高考数学(理)二轮复习课件第一阶段 专题一 第三节 函数与方程及函数的应用

x
则实数 a 的取值范围是 A．(1,3) C．(0,3) B．(1,2) D．(0,2)
(
)
解析：选 C
2 因为 f′(x)＝2 ln 2＋x2>0，所以 f(x)是增函数，
x
由条件可知 f(1)f(2)<0， 即(2－2－a)(4－1－a)<0， 即 a(a－3)<0， 解之得 0<a<3.
[考情分析] 此类问题命题以函数的图像与性质为背景 创设新情景，通常从定义的新运算、新概念或新性质入手，
解答．
[考情分析] 高考对本部分内容的考查多以选择题 或填空题的形式出现，考查求函数零点的存在区间、 确定零点的个数以及两函数图像交点的横坐标或确定 有几个交点．
[例 1]
(2012· 湖南高考)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周
期为 2π 的偶函数，f′(x)是 f(x)的导函数，当 x∈[0，π]时，
1 x>1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝2， 又因为 x>1，所以此时方程无解． 综上，函数 f(x)的零点只有 0.
2．(2012· 唐山统考)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位
于区间( A．(－1,0) C．(1,2) ) B．(0,1) D．(2,3)
解析：选 C ∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，
3
－x
lg x，x>0， ；③ f(x) ＝ 0，x≤0；
④ f(x) ＝ x
[思路点拨] [解析]
利用承托函数的定义，一一分析即可．
对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函
数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数； 对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得
f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数；对于③，结
合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一 切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝ x＋sin x≥x－1，因此存在函数g(x)＝x－1，使得f(x)≥g(x)对一切 实数x都成立，f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的 f(x)的序号为②④. [答案] ②④
考查函数的图像与单调性、最值(值域)以及零点等函数性
质，常与方程、不等式问题结合．今后对新定义函数的考 查是高考的一大热点．
[例 2]
(2012· 武பைடு நூலகம்适应性训练)定义在 R 上的函数 f(x)，如
果存在函数 g(x)＝kx＋b(k，b 为常数)，使得 f(x)≥g(x)对一切实 数 x 都成立，则称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数． 现有如下函数： ① f(x) ＝ x ；② f(x) ＝ 2 ＋sin x. 则存在承托函数的 f(x)的序号为________．(填入满足题意 的所有序号)
方程或不等式求解．
[冲关集训]
x 2 －1，x≤1， 1． (2012· 山东高考调研)已知函数 f(x)＝ 1＋log2x，x>1，
则 )
函数 f(x)的零点为 1 A. ，0 2 1 C. 2 解析：选 D B．－2,0 D．0
(
当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当
[解析]
π ∵x－2f′(x)>0，
π 当2<x<π 时，f′(x)>0， π ∴f(x)在2，π上是增函数． π 当 0<x<2时，f′(x)<0， π ∴f(x)在0，2上是减函数． 设 π≤x≤2π，则 0≤2π－x≤π.由 f(x)是以 2π 为最小正周期 的偶函数知 f(2π－x)＝f(x)．故 π≤x≤2π 时，0<f(x)<1. 依题意作出草图可知， y1＝f(x)与 y2＝sin x 在[－2π， 2π]上有 4 个交点．
[答案] B
[类题通法] (1)解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存
在的判定和数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型
不同的方程多以数形结合求解．
(2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零
点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题
关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的
[类题通法] 解决与函数有关的新信息题的思路：
第一步准确理解新的运算、概念或性质．
第二步根据新的定义，类比与函数有关的运算、性质等
将其转化为熟悉的函数问题．
第三步利用函数的相关知识求解问题．
[冲关集训]
aa≥b， 4．定义一种运算：a⊗b＝ ba<b，
已知函数 f(x)＝2x⊗(3－ ( )
∴函数f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝
－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0， f (1)＝e＋1－4＝e－3<0， f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，故f(1)f(2)<0.
2 3．(2012· 朝阳期末)函数 f(x)＝2 －x－a 的一个零点在区间(1,2)内，
π π 0<f(x)<1；当 x∈(0，π)且 x≠2时，x－2f′(x)>0.则函数 y＝f(x)
－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为 A． 2 C． 5 B． 4 D． 8
(
)
[思路点拨]
将 y＝f(x)－sin x 零点的个数转化为 y1＝f(x)与
y2＝sin x 图像的交点个数．
知识载体
第 一 阶 段
考点一 考点二 考点三
专 题 一
第 三 节
能力形成 创新意识
配套课时作业
1．确定函数零点的三种常用方法
(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．
(2)零点定理法．根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，
判断函数在区间(a，b)内存在零点．
(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同
时多用此法求解．
2．解函数应用题的四步曲 (1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中 提炼出相应的数学问题； (2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函 数关系式； (3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果； (4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出