算法设计实验一归并排序(分治)和插入排序的比较分析
程序设计排序算法分析
３ 算法评价
３ ． １ 稳定 性
交换排 序是指通 过在数 据元 素之间互 相交换逆序元素 而进行的排
序。交换排序包括冒泡排序和快速排序。
（ １ ）冒泡排序 ：通过将相邻 的数据元素进行 比较 ， 若 逆序则交 换 ，逐步将无序序列处理成为有序序列。每一趟交换排序都会增加一 个元素到有序 区，整个 冒泡排序过程最多需要进行ｎ 一 １ 趟排序。 （ ２ ） 快速排序 ：通过一趟排序 将待排序 的数据元 素分割成独立 的两部分 ，其中一部分数据元素的关键字均比另一部分数据元素的关 键字小 。则可分别对这两部分元素继续 进行排序 ，以达 到整个序列有
排序是程序设计的常见问题 ，选择合理高效的排序算法是数据处 理 的最重要 的研究 问题之一 。排序算法 的功能是将一个由一组数据元 素或 记录组成 的无序序列 ，重新排列成一个按关键字有序的序列【 １ ］ 。 有序序列可有效地提高记录的查找效率。
１ 排序 算法 分类
１ ． １ 内部 排序
科学技术
程序 设计排序 算法分析
冯毅宏
摘
杨英翔
刘 冬莉
何
彤
（ 沈 阳建 筑大 学信 息 与控 制工 程 学院 ，辽 宁 沈 阳 １ １ ０ １ ６ ８）
要 ：排序算法是计算机程序设计的一个重要内容 ，对排序算法的分析与研究具有广泛的应用价值。本文介绍了常见的排序算法，并通过对比
分析 ，对各种排序算法从算法评价角度给出了综合评价。 关键词：排序算法；内部排序；对比分析；算法评价
２ ． ２ 交 换排 序
箱 排序是 设置若 干个箱 子 ，依 次扫描 待排序 的数据 元素Ｒ 【 Ｏ 】 ， Ｒ ［ １ 】 ，… ，Ｒ ［ ｎ 一 １ 】 ，把关键字等于ｋ 的记录全都装入到第ｋ 个箱子里（ 分 配） ，然后按序号依次将各非空 的箱子首尾连接起来（ 收集） 。 （ ２ ） 基数排序 基数排序 的算法是 ：一个逻辑关键字可以看 成由若 干个关键字复 合而成的 ，可把每个排序关键字看成是一个ｄ 元组 ，即例如由关键字Ｋ 由ｄ 个关键 字 （ Ｋ ０ ， Ｋ Ｉ ，…，Ｋ ｄ 一 １ ） 组成 ，排序时先按Ｋ ０ 的值从小到 大（ 或从大到小 ） 将记 录分配到 盒子 中，然后依次收集这些记 录， 再按Ｋ １ 的值分配到ｒ 个盒子 中，如此反复 ，直到按Ｉ （ ｄ 一 １ 的值分配后收集 起来的序列，便是完全排序 的状态 ，其中 为基数 。基数的选择 和关
常用排序算法分析比较
常用排序算法分析比较排序算法是计算机科学中的基本概念之一，它主要用于对一组元素进行排序，使得这些元素按照某种规则有序排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等等，这些算法都有自己的特点和适用场景，下面针对这些排序算法进行分析比较。
1.冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，它的主要思想是依次比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不对就交换它们的位置，可以保证每次循环后最后一个元素是已经排序好的。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。
2.插入排序插入排序是一种稳定的排序算法，它的基本思想是将待排序的数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间，在未排序区间内遍历，将每个元素插入到已排序区间的合适位置。
插入排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。
3.选择排序选择排序是一种比较简单的排序算法，它的主要思想是通过不断选择未排序区间内的最小值，然后和未排序区间的第一个元素交换位置，以此类推，直到排序完毕。
选择排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。
4.快速排序快速排序是一种经典的排序算法，它的思想是采用分治的思想，将序列分为左右两个子序列，通过递归的方式对左右两个子序列进行快速排序，最后合并两个排好序的子序列。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。
5.归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，它的基本思想是采用分治的思想，将序列分为左右两个子序列，通过递归的方式对左右两个子序列进行排序，最后将两个排好序的子序列合并成一个有序序列。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
通过比较以上五种排序算法，可以发现每种算法都有自己的特点和适用场景，对于元素数量较少的情况下，可以选择冒泡排序、插入排序或选择排序，这些算法思路简单易懂，实现也比较容易；对于大规模数据排序，可以选择归并排序或快速排序，因为它们的时间复杂度比较优秀。
插入排序实验报告
一、实验目的1. 理解插入排序算法的基本原理和步骤。
2. 掌握插入排序算法的编程实现。
3. 分析插入排序算法的性能特点。
4. 比较插入排序算法与其他排序算法的优劣。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发工具：PyCharm三、实验原理插入排序（Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。
它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。
插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序）。
插入排序的步骤如下：1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序。
2. 取出下一个元素，在已排序的元素序列中从后向前扫描。
3. 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置。
4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。
5. 将新元素插入到该位置后。
6. 重复步骤2~5。
四、实验内容1. 编写插入排序算法的Python代码。
2. 对不同规模的数据进行排序，观察排序效果。
3. 分析插入排序算法的性能特点。
4. 比较插入排序算法与其他排序算法的优劣。
五、实验步骤1. 编写插入排序算法的Python代码。
```pythondef insertion_sort(arr):for i in range(1, len(arr)):key = arr[i]j = i - 1while j >= 0 and key < arr[j]:arr[j + 1] = arr[j]j -= 1arr[j + 1] = keyreturn arr```2. 对不同规模的数据进行排序。
```python# 测试数据data1 = [5, 2, 8, 3, 1]data2 = [3, 6, 2, 7, 4, 1, 5]data3 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] # 排序sorted_data1 = insertion_sort(data1)sorted_data2 = insertion_sort(data2)sorted_data3 = insertion_sort(data3)# 打印排序结果print("排序后的data1:", sorted_data1)print("排序后的data2:", sorted_data2)print("排序后的data3:", sorted_data3)```3. 分析插入排序算法的性能特点。
数据结构课程设计—内部排序算法比较
数据结构课程设计—内部排序算法比较在计算机科学领域中，数据的排序是一项非常基础且重要的操作。
内部排序算法作为其中的关键部分，对于提高程序的运行效率和数据处理能力起着至关重要的作用。
本次课程设计将对几种常见的内部排序算法进行比较和分析，包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序。
冒泡排序是一种简单直观的排序算法。
它通过重复地走访要排序的数列，一次比较两个数据元素，如果顺序不对则进行交换，并一直重复这样的走访操作，直到没有要交换的数据元素为止。
这种算法的优点是易于理解和实现，但其效率较低，在处理大规模数据时性能不佳。
因为它在最坏情况下的时间复杂度为 O(n²)，平均时间复杂度也为O(n²)。
插入排序的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入，直到整个序列有序。
插入排序在数据量较小时表现较好，其平均时间复杂度和最坏情况时间复杂度也都是 O(n²)，但在某些情况下，它的性能可能会优于冒泡排序。
选择排序则是每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（或最大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
以此类推，直到全部待排序的数据元素排完。
选择排序的时间复杂度同样为O(n²)，但它在某些情况下的交换操作次数可能会少于冒泡排序和插入排序。
快速排序是一种分治的排序算法。
它首先选择一个基准元素，将数列分成两部分，一部分的元素都比基准小，另一部分的元素都比基准大，然后对这两部分分别进行快速排序。
快速排序在平均情况下的时间复杂度为 O(nlogn)，最坏情况下的时间复杂度为 O(n²)。
然而，在实际应用中，快速排序通常表现出色，是一种非常高效的排序算法。
归并排序也是一种分治算法，它将待排序序列分成若干个子序列，每个子序列有序，然后将子序列合并成一个有序序列。
算法分析与设计实验报告合并排序快速排序
算法分析与设计实验报告：合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分，它涉及到解决问题的方法和步骤。
合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。
本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验，通过对比它们的性能和效率，以期得出最优算法。
二、合并排序合并排序是一种分治算法，它将原始数组不断分解为更小的数组，直到最后细分为单个元素。
然后，再将这些单个元素两两合并，形成一个有序数组。
合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。
1. 算法步骤（1）将原始数组分解为更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素；（2）两两合并相邻的子数组，同时进行排序，生成新的有序数组；（3）重复步骤（2），直到生成最终的有序数组。
2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
无论最好情况还是最坏情况，合并排序的复杂度都相同。
合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组，所以空间复杂度为O(n)。
三、快速排序快速排序也是一种分治算法，它将原始数组根据一个主元（pivot）分成两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元。
然后，递归地对这两个子数组进行排序，最后得到有序数组。
快速排序的核心操作是划分。
1. 算法步骤（1）选择一个主元（pivot），可以是随机选择或者固定选择第一个元素；（2）将原始数组根据主元划分为两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元；（3）递归地对这两个子数组进行快速排序；（4）重复步骤（2）和（3），直到每个子数组只有一个元素，即得到最终的有序数组。
2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
最坏情况下，当每次选择的主元都是最小或最大元素时，时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率，我们设计以下实验：1. 实验目的：比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。
排序算法问题课程设计
排序算法问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解排序算法的基本概念，掌握冒泡排序、选择排序、插入排序等常见排序算法的原理和步骤。
2. 能够分析不同排序算法的时间复杂度和空间复杂度，理解其适用场景。
3. 了解排序算法在实际问题中的应用，如查找最大（小）元素、数据去重、有序数组合并等。
技能目标：1. 能够运用所学排序算法解决实际问题，编写相应的程序代码，并进行调试与优化。
2. 培养良好的编程习惯，提高代码的可读性和可维护性。
3. 学会通过分析问题特点，选择合适的排序算法，提高解决问题的效率。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对算法学习的兴趣，激发他们主动探索排序算法的优缺点和改进方向的热情。
2. 培养学生的团队协作精神，学会在合作中交流、分享、共同解决问题。
3. 培养学生面对问题时的耐心和毅力，养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习态度。
本课程设计针对初中或高中年级学生，结合计算机科学课程中的排序算法部分，注重理论与实践相结合。
课程性质为理论课与实践课相结合，通过讲解、示例、实践等教学手段，使学生掌握排序算法的基本知识，提高编程能力和问题解决能力。
根据学生特点和教学要求，课程目标具体、可衡量，有利于教师进行教学设计和评估。
将目标分解为具体学习成果，有助于学生明确学习目标，提高学习效果。
二、教学内容1. 排序算法基本概念：介绍排序算法的定义、作用和分类，结合教材相关章节，让学生了解排序在计算机科学中的重要性。
2. 常见排序算法原理与步骤：- 冒泡排序：讲解冒泡排序的原理、步骤，分析其时间复杂度和空间复杂度。
- 选择排序：介绍选择排序的原理、步骤，分析其时间复杂度和空间复杂度。
- 插入排序：讲解插入排序的原理、步骤，分析其时间复杂度和空间复杂度。
3. 排序算法的应用场景：结合实际案例，分析不同排序算法在实际问题中的应用，如排序数组查找、有序数组合并等。
4. 排序算法的时间复杂度和空间复杂度分析：讲解如何分析排序算法的复杂度，并通过实例加深理解。
分治法实验心得
分治法实验心得分治法实验心得分治法是一种常见的算法设计策略，它将原问题划分成若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，然后递归地求解这些子问题，最终将子问题的解合并得到原问题的解。
在本次实验中，我们实现了两个基于分治法的算法：归并排序和快速排序，并对它们进行了性能测试和比较。
一、归并排序1. 原理归并排序是一种典型的分治算法。
它将待排序数组不断地二分为两个子数组，直到每个子数组只剩下一个元素。
然后将相邻的两个子数组合并成一个有序数组，再将相邻的两个有序数组合并成一个更大的有序数组，直到最终合并成整个待排序数组。
2. 实现我们采用了自顶向下的递归方式实现了归并排序。
具体来说，我们定义了一个merge函数用于合并两个有序子数组，并定义了一个sort 函数用于递归地对左右两个子数组进行排序和合并。
3. 性能测试与比较我们使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，与理论分析相符。
二、快速排序1. 原理快速排序也是一种分治算法。
它选择一个基准元素，将数组中小于等于它的元素放在其左侧，大于它的元素放在其右侧。
然后递归地对左右两个子数组进行同样的操作，直到每个子数组只剩下一个元素。
2. 实现我们实现了两个版本的快速排序：递归版本和非递归版本。
其中，递归版本采用了经典的Lomuto分区方案，而非递归版本则采用了更高效的Hoare分区方案。
3. 性能测试与比较我们同样使用Python内置的time模块对不同规模（10^2 ~ 10^6）的随机整数列表进行了性能测试，并绘制出了运行时间随数组规模增大的变化曲线。
结果表明，快速排序具有很好的平均时间复杂度（O(nlogn)），但最坏情况下时间复杂度会退化到O(n^2)。
三、总结与思考通过本次实验，我们深入理解了分治算法设计策略，并学会了如何实现归并排序和快速排序。
数据结构之各种排序的实现与效率分析
各种排序的实现与效率分析一、排序原理（1）直接插入排序基本原理：这是最简单的一种排序方法，它的基本操作是将一个记录插入到已排好的有序表中，从而得到一个新的、记录增1的有序表。
效率分析：该排序算法简洁，易于实现。
从空间来看，他只需要一个记录的辅助空间，即空间复杂度为O（1）.从时间来看，排序的基本操作为：比较两个关键字的大小和移动记录。
当待排序列中记录按关键字非递减有序排列（即正序）时，所需进行关键字间的比较次数达最小值n-1，记录不需移动；反之，当待排序列中记录按关键字非递增有序排列（即逆序）时，总的比较次数达最大值（n+2）(n-1)/2，记录移动也达到最大值（n+4）(n-2)/2.由于待排记录是随机的，可取最大值与最小值的平均值，约为n²/4.则直接插入排序的时间复杂度为O（n²）.由此可知，直接插入排序的元素个数n越小越好，源序列排序度越高越好（正序时时间复杂度可提高至O（n））。
插入排序算法对于大数组，这种算法非常慢。
但是对于小数组，它比其他算法快。
其他算法因为待的数组元素很少，反而使得效率降低。
插入排序还有一个优点就是排序稳定。
（2）折半插入排序基本原理：折半插入是在直接插入排序的基础上实现的，不同的是折半插入排序在将数据插入一个有序表时，采用效率更高的“折半查找”来确定插入位置。
效率分析：由上可知该排序所需存储空间和直接插入排序相同。
从时间上比较，折半插入排序仅减少了关键字间的比较次数，为O(nlogn)。
而记录的移动次数不变。
因此，折半查找排序的时间复杂度为O(nlogn)+O（n²）= O（n²）。
排序稳定。
（3）希尔排序基本原理：希尔排序也一种插入排序类的方法，由于直接插入排序序列越短越好，源序列的排序度越好效率越高。
Shell 根据这两点分析结果进行了改进，将待排记录序列以一定的增量间隔dk 分割成多个子序列，对每个子序列分别进行一趟直接插入排序, 然后逐步减小分组的步长dk，对于每一个步长dk 下的各个子序列进行同样方法的排序,直到步长为1 时再进行一次整体排序。
各种排序方法的综合比较
各种排序方法的综合比较在计算机科学中，排序是一种常见的算法操作，它将一组数据按照特定的顺序重新排列。
不同的排序方法具有不同的适用场景和性能特点。
本文将综合比较几种常见的排序方法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序和归并排序。
一、冒泡排序冒泡排序是一种简单但效率较低的排序方法。
它通过多次遍历数组，每次比较相邻的两个元素，将较大的元素逐渐“冒泡”到数组的末尾。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n为待排序元素的数量。
二、选择排序选择排序是一种简单且性能较优的排序方法。
它通过多次遍历数组，在每次遍历中选择最小的元素，并将其与当前位置交换。
选择排序的时间复杂度同样为O(n^2)。
三、插入排序插入排序是一种简单且适用于小规模数据的排序方法。
它通过将待排序元素逐个插入已排序的部分，最终得到完全有序的数组。
插入排序的时间复杂度为O(n^2)，但在实际应用中，它通常比冒泡排序和选择排序更快。
四、快速排序快速排序是一种高效的排序方法，它通过分治法将数组划分为两个子数组，其中一个子数组的所有元素都小于另一个子数组。
然后递归地对两个子数组进行排序，最终将整个数组排序完成。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，但最坏情况下可能达到O(n^2)。
五、归并排序归并排序是一种稳定且高效的排序方法。
它通过将数组分成两个子数组，递归地对两个子数组进行排序，然后合并两个有序的子数组，得到最终排序结果。
归并排序的时间复杂度始终为O(nlogn)，但它需要额外的空间来存储临时数组。
综合比较上述几种排序方法，可以得出以下结论：1. 冒泡排序、选择排序和插入排序都属于简单排序方法，适用于小规模数据的排序。
它们的时间复杂度都为O(n^2)，但插入排序在实际应用中通常更快。
2. 快速排序和归并排序都属于高效排序方法，适用于大规模数据的排序。
它们的时间复杂度都为O(nlogn)，但快速排序的最坏情况下性能较差，而归并排序需要额外的空间。
排序算法比较系统实验报告
排序算法比较系统一．项目计划书1.项目的选题意义随着计算机科学技术的快速发展，排序成为了计算机程序设计中的一种重要操作。
它在计算机图形、计算机辅助设计、机器人、模式识别及统计学等领域具有广泛应用。
在实际应用当中比如数据统计等方面都会用到。
而且对一组数据进行排序也方便了后面对数据查找的操作。
要知道在一个有序数组中查找和在一个随机无序数组中的查找的时间复杂度和系统消耗是有天壤之别的。
它的的功能是将一个数据元素（或记录）的任意序列，重新排列成一个关键字有序的序列。
由于排序法很多，但就其全面性能而言，很难提出一种被认为是最好的方法，每一种方法都有各自的优缺点，适合在不同的的环境下使用。
一般情况下，采用不同的排序算法效率会不一样。
因此，在不同的环境下选择相对效率最高的排序算法，能够有效加快工程实施的进度。
为了方便大家了解不同排序算法的时间效率，特建立一种排序算法比较系统，实现比较不同排序算法效率的目的。
2.项目的主要内容和目标排序算法比较系统主要实现的下列十种功能:一．简单选择排序；二．折半插入排序；三．直接插入排序；四．冒泡排序；五．希尔排序；六．快速排序；七．归并排序；八．堆排序；九．清屏；十．退出系统；3．项目的技术基础、特点及实施的条件该项目可用C语言实现，适于在单机环境下运行。
小组成员均已学习过C语言程序设计、数据结构、算法等课程，具有一定的开发能力。
4.项目人员分工所有人都参与了项目的选题、设计、实现及测试工作，项目负责人归纳整理小组成员讨论成果，并确定最终方案。
在实践阶段，按照功能模块具体分工如下：项目组负责人：李齐，构建模型、设计算法、设计界面、实现功能二、四、五、六、七、十项目组成员：刘运皇，初始化数据、实现功能一、三、八、九二．设计方案1.算法思想的选择与设计此项目来源于实际问题。
通常，在排序的过程中需进行下列两种基本操作：（1）比较两个关键字的大小；（2）将记录从一个位置移动至另一个位置。
排序算法实验报告
数据结构实验报告八种排序算法实验报告一、实验内容编写关于八种排序算法的C语言程序，要求包含直接插入排序、希尔排序、简单项选择择排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、归并排序和基数排序。
二、实验步骤各种内部排序算法的比较：1.八种排序算法的复杂度分析〔时间与空间〕。
2.八种排序算法的C语言编程实现。
3.八种排序算法的比较，包括比较次数、移动次数。
三、稳定性，时间复杂度和空间复杂度分析比较时间复杂度函数的情况：时间复杂度函数O(n)的增长情况所以对n较大的排序记录。
一般的选择都是时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法。
时间复杂度来说：(1)平方阶(O(n2))排序各类简单排序:直接插入、直接选择和冒泡排序；(2)线性对数阶(O(nlog2n))排序快速排序、堆排序和归并排序；(3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之间的常数。
希尔排序(4)线性阶(O(n))排序基数排序，此外还有桶、箱排序。
说明：当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O〔n〕；而快速排序则相反，当原表基本有序时，将蜕化为冒泡排序，时间复杂度提高为O〔n2〕；原表是否有序，对简单项选择择排序、堆排序、归并排序和基数排序的时间复杂度影响不大。
稳定性：排序算法的稳定性:假设待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；假设经排序后，记录的相对次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。
稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。
基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。
另外，如果排序算法稳定，可以防止多余的比较；稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序四、设计细节排序有内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。
算法浅谈——分治算法与归并、快速排序（附代码和动图演示）
算法浅谈——分治算法与归并、快速排序（附代码和动图演⽰）在之前的⽂章当中，我们通过海盗分⾦币问题详细讲解了递归⽅法。
我们可以认为在递归的过程当中，我们通过函数⾃⼰调⽤⾃⼰，将⼤问题转化成了⼩问题，因此简化了编码以及建模。
今天这篇⽂章呢，就正式和⼤家聊⼀聊将⼤问题简化成⼩问题的分治算法的经典使⽤场景——排序。
排序算法排序算法有很多，很多博⽂都有总结，号称有⼗⼤经典的排序算法。
我们信⼿拈来就可以说上来很多，⽐如插⼊排序、选择排序、桶排序、希尔排序、快速排序、归并排序等等。
⽼实讲这么多排序算法，但我们实际⼯作中并不会⽤到那么多，凡是⾼级语⾔都有⾃带的排序⼯具，我们直接调⽤就好。
为了应付⾯试以及提升⾃⼰算法能⼒呢，⽤到的也就那么⼏种。
今天我们来介绍⼀下利⽤分治思想实现的两种经典排序算法——归并排序与快速排序。
归并排序我们先来讲归并排序，归并排序的思路其实很简单，说⽩了只有⼀句话：两个有序数组归并的复杂度是O(n)。
我们举个例⼦：a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = []我们⽤i和j分别表⽰a和b两个数组的下标，c表⽰归并之后的数组，显然⼀开始的时候i, j = 0, 0。
我们不停地⽐较a和b数组i和j位置⼤⼩关系，将⼩的那个数填⼊c。
填⼊⼀个数之后：i = 1j = 0a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1]填⼊两个数之后：i = 1j = 1a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1, 2]我们重复以上步骤，直到a和b数组当中所有的数都填⼊c数组为⽌，我们可以很⽅便地写出以上操作的代码：def merge(a, b):i, j = 0, 0c = []while i < len(a) or j < len(b):# 判断a数组是否已经全部放⼊if i == len(a):c.append(b[j])c.append(a[i])i += 1continue# 判断⼤⼩if a[i] <= b[j]:c.append(a[i])i += 1else:c.append(b[j])j += 1return c从上⾯的代码我们也能看出来，这个过程虽然简单，但是写成代码⾮常⿇烦，因为我们需要判断数组是否已经全部填⼊的情况。
各种排序算法的优缺点
一、冒泡排序已知一组无序数据a[1]、a[2]、……a[n]，需将其按升序排列。
首先比较a[1]与 a[2]的值，若a[1]大于a[2]则交换两者的值，否则不变。
再比较a[2]与a[3]的值，若a[2]大于a[3]则交换两者的值，否则不变。
再比较a[3]与a[4]，以此类推，最后比较a[n-1]与a[n]的值。
这样处理一轮后，a[n]的值一定是这组数据中最大的。
再对a[1]~a[n- 1]以相同方法处理一轮，则a[n-1]的值一定是a[1]~a[n-1]中最大的。
再对a[1]~a[n-2]以相同方法处理一轮，以此类推。
共处理 n-1轮后a[1]、a[2]、……a[n]就以升序排列了。
优点：稳定；缺点：慢，每次只能移动相邻两个数据。
二、选择排序每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。
选择排序是不稳定的排序方法。
n个记录的文件的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果：①初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空。
②第1趟排序在无序区R[1..n]中选出关键字最小的记录R[k]，将它与无序区的第1个记录R[1]交换，使R[1..1]和R[2..n]分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区。
……③第i趟排序第i趟排序开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(1≤i≤n-1)。
该趟排序从当前无序区中选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区。
这样，n个记录的文件的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。
优点：移动数据的次数已知（n-1次）；缺点：比较次数多。
三、插入排序已知一组升序排列数据a[1]、a[2]、……a[n]，一组无序数据b[1]、 b[2]、……b[m]，需将二者合并成一个升序数列。
数据排序实验实验报告
一、实验目的1. 熟悉数据排序的基本概念和算法。
2. 掌握几种常见的排序算法（冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等）的实现方法。
3. 分析各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度。
4. 比较不同排序算法的效率，了解其适用场景。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 软件工具：PyCharm三、实验内容1. 实现冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等排序算法。
2. 对一组随机生成的数据进行排序，并记录每种排序算法的运行时间。
3. 分析各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度。
4. 比较不同排序算法的效率，了解其适用场景。
四、实验步骤1. 实现排序算法（1）冒泡排序```pythondef bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):for j in range(0, n-i-1):if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j] return arr```（2）选择排序```pythondef selection_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):min_idx = ifor j in range(i+1, n):if arr[min_idx] > arr[j]:min_idx = jarr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i] return arr```（3）插入排序```pythondef insertion_sort(arr):for i in range(1, len(arr)):key = arr[i]j = i-1while j >=0 and key < arr[j]:arr[j+1] = arr[j]j -= 1arr[j+1] = keyreturn arr```（4）快速排序```pythondef quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[len(arr) // 2]left = [x for x in arr if x < pivot]middle = [x for x in arr if x == pivot]right = [x for x in arr if x > pivot]return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right) ```（5）归并排序```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result.extend(left[i:])result.extend(right[j:])return result```2. 对一组随机生成的数据进行排序，并记录每种排序算法的运行时间```pythonimport randomimport timedef test_sort_algorithms():arr = [random.randint(0, 1000) for _ in range(1000)]print("Original array:", arr)print("Bubble Sort:", bubble_sort(arr.copy()))print("Selection Sort:", selection_sort(arr.copy()))print("Insertion Sort:", insertion_sort(arr.copy()))print("Quick Sort:", quick_sort(arr.copy()))print("Merge Sort:", merge_sort(arr.copy()))def measure_time(sort_function, arr):start_time = time.time()sort_function(arr)end_time = time.time()return end_time - start_timedef compare_sort_algorithms():arr = [random.randint(0, 1000) for _ in range(1000)]bubble_time = measure_time(bubble_sort, arr.copy())selection_time = measure_time(selection_sort, arr.copy()) insertion_time = measure_time(insertion_sort, arr.copy()) quick_time = measure_time(quick_sort, arr.copy())merge_time = measure_time(merge_sort, arr.copy())print("Bubble Sort Time:", bubble_time)print("Selection Sort Time:", selection_time)print("Insertion Sort Time:", insertion_time)print("Quick Sort Time:", quick_time)print("Merge Sort Time:", merge_time)if __name__ == "__main__":test_sort_algorithms()compare_sort_algorithms()```3. 分析各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（1）冒泡排序：时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)（2）选择排序：时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)（3）插入排序：时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)（4）快速排序：平均时间复杂度O(nlogn)，最坏时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(logn)（5）归并排序：时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(n)4. 比较不同排序算法的效率，了解其适用场景通过比较实验结果，可以发现：- 在数据规模较小的情况下，冒泡排序、选择排序、插入排序等简单排序算法的效率较高。
算法排序---复杂度o（nlogn）的排序方式
算法排序---复杂度o（nlogn）的排序⽅式上次写的算法排序的⽂章都是O(logn^2)的，这次写两个⽐较常⽤的经典的排序算法：归并排序和快速排序。
1.归并排序也就是合并排序，将两个或两个以上的有序数据序列合并成⼀个新的有序数据序列，它的基本思想是假设数组A有N个元素，那么可以看成数组A有N个有序的⼦序列组成，每个⼦序列的长度为1，然后在将两两合并，得到⼀个N/2个长度为2或1的有序⼦序列，再两两合并，如此重复，直到得到⼀个长度为N的有序序列为⽌。
例如：数组A有7个数据，分别是 23,5,69,85,26,32,15 采⽤归并排序算法的操作过程如下：初始值【23】【5】【69】【85】【26】【32】【15】第⼀次会被分成两组【23】【5】【69】，【85】【26】【32】【15】第⼆次将第⼀组分成【23】，【5】【69】两组第三次将第⼆次分的第⼆组进⾏拆分【5】，【69】两组第四次对第三次拆分数组进⾏合并排序【5 69】第五次第四次排序好的数组和第⼆次拆分的数组合并为【5 23 69】接下来对第⼀次拆分的第⼆数组做同样的过程操作，合并为【15 26 32 85】最后将两个有序的数组做最后的合并【5 15 23 26 32 69 85】该算法的核⼼思想是采⽤了分治思想，即将⼀个数组分成若⼲个⼩数组排序，排序后再两两合并的过程。
⾸先看合并的过程实现，上代码：1//将两个排序好的序列合并2void Merge(int[] left, int[] right, int[] mergeArr)3 {4int i = 0, j = 0, k = 0;56while (i < left.Length && j < right.Length)7 {8if (left[i] < right[j]) //将元素⼩的放在合并的序列内9 {10 mergeArr[k] = left[i];11 i++;12 }13else14 {15 mergeArr[k] = right[j];16 j++;17 }18 k++;19 }2021//有左元素没有右元素的情况22while (i < left.Length)23 {24 mergeArr[k] = left[i];25 i++;26 k++;27 }2829//有右元素没有左元素的情况30while (j < right.Length)31 {32 mergeArr[k] = right[j];33 j++;34 k++;35 }36 }下⾯看看如何将⼀个数组分成若⼲个⼩组的过程：1public int[] MergeSort(int[] arr)2 {3if (arr == null || arr.Length == 0)4return arr;56int middle = arr.Length >> 1;78//左数组9int[] left = new int[middle];1011//右数组12int[] right = new int[arr.Length - middle];1314for (int i = 0; i < arr.Length; i++)15 {16if (i < middle)17 left[i] = arr[i];18else19 right[i - middle] = arr[i];20 }2122if (arr.Length > 1)23 {24//递归左序列25 left = MergeSort(left);2627//递归右序列28 right = MergeSort(right);2930 Merge(left, right, arr);31 }3233 Console.WriteLine("归并排序过程：{0}", String.Join(",", arr.ToArray()));3435return arr;36 }看效果：2.快速排序在平均状况下，排序n个项⽬要Ο(n log n)次⽐较。
比较排序-实验报告
算法设计与分析实验报告之比较插入排序，归并排序和快速排序一．实验目的：比较插入排序，归并排序和快速排序在不同规模下的不同类型的数据下的腾挪次数和比较次数。
二．实现方式：实验分为几个模块：生成数据集，排序，输出比较。
编译环境：Dev-C++（1）生成数据集实验通过调用以下几个函数分别生成数组值为顺序，逆序，恒为1以及随机数的数组。
生成的数据集会分别写入到DataInorderFile，DataDeorderFile，DataTheSameFile，DataRandomFile文件中。
void DataInorder(int a[], int n){…a[i]=i;…}//正序void DataDeorder(int a[], int n){…a[i]=n-I;…}//逆序void DataTheSame(int a[], int n){…a[i]=1;…}//恒为1void DataRandom(int a[], int n){…a[i]=rand()%n;…}//随机数（2）排序实验共有三种排序方法：插入排序，归并排序和快速排序。
a．插入排序void InsertSort(int a[],int n)；思路：直接插入排序(从小到大)：把数组分为为排序和已排序两个序列{{a1,a2...ak}{ak,a(k+1)...an}} ，每次从未排序的序列中抽一个数出来并插入到已排序的序列里面。
b．归并排序void MergeSort(int a[], int n)；思路：利用循环，每次将数组a中长度为s的两个子段（若不够长则保留）按从小到的大的顺序合并起来并存储到数组b中，下一次合并时再把b中的子段合并后存到a中。
如此反复，直到数组a排序完毕。
c．快速排序void QuickSort(int a[], int s, int t, int con)；思路：每一次快速排序选出一个枢轴元素，然后把比枢轴元素小的元素排在枢轴元素前，把比枢轴元素大的元素排在枢轴元素后面。
各个常用的排序算法的适用场景详细分析
各个常用的排序算法的适用场景详细分析1. 适用场景分析总览排序算法是计算机科学中的一个重要概念，它能够将一组无序数据按照特定规则排列成有序的序列。
在实际应用中，不同的排序算法在不同的场景中具有各自的优势和适用性。
本文将详细分析常用的几种排序算法的适用场景，并加以比较。
2. 冒泡排序冒泡排序是最基本的排序算法之一，它通过相邻元素之间的比较和交换来实现排序。
由于其简单易懂的特点，适用于数据量较小、或者已有部分有序的场景。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，在大数据量排序时效率较低。
3. 插入排序插入排序是一种简单直观的排序算法，通过将未排序元素逐个插入已排序部分的合适位置来实现排序。
它适用于数据量较小、或者已有部分有序的场景，其时间复杂度为O(n^2)。
插入排序相较于冒泡排序在一定程度上有一定的优化。
4. 选择排序选择排序通过每次选取最小（或最大）的元素来排序，每次找到的最小（或最大）元素与未排序部分的首位元素进行交换。
选择排序适用于数据量较小、或者对内存占用要求较高的场景。
它的时间复杂度为O(n^2)，相对于冒泡排序和插入排序而言，选择排序更稳定。
5. 快速排序快速排序是一种基于分治思想的排序算法，其通过递归将数组划分为较小和较大的两部分，并逐步将排序问题划分为更小规模的子问题进行处理。
快速排序适用于数据量较大的情况，具有较好的时间复杂度，平均情况下为O(nlogn)。
然而，当输入数据已基本有序时，快速排序的效率会变得较低。
6. 归并排序归并排序也是一种分治思想的排序算法，它将一个数组分成两个子数组，分别对每个子数组进行排序，然后再将两个已排序的子数组进行合并。
归并排序适用于对稳定性要求较高的场景，时间复杂度为O(nlogn)。
相较于快速排序，归并排序对已有序的数组进行排序效率更高。
7. 堆排序堆排序是一种通过维护最大（或最小）堆的性质来实现排序的算法。
它适用于对内存占用要求较高的场景，时间复杂度为O(nlogn)。
《算法设计与分析》课程实验报告 (分治法(三))
《算法设计与分析》课程实验报告实验序号：04实验项目名称：实验4 分治法（三）一、实验题目1.邮局选址问题问题描述：在一个按照东西和南北方向划分成规整街区的城市里，n个居民点散乱地分布在不同的街区中。
用x 坐标表示东西向，用y坐标表示南北向。
各居民点的位置可以由坐标(x,y)表示。
街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
居民们希望在城市中选择建立邮局的最佳位置，使n个居民点到邮局的距离总和最小。
编程任务：给定n 个居民点的位置,编程计算邮局的最佳位置。
2.最大子数组问题问题描述：对给定数组A，寻找A的和最大的非空连续子数组。
3.寻找近似中值问题描述：设A是n个数的序列，如果A中的元素x满足以下条件：小于x的数的个数≥n/4,且大于x的数的个数≥n/4 ，则称x为A的近似中值。
设计算法求出A的一个近似中值。
如果A中不存在近似中值，输出false，否则输出找到的一个近似中值4.循环赛日程表问题描述：设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次，每个选手一天只能赛一次，循环赛一共进行n-1天。
二、实验目的（1）进一步理解分治法解决问题的思想及步骤（2）体会分治法解决问题时递归及迭代两种不同程序实现的应用情况之差异（3）熟练掌握分治法的自底向上填表实现（4）将分治法灵活于具体实际问题的解决过程中，重点体会大问题如何分解为子问题及每一个大问题涉及哪些子问题及子问题的表示。
三、实验要求（1）写清算法的设计思想。
（2）用递归或者迭代方法实现你的算法，并分析两种实现的优缺点。
（3）根据你的数据结构设计测试数据，并记录实验结果。
（4）请给出你所设计算法的时间复杂度的分析，如果是递归算法，请写清楚算法执行时间的递推式。
四、实验过程（算法设计思想、源码）1.邮局选址问题(1)算法设计思想根据题目要求，街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
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沈阳化工大学实验报告
课程名称算法设计与分析
项目名称归并排序(分治)和插入排序的比较
学院应用技术学院
专业计中职1401 指导教师张雪
报告人张庭浩学号 ********** 实验时间 2016.11.05 提交时间 2016.11.05
一、实验目的
1.理解和掌握分治算法的相关内容。
2.具体完成插入排序和归并排序性能的比较。
二、实验内容
编写一个真随机函数，随机产生大量数字。
在产生相同的一组大量随机数字后，分别用归并排序和插入排序两种算法进行排序，并通过时间函数分别计算出运行的时间。
三、伪代码
1.归并排序
/*数组a[]是原始数组，数组b[]是目标数组*/
归并排序（数组a[],数组b[]）{
`分割与归并（数组a[],0, a.length,数组b[])
}
/*通过递归把要排序的子序列分的足够小*/
分割与归并（数组a[],起始位置,结束位置,数组b[]){
if(结束位置- 起始位置< 2)
返回
中间位置= （起始位置+结束位置）/2
分割与归并（数组a[],起始位置,中间位置,数组b[])
分割与归并（数组a[],中间位置,结束位置,数组b[])
归并（数组a[],起始位置，中间位置，结束位置，数组b[])
拷贝（数组a[],起始位置，结束位置，数组b[])
}
归并（数组a[],起始位置，中间位置，结束位置，数组b[]){
i0 = 起始位置，i1 = 中间位置
for j = 起始位置到结束位置
if(i0 < 中间位置且（i1 > 结束位置或a[i0] <= a[i1]){
//当i0没有超过中间位置时，有两种情况要将a[i0]复制到b[j]上：
//1.i1已经超过结束位置，只要把剩下的复制过来就好；
//2.a[i0]比a[i1]小
b[j]=a[i0]
i0++
} else {
b[j]=a[i1]
i1++
}
}
/*将已经排好序的数组b复制回数组a的相应位置*/
拷贝（数组a[]，起始位置，结束位置，数组b[]）{
for k = 起始位置到结束位置
a[k] = b[k]
}
2.插入排序
四、理论分析
1.归并算法
Divide的步骤为m=(p+q)/2，因此为O(1)，Combine步骤为merge()函数，Conquer步骤为分解为2个子问题，子问题大小为n/2，因此：归并排序的递归式：T(n)=2T(n/2)+O(n) 而求解递归式的三种方法有：
(1)替换法：主要用于验证递归式的复杂度。
(2)递归树：能够大致估算递归式的复杂度，估算完后可以用替换法验证。
(3)主定理：用于解一些常见的递归式。
最坏情况运行时间：O(nlgn)
最佳运行时间：O(nlgn)
2.插入排序(非递归)
在最坏情况下，数组完全逆序，插入第2个元素时要考察前1个元素，插入第3个元素时，要考虑前2个元素，……，插入第N个元素，要考虑前N - 1 个元素。
因此，最坏情况下的比较次数是1 + 2 + 3 + ... + (N - 1)，等差数列求和，结果为N^2 / 2，所以最坏情况下的复杂度为O(N^2)。
3.结论
通过理论分析我们可以知道归并排序的效率高于插入排序，接下来我们将进行实际算法的实现用实践来论证我们的理论。
首先我们先测试一下程序的正确性。
1.插入排序测试数据:49,38,65,97,76,13,27,49
2.归并排序测试数据:49,38,65,97,76,13,27,100
相同的三万个随机数进行排序证明了我们之前理论是正确的。
通过实践，结果是归并运行0.01秒，直接插入排序运行时间0.56秒。
七、源代码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define N 30000
typedef int RecType;//要排序元素类型
void Merge(RecType *R,int low,int m,int high)
{
//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的子文件R[low..high]
int i=low,j=m+1,p=0; //置初始值
RecType *R1; //R1是局部向量
R1=(RecType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType));
if(!R1)
{
return; //申请空间失败
}
while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上
{
R1[p++]=(R[i]<=R[j])?R[i++]:R[j++];
}
while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
{
R1[p++]=R[i++];
}
while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中
{
R1[p++]=R[j++];
}
for(p=0,i=low;i<=high;p++,i++)
{
R[i]=R1[p]; //归并完成后将结果复制回R[low..high] }
}
void MergeSort(RecType R[],int low,int high)
{
//用分治法对R[low..high]进行二路归并排序
int mid;
if(low<high)
{ //区间长度大于1
mid=(low+high)/2; //分解
MergeSort(R,low,mid); //递归地对R[low..mid]排序
MergeSort(R,mid+1,high); //递归地对R[mid+1..high]排序
Merge(R,low,mid,high); //组合，将两个有序区归并为一个有序区}
}
void main()
{
int low=0,high=N; //初始化low和high的值
clock_t start, end,s,e;
int a[N],i,num,flag,j,b[N],l[N],c,save,v;
srand((unsigned)time(NULL));
for(i=0;i<N;++i)
{
num=rand()%N+1;
flag=1;
for(j=0;j<i;++j)//判断随机数是否重复
{
if(num==a[j])
{
flag=0;
break;
}
}
if(flag) //对随机数进行复制
a[i]=num;
else
--i;
}
for(int k=0;k<N;k++)
{
b[k]=a[k];
l[k]=a[k];
}
start=clock();
MergeSort(b,low,high);
end=clock();
for(i=low;i<high;i++)
{
printf("%d ",b[i]); //输出测试
}
s=clock();
for(c=1;c<N;++c) //默认第一个元素已经有序,从第二个元素开始，把每个元素插入到前面有序的合适位置
{
save=l[c]; //保存当前的值，如果移动元素，可能会被覆盖
for(v=c-1;v>=0;v--)
{
if(l[v]<save) break;
l[v+1]=l[v]; //移动元素
}
if(v+1!=c)
l[v+1]=save; //在合适位置放上之前保存的数
}
e=clock();
for(c=0;c<N;c++)
{
printf("%8d",l[c]);
}
printf("\n");
printf("归并排序时间:%0.2f秒\n", (end-start)/1000.0);
printf("直接插入排序时间:%0.2f秒\n", (e-s)/1000.0);
}
2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。