第二节 定积分在几何学上应用
微积分定积分在几何中应用
(二)定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)求平面图形的面积求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线2f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。
轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为所以该曲边梯形的面积为2233222112173333x f x dx ===-=ò (2)求旋转体的体积求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b aV f x d x p=ò。
(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dcV g y d y p =ò。
(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ³)与直线x=a 、x=b(0a £ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baV xf x d x p =ò。
例如：例如：求椭圆求椭圆22221x y a b +=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
转体的体积。
分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆22()b y a x a x a a=--££，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 222222222322()()14()33aay aaaa b b v a x dx a x dxaa ba x x aba pp p p ---=-=-=-=òò椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆22,()a x b y b y b b=--££，与y轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33bby b bb b a a v b y dy b y dy b b a b y y a bb p p p p ---=-=-=-=òò(3)求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程、设曲线弧由参数方程 (){()()x t t y t j a b f =££=给出其中''(),()t t j f 在[,]a b 上连续，则该曲线弧的长度为'2'2[()][()]()s t t d xbaj f =+ò。
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
高中数学选修2-2定积分在几何中的应用课件
的交点为 (0, 0)
取x为积分变量, 则 x [0, 3].
所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
A 3 ( x2 3x)dx 9.
0
2
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
新知探究
由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 S1和S2 .需要求出曲线 y = x3 - 6x 、曲 线 y = x2 两个交点.
n
i =1 b
F = lim f λ →0 i=1
ξi Δxi =
f
a
x dx
新知探究
平面图形的面积 直角坐标系 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两 条直线x=a与x=b所围成.
新知探究
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x)-f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
极坐标方程的情形
设由曲线 r = φθ 及射线 θ = α、θ = β 围成一曲边扇形， 求其面积.这里 φθ 在 α，β 上连续，且 φθ≥0 .
曲边扇形面积元素 dA = 1 [φ(θ)]2 dθ 2
d
r ( )
d
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2 dθ. α2
o x
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
定积分在几何学上的应用
解 解 直角三角形斜边的直线方程为 y
r V ( x)2 dx 0 h
h
r x. h
r 2 1
1 h [ x3 ]0 hr 2 . 3 h2 3
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旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例7 计算由椭圆
2 x2 y 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 2 a b
V [ f ( x)]2 dx .
a b
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铃
旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围 成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高 为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.
ds a 2 (1 cos )2 a 2 sin 2 d 2a sin
2
d .
于是所求弧长为
s
2 0
2a sin
2
d
2
2a[2 cos ]0 8a. 2
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曲线yf(x)(axb)的弧长： s
a
b
1 y2 dx .
S 4 ydx .
0 a
2
y2
因为椭圆的参数方程为 xacost, ybsint, 所以
S 4 ydx 4b sin td ((acostt) S 4 ydx 4 b sin td a cos )
00
22
aa
00
4ab sin 2 tdt 2ab 2 (1 cos2t)dt
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
高等数学第六章第二节
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
36π 2 π
12(1x2
x21)2
dห้องสมุดไป่ตู้
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1
三、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
上下限按顺时针方向 确定
边界方程 参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s
(d x)2 (d y)2
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小
直角坐标方程
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
2. 试用定积分求圆
绕x轴
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用1.引言定积分是微积分中的一个重要概念，也是几何计算中的重要工具之一。
从几何角度来看，定积分可以用于计算图形的面积、体积、质心等问题，具有很强的实用价值。
本文将从定积分的基本定义入手，逐步探讨它在几何计算中的具体应用，希望能为读者提供一些参考。
2.定积分的基本定义定积分是对一个区间内函数在该区间内的面积求和所计算的极限值。
换句话说，如果在其定义区间上将函数的图象分成无穷多个狭长的矩形，那么这些矩形的面积之和即为该函数在该区间上的面积，而定积分就是对这些矩形面积之和求极限所得到的一个实数。
3.计算面积计算面积是定积分最基本的应用之一。
假设有一个函数f(x)，将其在[a,b]区间内用x轴分割成n个矩形，每个矩形宽度为Δx，则矩形的高度f(xi)，面积为f(xi)Δx，最后将所有矩形的面积相加，得到近似面积：Sn = Σf(xi)Δx当n趋近于无限大时，Sn的极限值就是f(x)在[a,b]上的面积：∫ab f(x)dx=S=a∫b f(x)dx其中S表示函数f(x)在[a,b]上的面积，a和b分别表示积分区间的端点。
4.计算体积定积分还可以用于计算三维空间中物体的体积。
例如，假设一个圆柱的横截面为半径为r的圆形，长度为h，则其体积V可以表示为：V = Πr²h如果将圆柱沿其中心轴线切割成无穷多个大量趋近于长方体的小块，然后将这些小块向上叠加，可以得到一个近似的立体体积。
叠加的过程即为对小块的体积进行定积分运算：V = ∫h0 Πr²dy5.计算质心质心是一个物体重心所在的位置，也是物体受力时的平衡点。
例如，一个平面图形的质心是指该图形的所有部分都按照各自的面积对重心发生的贡献计算，最终得到的点就是该图形的质心。
假设一个平面图形可以分成无穷多个小的矩形，每个矩形面积为ΔA，其重心的纵坐标y为f(x)，则该图形的质心的纵坐标为：y = (1/A)∑yiΔA，其中A表示该图形的总面积将每个小矩形的面积相加，用定积分表示，可以得到该图形的总面积：A = ∫ab f(x)dx再将每个小矩形的贡献相加，也用定积分表示，可以得到该图形的质心纵坐标：y = (1/A)∫ab xf(x)dx6.结语本文介绍了定积分在几何计算中的具体应用，包括计算面积、体积、质心等，其原理都是将物体分成无穷多小的组成部分，然后对每个小部分进行计算，最后将结果相加。
定积分的几何学原理及应用
定积分的几何学原理及应用一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、空间体积以及曲线长度等几何问题。
定积分的计算依赖于黎曼和的理论，通过将曲线或曲面分割成若干个小块，然后对这些小块的面积或体积进行求和来进行计算。
二、定积分的几何学原理定积分的几何学原理有以下三个方面的内容：1.曲线下面积的计算：对于一个实数区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以将其图像与x轴围成的曲线下的面积用定积分来表示。
通过将[a, b]区间分割成n个小区间，选取每个小区间上的一点，然后以这些小区间上的任意一点作为高，将每个小区间上的矩形面积进行求和，得到的极限就是曲线下面积的近似值。
当再令n趋于无穷大时，就得到了定积分表示的曲线下面积的准确值。
2.曲线长度的计算：类似于曲线下面积的计算，曲线的长度也可以用定积分来表示。
通过将曲线分割成若干个小线段，并将每个小线段的长度进行求和，就可以得到曲线的长度的近似值。
当分割的线段越来越小，小线段的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲线的长度的准确值。
3.空间体积的计算：除了用于计算平面曲线的面积和长度外，定积分还可以用于计算空间中曲面下面体积的大小。
通过将曲面分割为许多小面元，并将每个小面元的体积进行求和，可以得到曲面下面体积的近似值。
当分割的小面元越来越小，小面元的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲面下面体积的准确值。
三、定积分的几何学应用定积分作为微积分中的重要工具，广泛应用于几何学中的各种问题求解。
以下是几个典型的应用案例：1.求解平面区域面积：通过将平面分割成若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小矩形或小三角形的面积，并将其进行求和，可以得到给定平面区域的面积。
这在工程测量、物体表面积的计算等方面有重要应用。
2.求解线段长度：对于给定的曲线或曲面，通过将其分割成若干个小线段，然后计算每个小线段的长度，并将其进行求和，可以得到曲线或曲面的长度。
这种方法在导航、路径规划等领域中被广泛应用。
定积分几何应用的原理
定积分几何应用的原理1. 概述定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分的应用主要涉及求解曲线与坐标轴所包围的面积或曲线的弧长。
本文将介绍定积分在几何学中的原理和应用。
2. 定积分与曲线面积定积分可以用于计算曲线与坐标轴所包围的面积。
当我们有一个曲线函数f(x)和两个横轴上的点a和b时，我们可以通过定积分来求解曲线与x轴之间的面积。
具体步骤如下：1.将曲线函数f(x)与x轴之间的区间[a, b]分成无穷多个小区间；2.在每个小区间上选择一个代表点xi；3.计算代表点xi的函数值f(xi)；4.将每个小区间上的函数值f(xi)乘以小区间的宽度Δx，得到面积的近似值；5.对每个小区间的面积近似值求和，得到整个区间[a, b]内曲线与x轴所包围的面积的近似值。
通过令小区间的宽度趋近于无穷小的极限，我们可以得到准确的曲线面积。
3. 曲线弧长的计算除了计算曲线面积，定积分还可以用于计算曲线的弧长。
当我们有一个曲线函数f(x)和两个横轴上的点a和b时，我们可以通过定积分来求解曲线的弧长。
具体步骤如下：1.将曲线函数f(x)在区间[a, b]上分成无穷多个小区间；2.在每个小区间上选择一个代表点xi；3.计算代表点xi的函数值f(xi)；4.计算每个小区间的弧长近似值Δs = √(1 + (f’(xi))^2) × Δx（其中，f’(xi)表示f(x)的导数）；5.对每个小区间的弧长近似值求和，得到整个区间[a, b]内曲线的弧长的近似值。
通过令小区间的宽度趋近于无穷小的极限，我们可以得到准确的曲线弧长。
4. 实际应用定积分在几何学中有着广泛的应用。
以下列举一些实际应用场景：•圆的面积计算：通过将圆分成无数个小区间，计算每个小区间上的面积近似值，并对其求和，可以得到准确的圆的面积。
•弧长计算：通过将曲线分成无数个小区间，计算每个小区间上的弧长近似值，并对其求和，可以得到准确的曲线的弧长。
定积分在几何学上的应用笔记
定积分在几何学上的应用笔记一、引言定积分是微积分中的重要内容之一，它在几何学中有广泛的应用。
本文将介绍定积分在几何学中的几个典型应用，并讨论其应用意义。
二、计算曲线长度在平面几何中，计算曲线的长度是一个经常出现的问题。
假设有一条平面曲线f(x)在区间[a, b]上，想要求出曲线的长度L。
利用定积分的概念，可以通过以下步骤进行计算：1. 将曲线分为无穷小的线段；2. 计算每个无穷小线段的长度；3. 对所有无穷小线段的长度求和，得到曲线的长度。
要计算曲线y = x^2在区间[0, 1]上的长度，可以将曲线分为无穷小线段y = x^2 + dx，其中dx为无穷小的自变量增量。
根据勾股定理，每个无穷小线段的长度为√(dx^2 + dy^2) = √(1 + (dy/dx)²)dx。
通过对所有无穷小线段的长度进行积分，即可求出曲线的长度L。
三、计算曲率曲率描述了曲线弯曲的程度，在计算曲线的曲率时，定积分也有应用。
假设有一条平面曲线f(x)在区间[a, b]上，想要求出曲线在某点x处的曲率K。
可以通过以下步骤进行计算：1. 根据曲线方程，求出曲线的切线斜率dy/dx；2. 计算切线斜率的导数d²y/dx²；3. 利用曲率公式K = |d²y/dx²| / (1 + (dy/dx)²)^(3/2)，求出曲线的曲率。
通过将切线斜率的导数进行积分，可以得到曲线在区间[a, b]上的曲率函数，进而帮助我们分析曲线的特征。
四、计算曲面面积在空间几何中，计算曲面的面积也是一个常见的问题。
假设有一个曲面z = f(x, y)，想要求出曲面的面积S。
可以使用定积分的方法进行计算：1. 将曲面分为无穷小的面元；2. 计算每个无穷小面元的面积；3. 对所有无穷小面元的面积求和，得到曲面的面积。
要计算平面上的一条曲线y = g(x)在[a, b]上旋转后生成的曲面的面积，可以先计算曲线上每个点x的切线斜率dy/dx，然后利用曲线的长度L求出无穷小面元的面积dS = 2πg(x)√(1 + (dy/dx)²)dx，最后通过求积分得到曲面的面积S。
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例 3 求 双 纽 线 2 a 2 c 2 所 o 围 平 面 s 图 形 的 面 积 .
解 由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。
A4 4 dA() 0
4 4
1r2()d
02
4 4
1a2co2sd a2.
02
yx 2a2co2s
及 y轴 所 围 曲 边 梯 形 绕 y轴 的 旋 转 体 的 体 积 计 算 公 式
y
V d [(y)]2dy c
d
y
x(y)
c
o
x
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例 5 推 导 圆 锥 体 的 体 积 计 算 公 式 ．
解 设圆锥体的底半r径 、为 高为h。
建立坐标系如图所示 ,
y
P
y
取x为积分变量， y yf(x)
即以垂直于 x轴的平面
族分割旋转体成薄片， o
x
x
则 体 积 元 素 为
dVy2dx[f(x)]2dxdV(x), x[a,b].
旋转体的体积公式 V b[f(x)]2dx a
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类 似 地 ， 建 立 由 连 续 曲 线 x = (y)、 直 线 y= c、 y= d
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二、体积
1. 旋转体的体积
旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
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推 导 由 连 续 曲 线 y= f(x)、 直 线 x= a、 x= b及 x轴 所 围 曲 边 梯 形 绕 x轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积 计 算 公 式 ：
则直线 OP的方程为 o r y x x[0,h] h
r
x
hx
取x为积分变x量 处， 的则 体积元素为
dV(x)y2dx(rx)2dx , x[0h],.
h
圆锥体的 V体hd积 V(x) h(r x)2dx 1 r 2h.
y
yf2(x)
y d
yA
c
x=f(y)
O
（图1）
x
yf1(x)
b
o a x bx
Aa[f2(x)f1(x)d ] x
（图2）
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（图3）的面积：
y
O ax
bx
（图3）
b
b
Aad(A x)a| f(x)|d.x
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例 1计 算 由 y 2 2 x 和 y x 4 所 围 图 形 的 面 积 .
4(y4y2)dy18 .
2
2
yx4
y2 2x
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例 2 推 导 椭 圆 面 积 A 的 计 算 公 式 .
解
设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1.
由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4
倍． 以x为积分变量，得
a
a
a
A4 dA(x)4 y(x)dx 4 b
0
0
0
1
x2 a2
dx
xas itn
4ab2cotdssin ta.b 0
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2.参数方程情形
设曲边梯形的曲边参数方程为
x x(t)
y
y(t)
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公 式经过定积分的换元法得到：
b
A( ydx) a
d
设由曲线r ( )及射线 、 围成一曲边扇形，
r()
d
求其面积．这里， ( )
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
o x
曲边扇形面积元素 dA1[()]2d
2
曲边扇形的面积公式 A 1[()2]d. 2
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例 4求 心 形 线 r a (1 co )所 s围 平 面 图 形 的 面 积
(a 0 ).
解 利用对称性知，所求面积
d
为上半部的两倍，
A21a2 (1cos)2d
20
a2
0
(12c o c s2 o )d s
3 a2. 2
x1 (b)
x1(b)
y(t)dx(t) y(t) x(t)d;t
x1 (a)
x1(a)
d
A( xdy) c
y1 (d )
y1(d)
x(t)dy(t)
x(t) y(t)dt.
y1 (c)
y1(c)
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例 如 椭 圆 a x 2 2b y2 21的 参 数 方 程
o(1)x o(x),
A
a xxxb x
d d A ( x ) A f ( x ) d ,x x [ a , b ] .
b
b
Aad(A x)af(x)d.x
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妨此可得（图1）的面积：
d
d
Ac dA(y) c f(y)dy.
（图2）的面积：
解 先求两曲线的交点。
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 )(.作图).
y x4
以x为积分变量。
yx4
y2 2x
d ( x ) A 2 x ( 2 x ） d ,x x [0,2]
d ( x ) A 2 x ( x 4 )d ,x x [2,8]
第二节 定积分在几何学上的应用
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
用元素法建立曲边梯形面积A的计算公式：
1）A与[a,b]有关；
y
2）A对[a,b]的分割有可加性；
yf(x)
3）A在[x, xx]上 的 部 分 量
A满足| A f(x ) x | x o
xacots ybsint
t[02,].
椭圆的面积
A4
a
dA(x) 4
a
y
dx
4
0
bsin td(acot)s
ab,
0
0
2
A4
b
dA(y) 4
b
x dy
பைடு நூலகம்
4 2acotsd(bsint)ab.
0
0
0
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3. 极坐标方程的情形
8
28
A dA(x) ( )dA(x)18.
0
02
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例 1 计 算 由 y 2 2 x 和 y x 4 所 围 图 形 的 面 积 .
另解 选 y为积分变量
dA(y)(y4)y22dy, y[2,4]
4 A dA(y) 2