高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算例题与探究
【精品】高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算示范教
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算示范教案整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．通过复习基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念．3．本节内容的教学应引导学生自己推导运算法则，并要求学生熟练地掌握向量的坐标运算．让学生通过平面向量基本定理重新认识平面直角坐标系．用三角函数的定义，初步建立向量与长度、角度之间的联系，认真向学生分析向量的坐标与点坐标之间的关系．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法，理解正交分解的概念，理解并掌握平面向量的坐标运算，掌握线段的中点公式的坐标表示．2．通过平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，通过本节的学习，更深层次的理解数形结合的数学思想方法．3．在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：向量坐标运算的灵活应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)在物理学中，有这样的例子，如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度v cosα和沿竖直方向的速度v sinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．类比物理学上的这种分解，本节我们将学习两个向量的基底互相垂直的特例，由此展开新课．思路2.(直接引入)上一节我们学到，平面向量基本定理，即如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2(可让学生复述)，即把一个向量分解．这里不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形．显然如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来极大方便，这种分解就是我们本节要探究的一种重要分解，叫做正交分解，由此引入新课．推进新课新知探究向量的直角坐标提出问题什么是正交基底？什么是正交分解？用向量的观点重新认识直角坐标系，你有什么新的发现？ 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？活动：如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单．现在，让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的直角坐标系．在直角坐标系xOy 内(如图1)，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．e 1和e 2分别是与x 轴和y 轴同方向的单位向量．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．图1在坐标平面xOy 内(如图1)，任作一向量a (用有向线段AB →表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标．即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量．分别过向量AB →的始点、终点作x 轴和y 轴的垂线，设垂足分别为A 1，B 1和A 2，B 2.坐标分量a 1为向量A 1B 1→在x 轴上的坐标，坐标分量a 2为向量A 2B 2→在y 轴上的坐标．显然0＝(0,0)，e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．设向量a ＝(a 1，a 2)，a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ.图2在直角坐标系中(如图2)，一点A 的位置被点A 的位置向量OA →所唯一确定．设点A 的坐标为(x ，y)，容易看出OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y)，即点A 的位置向量OA →的坐标(x ，y)，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA →的坐标．由上面的探究，符号(x ，y)在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y)，或向量(x ，y)．讨论结果：(1)～(2)略．(3)平面内的任一向量a 都可由坐标唯一确定，是一一对应的关系． 向量的直角坐标运算 提出问题有了上面的坐标表示，我们自然会想，能对两个向量进行加、减、数乘运算吗？请试一试，看看有什么新发现？活动：教师引导学生自己探究两个向量的加、减、数乘运算，教师给予适时的点拨，学生很容易推得：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1e 1＋a 2e 2)＋(b 1e 1＋b 2e 2)＝(a 1＋b 1)e 1＋(a 2＋b 2)e 2，即a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)．同样有a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，又λa ＝λ(a 1e 1＋a 2e 2)＝λa 1e 1＋λa 2e 2. 所以又得a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)， λa ＝λ(a 1，a 2)＝(λa 1，λa 2)．上述向量的坐标运算公式，也可以用语言分别表述为： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积． 讨论结果：通过探究，我们发现：(1)向量的加、减、数乘运算，在平面直角坐标系中，完全可以代数化，这给我们的研究带来极大的方便．为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：a ＝x i ＋y j a 的坐标为(x ，a ＝OA →，A(x ，y)．(2)我们还能得到如下公式：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则向量AB →的模为|AB →|＝1－x 22＋1－y 22.这即为教材中的例2.如图3.图3(3)我们还能得到线段中点的坐标公式．如图3，让学生自己推得．在直角坐标系xOy 中，已知点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，线段AB 中点为M(x ，y)，则OM →＝12(OA →＋OB →)．上式换用向量的坐标，得(x ，y)＝12[(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)]，即x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.这就是线段中点的坐标公式，简称中点公式．教材上以例3的方式给出的．应让学生理解并掌握这个公式．应用示例思路1例 1已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)； a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)； 3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.例 2如图4，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D 的坐标．图4活动：本例是让学生熟悉平面向量的坐标运算，这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图4，设顶点D 的坐标为(x ，y)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)． 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图4，由向量加法的平行四边形法则，可知 BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝OA →－OB →＋OC →－OB → ＝(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1,3) ＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， 图5时，仿例2得：D 1(2,2)； 时，仿例2得：D 2(4,6)； 时，仿上得：D 3(－6,0).例 3在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图6所示．分别求出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则图6a 1＝|a |cos45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．例 4在直角坐标系xOy 中，已知点A(3,2)，点B(－2,4)，求向量OA →＋OB →的方向和长度(图7)．图7解：由已知可得OA →＝(3,2)，OB →＝(－2,4)．设OC →＝OA →＋OB →，则OC →＝OA →＋OB →＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)． 由两点的距离公式，得|OC →|＝12＋62＝37.设OC →的相对x 轴正向的转角为α，则tan α＝61＝6，得α＝arctan6.因此，向量OA →＋OB →的方向偏离x 轴正方向为arctan6，长度等于37.思路2例 1在△ABC 中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解：(1)若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．(2)若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综合(1)(2)，知C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．例 2已知点A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP →＝OA →＋tAB →.若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)．∴OP →＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t<－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算，将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围.例 3已知a ＝(3,4)，b ＝(－1,4)，求a ＋b ，a －b,2a －3b 的坐标． 解：a ＋b ＝(3,4)＋(－1,4)＝(2,8)， a －b ＝(3,4)－(－1,4)＝(4,0)，2a －3b ＝2(3,4)－3(－1,4)＝(6,8)－(－3,12)＝(9，－4)．4已知A(－2,1)，B(1,3)，求线段AB 中点M 和三等分点P ，Q 的坐标(如图8)．图8解：因为AB →＝OB →－OA →＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)，所以OM →＝12(OA →＋OB →)＝12[(－2,1)＋(1,3)]＝(－12，2)；OP →＝OA →＋13AB →＝(－2,1)＋13(3,2)＝(－1，53)；OQ →＝OA →＋23AB →＝(－2,1)＋23(3,2)＝(0，73)．因此M(－12，2)，P(－1，53)，Q(0，73).课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，线段的中点公式的坐标表示，用向量的观点重新认识平面直角坐标系，明确了向量坐标与点的坐标的异同．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．作业课本本节练习A 组 2～4.设计感想 1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例 1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标． 解：因为点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0，又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)．(2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例 2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P(12，y)分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1)2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是 ( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．24．已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－2B ．9C ．－9D ．135．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________.6．已知ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．7．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？参考答案：1．B 2.B 3.D 4.C 5.4 72 6.(－12，－4)7．解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)，∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)．而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ⇒λ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料 一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件课件新人教B版
13 4
或
7,-
11 2
.
-18-
1234 5
1.下列各组向量中,不能作为表示平面内所有向量基底的是( ) A.a=(-1,2),b=(0,5) B.a=(1,2),b=(2,1) C.a=(2,-1),b=(3,4) D.a=(-2,1),b=(4,-2) 解析:我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底.选项D中两个向量共线,故不能作为一组基底. 答案:D
-9-
题型一 题型二 题型三 题型四
反思利用向量证明三点共线的思路:先利用三点构造出两个向量, 求出唯一确定的实数λ使得两向量共线.因为两个向量还过同一点, 所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.若A,B,C三点共线,则 由这三个点组成的任意两个向量共线.
-10-
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 已知������������=(3,4),������������=(7,12),������������=(9,16),证 明:A,B,C 三点共线.
证明∵������������ = ������������ − ������������=(4,8),������������ = ������������ − ������������=(6,12),
题型二
三点共线问题
【例2】 已知向量 ������������=i-2j,������������=i+mj,其中i,j分别是x轴、y轴正 方向上的单位向量,试确定实数m的值,使A,B,C三点共线.
分析解答本题可直接利用向量共线的条件来求解,也可根据单位 向量i,j,利用向量的坐标进行运算.
-8-
题型一 题型二 题型三 题型四
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a =AB 的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-, b 2=|b |sin120°=3×23323=, c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=,c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2). 各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量OA 的坐标，就是要求OA 在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=|OA |sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,|DP |=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴=(22-λ,a -22λ),=(22λ-a,22-λ). ∵||2=λ2-2aλ+a 2,||2=λ2-2aλ+a 2, ∴|PA |2=|EF |2,故PA=EF.二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及AC =31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和CD 的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用=31AB 和DA =-31BA 相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得AC =(x 1+1,y 1-2),=(3,6), DA =(-1-x 2,2-y 2),BA =(-3,-6), ∵AC =31AB ,DA =-31BA , ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2). ∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此=(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标.(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标.解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).变式提升 2 用坐标法证明++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出AB 、BC 和CA 的坐标，再运用坐标运算证明等式.证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则=(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2), ∴AB +BC +CA =(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴+BC +CA =0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以，为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++CD =m +n AC .最后列出关于m ，n 的方程组求解. 解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）. 设++CD =m +n AC ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得++=32-22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x故x=-1,y=35-. 温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升 3如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM =c ,AN =d ,试用c 、d 表示AB 和AD .思路分析:直接用c 、d 表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,DM =21a . +DM =,即b +21a =c .① AB +BN =AN ,即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ), 即=32(2d-c ),=32(2c -d).。
【配套K12】高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标2.2.2向量的正交分解与向量的直角
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂探究探究一 向量的坐标表示求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．【例1】 如图所示，分别用基底i 与j 表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解：由题图可知，a ＝1AA ＋2AA ＝2i ＋3j ，所以a ＝(2,3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)；c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)；d ＝2i －3j ＝(2，－3)．点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，a ，b 如图所示，分别求它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝4×2＝a 2＝|a |sin 45°＝4×2＝b 向量相对于x 轴正方向的转角为120°．所以b 1＝|b |cos 120°＝3×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－32， b 2＝|b所以a ＝(，b＝32⎛-⎝． 评注 公式a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ中θ是指a 的方向相对于x 轴正方向的转角，此点不容忽视．探究二 向量的坐标运算向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．【例3】 已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标．解：设C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)，因为AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ， 所以(x 1＋1，y 1－2)＝13×(3,6)， (－1－x 2,2－y 2)＝－13×(－3，－6)， 即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．所以1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22,x y --=⎧⎨-=⎩所以110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0.x y =-⎧⎨=⎩ 所以C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD ＝(－2，－4)．方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．探究三 向量坐标法的应用通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．【例4】 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c ．分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x 轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a ，b 表示c ．解：如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a|=2，所以a=(2,0)．设b=()11,x y ，所以1x =|b|cos 150°=1×⎛ ⎝⎭ y1=|b|sin 150°=1×12=12．所以b=12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．同理可得c=3,2⎛- ⎝⎭． 设c=1λ a+2λ b(1λ，2λ∈R)，所以3,2⎛- ⎝⎭=1λ (2,0)+ 2λ 3,2⎛- ⎝⎭=(21λ -22λ，122λ)． 所以解得所以c=-3a-3b ．探究四 易错辨析易错点：因忽视点的位置而漏解【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求顶点D 的坐标．错解：设顶点D (x ，y )，因为AB ＝(－1，－4)，DC ＝(1－x ，－2－y )，AB ＝DC ， 所以11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)．错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解． 解：设顶点D (x ，y )．①若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，C ，D ，则AB ＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， DC ＝(1－x ，－2－y )．由AB ＝DC ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(2,2)．②若平行四边形四个顶点的顺序为A ，C ，B ，D ，则AC ＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB ＝(3－x ，－1－y )． 由AC ＝DB ，得33,51,x y -=-⎧⎨-=--⎩解得6,4.x y =⎧⎨=⎩故顶点D 的坐标为(6,4)．③若平行四边形四个顶点的顺序为A ，B ，D ，C ，则AB ＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD ＝(x －1，y ＋2)． 由AB ＝CD ，得11,42,x y -=-⎧⎨-=+⎩解得0,6.x y =⎧⎨=-⎩故顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．。
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4
������������ = ������������ + ������������ = ������������ =a+ (b-a)= a+ b,
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若e1与e2不共线,则e1,e2可作为平面向量的基底. ( ) (2)任何向量在基底{e1,e2}下的表示式a=a1e1+a2e2是唯一的. ( ) (3) ������������=m������������+n������������ ,若A,B,P三点共线,则m+n=1. ( ) (4)在同一平面内,向量的基底是唯一的. ( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.2.1 平面向量基本定理
课 标 阐 释 思 1.掌握平面向量基本定理及其 意义. 2.掌握平面向量基本定理的应 用. 3.了解直线的向量参数方程.
维
脉
络
一
二
一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(
)
A.e1-3e2 B.-2e1-4e2 C.3e2-e1 D.3e1-e2 答案:A 2.填空: 平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向 量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解与向量的直
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课时过关·能力提升1.已知=(2,3),A(-1,2),则点B的坐标是()A.(1,1)B.(5,5)C.(1,5)D.(1,3)解析:设B(x,y),则有=(x+1,y-2),因此x+1=2,y-2=3,得x=1,y=5.即B(1,5).答案:C2.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为()A.(-8,-1)B.C. D.(8,-1)解析:由已知得=(-8,1),于是.设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=,于是x=-1,y=-,故P.答案:B3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b解析:设c=x a+y b,于是有即c=a-b.答案:B4.已知在▱ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为()A. B.C. D.解析:如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10),∴.∴.答案:C5.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为()A. B.(-5,8)C.或(-4,7)D.或(-5,8)解析:当点P在线段AB上时,由||=2||可得=2,设P(x,y),则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),因此于是P.当点P在线段AB的延长线上时,由||=2||可得.设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2),解得x=-5,y=8,于是P(-5,8).答案:D6.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为.解析:如图所示,=(0,2)-(-1,0)=(1,2),=(4,3)-(3,1)=(1,2),∴.又||=,||=,∴||≠||,∴四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形7.已知正方形ABCD的边长为1.若点A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量4-3的坐标为.解析:如图,各顶点的坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴=(1,0),=(0,1),=(1,1).∴4-3=(1,-2).答案:(1,-2)8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),则当λ=时,点P 在第一、三象限的角平分线上;当λ时,点P在第三象限内.解析:设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).∵+λ,∴∴若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ,∴λ=.若点P在第三象限内,则∴λ<-1.∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上;当λ<-1时,点P在第三象限内.答案:<-19.(1)已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a,b的坐标.(2)已知x轴的正方向与向量a的夹角为60°,且|a|=2,求向量a的坐标.解:(1)①×2+②,得5a=(-8+3,6+4)=(-5,10),则a=(-1,2),故b=(-4,3)-2(-1,2)=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1).(2)设a=(x,y).∵x=|a|cos 60°=2×=1,y=±|a|sin 60°=±2×=±,∴a=(1,±).10.已知平面上四点A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),判断四边形ABCD是否为平行四边形?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.解:四边形ABCD为平行四边形.证明如下:∵A(-2,2),B(0,4),C(1,3),D(-1,1),∴=(0,4)-(-2,2)=(2,2),=(1,3)-(-1,1)=(2,2),∴,∴四边形ABCD为平行四边形.★11.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的坐标系.由||=2,得=(2,0).设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2).由∠AOB=150°,根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1=1·cos 150°=-,y1=, 则B,即.同理,点C的坐标为,即.设=m+n,则=m(2,0)+n,即故=-3-3,即c=-3a-3b.★12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,连接AE.若动点P从点A出发,按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D,其中=λ+μ,(1)当点P为BC的中点时,求λ+μ的值;(2)满足λ+μ=1的点P有几个?解:(1)连接AC,因为点P为BC的中点,所以,①因为DE=CD,所以=2,所以+2-2.因为=λ+μ,所以=(λ-2μ)+μ. ②因为不共线,由①②可得解得所以λ+μ=2.(2)若λ+μ=1,则λ=1-μ.因为=λ+μ,所以=(1-μ)+μ,所以=μ(),所以=μ,所以B,P,E三点共线,所以动点P运动至点B,E,以及BE与边AD的交点时满足条件,即满足λ+μ=1的点P有3个.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课时过关·能力提升1.已知a=,b=,若a∥b,则锐角α等于()A.30°B.60°C.45°D.75°答案:A2.已知向量a=(1,3),b=(m-1,2m+3)在同一平面内,若对于这一平面内的任意向量c,有且只有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb,则实数m满足()A.m≠-2B.m≠6C.m≠-D.m≠-6解析:依题意知a与b是一组基底,因而它们不共线.而当它们共线时有1×(2m+3)=3(m-1),因此m=6,所以要使a,b不共线,则m≠6.答案:B3.设k∈R,下列向量中,与向量a=(-1,1)一定不平行的向量是()A.(k,k)B.(-k,-k)C.(k2+1,k2+1)D.(k2-1,k2-1)答案:C4.已知平面上有A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC并延长,取点E,使,则点E的坐标为()A.(0,1)B.(0,1)或C. D.答案:D5.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若m a+n b(mn≠0)与a-2b共线,则等于()A.-B.C.-2D.2解析:由于a,b不共线,而m a+n b与a-2b共线,m a+n b=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),所以-(2m-n)=4(3m+2n),即n=-2m,故=-.答案:A6.已知=e1+2e2,=(3-x)e1+(4-y)e2,其中e1,e2的方向分别与x,y轴的正方向相同,且为单位向量.若共线,则点P(x,y)的轨迹方程为()A.2x-y-2=0B.(x+1)2+(y-1)2=2C.x-2y+2=0D.(x-1)2+(y+1)2=2解析:=(1,2),= (3-x,4-y).又共线,则有(4-y)-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.答案:A7.已知a=(3, 2),b=(2,-1),若m=λa+b与n=a+λb(λ∈R)平行,则λ=.答案:1或-18.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是.解析:=(a-1,1),=(-b-1,2).由于A,B,C三点共线,所以,因此(a-1)×2=1×(-b-1),即2(a-1)+b+1=0,故a+.答案:★9.已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求证:a和b是一组基底,并用它们表示向量c=(x0,y0);(2)若(k2+1)a-4b与k a+b共线,求k的值.(1)证明∵1×2≠2×(-3),∴a与b不共线.∴a和b是一组基底,可设c=m a+n b,则(x0,y0)=m(1,2)+n(-3,2).∴(x0,y0)=(m,2m)+(-3n,2n).∴∴c=a+b.(2)解:依题意,得(k2+1)a-4b与k a+b平行,∴.∴k2+4k+1=0,解得k=-2±.。
2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标
C.(-1,-1) D.(-2,-4) 答案:C
3.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为
a1e1+a2e2e2
4.已知
M(3,-2),N(-5,-1),������������
=
故顶点 D 的坐标为(6,4).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
③若平行四边形四个顶点的顺序为 A,B,D,C,
则������������ =(3-4,-1-3)=(-1,-4),������������ =(x-1,y+2).
由������������
= ������������,得
-1 = ������-1, 解得 -4 = ������ + 2,
+
1-√3 2
-1
2
= √3+1.
再设点 F 的坐标为(x',1),则������������=(x',1).
又������������ =
1+√3 2
,
1-√3 2
,且������������
∥ ������������,
∴1-2√3x'-1+2√3×1=0,解得 x'=-2-√3. ∴F(-2-√3,1).
②若平行四边形四个顶点的顺序为 A,C,B,D,
则������������ =(1-4,-2-3)=(-3,-5),������������ =(3-x,-1-y).
由������������ = ������������,得
-3 = 3-������, 解得 -5 = -1-������,
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算学案
2．2。
1平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题(1)平面向量基本定理的内容是什么？(2）如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么?错误!1．平面向量基本定理(1)定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.(2)基底把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．[点睛］对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:①e1,e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A，B是直线l上的任意两点，O是l外一点(如图所示),则对于直线l上任意一点P，存在唯一实数t,使OP＝（1－t) OA＋t OB ;反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式OP＝（1－t）OA＋t OB叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数，简称参数．当t＝错误!时，OP＝错误!(OA＋OB）,此时P点为线段AB的中点，这是线段AB中点的向量表达式．[点睛］直线的向量参数方程式中，其OA，OB的系数和为1.［小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)任意两个向量都可以作为基底．（)(2）一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ）(3）零向量不可以作为基底中的向量．( )答案：（1）×(2)√（3）√2．如图,向量e1，e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1,e2表示为（)A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2 D．2e1＋e2答案:B3．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2 D．e1,e1＋e2答案：B4．设e1，e2为两个不共线的向量,若点O是▱ABCD的中心，AB＝4e1,BC＝6e2，则3e2－2e1＝________。
2020高中数学 第二章 平面向量 2..2 平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算练习(含解析)4
第21课时平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算1①相等向量的坐标相同;②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;③一个坐标对应唯一的一个向量;④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3）,B(4，2),则错误!可以表示为( ）A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j答案C解析记O为坐标原点,则错误!＝2i＋3j，错误!＝4i＋2j，所以错误!＝错误!－错误!＝2i－j．3错误!2，4),错误!＝（1，3),则错误!等于( ）A．（－2,－4）B．(－3，－5）C．（3,5）D．（2，4)答案B解析∵错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!－错误!＝(－1，－1）,∴错误!＝错误!－错误!＝（－3，－5），故选B．4．设a＝（－1,2），b＝（－1，1)，c＝(3，－2），用a，b作基底,可将向量c表示为c＝p a＋q b，则( )A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝－4C．p＝0,q＝4 D．p＝1，q＝4答案B解析（3,－2)＝p(－1，2)＋q(－1，1）＝（－p－q,2p＋q)，得错误!∴错误!5．平面内给定三个向量a＝（6,1)，b＝(－2，3），c＝（2，2)．（1）求a＋2b－c;(2）是否存在实数λ，μ,使得c＝λa＋μb？解(1）a＋2b－c＝(6，1）＋2(－2，3)－（2，2）＝(0,5）．（2）假设存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，则（2,2)＝λ（6，1)＋μ(－2，3)⇒错误!⇒错误!即存在实数λ＝μ＝错误!满足等式．6．已知A（7，1），B（1，4），直线y＝2ax与线段AB交于C，且错误!＝2错误!，则实数a等于( ）A．2 B．1 C．错误!D．错误!答案A解析设C（x0，y0），则y0＝错误!ax0．∴错误!＝x0－7,错误!ax0－1，错误!＝1－x0，4－错误!ax0,∵错误!＝2错误!,∴错误!∴错误!7．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且错误!＝4i＋2j，错误!＝3i＋4j，则△OAB的面积等于( ）A．15 B．10 C．7．5 D．5答案D解析由题意可知A(4，2），B(3,4)，｜错误!|＝错误!＝2错误!，｜错误!｜＝错误!＝5，错误!＝错误!－错误!＝－i＋2j，|错误!|＝错误!＝错误!，|错误!|2＋｜错误!|2＝|错误!｜2,所以错误!×2错误!×错误!＝5．故选D．8．在△ABC中，已知A（2，3)，B(6,－4）,G（4,－1）是中线AD上一点，且|错误!|＝2|错误!|,那么点C的坐标为（）A．（－4，2) B．(－4，－2)C．（4，－2) D．（4，2）答案C解析由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有错误!解得错误!故C（4，－2）．9．已知△ABC中，A(7，8)，B（3,5)，C(4，3），M,N是AB，AC 的中点,D是BC的中点,MN与AD交于点F，求错误!．解因为A（7，8)，B（3,5），C(4，3)，所以错误!＝(－4，－3),错误!＝（－3，－5）．又因为D是BC的中点,有错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝（－3．5,－4)，而M，N分别为AB,AC的中点,所以F为AD的中点．故有错误!＝错误!错误!＝－错误!错误!＝(1．75，2）．10．如图，已知错误!＝p，错误!＝q，错误!＝r，且错误!＝2错误!．(1）试用p，q表示r;(2)若A错误!，错误!，B错误!，错误!，求点C的坐标．解(1)错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!)＝32错误!－错误!错误!，∴r＝－错误!p＋错误!q．(2）设C(x，y），错误!＝（－1，1），错误!＝x－错误!，y－错误!，∵错误!＝2错误!，∴错误!得错误!∴C(2，2）．一、选择题1．若向量a＝(x－2，3）与向量b＝（1,y＋2)相等，则( ) A．x＝1，y＝3 B．x＝3,y＝1C ．x ＝1，y ＝－5D ．x ＝5，y ＝－1答案 B解析 由题意，知错误!解得错误!2．已知a ＝（5，－2)，b ＝(－4,－3）,c ＝（x ,y ），若a －2b ＋3c ＝0,则c 等于（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!答案 D解析 ∵c ＝13（2b －a ）＝错误!b －错误!a ， ∴（x ，y ）＝错误!（－4，－3）－错误!(5，－2)＝错误!＝错误!．故选D ．3．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A （5，－1),B (－1，7)，C (1，2),则顶点D 的坐标为（ )A．(－7，6) B．（7，6）C．(6，7）D．（7，－6)答案D解析设D（x，y)，由错误!＝错误!，得(x－5,y＋1）＝（2，－5），∴x＝7,y＝－6．4．已知向量集合M＝{a｜a＝(1，2）＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a｜a＝(－2，－2）＋λ(4，5），λ∈R｝，则M∩N等于( ）A．｛（1,2）} B．{（1,2），（－2，－2)｝C．{（－2，－2）｝D．∅答案C解析令（1，2）＋λ1（3,4）＝（－2，－2)＋λ2（4，5)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝（－2＋4λ2，－2＋5λ2），∴错误!解得错误!故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．5．平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知A(3，1),B(－1，3)，若点C满足错误!＝α错误!＋β错误!，其中α，β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( ）A．3x＋2y－11＝0 B．（x－1）2＋(y－2）2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0答案D解析设错误!＝(x，y），错误!＝(3，1)，错误!＝(－1，3)．∵错误!＝α错误!＋β错误!，∴（x，y)＝α（3，1）＋β（－1，3），∴错误!又∵α＋β＝1，∴x＋2y－5＝0，应选D．二、填空题6．已知A（2，3），B（1，4）,且错误!错误!＝（sinα，cosβ)，α,β∈－错误!,错误!，则α＋β＝________．答案错误!或－错误!解析∵错误!错误!＝错误!（－1，1)＝－错误!,错误!＝（sinα，cosβ),∴sinα＝－错误!且cosβ＝错误!，∴α＝－错误!，β＝错误!或－错误!．∴α＋β＝错误!或－错误!．7．设向量错误!绕点O逆时针旋转错误!得向量错误!,且2错误!＋错误!＝(7，9)，且向量错误!＝________．答案－错误!，错误!解析设错误!＝（m,n），则错误!＝(－n，m），所以2错误!＋错误!＝(2m －n,2n＋m)＝(7，9），即错误!解得错误!因此,错误!＝－错误!,错误!．8．已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C（x,5)，若对于平面上任意一点O，都有错误!＝λ错误!＋（1－λ)错误!，λ∈R，则x＝________．答案2解析取O（0，0)，由错误!＝λ错误!＋（1－λ)错误!，得（x，5)＝λ（－1，－1)＋(1－λ）（1，3)，∴错误!解得错误!三、解答题9．已知A（1,－2），B(2，1),C(3,2）和D(－2，3）,以错误!，错误!为一组基底来表示AD→＋错误!＋错误!．解∵错误!＝（1，3），错误!＝(2,4)，错误!＝(－3，5),错误!＝(－4,2），错误!＝(－5，1）,∴错误!＋错误!＋错误!＝（－3,5）＋（－4,2）＋（－5，1)＝（－12，8）．根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得错误!＋错误!＋错误!＝m错误!＋n错误!，∴(－12，8）＝m(1，3）＋n（2，4)，即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n）,∴错误!∴错误!∴错误!＋错误!＋错误!＝32错误!－22错误!．10．已知向量u＝(x,y)与向量v＝(y，2y－x）的对应关系用v＝f(u)表示．（1）证明：对任意向量a，b及常数m,n，恒有f（m a＋n b）＝mf(a）＋nf（b)成立；（2)设a＝（1，1)，b＝(1，0），求向量f（a）及f(b)的坐标；(3）求使f(c)＝（p,q)（p，q是常数)的向量c的坐标．解（1)证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1,b2)，则m a＋n b＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），∴f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1),mf（a)＋nf(b）＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1），∴f(m a＋n b)＝mf（a)＋nf(b)成立．(2）f（a）＝(1，2×1－1）＝(1,1)，f(b）＝（0，2×0－1)＝(0，－1)．(3）设c＝(x，y)，则f(c)＝（y，2y－x）＝(p，q），∴y＝p，2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。
2017-2018学期高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件
所以������������=1 3������������
=
2 3
,
2 3
,
������������
=
1 3
������������
=
-
2 3
,1
,
所以(x1,y1)-(-1,0)=
2 3
,
2 3
,(x2,y2)-(3,-1)=
-
2 3
,1
,
所以(x1,y1)=
-
1 3
,
2 3
,(x2,y2)=
7 3
-������(1-������)
·c(x-y)-[b(x-y)+ay]·3������ -������(1-������)
=0,
整理可得1
������
+
1������=3.
1.以下命题错误的是( )
A.若i,j分别是与平面直角坐标系中x轴、y轴同向的单位向量,则
|i+j|=|i-j|
B.若a∥b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则必有
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 1 已知▱ABCD 中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N 分别
为 DC,AB 的中点,判断������������与������������是否共线,说明其理由.
解:������������与������������共线,以下给出证明:
(2)因为 M 为 EC 的中点,所以 M
0,
1 2
,
所以������������ =(-1,1)-
0,
1 2
=
-1,
1 2
2025届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第02讲平面向量的分解及坐标运算含解析
第02讲 平面对量的分解及坐标运算一、学问与方法1平面对量基本定理及坐标表示(1)平面对量基本定理:若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的随意向量a ,存在唯一一对实数12λλ、,使1122a e e λλ=+,其中,不共线的向量12,e e 叫作表示这一平面内全部向量的一组基底.(2)平面对量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量12,e e 作为基底,对于平面内的一个向量a ,由平面对量基本定理可知,有且只有一对实数,x y ,使12a xe ye =+,这样,平面内的任一向量a 都可以由,x y 唯一确定,把有序数对(),x y 叫作向量a 的坐标,记作(),a x y =,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫作a 在y 轴上的坐标.2平面对量的坐标运算(1)加法:若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y +=++. (2)减法:若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y -=--. (3)实数与向量的乘法:若(),a x y =,则()(),a x y λλλλ=∈R . (4)向量模的求法:若(),a x y =,则2a x y =+(5)向量坐标的求法：1）若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 2）设()()1122,,,A x y B x y ,则()(21212,,AB x x y y AB x =--=-3平面对量共线的坐标表示设()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//0a b x y x y ⇔-=.二、典型例题【例1】如图18-所示,在ABC 中,:1:3,1:4,AM AB AN AC ==：,,,,BN CM E AB a AC b a ==与交于点用b 表示AE .【分析】本例具有探究的特点,即通过三点共线,利用平面对量的分解定理求解.这里M E C 、、三点共线与N E B 、、三点共线是解题的核心条件,为此增加协助量λ与t ,即设,,,ME MC NE t NB t λλ=∈=∈R R ,则问题必定轻松获解.【解析】由已知得11,34AM AB AN AC ==,设,ME MC λλ=∈R ,则AE AM ME AM MC λ=+=+,而MC AC AM =-()11,33AE AM AC AM AB AC AB λλ⎛⎫∴=+-=+- ⎪⎝⎭即133AE AB AC λλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭, 同理,设,NE t NB t =∈R .则()11114444AE AN NE AC t NB AC t AB AN AC t AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭即144t AE AC t AB ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.所以有113344t AB AC AC t AB λλ⎛⎫⎛⎫-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由AB 与AC 是不共线向量,得1331,44t t λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得23,1111t λ==.3232AE ,.11111111AB AC AE a b ∴=+=+即 【例2】(1)已知点()()()()4,0,4,4,2,6,0,0A B C O .试用向量方法求AC 与OB 的交点P 的坐标.(2)已知()()1,2,,1a b m ==.若2a b +与2a b -平行,求实数m 的值;(3)设()()()2,5,3,1,6,3OA OB OC ===.在线段OC 上是否存在点M ,使MA MB ⊥(4)已知()()3,1,1,2,,//OA OB OC OB BC OA ==-⊥,且OD OA OC +=,求OD的坐标. 【分析】对于()1,解题的关键是运用三点共线的充要条件,可以奇妙地引入双参数λ和t 解之,也可利用三点共线干脆运算,但不引入参数,此时思路简洁,运算量却较大.对于()2,运用两个向量平行的充要条件,在直角坐标系下表现为对应坐标成比例.对于(3),抓住两向量共线的充要条件与两向量垂直的充要条件.对于()4,由,//OC OB BC OA ⊥得两个等式,解方程组求得OC ,再利用条件OD OC OA =-求得OD . 【解析】（1）【解法1】设(),,,,1,OP OB A P C OP tOA t OC λ=∴=+-三点共线()1.t OA t OC OB λ∴⋅+-=⋅【解法2】设()()()(),,4,,2,6,4,4,P x y AP x y PC x y BP x y =-=--=--则()()()1,24,0,2,6,4,4,3.4t OA OC OB λ⎧=⎪⎪===∴⎨⎪=⎪⎩又可得(),.OP x y =()()(),,,4620,A P C x y y x ∴----=三点共线 ()(1)(2)3,3,3,3.x y P ==联立并解之得即124122,,.232m a b a b m m ++-∴==-与平行解得 (3)设[],0,1OM tOC t =∈,则()6,3OM t t =,即()6,3M t t .()()26,53,36,13MA OA OM t t MB OB OM t t =-=--=-=-- ()()()(),263653130,MA MB MA MB t t t t ⊥⋅=--+--=若则21114548110,.315t t t t -+===即得或()2211,2,1,.55M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭存在点坐标为或(4)设(),OC x y =,由OC OB ⊥得:20x y -+=,又///BC OA ,得()()3,BC k k k =∈R . 而()()1,2,132BC OC OB x y x y =-=+-∴+=-,(2)联立(1)(2),解方程组得:14,7x y ==,即()14,7OC =.故()()()14,73,111,6OD OC OA =-=-=.三、易错警示【例1】已知()()()2,1,3,2,1,4A B C -,若A B C 、、是平行四边形的3个顶点,求第四个顶点D 的坐标.错解:设点D 的坐标为(),x y ,则()()()1,1,4,2,3,2BA BC BD x y =--=-=--,又知BD BA BC =+,则()2,3145,3.2121,x x y y =--=-+-=-⎧∴⎨=-=-+=⎩∣因此所求的点D 的坐标为()2,3-.【评析及正解】点D 的坐标有可能是()2,3-,但上述解法是不完整的.因为题中并末标明平行四边形ABCD ,这是一种思维定势在作怪.所以在解答中要依据定.点的依次分类探讨,即平行四边形ABCD 或平行四边形ADBC 或平行四边形ABDC ,有3种可能的状况.正确的解法如下：【解析】设点D 的坐标为(),x y ,则()()()1,1,4,2,3,2BA BC BD x y =--=-=--. 如图19-所示,当四边形为平行四边形ABCD 时,有BD BA BC =+,则()3145,2121,x y ⎧-=-+-=-⎨-=-+=⎩解得2,3.x y =-= 因此所求的点D 的坐标为()2,3-.如图110-所示,当四边形为平行四边形ADBC 时,()()3,3,4,2,CA CB CD =-=-()1,4x y =+-.有CD CA CB =+,则()1347,4325,x y +=+=-=-+-=-∣解得61x y =⎧⎨=-⎩因此所求的点D 的坐标为()6,1-.如图111-所示,当四边形为平行四边形ABDC 时,()()1,1,3,3,AB AC AD ==-()2,1x y =--.有AD AB AC =+,则()2132,113 4.x y -=+-=--=+=∣解得0,5.x y ==∣因此所求的点D 的坐标为()0,5.综上所述,所求的点D 的坐标为()()2,3,6,1--或()0,5.【例2】如图112-所示,已知三定点()()2,1,0,1A B -、()2,1C -;三动点D E M 、、满意,AD t AB BE =[]BC,DM DE,0,1t t t ==∈(1)求动直线DE 斜率的改变范围; （2）求动点M 的轨迹方程.【错解】(1)略. (2)(),22,21DM tDE x t y t =∴+-+-()222,2121t t t t t =-+--+-()()22,422,42t t t t t =--=--,()22212,,4(12)x t x y y t ⎧=-∴∴=⎨=-⎩,即24x y =.即所求轨迹方程为24x y =.评析及正解上述解法中消参(元)意识不强,含参数问题一般都要留意变量的范围,而错解没有留意范围的限定. 正确的解法如下： 【解析】(1)设()()(),,,,,.D D E E D x y E x y M x y()(),,2,12,2D D AD t AB BE tBC x y t ==--=--由可知22,2,21,2 1.D EDE x t x t y t y t ⎧=-+=-⎧⎪∴⎨⎨=-+=-⎪⎩⎩同理 ()()[][]212112.0,1,1,1.222E D DE DE E D t t y y k t t k x x t t ---+-∴===-∈∴∈-----+()(),22,21222,2121DM tDE x t y t t t t t t ∴=∴+-+-=-+--+-()222212,,4.4(12).D x t x x y x y y t ⎧=-∴==⎨=-⎩即 【评析及正解】上述解法中消参(元)意识不强,含参数问题一般都要留意变量的范围,而错解没有留意范围的限定.正确的解法如下：【解析】 (1) 设 ()(),,,,(,).D D E E D x y E x y M x y由,AD t AB BE t BC ==, 可知 ()2,1(2,2)D D x y t --=--,22,21D D x t y t =-+⎧∴⎨=-+⎩, 同理 221E E x t y t =-⎧⎨=-⎩21(21)12.[0,1],[1,1].2(22)E D DE DE E D y y t t k t t k x x t t ----+∴===-∈∴∈-----+(2) 【解法 1】,(22,21)(222,2121)DM tDE x t y t t t t t t =∴+-+-=-+--+-()22222(12),(2,42)2,42, 4.(12)4x t x t t t t t y x y y t =-⎧=--=--∴⋅∴==⎨=-⎩即 [0,1],2(12)[2,2].t x t ∈∴=-∈-[]24,2,2.x y x =∈-即所求轨迹方程为【解法2】()1,OD t OA tOB =-+由平面向量基本定理得()()()221,1(1)21OE t OB tOC OM t OD tOE t OA t tOB t OC =-+=-+=-+-+ ()()()(),,2,1,0,1,2,1,M x y OA OB OC ==-=-设点坐标为由得()2,4,0,1,2122,2.t x y t x t ⎡⎤⎤⎡=∈∴=-∈-⎦⎣⎣⎦消去得四、难题攻略【例】已知正方形ABCD 的边长为1,当每个2(21,2,3,4,5,6λ=)取遍1±时,123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是. 最大值是.【分析】本题考查平面对量的模,可以适当建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,运用坐标的不同取值求解,也可以求模后结合配方法探讨其最值或利用肯定值不等式的性质求解. 【解析】【解法1】以点A 为原点,,AB AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为正方形ABCD 的边长为1,则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ,则AB =(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)BC CD DA AC BD ==-=-==-则123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=则当1345621,1λλλλλλ======- 时，123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 取得最小值 0当561λλ== 时,123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++22(11)=++=同理可探讨56,λλ 的另外 3 种状况,都有12345625AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ∴+++++ 的最大值为【解法2】记123456S AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++ 则()()13562456S AB BC λλλλλλλλ=-+-+-++=令1324,a b λλλλ=-=-, 则 S =当56λλ= 时, S ==max min 0S S ∴==解法三 记 123456S AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++, 则()()()()2222213562456565622S λλλλλλλλλλλλ=-+-+-+++-+++()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++2256565656,{1,1},2,2λλλλλλλλ∈-∴+=-++=因此2020S, 即 025S (两边等号均能取到).max min 0S S ∴==五、强化训练1.(1)设O 是坐标原点,()()(),12,4,5,10,,OA k OB OC k k ===为何值时,,,A B C 三点共线?(2)已知()()cos ,sin ,1sin ,1cos OP OQ θθθθ==++,其中0θπ,求PQ 的取值范围及PQ 取得最大值时θ的值.【解析】.(1)由()()(),12,4,5,10,OA k OB OC k ===,可得()()4,7,6,5AB k BC k =--=-.,,A B C 三点共线的条件是,AB BC 共线,,AB BC 共线的条件是()()()45670k k ---⨯-=,解得12k =-或211k =.∴当12k =-或211k =时,,,A B C 三点共线.(2)()1sin cos ,1cos sin PQ OQ OP θθθθ=-=+-+-,222||(1sin cos )(1cos sin )44sin cos 42sin2PQ θθθθθθθ∴=+-++-=-=-.0,1sin2 1.2,PQ θπθ⎡∴-∴∈⎣.当sin21θ=-时,即34πθ=,PQ 取得最大值.2.已知点()()()1,1,3,0,2,1A B C -,若平面区域D 由全部满意(12,01AP AB AC λμλμ=+)的点P 组成,求平面区域D 的面积.【解析】设(),P x y ,则()()()1,1,2,1,1,2AP x y AB AC =-+==.12,,12,x AP AB AC y λμλμλμ-=+⎧=+∴⎨+=+⎩解得32 3.32 3.x y x y λμ=--⎧⎨-=--⎩ 又62912.01,023x y x y λμ-⎧∴⎨-⎩.此不等式组表示的可行域为平行四边形,如图所示,由于()3,0M ,()5,1.NMN ∴==点()5,1N 到直线20x y -=的距离d =∴平面区域D 的面积3S ==.1112。
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2.2 向量的分解与向量的坐标运算
典题精讲
例1 如果向量AB =i -2j ，BC =i +m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线.
思路分析:考查平面向量共线的条件及其应用.转化为证明向量∥. 解:依题意，知i=(1，0)，j=(0，1)， 则=(1，0)-2(0，1)=(1，-2)，
=(1，0)+m(0，1)=(1，m).
∵AB 、BC 共线，∴1×m -1×(-2)=0.
∴m=-2.即当m=-2时，A 、B 、C 三点共线.
绿色通道:点共线问题通常化归为向量共线问题，坐标法实现了向量的代数化，运算时方便、简洁，因此坐标法是解决向量问题的重要方法.
变式训练1(2005全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量OA =(k,12)，OB =(4,5),OC =(-k,10),且A 、B 、C 三点共线，则k=______________.
思路解析：由于A 、B 、C 三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，
=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-3
2
.
答案：-3
2
变式训练 2 已知向量a =(3，4)，b =(sin α,cos α)，且a ∥b ，则tan α的值为( ) A.
43 B.-43 C.34 D.-3
4 思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a ∥b ，且a =(3，4)，b =(sin α,cos α)，所以3cos α=4sin α=0，则有3cos α=4sin α，显然cos α≠0.于是tan α=ααcos sin =4
3
. 答案:A
变式训练 3(2006山东临沂二模，理5)已知向量a =(8，2
1
x)，b =(x ，1)，其中 x ＞0，若(a -2b )∥(2a +b )，则x 的值为( )
A.4
B.8
C.0
D.2 思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.
∵(a -2b )=(8-2x,
21
x-2),(2a +b )=(16+x,x+1), ∴(8-2x)(x+1)-(2
1
x-2)(16+x)=0.
∴x=4或x=-5(舍去). 答案:A
例 2 如图2-2-1所示，
ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ,=b ,用a ,b 表示
,,和.
图2-2-1
思路分析：考查平面向量基本定理及其应用.把,,和放入三角形，利用三角形法则或平行四边形来解决.
解：∵+==a +b ,-==a -b , ∴=-
21=-21(a +b )=-21a -21
b , =21=21(a -b )=21a -21b ,
=21=21a +2
1b ,
MB MD -==-21DB =-21a +2
1
b .
绿色通道:用已知向量(通常是向量基底)表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角
形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路. 变式训练 4(2006安徽高考卷，理14)在
ABCD 中，=a ，=b ，=3,M 为BC
的中点，则=___________.(用a ,b 表示)
思路解析:把向量放在△AMN 中，利用三角形法则转化为其他向量的线性表示. 如图2-2-2所示，由AN =3NC ,得4AN =3AC ，
图2-2-2
即=
43=4
3
(a +b ). 在△ABM 中，AM =a +2
1
b ,
则=
43-=43(a +b )-(a +21b )=-41a +41b . 答案：-41a +4
1
b
问题探究
问题 在几何中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？
导思:线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.
探究:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P 分有向线段AB 的比为λ. ∴+λ=0.
∴(-)+λ(-)=0. ∴=
λ
λ++1OB
OA .
如图2-2-3所示，如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2
).
图2-2-3
因为=λ, 所以PA +λPB =0,
于是有(OP OA -)+λ(OP OB -)=0, 即(1+λ)=+λ. 所以=
λ
λ++1OB
OA .
则有(x,y)=
λλ++1),(),(2211y x y x =(λλ++121x x ,λ
λ++12
1y y ),
即⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++=++=.1,12
12
1λ
λλ
λy y y x x x ,
所以P 点的坐标为(
λλ++121x x ,λ
λ++12
1y y ).
此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1,即点P 是线段AB 的中点时,点P 的坐标为(
221x x +,2
21y y +),此坐标又称为线段的中点坐标公式. 下面探讨其应用. 典题精讲
例1 设△ABC 的重心(三条中线的交点)为G ，并且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),求G 的坐标. 思路分析:求出BC 中点坐标，再利用定比分点的坐标公式得G 的坐标. 解:设点G(x,y)，BC 的中点为D ，则
由题意，得2=,则⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+++=+++=,212y y 2y y ,212x x 2x x 3
21321
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=++=.
3y y y y ,3
x x x x 321
321
∴G 的坐标是(
3
,33
21321y y y x x x ++++).
上面的结论称为三角形重心坐标公式，可以作为结论直接应用. 例2 已知M(2，7)和A(6，3)，若点P 在直线MA 上，且MP =
3
1
PA ，求点P 的坐标. 思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法. 解法一：(利用定比分点的坐标公式)
设P(x,y),由定比分点坐标公式，得x=3116312+⨯+=3,y=3
113
317+⨯+=6,即P(3,6). 解法二：(利用两点间的距离公式)
设P(x,y),由题意得||=4||,||=
3
4
||. 则有⎪⎩⎪
⎨⎧+=++=+.3)-(76)-(2y)-(3x)-(63
4,3)-(76)-(2y)-(7x)-(242
2222222
解方程组，得⎩⎨
⎧==6,
y 3,
x 即P(3，6).
解法三:设P(x,y),则MP =(2-x,7-y),
31PA =3
1
(x-6,y-3). ∵MP =
3
1
PA , ∴(2-x,7-y)=3
1
(x-6,y-3).
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==3).-(y 31y -76),-(x 31x -2 解方程组得 x=3,y=6,即P(3,6).
通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们的重视.。