计算机数学课件第四章 线性方程组
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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数第四章线性方程组课件
方程组 AX 0 的两个基础解系， 则由这两个基础解
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
数学课件：初中三年级下学期线性方程组PPT课件
通过矩阵运算求解三元一次方程组的变
量值，如2x + y - z = 4，x + y + 2z = 8，3x -
y + 3z = 18。
3
克莱姆法则
利用行列式求解三元一次方程组的各个 变量值，如x - 2y + 3z = 5，2x + y - 4z = -6， 3x + 2y - z = 3。
二元一次方程组的解法及示例
一元一次方程的解法及示例
等式法
通过等式得到变量值的方法， 如2x + 3 = 9。
逆向代入法
通过反向代入找到变量值的 方法，如2(x - 5) = 6。
等式变形法
通过数学变形得到变量值的 方法，如0.5x + 2 = 4。
二元一次方程的解法及示例
代入法
矩阵法
替换法
通过代入消元得到变量值的方法， 如2x + y = 8，x - y = 2。
矩阵法
2
为二元一次方程组求解，如2x + y + z = 10， x - 3y + z = 2，3x + y - z = 12。
通过矩阵运算求解三元一次方程组的变
量值，如2x + y - z = 4，x + y + 2z = 8，3x -
y + 3z = 18。
3
克莱姆法则
利用行列式求解三元一次方程组的各个 变量值，如x - 2y + 3z = 5，2x + y - 4z = -6， 3x + 2y - z = 3。
线性方程的无解情况
线性方程组可能出现无解的情况，即方程组的解不存在。通过分析线性方程 组的系数和常数项可以判断方程组是否有解。
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
大学线性代数课件线性方程组第四章 线性方程组
4 4
1 2 2 1 1 0 2 53
0
1
2
4
3
0
1
2
4 3
0 0 0 0 00 0 0
对应于矩阵
1 0 0
0 1 0
2 2 0
5
4 3
0
3
的同解方程组为
x 1
x 2
2x 3
2x 3
5 3
4 3
x 4
x 4
0 0
x =2 1
x 3
5 3
x 4
移项得， xx12=2x32x3
然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件. 为此，必须讨论一般情况下线性方程组的求解方法和解 的各种情况.
§2 齐次线性方程组
一般地,齐次线性方程组可以写成
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
其中x1, x2,, xn是n个未知量,
m是方程组所包含的方程 个数,
aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)称为方程组的系数 ,
bj ( j 1,2,, m)称为常数项 .
A
aij
,
mn
x1
x
x2
,
xn
n1
x1 7x2 5x3 2, 2x1 5x2 3x3 3,
3x1 2x2 8x3 17.
解:对增广矩阵进行行初等变换
A
b
1 2
7 5 5 3
2 1 7 3 0 19
5 13
2 1
线性方程组的基本概念-推荐精选PPT
注: 定理表明对增广 行矩 初阵 等作 变换不改变 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩A阵 [aij]mn是线性方程组 阵,的 用Ai系 记A数矩 的第 i列,即 Ai [a1i,a2i,,am]iT,i1,2,,n 则mn型线性方程组可表示为 x1 A1 x2A2 xnAn b
证 x 1A 1x 2A 2 x nA n0 有非零解
A 1,A 2, ,A n 线性相关 r A 1 ,A 2 , ,A n n 即 rA n
思考题:
1. mn型齐次线性方程A组 X 0只有零解的 充要条件( 是 A) (A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
故 [ x 1 k 向 1 ,x 2 k 2 , ,量 x n k n ] T 也 A b 的 是 X , 解 与AXb的解唯一.矛盾 r故 ([Ab])r(A)n.
充分性． r (A [ b ] ) r ( A ) n 时 ,方 A 程 b 有 X ,故 组 解
{ A 1 ,A 2 , ,A n ,b } 线, 性 而 { A 1 ,A 2 , 相 ,A n } 线 关 . 性
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
一、线性方程组的一般形式
含 m个方n 程 个， 未知量的的 线一 性般 方形 程式 组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a 21x 1 a22 x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
A X b , 一、 线性方程组的一般形式
一、线性方程组的一般形式 一、线性方程组的一般形式
mn n1 m1
三、线性方程组的向量形式
设矩A阵 [aij]mn是线性方程组 阵,的 用Ai系 记A数矩 的第 i列,即 Ai [a1i,a2i,,am]iT,i1,2,,n 则mn型线性方程组可表示为 x1 A1 x2A2 xnAn b
证 x 1A 1x 2A 2 x nA n0 有非零解
A 1,A 2, ,A n 线性相关 r A 1 ,A 2 , ,A n n 即 rA n
思考题:
1. mn型齐次线性方程A组 X 0只有零解的 充要条件( 是 A) (A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关
故 [ x 1 k 向 1 ,x 2 k 2 , ,量 x n k n ] T 也 A b 的 是 X , 解 与AXb的解唯一.矛盾 r故 ([Ab])r(A)n.
充分性． r (A [ b ] ) r ( A ) n 时 ,方 A 程 b 有 X ,故 组 解
{ A 1 ,A 2 , ,A n ,b } 线, 性 而 { A 1 ,A 2 , 相 ,A n } 线 关 . 性
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
一、线性方程组的一般形式
含 m个方n 程 个， 未知量的的 线一 性般 方形 程式 组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a 21x 1 a22 x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
A X b , 一、 线性方程组的一般形式
一、线性方程组的一般形式 一、线性方程组的一般形式
mn n1 m1
计算机数学-线性方程组
ᵳᵽ
ᵳᵽ
F
B
E o ᵳ2
A
ᵯ1
ᵳᵽ
4.5.3 正交变换
• 正交矩阵非常有用，因为容易求得它的逆矩阵。在图形变换中常常要 进行逆矩阵运算
• 正交变换的基本思想是保持轴相互垂直，不进行缩放，长度、面积、 体积和角度保持不变，所以正交变换的一个重要性质是：正交变换保 持向量的内积及长度不变。
• 平移、旋转、和镜像是仅有的正交变换.
>> rank(A) %求系数矩阵和增广矩阵的秩 ans =
4 >>rank(B) ans =
4 % 运行结果rank(A)=rank(B)=4=n，方程组有唯一解 >> X=A\b %用矩阵除法求出唯一解。这样的线性方程组称为 定解方程组 X=
1 2 -1 1
>> X=A\b %用矩阵除法只求得其中含0最多的特解 Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 8.8373e-015. X=
ü 任一矩阵都可以通过初等行变换化成阶梯形矩阵吗？
不难证明是可以的
◆一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但其行最简阶梯形矩阵是惟一的 ◆一个矩阵的阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。
4.1.3 矩阵的秩
由定义知，求矩阵的秩就是将矩阵化成阶梯形，非零行的行数。
4.2 线性方程组解的判断与解的结构
给定方阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？
一般地，n阶矩阵的特征方程有n重根，可以只有单根也可能出现 重根或复数根。
4.4.2 特征值和特征向量的性质
可以证明，矩阵A的特征值有以下性质
4.4.3 特征值特征向量的几何意义
• 如果一个空间坐标系用一个矩阵表示，那么这个坐标系就可由 这个矩阵的所有不共面特征向量表示。特征向量就像空间张开 的各角度坐标轴，它们的特征值代表从各角度伸出的长短，越 长的轴特征越显性，可作主要方向，短轴就是次要方向，隐性 特征了。
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这个矩阵M称为直接消耗矩阵
其中E是与直接消耗矩阵M同阶的单位阵，这个方程组表示总产出的一部分用 于系统生产运作，另一部分用于满足订单，称为分配平衡方程，(E-M)称为列 昂惕夫矩阵。
只要矩阵方程有非负解，这个经济系统就是可行的。
4.3.3 完全消耗系数
在实际生产过程中，经济系统各部门之间除了存在直接消耗关系外，还存 在间接消耗关系。如生产1元的铁路运能要直接消耗0.45元的煤，0.10元 的电，在被消耗的0.45元煤和0.10元电又要消耗电，就有了一个确定每生 产1元的铁路运能到底总共消耗多少电的完全消耗系数问题。
4.2.2 非齐次线性方程组解的判断
关于非齐次线性方程组的解的情况，我们有以下定理：
• 非齐次线性方程组的解的结构
通过上面几个例子，我们认识了求解线性方程组的高斯消元法思想 和步骤：首先用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵，然后进一步 化成行最简阶梯形矩阵，通过系数矩阵的秩、增广矩阵的秩可判断 线性方程组解的情况：唯一解、无穷多解、无解，如果方程组有无 穷多解，通解就表达了无穷多解，教科书一般将通解写成量形式， 方便符号化表述。不过，手工运算还是较繁琐容易出错，可用数学 软件来求解方程组。
例4.1 求解线性方程组
• 消元法的做法就是对方程组三种变换：数乘变换、消去变换、互换变换， 消去一些方程组中的若干未知量，进而化成阶梯形方程组。
• 将原方程组通过初等变换化为阶梯形方程组，这种方法称为高斯消元法。
例4.2 解线性方程组 在方程组的增广矩阵中对矩阵进行初等行变换：
例4.3 解线性方程组
表一：投入产出表
产出
系统内部消耗（需求）
投入
煤矿
电力
铁路
生产
煤矿
0.00
0.40
0.45
部门
电力
0.25
0.05
0.10
铁路
0.35
0.20
0.10
表中数据称为直接消耗系数，用矩阵表示
系统外部需求 总产品 （订单等）
0 0.40 0.45 M = 0.25 0.05 0.10
0.35 0.20 0.10
净
劳动报酬 ������1 ������2 ⋯
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任一矩阵都可以通过初等行变换化成阶梯形矩阵吗？
不难证明是可以的
◆一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但其行最简阶梯形矩阵是惟一的 ◆一个矩阵的阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。
4.1.3 矩阵的秩
由定义知，求矩阵的秩就是将矩阵化成阶梯形，非零行的行数。
4.2 线性方程组解的判断与解的结构
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分析：……
此时方程组无解
方程组的消元运作，可以由其增广矩阵的行变换代替，相应地是把增 广矩阵通过初等行变换化成阶梯形矩阵，这一替代大大减轻了工作量， 且便于计算机实现。
4.1.2 矩阵的初等变换
以下三种变换，称作矩阵的初等行变换。
矩阵初等行变换化简矩阵，一般有两种形式： ◆阶梯形矩阵 如果矩阵满足： （1）若有零行（元素都为0的行），零行在非零行的下方； （2）行的首非零元的列标号随着行标号的增加而严格增大。 称矩阵为阶梯形矩阵。 ◆行最简阶梯形矩阵 若阶梯形矩阵还满足： （1）非零行的首非零元为1； (2) 首非零元所在列的其余元素都为0。 称为行最简阶梯形矩阵。
*4.3 线性方程组的应用——投入产出模型
4.3.1 投入产出综合平衡模型
• 经济系统中各部门的经济活动是相互依存相互影响的。每个部门 在生产过程中都要消耗自身和其他部门提供的产品或服务（称之 为投入），同时每个部门也向其他部门或自身提供自己的产品或 服务（称之为产出）。 投入产出模型就是研究经济系统各部门的 投入产出平衡关系的数学模型，要用到前面章节所介绍的矩阵、 矩阵运算、逆矩阵、求解线性方程组等知识。
4.2.1 齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组的解有如下定理:
从系数矩阵的阶梯形矩阵看到，r(A)=2，而n=4，r(A)<n，方程组有非零 解，且有无穷多解。为求通解，进一步将阶梯形矩阵化简（化为行最简 阶梯形矩阵）
齐次方程组的全部解由一组基础解系线性构造的，如何求齐 次线性方程组的基础解系呢？可求得多少组基础解系？
• 投入产出模型由美国经济学家列昂惕夫（W.Leontief）于1931 年开始研究，并于1936年首先发表第一篇研究成果，此后数十 年间被愈来愈多的国家采用并取得良好效果，列昂惕夫因此获 得1973年的诺贝尔经济学奖。
4.3.2 投入产出表、直接消耗系数
例4.11 假设将某城市的煤矿、电力、地方铁路三个企业作为一个经济系统， 每个部门都要用系统内部各部门的产品来加工生成本部门产品，如电厂生产 电的时候既要用煤还要用到一定的铁路运能，系统每个部门既是生产部门也 是消耗部门，消耗系统内部的产品为投入，生产所得本部门产品为产出。某 一周期内三个企业的投入产出数据由下表给出
为便于理解投入产出模型的概念和方法，表一是将实际问题和数字简 化之后的投入产出表。一般地，经济系统的价值型投入产出表的结构 如表二
表二 价值型投入产出表
部门间 产出 消耗部门（系统内部需求） 最终产品（系统外部需求） 总产品
流量
1
2 …n
消 积 … 合计
投入
费累
生
1
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பைடு நூலகம்习目标
4.1 掌握线性方程组高斯消元法 4.2 掌握线性方程组解的判断与解的结构 *4.3 了解线性方程组的应用——投入产出模型 4.4 掌握矩阵的特征值与特征向量 *4.5 理解正交矩阵与正交变换 4.6 会用MATLAB求解线性方程组
4.1 线性方程组高斯消元法
4.1.1 高斯消元法
• 中学代数已经学过求解二元线性方程组、三元线性方程组的消元法，这 种方法也是求解一般线性方程组的有效方法，我们从下面的例子中认识 消元法的思想和消元的过程。