2010-2011学年广西、河南、江西、内蒙、青海、山西、云南尔雅高考数学模拟预测卷(B卷)

2010-2011学年广西、河南、江西、内蒙、青海、山西、云南尔雅高考数学模拟预测卷（B 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义{,,}x A B z z xy x A y B y⊗==+∈∈．设集合{0,2}A =，{1,2}B =，{1}C =．则集合A B C ⊗⊗的所有元素之和为（ ）A ． 3B ． 9C ． 18D ． 27 2．复数12i1iz -=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 （） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种4．在平面直角坐标系中, 不等式组040x y x y x a +=⎧⎪-+=⎨⎪≤⎩(α为常数)表示的平面区域面积是9, 那么实数α的值为 （ ）A ．B ．－C ．－5D ．15．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为（ ）A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或116．已知二面角l αβ--的平面角为θ，,,,PA PB A B αβ⊥⊥为垂足，且4,5PA PB ==，点,A B 到棱l 的距离分别为,x y ，当θ变化时，点（x ，y ）的轨迹是下列图形中的（ ）7．设函数2211()21xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 （ ）A ．1516 B ．2716-C ．89D ．188． 在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x Px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1[,2]2x ∈上的最大值是（ ）A ．134B ．4C ．8D ．549．定义行列式运算1214230034,,a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos xf x x=的图象向左平移n （0n >）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 10．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．1811．已知P 是ABC ∆内一点，且满足230PA PB PC ++=，记∆．BCP ∆．ACP ∆的面积依次为1S ．2S ．3S ，则1S ：2S ：3S 等于（ ） A ．1：2：3B ．1：4：9C 1D ．3：1：212．直线1y x =+与椭圆221(,0)mx ny m n +=>相交于,A B 两点，弦AB 的中点的横坐标是13-，则双曲线 22221y x m n -=的两条渐近线所夹的锐角等于（ ）A ．2 arctan 2B ．2 arctan12C ．π – 2 arctan 2D ．π – 2 arctan12第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在*(1()nn ∈N 的展开式中，所有项的系数之和为64，则其展开式中1x的系数是 ．14． 如图B 、C 、D 是边长为2的正方形，A 、E 、F 是等腰三角形，G 是正三角形，此图沿图中直线可折成一个以这些多边形为第3题图面的多面体，则该多面体的体积是 ． 15．在数列{}n a 中，已知123a =-，其前n 项和n S 满足12(2)n n n a S n S =++≥ ，猜想n S 的一个表达式为 n S ＝_________________．16． 已知函数32()f x x ax bx c =+++的一个零点为1x =，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则a b c ++= ；ba的取值范围是 ． 三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量(,)m a c b =+ ，(,)n a c b a =-- ，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是角A ，,B C 的对边．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．18．（本小题满分10分）如图是两个独立的转盘（A ），（B ）．在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°，120°，180°．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A ）指针所对的区域数为x ，转盘（B ）指针所对的区域为y ，x ，y ∈{}1,2,3，设x +y 的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ． （Ⅰ）求x ＜2且y ＞1的概率；（Ⅱ）某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分．（A ） （B ）B19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交α元（35α≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q α． 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，P 为BC 为45︒，且2AD =，1SA =． （Ⅰ）求证：PD ⊥平面SAP ； （Ⅱ）求点A 到平面SPD 的距离； （Ⅲ）求二面角A SD P --的大小．21．（本小题满分12分）已知,,A B C 是椭圆2222:1(0)x y m a b a b +=>>上的三点，其中点A的坐标为，BC 过椭圆m 的中心， 且0,||2||AC BC BC AC == ．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点(0,)M t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点,P Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =．求实数t 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，112a =，点(n ，2a n ＋1－a n )(n ∈N *)在直线y x =． （Ⅰ）计算a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（Ⅲ）设S n ，T n 分别为数列{a n }．{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．2010尔雅高考模拟卷答案（B）数学一：1-5 CDADA 6-10 DABCB 11-12 DB二：13．【答案】：1514．【答案】：20315．【答案】：12nn+-+16．【答案】：-1 ；1(2,)2--三：17．解：（I）由0m n⋅=得222()()()0a c a cb b a a bc ab+-+-=⇒+-=…2分由余弦定理2221cos222a b c abCab ab+-===又0C<<π，则3Cπ=…5分（II）由（I）得3Cπ=，则23A Bπ+=23sin sin sin sin()sin)326A B A A A A Aππ+=+-==+23Aπ<<5666Aπππ∴<+<1s i n()126Aπ∴<+≤)6Aπ<+<即sin sinA B+得取值范围是…10分18．解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：111(1),(2),(3)632P x P x P x======；111(1),(2),(3)326P y P y P y======；…2分则12(2)(1),(1)(2)(3)63P x P x P y P y P y<===>==+==；所以1(2,1)(2)(1)9P x y P x P y<>=<>=…4分（Ⅱ）由条件可知ξ的取值为：2，3，4，5，6，则ξ的分布列为：…8分他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值：256Eξ=所以给他玩12次，平均可以得到1250Eξ=分…10分19．解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为2(3)(12),[9,11]L x x xα=---∈…3分（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)(12)(1823)L x x x x x xαα'=-----=-+-…5分令0L'=得：263xα=+或12x=（不合题意，舍去）．22835,8633αα≤≤∴≤+≤．在263xα=+两侧L'的值由正变负．所以（a）当28693α≤+<即932α≤<时，2max(9)(93)(129)9(6)L Lαα==---=-…7分（b）当2289633α≤+≤即952α≤≤时，3max1433Lα⎛⎫=-⎪⎝⎭，…11分所以399(6)32()1943532Qααααα⎧-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤≤⎪⎪⎝⎭⎩…12分答：若932α≤<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值()9(6)Qαα=-（万元）；若952α≤≤则当每件售价为263α⎛⎫+⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L最大，最大值31()433Qαα⎛⎫=-⎪⎝⎭（万元）．20．解：（Ⅰ）因为SA⊥底面ABCD，所以SBA∠是SB与平面ABCD所成的角．由已知45SBA ∠=︒， 所以1AB SA ==． 易求得，AP PD ==2AD =，所以222AD AP PD =+， 所以AP PD ⊥．因为SA ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面ABCD , 所以SA PD ⊥． 由于SA AP A = ，所以PD ⊥平面SAP ．（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，PD ⊥平面SAP ．又因为PD ⊂平面SPD , 所以平面SPD ⊥平面SAP ，过A 作AH ⊥SP 于H ，（如图）则AH ⊥平面SPD ， 所以线段AH 的长度为点A 到平面SPD 的距离．在Rt SAP ∆中，易求得SP =, 所以SA AP AH SP === ． 所以点A 到平面SPD ．…8分（Ⅲ）设Q 为AD 中点． 连结PQ ，由于SA ⊥底面ABCD ，且SA ⊂平面SAD ，则平面SAD ⊥平面ABCD ． 因为PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平面SAD ． 过Q 作QR SD ⊥，垂足为R ，连结PR ， 由三垂线定理可知PR SD ⊥，所以PRQ ∠是二面角A SD P --的平面角． 容易证明DRQ ∆∽DAS ∆，则QR DQSA SD=，因为1DQ =，1SA =，SD =，所以DQ QRSA SD ==在Rt PRQ ∆中，因为1PQ AB ==，所以tan PQPRQ QR∠== 所以二面角A SD P --的大小为…12分解法二：因为SA ⊥底面ABCD ，所以SBA ∠是SB 与平面ABCD 由已知45SBA ∠=︒， 所以1AB SA ==． 建立空间直角坐标系（如图）． 由已知，P 为BC 中点．于是(0,0,0)A ．(1,0,0)B ．(1,1,0)P ．(0,2,0)D ．(0,0,1)S （Ⅰ）易求得(1,1,0)AP = ，(1,1,0)PD =- ， (1,PS =--因为(1,1,0)(1,1,0)0AP PD =-=, (1,1,1)(1,1,0)0PS PD =---=,所以AP PD ⊥，PS PD ⊥．因为AP PS P = ，所以PD ⊥平面SAP ．…4分（Ⅱ）设平面SPD 的法向量为(,,1)x y =n ，由0,0,PS PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 得10,0.x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 解得12x y ==， 所以11(,,1)22=n ． 又因为(0,0,1)AS =,所以点A 到平面SPD 的距离AS h ===n n． …8分（Ⅲ）因为AB ⊥平面SAD ，所以AB 是平面SAD 的法向量， 易得(1,0,0)AB =． 由（Ⅱ）知平面SPD 的法向量11(,,1)22=n ，所以1cos ,AB AB AB 〈〉==nn n． 所以二面角A SD P --的大小为…12分21．解：（Ⅰ）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0）则0||||=⋅=BC AC AC OC 又∴∠OCA=90°， 即)3,3(C…2分又∵11212:,32222=-+=cy x m a 设 将C 点坐标代入得 11231232=-+C 解得： 228,4c b ==． ∴椭圆m ：141222=+y x ．…5分（Ⅱ）由条件D （0，－2） ∵(0,)M t ． 1°当0k =时，显然－2<t <2…6分2°当0k ≠时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得01236)31(222=-+++t ktx x k 由△>0 可得 22412t k <+ ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132kkt x x x +=+= 20031k t t kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQOH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即 ．∴2223110313231k t k kkt k t+=-=-+-++化简得 ②∴1t > 将①代入②得 1<t<4． ∴t 的范围是（1，4） …11分 综上t ∈（－2，4）…12分22．解：（Ⅰ）由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，又a 1＝12，所以2a 2－a 1＝1，解得a 2＝34， 同理a 3＝118，a 4＝3516．…4分（Ⅱ）因为2a n ＋1－a n ＝n ，所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝11111122n n n a n n a a +++++----=， b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，即1n n b b +＝12．又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，12为公比的等比数列． …8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，b n ＝－34×1111322n n -+⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T n ＝31(1)42112n -⨯--＝3×112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭－32．又a n ＋1＝n －1－b n ＝n －1+3×112n +⎛⎫⎪⎝⎭，所以a n ＝n －2+3×(12)n， 所以S n ＝(1)2n n +－2n +3×11(1)22112n ⨯--＝232n n -+3－32n ．由题意，记c n ＝n nS T nλ+．要使数列{c n }为等差数列，只要c n ＋1－c n 为常数． c n ＝n n S T nλ+＝123313(+3-)+[3] 2222n n n n n λ+-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝32n -+(3－32λ)×112n-， c n －1＝42n -+(3－32λ)×11121n n ---， 则c n －c n －1＝12+(3－32λ)×(112nn -－11121n n ---)． 故当λ＝2时，c n －c n －1＝12为常数，即数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．…14分。