第八讲 资产组合理论
资产组合的理论与应用
资产组合与投资选择
资产组合与投资选择
无风险资产与风险资产同时存在时的效率前 沿
一条通过无风险收益率Rf与风险资产组合效率 前沿相切的直线。
这条直线称为资本市场线（Capital Market Line,缩写为CML）。
其表达公式为：
E(Rp)
Rf
E(RM ) R f
M
p
资产组合与投资选择
• CML线的推导
资产组合与投资选择
E(R)
Rf σ
资产组合与投资选择
分离原理： 投资者对风险资产组合构成的投资选择与 其风险偏好是不相关的。投资者的投资选择 分为两步：
• 第一步：选择市场组合，这时不考虑自身 的风险偏好。
• 第二步：根据自身的风险偏好在自己的投 资组合中选择市场资产组合与无风险资产的 比例。
资产组合与投资选择
非系统风险，又称个别风险。只与个别 资产（企业）或少数资产（企业）自身 的状况相联系，是由每项资产自身的经 营状况和财务状况决定的，可通过多项 资产的组合加以分散。 非系统风险可进一步分解为经营风险和 财务风险，经营风险又可分解为外部原 因和内部原因。
系统风险与非系统风险
系统风险，又称市场风险。是由整个经 济系统的运行状况决定的，是经济系统 中各项资产相互影响，共同运动的总体 结果，无法通过多项资产的组合来分散。
• 投资者按照投资的期望收益和风险状况 进行投资决策，即投资者的效用函数是 投资期望收益和风险的函数；
资产组合理论的基本假设（续）：
• 投资者是理性的，即给定一定的风险水 平，投资者将选择期望收益最高的造成 或资产组合，给定一定的期望收益，投 资者将选择风险最低的资产或资产组合；
• 人们可以按照相同的无风险利率R借入 借出资金；
第八章资产组合理论
如果我们的资产组合中的风险资产仍然 是债券基金与股票基金，但是，现在我 们也投资于年收益率为5%的无风险的国 库券，那会发生什么情况呢？我们从图 解开始，图8 - 6显示了根据表8 - 1计算出 的股票基金与债券基金的联合概率分布 的机会集合。
两条可能的资本配置线（ C A L）从无风险 利率（ rf＝5%）连到两种可行的资产组合。
8.2 两种风险资产的资产组合
在上一节我们考虑了几种证券等权重的分散资 产组合。现在开始研究有效分散，这可以构建 任意给定期望收益条件下的最低风险的资产组 合。
两种资产的资产组合相对易于分析，它们体现 的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合。 我们将考察一个包括两个共同基金的资产组合， 一个是专门投资于长期债券的债券资产组合D， 一个是专门投资于股权证券的股票基金E，表8 - 1列出了影响这些基金收益率的参数，这些参 数可以从真实的基金中估计得出。
在上一节，我们推导了资产组合中两种风险资产的比例， 在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。 这可以使我们处理好资金在三种关键资产：股票、债券与 无风险货币市场证券之间的配置，一旦投资者掌握了这个 原则，他将可以很容易地构造由多种风险资产组成的资产 组合。
最优风险资产组合：两种风险资产和一种 无风险资产
低于组合中各个资产的标准差。
资产组合原理
i 1 i N
个 Xi ≤0 ，则表示资产 i被 卖空
投资组合P的收益率 RP 是单个证券收益率的
简单加权平均
RP = X i i1
N
Ri
Ri
是证券i 的 预期收益率。
• 问题
投资组合P的风险（标准差）的计算并不这么简单。答 案在于证券的收益之间存在相互联系（如当一 种流行 病在某大范围爆发，相关医药股票会上涨，而相关旅 游股票则会下跌）。
Standard Deviation
风险偏好（Risk lover）投资者的无差异曲线
Expected Return
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待，当 收益降低时候， 可以通过风险 增加得到效用 补偿。
Standard Deviation
不同风险厌恶程度投资者的无差异曲线
（2）、三种证券形成可行集（不存在卖空）
rP
B D
C
A
P
三点形成地区域
（3）、n种风险资产的组合二维表示 （不存在卖空）
收益rp
风险σp
总结：可行集的两个性质
1. 在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完 全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域 2. 可行区域是向左侧凸出的 – 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两 项资产连线的左侧。 – 为什么？
•
投资组合风险分散化原理
a. 可分散化风险 b. 不可分散化风险——市场系统风险
只要
1 ，则两个证券形成地证券组合 回报率的标准差小于单个证券回报率标准差 的加权平均。
直观解释
只要证券相互之间地相关系数小于1，则证
资产组合理论
资产组合理论投资组合理论⼀、资产组合理论简介资产组合理论是与投资问题紧密联系在⼀起的，所以也被称为投资组合理论。
该理论产⽣于上世纪50年代，是财务学家们在探索如何定量风险、选择最佳资产组合以分散和控制风险的道路上逐步发展起来的。
资产组合理论学派的代表⼈物包括马克维兹、威廉·夏普、斯蒂芬·罗斯等。
其中马克维兹分别于1952和1959年发表了《资产组合选择》的论⽂和《组合选择》的专著，论述了投资收益率的⽅差确定⽅法和风险资产组合模型，成为资产组合理论学派的创始⼈。
威廉·夏普在马克维兹理论的基础上于1964年建⽴了著名的CAPM模型，并与1990年与马克维兹分享了第22界诺贝尔经济学奖。
斯蒂芬·罗斯于1976发表了题为《资本资产定价套利理论》的论⽂，对CAPM模型提出极⼤的挑战。
另外，该学派的理论还包括了单指数模型和多因素模型。
⼆、⼏个前提性概念1、风险厌恶和效⽤价值由于⼈们对风险的偏好程度不同，可以将投资者分为三类，即风险厌恶者、风险中性者和风险爱好者。
我们可以使⽤效⽤函数度量投资者对收益和风险的偏好：U ＝E（r）－0.005Aσ2其中E(r)为期望收益，σ2为收益⽅差，A为风险厌恶系数，其取值区间为（－∞，＋∞）数值越⼤，投资者的风险厌恶程度越⾼，当A＝0时，即为风险中性者。
在资产组合理论中，假设所有投资者都为风险厌恶者，因此投资者的效⽤值与期望收益呈正向变化，与风险和风险厌恶系数呈反向变化，所以其效⽤函数可以⽤下图表⽰：2、资本配置线和酬报与波动性⽐率在包括了⼀个风险资产和⼀个⽆风险资产的资产组合中，其期望收益和标准差可以⽤下式表⽰：E （r c ）＝wpE （r p ）＋（1－w p ）r f ＝r f ＋w p （E （r p ）－r f ）σc＝w pσp其中w p 为风险资产在组合中所占的⽐例，将以上两式结合可以得到： E （r c ）＝rf＋σσpc （E （r p ）－r f ）⽤图形表⽰如下：图中的直线就是资本配置线（CAL ），表⽰了投资者的所有的可⾏的风险收益组合。
资产组合理论
✓无交易成本，而且证券可以无限细分（即 证券可以 按任一单位进行交易）
✓资金全部用于 ，但不允许卖空；
✓证券间的相关系数都不是-1，不存在无风 险证券，而且至少有两个证券的预期收益 是不同的。
4、 者更偏好位于左上方的无差异曲线。 无差异曲线族：如果将满意程度一样的点连接
成线，则会形成无穷多条无差异曲线。
者更偏好位于左上方的无差异曲线。
5、不同的 者有不同类型的无差异曲线。
– – 风险厌恶型无差异曲线： – 由于一般 者都属于尽量回避风险者，因此我们主
要讨论风险厌恶型无差异曲线。
风险厌恶型无差异曲线
产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(为：
(wrp1)= w1 +r1(1-w1) r2 （5.2）
当w1＝1时，则有σp=σ1，rp=r1
当w1＝0时，即有σp=σ2，rp=r2
因此，该可行集为连接（ 点的直线。如图。
，r1σ1）和（
，rσ2 2）两
E(rp)
（r1-,σ1）
（r2-,σ2） σp
则2.有如：果两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，
= p (w1)
w1212
(1
w1)2
2 2
2w1 (1
w1)1
2
w11 (1 w1) 2
和：(wr1p )=w1 +r1(1-w1) r2 当w1=σ2/(σ1+σ2)时，σp=0
当w1≥σ2/(σ1+σ2)时， σp(w1)=w1σ1-(1-w1)σ2,则可得到：W1=f(σp)
托宾资产组合理论
托宾资产组合理论LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】托宾的资产组合选择理论不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里托宾获奖是因为他对金融市场及其与支出决策. 就业. 生产和物价的关系进行的分析. 托宾的研究成为中心经济理论中实物和金融状况的结合方面的—次重大突破.(一)托宾的资产组合理论资产组合理论的核心是如何减少投资风险，其理论的中心思想可以用一句话来概括："不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里。
"资产就是人们通常所说的财富，财富可以以不同形式存在，例如实物资产(机器、设备、房屋、土地、汽车等)也可是金融资产(现金、存款、股票、债券等)。
不同的资产在流动性、收益性、安全，性等方面是有差异的，托宾认为，人们会根据收益和风险的选择来安排其资产组合。
货币在不存在通胀的情况下是最安全的资产，且流动性最好，但没有利息收入，收益性较差；若购买股票、债券等有价证券会有收益，因为这时可以得到利息、股息、红利及证券价格上涨带来的资产升值，但同时又要承担亏损的风险。
现实中的普遍规律是，收益越大的资产风险也就越大，因此必须要考虑资产选择的安全性。
总的来讲，人们首先要考虑资产的收益性和安全性，当收益相同时，人们则选择流动性较好的资产。
因此，当利率上升时，为得到更多的利息收入，人们会减少手中持有的货币，而当人们认为投资债券、股票的预期收益较高时，就会增加对股票、债券的购买，减少货币的持有。
当我们将收入一部分购买股票，一部分存入银行，一部分购买债券，一部分用于汽车首付时，实际上就是在进行资产组合，这样组合的目的就是为了能尽量降低风险、获取最大收益。
在投资债券股票时也存在组合问题。
例如在投资债券时，债券有不同的期限，期限短的可以较早收回本息，但收益率低，期限长的收益率高，但占用资金较长，流动性差，因此人们应根据自己对资产的安排进行选择。
当然，债券的二级市场提高了其流动性，当购买了债券却急需用钱时，可以在二级市场上将其出售，变为现金，所以说一个发达、完善的二级流通市场对一级市场是相当重要的，否则人们在购买债券时就会顾虑重重。
资产组合理论
可以为正数，也可以为负数。 其中xi可以为正数，也可以为负数。 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解， 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解，即：
对上式求偏导， (i=1， ……， 对上式求偏导，可以得到最优资产组合的权数xi(i=1，2，……， N)， N)，然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的 收益和风险。 收益和风险。
一、资产组合理论概述 资产组合理论概述
在马克维兹的理论模型中， 在马克维兹的理论模型中，以均值来代表证券 资产组合的预期收益， 资产组合的预期收益，以方差来代表证券资产 组合收益的变动性，即风险， 组合收益的变动性，即风险，投资者可以根据 原有单个资产的均值和方差， 原有单个资产的均值和方差，对证券资产组合 的收益和风险进行简化的分析。 的收益和风险进行简化的分析。 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 投资者的投资目标是在均值— 投资者的投资目标是在均值—方差空间中寻找 效用最大化的一点， 效用最大化的一点，并确定了投资者风险资产 组合的有效边界。 组合的有效边界。 他认为通过投资分散化， 他认为通过投资分散化，可以在不改变投资组 合预期收益的情况下降低风险， 合预期收益的情况下降低风险，也可以在不改 变投资组合风险的情况下增加收益。 变投资组合风险的情况下增加收益。
二、资产组合理论的基本模型 资产组合理论的基本模型
(二)马克维兹资产组合理论的基本模型 二 马克维兹资产组合理论的基本模型 允许约束条件变化的均值— 2、允许约束条件变化的均值—方差模型 纳入无风险资产的均值— (3) 纳入无风险资产的均值—方差模型
其中， 是无风险资产的收益率。 其中，rj是无风险资产的收益率。
资产组合理论
第i项资产的
投资组合权数
3、证券组合风险的计算
收益率的协方差(Covariance)： 衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，
记作Cov(RA, RB)或σAB
协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关 协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关
AB pi RAi ERA RBi ERB
能得到的所有证券组合的集合。 （三）有效组合的决定
有效边界上的所有组合都是有 效组合。
ρAB取不同值时投资组合的机会集
收益 E(Rp)
20
ρ= -1ρ= 0ρ= -0.51410 B
A
ρ= 0.5 ρ= 1
10
15
风险 σp
1
（三）多种资产组合的有效集
三种资产组合的收益-风险的1,000对 可能组合之模拟
标准差 σ
15% 10%
相关系数 ρAB +0.5
组合 wA wB E(RP) σP
1 0.0 1.0 10.0% 10.0%
2 0.2 0.8 12.0% 9.8%
3 0.4 0.6 14.0% 10.4%
4
5
0.6 0.8
0.4 0.2
16.0% 18.0%
11.5% 13.1%
6 1.0 0.0 20.0% 15.0%
（二）单项资产的收益和风险
1、单项资产的收益 单项资产的预期收益率 (expected return)
n
ER 或 R Ri pi i 1
2、单项资产的风险 单项资产收益率的方差(variance)/标准差 (standard deviation)
n
2或Var(R) pi Ri ER2 i 1
《公司金融学》第8章资产组合理论和资本资产定价模型
v 标准差在S和国库券的标准差之间：
1 2 S的标准差=8%
v 或者你是风险偏好者，以国库券收益率借款，借款金额等于你 的初始财富，然后再投资于资产组合S，则预期收益率：
r 2 S的预期收益率-1 无风险利率=25%
v 投资的标准差：
v 法玛和弗兰奇简化了以上步骤，他们认为投资者承担对这些因
素的风险，确实需要额外的回报，因此预期收益率三因素模型：
r
r f
b 市场
r 市场因素
+b r 规模 规模因素
+b
r
账面价值市场价值比 账面价值市场价值比因素
v 第一步：三因素对应的收益率如下：
v 第二步：估计每个因素的风险溢价。其中市场风险溢价为7%，其他 两个因素的风险溢价由历史数据获得。
8.1.1 将股票组合到资产组合中
v 假设你认为强生股票的预期收益率为8.0%，标准差为13.2%； 福特的预期收益率为18.8%，标准差为31.0%。 v 根据上一章可知，分散 化投资组合的预期收益率 为两只股票预期收益率的 加权平均，风险水平比单 只股票的平均风险要小； v 若投资者属于风险偏好， 则应将所有钱投资福特股 票；若投资者属于风险规 避，则应将大部分钱投资 强生股票。
塔度量了股票对市场组合风险的边际贡献。
8.2.3 如果股票不在证券市场线上
v 投资者会更喜欢借出 部分资金、将剩余资金投 资市场组合，而不是投资 A股票。
v 投资者也会更喜欢借 入部分资金、投资市场组 合，而不是投资B股票。
v 在均衡状态下，没有股票 会位于证券市场线的下方
问题：那么证券市场线上方会有股票吗？
资产组合理论
资产组合选择理论的中心论点：理性的投资 者会将其拥有的财富，按照收益与风险的权 衡，配置于各种可供选择的资产上。
W M N p e Fp
式中，W、M、 Np、e、 Fp分别表示私人部门 持有的财富净额、本国货币、本国证券、汇 率（以本币表示的外币价格）和国外资产。 需要进一步说明的是： 私人部门持有的各种资产形式是以其净资产 额（资产与负债的差额）来表示的。 进一步来看，M是中央银行通过向私人部门 买卖N和F来控制的。
它将汇率波动完全归因于货币市场的失衡，而否 认商品市场上的实际冲击对汇率的影响，未免有 失偏颇。 它假定国内外资产具有完全的替代性。事实上， 由于交易成本、赋税待遇和各种风险的不同，各 国资产之间的替代性远远还没有达到可视为一种 资产的程度。
汇率的资产组合平衡模式 （Portfolio Balance Model of Exchange Rate）
我们看一看资产市场的各种失衡是如何影响 汇率变动 ： + + + - +
e e(i f , N , M , F , e)
但这一模式也存在一些不足：商品市场的失 衡如何影响汇率，没有纳入其分析中；它用 财富总额代替收入作为影响资产组合的因素， 而又没有说明实际收入对财富总额的影响。
主要贡献
现代资产组合理论最初是由美国经济学家哈里· 马科维茨 （Markowits）于 1952年创立的，他认为最佳投资组合应当是 具有风险厌恶特征的投资者的无差异曲线和资产的有效边界 线的交点。 威廉· 夏普（Sharpe）则在其基础上提出的单指数模型，并提 出以对角线模式来简化方差－协方差矩阵中的非对角线元素。 他据此建立了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收 益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风 险偏好的投资者组合。 根据上述理论，投资者在追求收益和厌恶风险的驱动下，会 根据组合风险收益的变化调整资产组合的构成，进而会影响 到市场均衡价格的形成。
资产组合理论
.
风险σp
资产组合理论
两种资产完全正相关，即ρ12 ＝1，则有
资产组合理论
§ 命题6.1：完全正相关的两种资产构成的可行 集是一条直线。
§ 证明：由资产组合的计算公式可得
资产组合理论
两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许 买空卖空）。
6.2.1 组合的可行集和有效集
§ 可行集与有效集
Ø 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合 的期望收益和方差。
Ø 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水 平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平 下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个 点。
资产组合理论
2020/12/18
资产组合理论
6.1 概述
§ 现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发 表的《投资组合选择》为标志
§ 1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出 了资本资产定价模型（Capital asset pricing model， CAPM）
§ 注意到上述的方程是线性方程组，可以通 过线性代数加以解决。
§ 例：假设三项不相关的资产，其均值分别 为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产 构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。
资产组合理论
资产组合理论
由此得到组 合的方差为
课外练习：假设三项不相关的资产。其均值 分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资 产构成的组合期望收益为1，求解最优的权 重。
§ 从单个证券的分析，转向组合的分析
资产组合原理
夏普比率准则
• 对于风险和收益各不相同的证券，均方准 则可能无法判定，除可以采用计算其确定 性等价收益U来比较外，还可以采用夏普比 率（Shape rate）。
CV＝
E (r )
它表示单位风险下获得收益，其值越大则 越具有投资价值。
从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用， 而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用 的商品。 根据微观经济学的无差异曲线，若给一个消费者 更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则 只有增加正效用的商品。 根据均方准则，若均值不变，而方差减少，或者 方差不变，但均值增加，则投资者获得更高的效 用，也就是偏向西北的无差异曲线。
3、最优风险资产组合的选择 由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最 优投资组合必定位于有效集边界上，其他 非有效的组合可以首先被排除。 虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所 不同，因此，最终从有效边界上挑选那一 个资产组合，则取决于投资者的风险规避 程度。 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效 边界共同决定了最优的投资组合。
2、风险厌恶型投资者的无差异曲线 （Indifference Curves）
Expected Return
1
2
P
3
4 Increasing Utility
Standard Deviation
风险中性（Risk neutral）投资者的无差异曲线
Expected Return
风险中性型的 投资者对风险 无所谓，只关 心投资收益。
投资组合P的收益率的风险（教材P213）
σ
p
＝ i Xjρ 〔X
i1
j1
n
N
σ iσ j〕1／2 ij
资产组合理论课件图解
分离原理
投资者对风险资产组合构成的投资选择 与其风险偏好是不相关的。投资者的投 资选择分为两步：
第一步：选择市场组合，这时不考虑自身的 风险偏好。
第二步：根据自身的风险偏好在自己的投资 组合中选择市场资产组合与无风险资产的比 例。
（七）实际中的最优资产组合
证券A与证券B的结合线在一般情况下是 一条双曲线。其弯曲程度决定于这两种 证度券随之着间ρ值的的关下联降性而ρ加AB。大结合线的弯曲程
ρ一A条B =折1时线为。一条直线，而ρAB =—1时成为 如果允许卖空，则由证券A、B构成的证
券组合有可能位于A、B连线的延长线上
（三）最小方差的资产组合
它有一个小于资产组合中各个单独资产的标 准差，这显示了分散化的影响。
●
●
●
●● ●
●
单个资产
●●
最小方差边界
给定三种证券A、B、C，那么不允许卖 空时由所有可能的证券组合构成的可行 域就是AB、AC、BC三条结合线围成的 区域。
当允许卖空时，A、B、C三种证券对应 的可行域便不再是一个有限区域，而是 一个包含该有限区域的无限区域.
（五）最优风险资产组合：包 括无风险资产
加入无风险资产，最优组合变成线性。
最优风险资产组合：最大化报酬与波动性比率 的资产组合即为最优风险资产组合，即 Sharpe比率最高的资产组合。
从概念上说，要注意最优风险资产组合的定义 不涉及任何个人投资者的风险厌恶程度。
在这样一个理想世界里，每个投资者，不管他 的风险厌恶程度如何，都会选取最好的CAL， 在rf同最优风险资产组合内分配财富。
若一个组合进一步扩大到包括所有的证 券，则协方差几乎就成了组合标准差的 决定性因素。
投资学之资产组合理论
其现实基础：
1、投资者的风险厌恶性
2、投资者的不满足性 其理论形式：均值-方差准则
Ra
R
b
且
2 a
2 b
Ra
Rb
且
2 a
二、有效集定理
投资者选择最优组合的原则： （1） 对于相同的风险水平，提供最大的预期回报
率； （2）对于相同的预期回报率，风险水平最小。
有效集定理应用于可行集便得到有效集。
可行集（feasible set）：又称机会集，代表一组证券 所形成的所有可能的组合。
可行集的特征：
1、若至少存在三种风险资产（不完全相关且均值不 同），可行集为一二维实心区域； 2、可行区域凸向左侧。
i
其中，n代表证券组合中所包含资产类别的数
量； ri 代表第 i 种资产的期望收益率；wi 代
表第 i 种资产的投资比重。
(二)资产组合的方差计算
1、直接法 n 2 pi [ri E(r)]2 i 1
2、间接法
2 p
wA2
2 A
wB2
2 B
2wAwB A,B
资产 A、B 以及三种组合的收益率
2
2
22
注
b：
1
2
0.0167
4
2
0.01167
2
1
4
0.00333
0.0086
5
5
55
注
c：
4
2
0.0167
1
2
资产组合理论(修改版)
投资学资产组合理论&资本资产定价模型Modern Portfolio Theory &CapitalAsset Pricing Model一、金融理论框架•莫迪里亚尼-米勒定理-MM Model•马克维茨资产组合理论，Modern Portfolio Theory –MPT•资本资产定价模型，Capital Asset Pricing Model –CAPM•套利定价模型, Arbitrage Pricing Theory –APT •单因素定价模型，Single Index Model –SIM •多因素定价模型，Factor Model –FM•有效市场假说，Effective Market Hypothesis –EMH•期权定价模型,Black-Scholes Model –B-S Model二、Key Concepts 重点掌握1.Risk and Risk Aversion（风险和风险厌恶）2.Understand the Efficient Frontier（有效前沿）3.Understand the derivation of CAPM(CAPM的推导)4.Security Market Line（证券市场线）&Capital Market Line （资本市场线）三、Chapter Outline 内容概览•Optimal Choice between Two Risky Asset（两种风险资产下的最优选择）•Efficient Frontier（有效前沿）•Market with Risk-free Asset（存在无风险资产的市场）•Capital Market Line（资本市场线）•Separation Principle（分离原则）•Capital Asset Pricing Model & Security Market Line（资本资产定价模型&证券市场线）风险资产配置（Allocation to Risky Assets）•投资者一般会规避风险除非风险意味着更高的收益。
第八章 资产组合理论
第八章 资产组合理论
15
四、风险资产组合选择步骤
第一，估计每项资产的预期收益率、方 差，以及每两项资产收益率之间的相关 系数
第二，计算有效组合（确定有效边界）， 即给定一个预期收益率计算其对应的最 小方差组合
第三，根据投资者的无差异曲线来确定 最优资产组合
第八章 资产组合理论
16
第三节 允许无风险借贷
10% 5% 10% 4.08%
σBC=0.25%
15% 15% 20% 7.07%
σCA=0
8.75% 7.5% 10% 2.70%
12.5% 10% 15% 5.40%
第八章 资产组合理论
7
第二节 资产组合分析
一、可行区域或可行集 二、有效边界或马氏有效集 三、最优资产组合选择 四、资产风险组合选择步骤
1952年美国经济学家Harry Markowitz， 论文“组合选择”
如何构建资产组合，使得投资收益最大 化的同时尽可能回避风险
均值方差模型：
– 偏好收益、厌恶风险假设 – 不同的资产组合具有不同的均值方差
第八章 资产组合理论
4
二、组合收益率与风险的计算
包含两项资产的组合：
– 期望收益率： E(rp ) w1E(r1) w2E(r2 )
– 方差：
2 p
w12
2 1
2w1w21 2
w22
2 2
– 计算实例：
表 3.1 两项资产构成不同投资组合
投资组合
资产 A 资产 B =1 =0.5 =0 =-0.5 =-1
投资比例 50%
50%
预期收益率 10%
20%
15%
15%
15%
15%
补充——9章资产组合理论
概率 股票A的收益率 股票B的收益率
E(rA)=10.5%
E(rB)=6%
Cov(rA, rB)=0.5(25-10.5)(1-6)+
0.3(10-10.5)(-5-6)+
0.2(-25-10.5)(35-6) =-240.5
协方差的简单性质：
COV X , X D X COV X , Y COV Y , X COV aX , bY abCOV X , Y
σ c =yσ
p
=22%y
直线 FP 的斜率为= 截距为= rf
E rp rf
p
直线 FP 的方程为：
E r rf
E rp rf
p
可以证明，(E(rc), σ c)对应的点都在直线 FP上（见下页）。
因此有：
E rc rf c
E rp rf
（二）资产组合的风险
1、一个风险资产与一个无风险资产相组合 规则2：一个风险资产与一个无风险资产相组合时， 资产组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该资产的 投资比例。 例： 投资于国库券的收益率为5%,标准差为0； 投资于股票A的收益率为10%,标准差为8%。 一样投资一半时，资产组合的标准差 =0.5*8%=4% 前者投资80%，后者投资20%时，资产组合的标准差 =0.2*8%=1.6%
j 1 i 1
n
n
资产组合
w1
w1
w2
Cov(r1, r2) …
wn
Cov(r1, rn)
Cov(r1, r1)
w2
Cov(r2, r1) Cov(r2, r2)
…
Cov(r2, rn)
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1
第八讲: 投资组合理论
2011年春@黄健梅
目标
个人资产组合选择
理论与实务
2
无风险资产和一种风险资产构成的组合
•无风险资产：未来的收益率是确定的•假设只有一种风险资产和无风险资产,
•该风险资产在现实世界中是所有风险资产的组合•假设你将比例为w 的财富投资于该风险资产(组合) 1；1-w 的财富投资于无风险资产2 •无风险资产：•风险资产：6%f r =1114% and 20%
r σ==
1. 无风险资产：
z 标准差为0
z 与任何一种风险资产或风险资产组合的收益协方差为0
无风险资产与单一风险资产的组合
投资组合
风险资产比例
无风险资产比例
预期收益率
标准差
F 01000.06
0.00
G 2575H 5050J 7525S
100
0.14
0.20
•组合的收益率和标准差
()f
P r w wr r −+=11()()2
1222221122122
112σσσσρσσw w w w w P
=−+−+=1
σσw P =25.0=w %5 and %8==P P r σ•如果，那么如果，那么75.0=w %
15 and %12==P
P r σ
由无风险资产和一种风险资产构成的组合
5•组合的收益率和标准差
()f
P r w wr r −+=11()()2
1
2
22221122122
112σ
σσσρσσw w w w w P
=−+−+=1
σσw P =•风险-收益权衡线方程：由无风险资产和一种风险资产构成的组合
p
f
f r r E r r E σ
σ
1
)()(1−+
=6
由两种风险证券构成的组合
•假设我们将比例为w 的财富投资于证券1，1-w 的财富投资于证券2
•证券1的期望收益率为，证券2的期望收益率为•证券1的标准差为，证券2的标准差为1r 2
r 2
σ1σ•该组合的期望收益率是这两种证券收益率的加权平均
•但该组合的波动率就没那么简单
(错！)
()2
11r w wr r P −+=()2
11σσσw w P −+=()()22
221122122
112σσσρσσw w w w P −+−+=由两种风险证券构成的组合
•证券1：，•证券2：，•
•
%141=r %201=σ%82=r %
152=σ012=ρ25
.0=w %
5.9%875.0%1425.0=×+×=P r 01515625
.015.075.002.025.022222
=×++×=P σ%
31.12=P σ由两种风险证券构成的组合：例子
9
组合
资产1占的比率
资产2占的比率
期望收益率
%
标准差%
A −25%
125% 6.5019.41R 0100%8.0015.00B 25%75%9.5012.31V 36%64%10.1612.00C 50%50%11.0012.50D 75%25%12.5015.46S 100%0%14.0020.00E
125%
−25%
15.50
25.58
组合的风险与收益率之间的关系
10
()()22
221122122
112σσσρσσw w w w P −+−+=()()01221222
221122112212=−−−−+=∂∂σσσρσσρσσw w w w w
P 2
1122
22
121122
2
min 2σσρσσσσρσ−+−=w 36.015
.020.015.0222min
=+=w 最小方差组合
有效组合与有效前沿
•有效组合：在风险（标准差）既定条件下期望收益率最高的组合或期望收益率既定的条件下风险最低的组合
•有效前沿：边界线VS 定义了有效证券组合前沿
()()()()()2
112212122212
11222211σσρσσσσρσf f f f f f r r r r r r r r r r r r w −+−−−+−−−−=
%8.30 and %2.6921==w w %
2.12=T r %
6.14=T σ风险资产的最优组合
•引入无风险资产
•最高的风险－收益平衡线（trade-off line ）是连接点F 和T 的线•组合T 被称为风险资产的最优组合•现在直线FT上的组合是有效组合
13
•
无风险资产的权重：35%
风险资产1的权重：风险资产2的权重：•
期望收益率为10%
()()%
10%61%2.121=×−+×=−+w w r w wr f T 65
.0=w %45%2.6965.0=×%
20%8.3065.0=×实现目标期望收益率
14
∑∑===N i N
j j
i ij j i p
w w 11
2σσρσ∑==N
i i
i P r w r 11
1
=∑=N
i i w s.t.
由许多风险资产构成的组合
•由N 种风险资产构成的组合
•上述问题的求解，需要有诸如二次规划等工具•组合标准差的减小依赖于各证券收益率之间的相关系数
Minimize 系统风险和非系统风险
•非系统风险，又称个别风险或可分散风险：只与个别或少数资产相关的风险，可以通过多项资产的组合加以分散
•系统风险,又称市场风险或不可分散风险:是由整个经济系统的运行情况决定的,是影响所有(或大多数)资产的风险;无法通过多项资产的组合来分散的风险
平均年标准差
28.4%
110
50
55%
组合中随机选取的股票数量
组合多元化如何影响风险。