线性代数 前言
线性代数(2007年清华大学出版社出版的图书)
线性代数的研究对象是什么?线性代数的研究对象是线性空间，包括其上的线性变换.它与高等代数、近世代 数的研究对象略有所不同.
本书在内容的编排上考虑到下面几点：
1.主要内容以矩阵为主线，以向量和线性方程组为纽带，以矩阵的初等变换为基本方法，将线性代数的主要 内容紧密地结合起来，形成一个有机的整体。
2.结合多年的教学实践，将向量与线性方程组两部分内容分为两章介绍，而非按传统将两部分内容穿插安排。 这样做更能明确主题，便于教学。
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13年出版
前言 图书简介
目录
线性代数本书涵盖了教育部非数学专业教学指导委员会最新制定的经济管理类本科数学基础课程教学基本要 求。全书共6章，内容包括行列式、矩阵、向量的线性相关性与秩、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次 型。每章分若干节，章末配有习题，书末附有习题参考答案。
本书可作为高等学校经济管理类、理工类、农学类等专业教材或教学参考书。
线性代数（2007年清华大学 出版社出版的图书）
2007年清华大学出版社出版的图书
01 清大出版
03 07年出版 05 14年出版
目录
02 05年出版 04 13年出版
《线性代数》是2007年5月清华大学出版社出版的图书，作者是陈殿友、术洪亮。
清大出版
目录 1．行列式 2．矩阵 3．线性方程组 4．向量空间与线性变换 5．特征值和特征向量、矩阵的对角化 6．二次型 7．应用问题
05年出版
内容简介
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施
高校线性代数教育中的存在问题及解决措施《线性代数》是高校公共数学科目中一门非常重要的基础必修课，在很多学科的应用中都起了很重要的作用。
但在线性代数的整个教学过程当中却出现了诸如知识脱节、课程设计不合理等问题。
线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。
计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。
随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科——线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。
二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈1.传统教学内容的设置不合理目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。
同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。
2.传统教学目的占主导由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。
而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。
在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。
高等代数
《线性代数》序言我们开设的《线性代数》这门课程属于近代数学范畴。
“线性”一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里意指数学变量之间的关系是以一次形式来表达的。
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，虽形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述。
在18~19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。
线性代数是讨论有限维空间的线性理论的课程，由于线性问题广泛存在于自然科学和技术科学的各个领域，且某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理，因此线性代数知识应用广泛，这也使得线性代数这门课程越来越受到重视，因此也成为考研的热门课程。
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
线代以矩阵、n维向量和线性方程组为其三条知识主线，虽然它们抽象源自不同的对象，但对同一事物经常可以用这三种语言从不同的角度给于诠释，三条知识主线关系密切，它们交错前行，相互解释与解决问题，让初学者有错综复杂的感受，初学时常感到混乱从而困惑，随着知识的积累和消化，最后常常豁然开朗，感觉线条清晰简单。
常听到对线代学习截然不同的评价：难学——还在山中；简单——攀至顶峰。
四、如何学好线性代数线性代数的特点是以离散变量为研究对象，具有较强的抽象性、逻辑性和应用性，其抽象度之高使得其学习理解的难度远在微积分之上，性质与结论相当琐碎，常有建立一个概念，立即可得一串结论，且有些结论书上也不逐一点明，需要我们积极思维探索。
授课仍以课堂讲解为主，为减轻学习难度我们十分注重讲解知识的背景、结构与应用，学习的过程中应注意从知识系统的纵向联系和数学思想方法系统的横向联系这两个维度上更好地把握学科的基本结构。
要想学好线性代数，应将强烈的自我学习、自主学习的意念和能力与学习过程紧密配合，这起码要求同学们在学习过程中应做到：（1）提升上课的学习效率；科学研究表明仅自学一般可达15%的效果，听讲可达25%的效果，两者结合起来则可获得60%的效果。
线性代数,序言
答疑时间及地点 每周一至周五晚上7:00-8:40，从第二周开始 C座208
序言
概率统计－－研究随机变化的量
目标：培养观察问题的能力和预测能力
空间解析几何－－形象思维的基础
目标：培养空间想象力
线性代数的特点：
1、概念集中，内容抽象；
2、解题方法灵活多变，不易琢磨； 3、计算麻烦，容易出错。
序言
四、课程进度和要求
课程进度： 6学时 6学时 6学时 10学时 4学时 4学时
问题：如何求解含更多未知数的一次方程组？
序言
例 70年代末，我国有个“全国天文大地网 首次整理计算”课题，其核心问题是求 解一个含16万个未知数、31万个方程的 矛盾方程组。
线性代数研究的核心问题
－－求解线性方程组
线性代数定义－－研究具有线性系统的代
数量的一门学科
序言
二、线性代数的重要性
1、数学基础课之一
线性代数
序
代
言
一、线性代数研究的核心问题
数 －－ 用字母代替数 －－ 关于字母运算的学说 中心内容：解方程
代数学
序言
一元一次方程
ax b c
一元二次方程 一元三次方程 一元四次方程 二元一次方程组 三元一次方程组 四元一次方程组
多项式 代数
消 元 法
4、运用数学的能力和方法解决所从事领域内 有关问题的意识、兴趣和能力。
序言
高等数学－－研究连续变化的量
对象：函数 思想：以“直”代“曲”，以“不变”代“变” 方法：初等数学＋极限 目标：培养分析问题和解决问题的能力 线性代数－－研究离散变化的量 对象：向量和矩阵 思想：字母代替代数量进行运算，运用概念 进行逻辑推理 方法：多种多样 目标：培养创造性分析、思维和逻辑推理的 能力
《线性代数》讲稿子(1)
文档第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。
本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a(1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．文档根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记 22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成2221121122212111a a a a a b a b DD x ==， 2221121122111122a a a ab a b a DD x ==， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x解：这时 0214323142≠=⨯-⨯==D ， 5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ， 因此，方程组的解是 2511-==D D x ，2322==D D x ，对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2 532134212-1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=文档令 333231232221131211a a a a a aa a a D =3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =， 3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3 解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x解：28231523112=---=D ，132345211101=---=D ，472415131022=--=D ，214311230123=-=D ．所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知010100=-a bb a，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s <i t )， 则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．文档例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出， 自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列．定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211a a a a a a a a -=111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211文档称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a ，表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因 N (23514)=4 故这一项应取正号．例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-，按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42 ，但因 N (1324)=1为奇数，N (1342)=2为偶数 所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3 计算行列式hg vu f e y x dc ba 0000文档解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg 不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hg v u f e y x d c ba 0000= adeh –adfg –bceh +bcfg 例4 计算上三角形行列式 nnnn a a a a a a D 21221211 0=其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )． 解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为n nj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n–1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D 21221211==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a -解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以文档0000001121n n n a a a -=11212)1()1(n n n n n a a a ---同理可计算出000112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000-- =11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211 其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T，即若nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnnn n T a a a a a a a a a D212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T的转置行列式，即行列式D 与行列式D T互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T的值相等． 性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．例１ 计算行列式053704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得0504008053070392417536)1(2---=D文档推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即nnn n in i i n nnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++ 性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nnn n sn s s in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211= nnn n snin s i s i in i i n a a a a ka a ka a ka a a a a a a2122112111211+++作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2 计算行列式 3111131111311113=D 解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：i 行×k 加 到第s 行文档例3 计算行列式0112012120112110-----=D 例4 试证明：011=++++=cb a d b a dc da cb dc b a D １１例5 计算n +1阶行列式 xa a a a x a a a a x a a a a xD n n n321212121=例6 解方程0)1(11111)2(111112111111111111=------x n xn x x例7 试证明奇数阶反对称行列式 000021212112=---=nnnna a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112n nnn Ta a a a a a D ---=，从D T中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n nnnnnT )1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D文档∴ D =(–1)nD 又由n 为奇数，所以有D = –D ，即 2D =0， 因此 D =0．1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +jM ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１ 计算行列式 5101242170131312-----=D文档例３ 计算yy x x D -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．例４ 试证 ∏≤<≤-----=ni j j in nn n n n n a aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1)式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．例５ 计算n 阶行列式1232110000010000010000001n nn n n x x x D x a a a a a a x------=-+例6 证明22211211222112112221222112111211222112110000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a ⋅=（拉普拉斯展开） 本例题的结论对一般情况也是成立的，即mmm m mk m m mk kk k k k b b b c c c b b b c c c a a a a a a212111211112112111211000000mmm m m kk k k k b b b b b b a a a a a a21112112111211⋅=文档1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n 元线性方程组的方法——克莱姆法则．它是§１中二、三元线性方程组求解公式的推广．设含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(1)它的系数a ij 构成的行列式 nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式．定理１ (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠０，则方程组(1)有唯一解：, , , ,2211DD x D Dx D D x n n ===(2) 其中D j (j=1，2，…，n ，)是D 中第j 列换成常数项b 1，b 2，…，b n ，其余各列不变而得到的行列式．这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一．下面分两步来证明． 第一步：在D ≠０的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组 , , ,21DD D D D D n 确实是方程组(1)的解．第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的．例１ 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=+-+=+-+24664284333521234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：因为0172130011500011012312619012130011012314616284323521231≠=----=----=------=D所以方程组有唯一解，又,04626284323321211 ,34461228442353123121=-----=-=-----=D D852616484333521231 ,17421624432352113143=-----==---=D D ．文档即得唯一解：51785,11717 ,0170 ,217344321======-=-=x x x x ． 注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D ≠０．当方程组(1)中的常数项都等于０时，称为齐次线性方程组．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x 1=0， x 2=0，…， x n =0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解．在解x 1=k 1， x 2=k 2，…， x n =k n 不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解． 定理2 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D ≠０，则它只有零解． 推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D ＝０．例2 若方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213213211x bx x x bx x x x x a 只有零解，则a 、b 应取何值？解：由定理２知，当系数行列式D ≠０时，方程组只有零解，)1(1211111a b bb aD -==所以，当a ≠1且b ≠０时，方程组只有零解．第二章矩阵说明与要求:矩阵是一个表格，作为表格的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．线性方程组的一些重要性质都反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，所以我们可以通过矩阵来求解线性方程组，通过矩阵来判断解的情况等．但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，而是多方面的．因此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．。
《线性代数》前言
线性代数具有广泛的应用性： 1. 线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，随着计 算机技术和数学软件的发展，解大型线性方程组、求 矩阵的特征值和特征向量等工程技术中经常遇到的数 值计算得以方便地实现。 2. 某些非线性问题在一定条件下，可转化为线性问题。
《线性代数》前言
线性代数是19世纪后期发展起来的一个数学分支，
是大学数学课程的重要组成部分，以矩阵为主要工具，
以线性方程组为主线，以行列式、矩阵、 n维向量 、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型 为基本内容，具有较强的抽象性、逻辑性和广泛的应
用性。
矩阵论由Cayley（凯莱,英国代数学家）创立于
线性代数 第1章 绪论
1.3 如何学习线性代数
要打好基础——理解概念——要掌握运算——要多做练习.
具体的学习方法： 预习——听课——复习——做练习概念与意义 2.线性代数的学习方法
思考题
1.查阅相关文献，谈一谈对线性代数的认识。
学习意义：1.培养抽象思维能力2.掌握数学基础知识3.提高计算机编程能力4.拓展应用
具体来说，学习线性代数可以：
1.理解和应用线性代数的基本概念和原理，如向量、矩阵、行列式、线性方程组等； 2.运用线性代数的计算方法，如矩阵运算、求逆、特征值和特征向量等； 3.掌握线性代数的应用，如图像处理、数据分析、机器学习等.
线性代数更是应用型专业的一门重要基础课程，是新工科、新医科、新农科、新文科建设必不 可少的重要支撑，学习线性代数对学生的学习和发展具有重要意义.
1.2 线性代数是什么
线性 代数
方程有未知量的个数和未知量的次数两个关键因素 未知量的次数是1，一般可认为是线性的。 代数——“任何数学对象用任何符号代之”。
第一章 绪论
第一章 绪论
为什么要学线性代数 线性代数是什么 如何学习线性代数
1.1 为什么要学线性代数
一切问题都可以转化为数学问题；一切数学问题都可以转化 为代数问题；而一切代数问题又都可以转化为方程；因此，一旦 解决了方程问题，一切问题都将迎刃而解.
——【法】笛卡尔
1.1 为什么要学线性代数
线性代数前言
线性代数Байду номын сангаас介
线性代数是普通高等院校理工类和经管类相关专业的 一门重要基础课. 从广义的角度看，线性代数研究线性科学 中的“线性问题”. 直观地讲，对所考虑的变量来讲，和式 中各项次数最高为一次的问题就是线性问题. 即使是大量出 现的非线性问题有时也可以转换成线性问题进行处理，如 在一定条件下，曲线可用直线近似，曲面可用平面近似， 函数增量可用函数的微分近似. 矩阵和向量是重要的代数工具. 线性问题的讨论往往涉 及矩阵和向量. 线性代数的主要内容分别是线性方程组、向 量空间、矩阵代数，以及与线性变换密切相关的方阵的特 征值和二次型等.
线性代数的特点是什么?内容较抽象、概念和定理较多， 前后联系紧密，环环相扣，相互渗透. 为何要学习线性代数?线性代数是一种数学建模方法， 科研工作者必须掌握. 在计算机程序设计语言特别是 MATLAB中，矩阵是最基本的数据结构. 在微积分（高等数 学）、微分方程、离散数学、算法分析与设计、计算机图 形图像处理及数字信号处理等课程中，矩阵、向量、线性 变换是经常要用的知识. 学习线性代数要达到的目的：通过线性代数的学习， 一方面可以进一步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理能 力，为进一步学习和研究打下坚实的理论基础，另一方面 为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、 解题技巧和方法.
线代引言
能记笔记， 听完课后必须知道这堂课的重点， 关键思路
是什么，解决的方法是什么。 把所讲内容全部搞懂， 3、复习 趁热打铁及时复习， 重要问题要记熟， 在可能的条件下看参考书。
13
4、练习 将布置的作业及时独立完成， 有余力可以
做一些未布置的题， 及时总结解题的方法和技巧。
5，阶段小结 每学完一章必须加以总结、记忆、 理解， 用自己的语言把主要内容表达出来，使知识条 理化、系统化、了如指掌，融会贯通。 数学是由基本概念理论、性质、运算和应用
3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累”
“由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创” 注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦；
学习时的痛苦是暂时的， 未学到的痛苦是终身的；
学习这件事，不是缺乏时间， 而是缺乏努力；
学习不是人生的全部， 但是人生的一部分;
学习也无法征服，还能做什么呢？
请享受无法回避的痛苦；
只有比别人更早，更勤奋的努力， 才能尝到成功的滋味；
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哈佛图书馆的训诫
谁也不能随随便便成功， 它来自彻底的自我管理和毅力； 狗一样地学习，绅士一样地玩； 今天不走，明天要跑； 教育程度代表收入； 即使现在，对手也不停地翻动书页； 没有艰辛，便无所获。
教学内容和学时安排
第一章 第二章 第三章 第四章 总复习 行列式 矩阵 线性方程组解 相似矩阵与二次型 （4） （10） （10） （12） （4）
共计 40 学时
12
学习方法：
因今后的工作中用到更多的知识不可能在大学
中都学习到，因此在学习过程中不但要学会应学的
1.0线性代数前言
主 讲 － 李 亚 杰
1 前 言 2 学习方法 3 参 考 书 4 本学科 A B C 5 本学科 应用
前科, 应用广泛, 但理论高度抽象， 发展迅速. 高等学校各专业都开设 了本课程, 上世纪末在需求牵引与
技术推动下此课程被定为本科生考 研的数学课程之一，希望大家能认 真学好这门不易学好的重要课程.
学习方法
1线性代数的概念与计算同样重要。 2线性代数是一种语言,必须用学习外语的 方法每天坚持学习。 3跟上课程进度会让你节约很多时间和解决 很多困惑。 4不懂地方可以先不求甚解并反复阅读。
国内有关著作 《线性代数复习指导-思路方法技巧》
陈文灯 黄先开著 世界图书出版公司
1998 年版
考研数学辅导班名师
陈文灯黄先开著世界图书出版公司1998年版stevenjleon著张文博等译机械工业出版社2007版daridclay著刘深泉等译2005年第三版机械工业出版社gstrang著侯自新等译1990年版南开大学出版社作者获四所大学杰出教学奖华南理工计算机院2002年用其英文教材麻省理工学院经典教材考研数学辅导班名师应用案例多matlab运用可找到译者abc行列式是重要的数学工具和概念之一它来源于解线性方程组
2005年第三版机械工业出版社 麻省理工学院 经典教材
3《线性代数及其应用》
1990年版 南开大学出版社
本学科的 ABC
行列式是重要的数学工具和概念之一， 它来源于解线性方程组。日本数学家关孝 和（1642－1708）是第一个研究行列式的 数学家。 行列式这个术语最早出现在法国数学家柯 西的著作之中,最先讨论函数行列式的是雅可 比，行列式两条竖线记法由凯莱最先给出。 线性方程组的解法，在中国古代的数学 著作《九章算术》中已作了比较完整的论述。
2083172209_线性代数导论(前言)
前言我很高兴以下三点能清晰地表现在前言部分：1. 线性代数的美丽多变，以及它极其的实用性。
2. 本书的宗旨，和第四版的新属性。
3. 从我们线性代数网站和视频讲课得到的坚定支持。
请允许我先介绍这两个经常使用的网站和另一个新网站。
它是一个公共课件网站，有来自许许多多学生和教员提供的关于线性代数的信息。
18.06课程包括一整个学期的视频讲课。
这门课独立地讲述了本教材的全部课题——教授的时间不受限制，而学生亦可选上午3点作为上课时间。
(读者不再需要出席课堂了。
) 全球已有一百万用户观看了该视频(惊讶)。
我希望对你们也有所帮助。
W /18.06本站包含了自1996年来，所教该课程的课后作业和考题(附答案)。
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我的目标是让本书经尽可能的实用，从而提供一切可用的课程资料。
/linearalgebra 这是为本书第四版而特别新建的网站。
它将长期保留各种意见，代码，好的习题和解答等记录。
本书的一些章节也可直接在网上查看了，另外还有线性代数的教学笔记。
内容正在迅速丰富中，同时欢迎每个人参与贡献。
第四版数千万读者已看过线性代数导论的前期版本。
新的封面展示了四个基本空间——左边是行空间和零空间，右边是列空间和TA的零空间。
如此展示这个课题的中心思想尚未普遍! 你们会在第3章接触那四个空间，并理解为何此图对于线性代数如此重要。
在我第一本书中定义的四个基本空间，是基于一个矩阵A的。
A的每行是一个n维空间的向量。
当它含有m行时，则每列是一个m维空间的向量。
线性代数的主要运算是处理这些向量的线性组合。
(那种思想从本书第一页就开始了，并且从未停止。
) 而且，所有列向量的线性组合即构成列空间。
如果向量b包含于这个子空间，那么我们Ax 。
就可以求解等式b为使本书更易阅读，请允许我不得不在此停下。
望读者特别注意新的1.3节，那里有两个特殊的例子，很早就介绍了这些思想。
另外也无需冀望一下就掌握向量空间的每个细节! 但是你会认识本书最重要的矩阵，及它们列空间的描述，甚至一个逆矩阵。
线性代数_引言
• 随着向量的引入，形成了向量空间的概 念，凡是线性问题都可以用向量空间的 观点进行讨论 • 向量空间及其线性变换，以及与此相联 系的矩阵理论构成了线性代数的中心内 容
• 很多实际问题的处理最后往往归结为比 较容易处理的线性问题，因此线性代数 在工程技术上和国民经济的许多领域都 有着广泛的应用 • 线性代数是一门基本的和重要的学科， 线性代数的计算方法是计算数学的一个 重要内容
线性代数的课程背景
• 线性代数是代数学科的一个分支 • 代数学的起源早在中世纪 • 在公元820年左右，被冠以 “代数学之父 ”的称号的阿拉伯数学家花拉子米编著 了《代数学》一书这就是Algebra一词的 最初来源，书中开始探讨了数学问题的 一般解法，尝试用代数方法处理线性方 程组与二次方程，同时引进了移项、合 并同类项等代数运算
• 线性代数是代数学的一个分支，主要处 理线性关系问题。 • 线性关系意即数学对象之间的关系是以 一次形式来表示的，含有n个未知量的一 次方程称为线性方程. • 线性关系问题简称线性问题，解线性方 程组的问题是最简单的线性问题.
• 线性代数作为一个独立的分支是在20世 纪才形成的，而最古老的线性问题是线 性方程组的解法，在中国古代的数学著 作《九章算术方程》中已经作了比较完 整的叙述 • 随着研究线性方程组和变量的线性变换 问题的深入，行列式和矩阵在18 —19世 纪先后产生，为处理线性问题提供了有 力的工具，从而推动了线性代0
• 12世纪花拉子米的数学成果传入欧洲， 对欧洲数学的发展产生了巨大影响，并 作为欧洲人的标准教学课本，使用了几 个世纪
• 16世纪，法国科学家韦达首先有意识地 、系统地使用数学符号，引入了符号体 系，这种思想不仅带来了代数学领域的 一次突破，而且为以后整个数学的发展 奠定了基础
线性代数课件-绪论
a11 D a21 系数行列式
a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a a12 b 11 1 D D1 , a a22 b21 2
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a a a a a a a a a ( 6 ) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a22 a23 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标
有唯一解 x1 , x2 , x3 且解为:
D1 x1 , D
a11
D2 x2 , D
a13 b1
D3 x3 . D
D3 a21 a 23 b2
a31 a33 b3
行列式的特点：
• 1.· 3阶行列式是3！个项的代数和。 • 2.每一项是三个元的乘积，这三个元恰好是 每行每列各一个。 • 3. 每项有确定的符号。
第一章
行列式
行列式是研究线性代数的一个重要工具， 近代被广泛运用到理工科及经济管理各个领 域，有很多问题需要用到“行列式”这个数 学工具。
本章主要讨论如下几个问题： 1、行列式的概念及性质； 2、行列式的计算和展开；
第一节
n阶行列式的定义
一、二、三阶行列式的引入及定义 二、n阶行列式定义
一、二阶行列式的引入及定义
线性代数1前言
线性代数
线性代数是高等代数中的一个重要分支，它专门 考虑符合线性运算的对象。线性运算封闭是指： (1) 加法。若 a∈S, b∈S, 则有 a+b∈S. (2) 数乘。若 a∈S, k是一个数，则有 ka∈S.
研究内容：用矩阵方法研究多元线性方程组的 求解问题。
应用举例
石油勘探：当船只勘查海底石油储量时，船上计算机 每天计算数千个线性方程组。方程组的数 据从气枪发射所产生的水下冲击波中获取。
连续型
大 学 数 学 （ 150 分 ）
高等数学 （80分） 线性代数 （35分）
确定性
离散型
随机性
概率统计 （35分）
代数
代数是一门古老的数学学科，它的研究对象是运算 的普遍规律。 中学课程中有初等代数一门课，把运算对象限制在 数域上，如自然数、有理数、实数、复数等。 代数的运算对象推广到更广泛的对象上去，这就产 生了高等代数、抽象代数等。
线性规划：很多管理决策建立在含有上百个变量的线 性规划规模型上。例如，航空工业利用线 性规划方法制定机组人员日程表，监控飞 机飞行位置等。 控制理论：线性系统的现代控制理论，利用矩阵论研究 系统的Байду номын сангаас控性、能观性等。
《线性代数多媒体课件》
方便及时的课外老师
线性代数参考书
《线性代数》：高等教育出版社，同济大学 数学教研室。
《线性代数及其应用》：人民邮电出版社， David C. Lay 著，沈复兴， 傅莺莺，莫单玉等译。
线性代数多媒体课件内容
线性代数教学用课件 线性代数习题课用课件 线性代数课程模拟试卷
线性代数课程综合练习题
学习要求
不准迟到早退； 上课时一律关闭手机或者将其静音； 按时完成作业；平时成绩百分之三十， 期末考试成绩百分之七十.
线性代数与解析几何 序言
{
其中
a x + a x2 = b 11 1 12 1 a21x + a22x2 = b2 1 a11a22 − a12 a21 ≠ 0
10
对方程组用加减消元法求出解: 对方程组用加减消元法求出解: ba22 − a b 12 2 x = 1 1 a a −a a 11 22 12 21 a b −ba21 1 x2 = 11 2 a a22 − a a21 11 12 此解不易记忆， 此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解． 符号“行列式”来表示解． 如果定义二阶行列式如下(对角线法则）： 如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：
i τ (i1i2Ln )
=
∑ (−1)
i i2Ln i 1
ai11ai2 2 L inn a
注
行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值
28
1.2 n 阶行列式的性质
定义 设 D = aij ，称 n a11 a21 ⋅⋅⋅ an1 a a22 ⋅⋅⋅ an2 为 D 的 转 置 行 列 T D = 12 M M M 式． a a ⋅⋅⋅ a
12
例1 求解方程组
{
3 x1 + 5 x2 = 1 − x1 + 2 x2 = 2
3 5= 解 由于 D = 3 × 2 − 5 × (−1) = 11 ≠ 0 −1 2
D1 −8 x1 = D = 11 则方程组的解为 D2 7 x2 = = D 11
1 5 = −8 D1 = 2 2 3 1 =7 D2 = −1 2
s + t = n!
奇排列 s 个
(1,2)对换 (1,2)对换 (1,2)对换 (1,2)对换
线性代数-序言优秀PPT
ห้องสมุดไป่ตู้Linear Algebra
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序言：代数的起源与发展
一、代数的定义
以字母代替数，并以数的运算为依据进行数、字 母以及字母表达式的运算。
提示: “ 代 数 学 ” 一 词 来 源 于 阿 拉 伯 学 者 阿 尔 ·花 拉 子 密 ( A l -
khowarizmi，约780～850)的一本数学著作《Al-jabr w’al muqabala》。当这本书于12世纪被翻译成拉丁文时，书中的Aljabr 变成了algebrae，到14世纪，这门学科在欧洲被正式简称为 “algebra”。1859年清朝数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译 英国德·摩根的《Elements of Algebra》时，才正式定名为“代数学”
• [1] 华中科技大学数学系．线性代数．高等教育出版社 • [2] 梁保松等. 线性代数．中国农业出版社 • [3] 林升旭等编．线性代数．华中科技大学出版社 • [4] 王长群等编．线性代数．高等教育出版社
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注意
本课程期末总评成绩满分100分，计算公式为：
期末考试卷面成绩（满分100分）×70﹪+平时成绩（满分30分）
该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象 出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强 化人们的思维，开发科学智能是非常有用的。
6
如何学好运筹学
学习线性代数要把重点放在分析、 理解有关的概念、思路上。在自学过 程中，应该多向自己提问，例如一个 方法的实质是什么，为什么这样进行， 怎么进行等。
线性代数基本上出现于十七世纪，主要理论成熟于十九世纪，而第 一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现。我国 在公元七世纪，已经得到了三次方程的近似解法，这在唐朝数学家王 孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九 韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高 次方程的求正根法。
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线性 --线性代数Æ
• 4.学习要求
• • • • 在基本概念上下功夫。 勤于思考，勇于探索。 培养能力。 认真听讲，独立完成作业。
• 5.教学参考书
• 高等代数－北京大学数学教研室 编 高等教育出版社出版 • 大学数学学习指南——线性代数 山东大学出版社出版
多 做 练 习 啊 ！
线性代数
线性代数前言
• 1.内容简介
Cayley被公 认为矩阵论 的创立者。
• 行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、 标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其 基本理论基础。
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Leibniz在十七世纪就 有了行列式的概念。
Vandermonde是第一 个对行列式理论做出 连贯的逻辑阐述的人。
• 矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物 理学、生物学、经济学中有大量应用的数学 分支。 • 矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。
3.教学组织
• 以课堂教学为主。 • 注重讲解。 • 抓紧课下的学习、答疑与练习。 • 联系方式：
线性代数的特点
• 抽象性强，应用性强。 • 以离散变量为研究对象
空间为体, 矩阵为用
• 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) Æ 矩阵语言描述 Æ 矩阵运算解决 Æ 向量(解答) • 与微积分的关系: