinA ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝sinBcos π6＋cosBsin π6＝45·32＋35·12＝43＋310.(12分) 由正弦定理，得BC ＝sinAsinB ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.(14分)16. 证明：(1) 设AC∩BN＝O ，连结MO ，AN.因为AB ＝12CD ，AB ∥CD ，N 为CD 的中点，所以AB ＝CN ，AB ∥CN ，所以四边形ABCN 为平行四边形，(2分) 所以O 为AC 的中点．又M 为PA 的中点，所以MO∥PC.(4分)因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄ 平面BMN ， 所以PC∥平面BMN.(6分)(2) (方法1)因为PC⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， 所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四边形ABND 为平行四边形， 所以AD∥BN，所以BN⊥PC.(8分) 因为BC ＝AB ，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN⊥AC.(10分) 因为PC∩AC＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BN⊥平面PAC.(12分)因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN⊥平面PAC.(14分) (方法2)连结PN.因为PC⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC⊥PA. 因为PC∥MO，所以PA⊥MO.(8分)因为PC⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC⊥PD.因为N 为CD 的中点，所以PN ＝12CD.由(1)AN ＝BC ＝12CD ，所以AN ＝PN.因为M 为PA 的中点，所以PA⊥MN.(10分)因为MN∩MO＝M ，MN 平面BMN ，MO ⊂平面BMN ， 所以PA⊥平面BMN.(12分)因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC⊥平面BMN.(14分)17. 解：(1) 由条件，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.(3分)(方法1)直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），x 2＋2y 2＝4，得3x 2＋4x －4＝0，解得x A ＝－2，x P ＝23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43.所以AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝453.(5分) 因为原点O 到直线l 的距离d ＝25，所以AQ ＝24－45＝855， 所以AP AQ ＝453855＝56.(7分)(方法2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，x 2＋2y 2＝4，得3y 2－4y ＝0，所以y P ＝43.(5分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，x 2＋y 2＝4，消x 得5y 2－8y ＝0，所以y Q ＝85， 所以AP AQ ＝43×58＝56.(7分)(2) (方法1)若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP－1，设直线l ：y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k （x ＋2）得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[(2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)]＝0，所以x A ＝－2，x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2（2k 2＋1）2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.(10分)同理AQ ＝4k 2＋1.(12分)所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由题意，k 2＞0，所以0＜λ＜1.(14分)(方法2)由方法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4k k 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意，k 2＞0，所以0＜λ＜1.(14分)18. 解：(1) 设一根木条长为x m ，则正方形的边长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝4－x 2m ．(2分)因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.(4分)因为四根木条将圆分成9个区域， 所以x ＞2，所以42＜4x ＜215.答：木条总长的取值范围为(42，215)．(6分)(2) (方法1)设AB 所在木条长为a m ，则BC 所在木条长为(3－a) m. 因为a∈(0，2)，3－a∈(0，2)， 所以a∈(1，2)，(8分)S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－（3－a ）24＝4－a 2·4－（3－a ）2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20.(11分)设f(a)＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，f ′(a)＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)，令f′(a)＝0，得a ＝32，或a ＝－1(舍去)，或a ＝4(舍去)．(14分)列表如下：所以当a ＝2时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝16，即S max ＝4.答：窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.(16分)(方法2)设AB 所在木条长为a m ，BD 所在木条长为b m ．由条件，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0，2)，所以b ＝3－a∈(0，2)，从而a ，b ∈(1，2)．(8分)由于AB ＝21－b 24，BD ＝21－a24，S 矩形ABCD ＝41－b 24·1－a 24＝4－b 2·4－a 2，(10分)因为4－b 2·4－a 2≤8－（a 2＋b 2）2≤8－（a ＋b ）222＝74，(14分)当且仅当a ＝b ＝32∈(1，2)时，S 矩形ABCD ＝74.答：窗口ABCD 面积的最大值为74 m 2.(16分)19. (1) 解：由a 1＝1，b n ＝n2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8.(2分)(2) 证明：(方法1)因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q nb n ＝a 1（1－q n）1－q＋1，所以q nb n ＝11－q ＋1a 1－q n1－q ，即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －11－q，(4分) 所以存在实数λ＝11－q ，使得b n ＋λ＝(11－q ＋1a 1)(1q)n.(6分)因为b n ＋λ≠0(否则{b n }为常数数列与题意不符)，所以当n≥2时，b n ＋λb n －1＋λ＝1q ，此时{b n ＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝11－q，使{b n ＋λ}为等比数列．(8分)(方法2)因为a n ＋1b n ＝S n ＋1 ①，所以当n≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1 ②，①－②得，当n≥2时，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ③，(4分)由③得，当n≥2时，b n ＝a n a n ＋1b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q ，(6分)所以b n ＋11－q ＝1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1＋11－q .因为b n ＋11－q≠0(否则{b n }为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q，使{b n ＋λ}为等比数列．(8分)(3) 证明：因为{b n }为公差为d 的等差数列，所以由③得，当n≥2时，a n ＋1b n －a n (b n －d)＝a n ，即(a n ＋1－a n )b n ＝(1－d)a n . 因为{a n }，{b n }各项均不相等，所以a n ＋1－a n ≠0，1－d≠0，所以当n≥2时，b n 1－d ＝a na n ＋1－a n④，(10分)当n≥3时，b n －11－d ＝a n －1a n －a n －1⑤，由④－⑤，得当n≥3时，a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝b n －b n －11－d ＝d1－d⑥.(12分)先证充分性：即由d ＝12证明a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列．因为d ＝12，由⑥得a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝1，所以当n≥3时，a n a n ＋1－a n ＝1＋a n －1a n －a n －1＝a na n －a n －1.又a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，即a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列．(14分)再证必要性：即由a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列证明d ＝12.因为a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列，所以当n≥3时，a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，所以由⑥得a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝a n a n －a n －1－a n －1a n －a n －1＝1＝d1－d ，所以d ＝12，所以a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝xe x ，f ′(x)＝e x(x ＋1)， 令f′(x)＝0，得x ＝－1.(2分) 列表如下：所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝－e，无极大值．(4分)(2) ① 当a≤0时，由于对于任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，有sinxcosx ≥0，所以f(x)≥0恒成立，当a≤0时，符合题意；(6分)② 当0＜a≤1时，因为f′(x)＝e x (x ＋1)－acos2x ≥e 0(0＋1)－acos0＝1－a≥0，所以函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，即当0＜a≤1时，符合题意；(8分) ③ 当a ＞1时，f ′(0)＝1－a ＜0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝e π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1＞0， 所以，存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，使得f′(α)＝0，且在(0，α)内，f ′(x)＜0，所以f(x)在(0，α)上为减函数，所以f(x)＜f(0)＝0，即当a ＞1时，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．(10分)(3) 不存在实数a ，使得函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点．由(2)知，当a≤1时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，且f(0)＝0，故函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无零点．(12分)当a ＞1时，f ′(x)＝e x (x ＋1)－acos2x.令g(x)＝e x(x ＋1)－acos2x ，则g′(x)＝e x(x ＋2)＋2asin2x ，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，恒有g ′(x)＞0，所以g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数．由g(0)＝1－a ＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋a ＞0， 故g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一的零点x 0，(14分)即方程f′(x)＝0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上存在唯一解x 0.且当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x 0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递增． 当x∈(0，x 0)时，f(x)＜f(0)＝0，即f(x)在(0，x 0)上无零点；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，由于f(x 0)＜f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2e π2＞0， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2上有唯一零点． 所以，当a ＞1时，f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有一个零点．综上所述，不存在实数a ，使得函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有两个零点．(16分)。