2017年秋九年级数学上册21.1二次根式第2课时教案新版华东师大版08342
【新华东师大版】九年级数学上册：21.1《二次根式》教案(两课时)
_B _A _C21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学方法三疑三探教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，所以所求．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得二、设疑自探——解疑合探自探1.你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0老师点评:（略）自探2.、1xx>0）、、1x y+x ≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次根式1x、1x y +．自探3.当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展1．当x 11x +在实数范围内有意义？分析：11x +在实数范围内有意义，0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．2.(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B D．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．教后反思：21.1 二次根式第二课时教学内容）2=a（a≥0），a（a≥0）教学目标2=a（a≥0（a≥0），并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2=a（a≥0a（a≥0）及其运用．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探――解疑合探自探1.做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的非负）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，2=72，）2=0，所以自探2(一)计算1．2（x ≥0） 2．23．24． 2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．（二）在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略)自探3（学生活动）填空：=______；=________=_______．自探4 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展1. 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．2.当x>2．分析：(略)四、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：2=a（a≥0）（a≥0）及其运用，同时理解当a<0－a的应用拓展．五、作业设计一、选择题1）．A．0 B．23 C． 423D．以上都不对2．当a≥0）．AC．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三计算）21．2 2．（2 3．2 4．（22.计算下列各式的值：2）2（）222（4四、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教后反思：。
华师版九年级数学(上)教案(全册)
第21章二次根式21.1 二次根式教学目标：1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。
问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
九年级数学上册21.1二次根式学案华东师大版
二次根式一、学习目标1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2.掌握二次根式有意义的条件。
二、学习重点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、自主预习（一）复习引入：1.已知x 2= a ，那么a 是x 的______，x 是a 的________，记为______,a 一定是_______数。
2.4的算术平方根为2，用式子表示为 =_____；0的算术平方根为_____，则非负数a 的算术平方根表示为 。
（二）问题研究：1.式子a 表示 。
2. 叫做二次根式。
试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3， 16-， 34， )0(3≥a a ， 12+x3.式子)0(0≥≥a a 表示 。
4.)0()(2≥=a a a 表示 。
计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31(四、合作探究1.当x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③42)3(x --212.a 的值为___________．3.若在实数范围内有意义，则x 为（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、非正数五、巩固反馈1. =________，2.在实数范围内因式分解：（1）x 2-9 = x 2 - （ ）2= （x+ ___）(x-___)（2） x 222 = (x+ ___)(x- ___)3.已知A. x>-3B. x<-3C.x=-3D.x 的值不能确定4.下列计算中，不正确的是 （ ）A 、3= 2)3(B 、0.5=2)5.0(C 、2)3.0(=0.3D 、2)75(=355.在式子x x +-121中，x 的取值范围是____________。
6.已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝_________。
7.已知y ＝x -3+23--x ,则x y = ________。
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第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。
问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
九年级数学上册21.1二次根式(第2课时)教案华东师大版
21。
1 二次根式第二课时教学内容 (a）2=a(a≥0)，2a＝a（a≥0）教学目标理解（a)2=a（a≥0）与2a=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a(a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：（a）2=a（a≥0）与2a＝a（a≥0）及其运用．2．难点：探究结论．3．关键:讲清a≥0时，2a＝a才成立．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探――解疑合探自探1.做一做：根据算术平方根的意义填空:（4）2=_______；（2）2=_______；(9）2=______；（3)2=_______；（13）2=______;（72）2=_______；（0）2=_______．老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有(4)2=4．同理可得：（2)2=2，(9）2=9，（3)2=3,（13）2=13，(72）2=72，（0）2=0,所以（a）2=a（a≥0）自探2（一)计算1．（1x+)2（x≥0） 2．（2a）2 3．（221a a++)2 4．（24129x x-+）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2)a2≥0;（3）a2+2a+1=（a+1）2≥0;（4）4x 2-12x+9=（2x ）2—2·2x ·3+32=(2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0)的重要结论解题． （二）在实数范围内分解下列因式： （1）x 2-3 （2）x 4-4 （3) 2x 2—3分析:(略）自探3(学生活动)填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________;20=________；23()7=_______． 归纳，一般地:2a =a(a ≥0）自探4 化简(1）9 （2）2(4)- (3）25 (4)2(3)-分析：因为（1）9=-32，(2）(-4）2=42,（3）25=52，（4）（—3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．二、质疑再探:同学们,通过学习你还有什么问题或疑问?与同伴交流一下！三、应用拓展1. 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a 〈0时,2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1)2a ，则a 可以是什么数？（2)2a ，则a 可以是什么数？（3）2a a ，则a 可以是什么数?分析2a （a ≥0）,∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形,使“( ）2”中的数是正数，因为，当a ≤02a 2()a -a ≥0．（1）根据结论求条件；(2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3)根据(1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a,只有什么时候才能保证呢？a 〈0． 2。
新华师大版数学九年级上册优秀导学案：第21章《二次根式》(第2课时)二次根式
二次根式 一、学习目标
1.掌握二次根式有意义的条件。
2.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
二、学习重点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质。
探究1.当x 取何值时，下列各二次根式有意义？ -xy +y 探究3.在实数范围内因式分解：（1）72-x （2）x 4 -9
四、巩固反馈
1.下列各式中，正确的是（ ）
A
、 B 、
C 、
D 、 2.如果等式2)(x -= x 成立，那么x 为（ ） A 、x ≤0 B 、x=0 C 、x<0 D 、x ≥0
3.若20a -=，则 2
a b -= 。
4.分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= 。
5.当x= 时，代数式有最小值，其最小值是 。
6.三角形ABC 的三边分别为a,b,c,其中a 和b 满足b 2
+ +
4=4b 。
求c 的取值范围。
7.已知：13--y x 和 互为相反数，求x+4y 的平方根。
8.当x 取什么实数时，式子 的取值最小？并求出这个最小值。
4949+=+4994⨯=⨯2424-=-6
536
25=1-a 42-+y x 213+-x。
九年级数学上册21.1二次根式时 精品导学案 华东师大版20170608343
21.1二次根式第二课时学习目标：1、经历二次根式性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的两个性质。
3、会运用两个性质进行有关计算。
重点难点：重点是理解二次根式的两个性质。
难点是灵活运用两个性质进行有关计算。
学习过程：一、想一想1、回顾绝对值的性质完成以下填空：│a │=⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉)0____(____()0____(aaa）2、回顾平方根的定义完成以下填空：你发现什么规律？二次根式性质1：）()(2≥=aaa二、练一练二、读一读，说一说（自学课本第3页，独立完成计算题目然后小组合作交流）二次根式性质2：=2a│a│=⎩⎨⎧〈-≥）（）（aaaa三、学一学 解：四、查一查（独立完成后小组讨论并纠错）五、谈一谈回顾本节课的学习谈一谈你的收获和体会六、比一比（完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1、下列等式不成立的是 （ ）A 、7)7(2=-B 、5)5(2-=-C 、3)3(2-=--D 、2)2(2=-2、2)2(2-=-x x ，那么x 的取值范围是（ ）A 、x ≤B 、x ＜2C 、x ≥2D 、x ＞23、若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ ）A ．a ﹣2B ．2－aC ．aD ．－a 4、若正比例函数()2y a x =-的图象经过第一、三象限，化简()21a -的结果为 .5、计算：（1）2)7(； （2）2)32(； （3）94； （4）49a ． 6、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-xx ．7、（选做题）长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．8、阅读下面的文字后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：2169a a a +-+，其中5a =.”甲、乙两人的解答不同；甲的解答是：()2216913a a a a a +-+=+-13129a a a =+-=-=-. 乙的解答是：()2216913314119a a a a a a a a +-+=+-=+-=-=. （1） 的解答是错误的.（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： .（3）模仿上题解答，化简并求值：211816a a a -+-+2a =.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
华东师大版九年级数学上册第21章《二次根》教案设计
一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？
(1) 36＝________； 49
3469＝________．
(2) 9 ＝________； 16
196＝________．
36________ 49
3469；
9 ________ 16
196.
二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 例 1：计算：
解析：根据题意得x2＋ －1x≥ ≥00， ，解得
－1≤x≤2.故选 C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均 是非负数这一条件．
【类型二】 二次根式的乘法运算
例 2：计算：
(1) 3× 5；(2) 64；
(3)6 27×(－3 3)；
(4)34 18ab·－a2 6ab2.
21.2 二次根式的乘除
第 3 课时
教学目标
1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算； 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．
教学重难点
【教学重点】 二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质. 【教学难点】 运用已学性质进行二次根式的化简与运算.
课前准备
无
教学过程
21.2 二次根式的乘除
第 2 课时
教学目标
1．掌握积的算术平方根的性质； 2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．
教学重难点
【教学重点】 积的算术平方根的性质. 【教学难点】 用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入 计算： (1) 4× 25与 4×25； (2) 16× 9与 16×9. 思考： 对于 2× 3与 2×3呢？ 从计算的结果我们发现 2× 3＝ 2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究 探究点一：积的算术平方根的性质 例 1：化简： (1) （－36）×16×（－9）； (2) 362＋482；
九年级数学上册 21 1 二次根式(第2课时)课件 (新版)华东师大版
么?
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
第八页，共12页。
例2、要使式子(shxìzi1) 有意义(yìyì)，字母x的取值
必须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1。
解: ∵被开方数(bèi kāi fānɡ shù) x-1≥0,
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
2 5
( 3)2 3
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练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
第七页，共12页。
二次根式(gēnshì)概念
形如 a(a≥0)的式子叫做(jiàozuò)二次根式
【说明】 二次根式必须具备(jùbèi)以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0.
9 (4) (6)2
第十二页，共12页。
∴x≥1
第九页，共12页。
X是怎样的数时,下列各式在实数(shìshù) 范围内有意义? (1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
第十页，共12页。
性质2：
a2
| a |
a(a 0), a(a 0).
第十一页，共12页。
(1) 9 (2) 64 (3) 4
a≥0，因为(yīn wèi)任何一个有理数的平方都大于 或等于零.
第三页，共12页。
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
第四页，共12页。
性质 (xìngzh
1 ìa)1：0a 0
华师大版数学九年级上册21.1《二次根式》教案2
二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.3.理解2【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：。
2017年秋九年级数学上册21.1二次根式第1课时学案新版华东师大版08341
21.1 二次根式第一课时课前知识管理（从教材出发,向宝藏纵深）二次根式的概念：一般地,)0a≥的式子叫做二次根式.二次根式的概念主要)0a≥是非负数a的算术平方根,当0a>时0>；当0a=时0=.a可以是数,也可以是代数式,并且被开方数必须是非负的.名师导学互动（切磋琢磨,方法是制胜的法宝）典例精析类型一：二次根式的识别例1、小明在作业本上写出了以下几个式子,你认为是二次根式的有 .（只填序号）【解题思路】在式子中只有当被开方数a是非负数时,才是二次根式,因为222250,0,20110x y a>+≥+>,.【解】①、④、⑤.【方法归纳】理解二次根式的定义是判断一个式子是否为二次根式的基本前提,一个式子是否为二次根式要有以下两个条件：①被开方数为非负数；②根指数为2,不要误认为只要带有二次根号,就为二次根式.类型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例2x的取值范围是 .【解题思路】二次根式要有意义,被开方数必须大于或等于零；分式要有意义,分母必须为等于零.此函数既含有二次根式又含有分式,必须同时使它们有意义.【解】10,30x x+≥-≠,即1,x≥-且3x≠.【方法归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时,考虑分式的分母为能为0；（3）当函数的表达式是二次根式时,被开方的数为非负数.类型三：二次根式的非负数性的应用例3、代数式3a+的值等于 .【解题思路】根据二次根式的意义先求出a的值,再对式子化简.【解】根据二次根式的意义,可知1010aa-≥⎧⎨-≥⎩,解得a=1,∴3a+=1+3=4.【方法归纳】主要考查二次根式的意义,二次根式的被开方数为非负数,二次根式才有意义.例4、当14x <<时,4x -= . 【解题思路】根据已知条件判断出4,1x x --的符号,再根据二次根式的性质、去绝对值的法则解答.【解】∵14x <<,∴40,10x x -<->.原式=441x x x -=-+-=3.【方法归纳】解答此题,要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则。
华东师大版九年级上册数学21.1二次根式(2)
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灿若寒星
1.16的平方根是; ±4 2.9的算术平方根是;3 25 3.的平方根是; ± 5
灿若寒星
1.表示a 什么?
2.a需要满足什么条件?为什么? 当a是正数时，表a 示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时，等a 于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时，没a 有意义. a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零
x 1
灿若寒星
性质2：
a2
|
a
|
a(a a(a
0), 0).
灿若寒星
(1) 9 (2) 64 (3) 4
9 (4) (6)2
灿若寒星
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
灿若寒星
例有2意、义要，使字式母子x的x取 值1
必须满足什么条件？
分析：要使式子有x意义1 ，必须x-1≥0，
即x≥1。
解:∵被开方数x-1≥0, ∴x≥1
灿若寒星
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义? (1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
灿若寒星
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
灿若寒星
性质1：
1 a 0a 0
Hale Waihona Puke 22 a aa 0灿若寒星
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
2 5
( 3)2 3
灿若寒星
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
九年级数学上册 21.1二次根式(第2课时)课件 (新版)华
解： (１) ３２＝３
2 3 2 2＝32
2
2 ＝92＝18
2.说出下列各式的值：
1 0.32 0.3
3 x2
2
1 7
2
x2 | x |
1 2
1
7 7
4 102
1 1 102 10
练习
• 3．若 20是m一个正整数，则正整数m的最小值是
• 解：甲的解答是错误的，错误的原因是忽略了公式使用的 条件为被开方数为非负数.
达标检测 反思目标
• 2. 若-3≤x≤2时，试化简：
x 2 (x 3)2 x2 10x 25
• 解：原式=2-x+x+3+5-x=10-x.
课外作 业
• 见课本第4页习题第2，3题.
本节课结束，谢谢
合作交流
与同伴交流你是怎样得到的？
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4 是一个平方
2
等于4的非负数，因此有 4 4
一般地，
2 a a(a 0)
例1 计算：
1 1.5 2 ; 2 2 5 2
解：1
2
1.5 1.5
2 2 5 2 22
2
5 45 20
________．
5
课堂小结 （1）二次根式的概念
形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. （2）二次根式有意义的条件 a≥0
（3）二次根式的性质1: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
性质2：
a2
a(a 0), | a | a(a 0).
性质3 ：（ a )2 a(a 0)
达标检测 反思目标
21.1二次根式
学习目标
• 1.使学生初步掌握利用
21.1二次根式(2)-华东师大版九年级数学上册课件
2
x
1, 2
1 2
2
x __>__ 0, x 2 ___>___ 0.
∴原式= 1 x x 2
2
21
2
例4 化简：（ x y )2 ( y x)2
【解】 x y有意义，
∴x-y≥0,即x≥y, ∴原式=x-y+|y-x|
=x-y+x-y =2x-2y
注意:认真挖掘题中 的隐含条件
算术平方根是非__负__数，∴x-3_≥_0 ∴x≥3
方法2： 3 x2 |_3_-_x__| ∴|3-x|=x-3
故3-x_≤__0, ∴x≥3
（2）计算：
2
2
3 1 2 3
【解】原式= | 3 1| | 2 3 |
3 1 2 3
1
课本P3页：
1、计算： （3） 81；（4）100 【解】
化简下列各式： 0.3
0.3 5 -2a
例2
计算： (1) 22
2
5 ;(2)
2
32 .
【解】
(1) 22 5 2 | 2 | 5
25
3
2
(2) 3 2 | 3 2 |
3 2
仔细区分：
a 2 a与 a2 | a |
2 3
变式练习
（1）求式子 3 x2 x 3 成立的条件。 解： 方法1： 3 x2 表示_算__术__平__方_根___,
计算：
22 = 4 =__2___; 32 9 _3___; 等于底数
你能从中发 现什么？
02 0 _0___;
(2)2 4 _2__; (3)2 9 _3___ . 等于底数的相反数
所以，当a≥0时， a2 a;当a<0时， a2 a.
【新华东师大版】九年级数学上册：21.3《二次根式的加减法》第2课时教案
21.3二次根式的加减法第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探一一解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固.自探1.如图所示的Rt△ ABC中，/ B=90° 点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后△ PBQ 的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）（分析：设x秒后△ PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x BQ=2x ?根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设x后厶PBQ的面积为35平方厘米.则有PB=x, BQ=2x依题意，得：1 x • 2x=35 x 2=35 x= ■, 35所以35秒后△ PBQ的面积为35平方厘米.PQ= PB2 BQ2 . x2 4x2、5x2 5 35 =5 7答：,35秒后△ PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5「7厘米.）自探2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?（分析：此框架是由AB BC BD AC组成，所以要求钢架的钢材，？只需知道这四段的长度.B解：由勾股定理，得AB= - AD2 BD2 , 42 2220 =^. 5BC= . BD2 CD222 12「5 所需钢材长度为AB+BC+AC+BD =2、、5 +、、5 +5+2 =3 +7 3 X 2.24+7 13.7 （m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3a b4a 3b与根式2ab2 b3 6b2是同类二次根式，求a、b的值.（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；？事实上，根式2ab^b~6b2不是最简二次根式，因此把,2ab~b~6b2化简成|b| —. 2a b 6 ,才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2 , 2a-b+6=4a+3b .解：首先把根式■, 2ab2 b3 6b2化为最简二次根式:2ab2 3 2b 6b :b2(2a 16) =|b| •、2a b 6由题意得 4 a 3b2a b 6••• 2a 4b 6a=1, b=13a b23a b 2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、作业设计一、选择题1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（？结果用最简二次根式）A . 5、、2B . , 50C . 2、、5D .以上都不对2 .小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，？为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A . 13 ,100B . . 1300C . 10 .13D . ^,13二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m, ?鱼塘的宽是______ m （结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 , ?那么这个等腰直角三角形的周长是_______ .（结果用最简二次根式）三、综合提高题2 _________________1 •若最简二次根式——2与n J —10是同类二次根式，求m n的值.32.同学们，我们以前学过完全平方公式a2± 2ab+b—= (a± b) 2,你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如3= C. 3) 2，5=( .5)2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： (...2 -1)2=( ,2 ) 2-2 • 1 •、、—+12=2-2 —+1=3-2、、—反之，3-2 — =2-22 +1= ( . 2 -1 ) 2/• 3-2、/2 = (.2-1 ) 2••• .3 2,—=、—-1求：(1).3 2 —; (2) ••,4 2、3 ; (3)你会算4 12 吗？(4)若,a 2=、. m 、、n，则m n与a、b的关系是什么？并说明理由.教后反思：。
华师版九年级数学上教案全册修订版
华师版九年级数学上教案全册修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、表示什么2、a需要满足什么条件为什么二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1你能用一句话概括以上3个结论吗让一个学生回答、其他学生补充，概括为：(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，即≥0(a≥0)。
问题2()2(a≥0)等于什么说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：()2=a(a≥0)，如()2=4，()2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是()2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把()2＝a(a≥0)写成a=()2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=()2，0.3=()2提问：(1)0=()2对不对(2)－5=()2对不对如果不对，错在哪里2、二次根式概念形如(a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断，(a<0)、、(a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件提问：若将式子改为，则字母x的取值必须满足什么条件五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了()2(a≥0)等于a，现在研究等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略2、在中，a的取值有没有限制3、取一些数值来验证。
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21.1 二次根式
第二课时
教学内容 2
=a （a ≥0），a （a ≥0）
教学目标 2
=a （a ≥0（a ≥0），并利用它进行计算和化简．
通过具体数据解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学重难点关键 1．重点：2
=a （a ≥0a （a ≥0）及其运用． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a ≥0a 才成立．
教学方法 三疑三探
教学过程
一、设疑自探――解疑合探
自探1.做一做：根据算术平方根意义填空：
2=_______；2=_______；2=______；2
=_______；
2=______；2=_______；）2=_______．
44非负数，因
2
=4．
同理可得：2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，2=0，
所以
自探2(一)计算
1．2（x ≥0） 2．2 3．2
4． 2
分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0；
（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面4题都可以运用（2
=a （a ≥0）重要结论解题． （二）在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3
分析：(略)
自探3（学生活动）填空：
=______；
．
自探4化简
（1（2（3（4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．
二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
三、应用拓展
1. 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．
（1，则a可以是什么数？
（2，则a可以是什么数？
（3，则a可以是什么数？
分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，
使“（）2”中数是正数，因为，当a≤0-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）
│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
2.当x>2
分析：(略)
四、归纳小结（师生共同归纳）
本节课应掌握：（2=a（a≥0）（a≥0）及其运用，同时理解当a<0
＝－a应用拓展．
五、作业设计
一、选择题
1）．
A．0 B．2
3 C．4
2
3
D．以上都不对
2．当a≥0）．
A
C．
二、填空题
1．．
2m最小值是________．
三计算
1．2 2．（2 3．2 4．（
2
）2
2.计算下列各式值：
2222（ 2
四、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求
甲解答为：原式=a+（1-a）=1；
乙解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______解答是错误，错误原因是__________．
2．若│1995-a│，求a-19952值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
教后反思：。