江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(附解析)

苏州市2018届高三调研测试数学Ⅰ 2018．1参考公式：球的表面积公式S =4πr 2，其中r 为球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知i 为虚数单位，复数i z 2323-=的模为_____． 2. 已知集合A ={1,2a }，B={-1,1,4}，且A ⊆B ，则正整数a=______． 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=-8x 的焦点坐标为______．4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．5. 已知4a =2，log a x =2a ，则正实数x=______．6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为_________．（第6题图） （第9题图）7. 已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≤≤03030y x y x x ，则z=2x-3y 的最大值为______．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且81936-=S S ，81524=-a a ，则a 3的值为____． 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为______．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π） 10. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD=45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD=____m ．（第9题图） （第10题图） （第13题图）11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，-1)的圆C 和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x 上，则圆C 的标准方程为______． 12. 已知正实数 a ，b ，c 满足111=+b a ，111=++cb a ，则c 的取值范围是_____． 13. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PC PB ⋅的取值范围是______． 14. 已知直线y=a 分别与直线y ＝2x -2，曲线y=2e x +x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数()()x x x x f 2sin 32sin cos 32-+=．（1）求函数)(x f 的最小值，并写出)(x f 取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，求函数)(x f 的单调增区间．16. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABHG ； （2）求证：平面ABHG ⊥平面CFED ．17. 如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（2πθα≤＜，其中锐角α的正切值为21）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h.（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为()123-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点M (0，-1)的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．19. 已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若3221+=+-n n n a S S （n ∈N*，n≥2），且a 1=2．①求数列{a n }的通项公式；②若12+⋅≤n n S λ对任意n ∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{a n }是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积为n T10．若存在正整数k ，对任意n ∈N*，使得knn k T T )1(+为定值，求首项a 1的值．20. 已知函数⎩⎨⎧≥-+-=0,0,)(23x ax e x x x x f x ＜.（1）当a=2时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程3)()(-=+-xe xf x f 在区间(0,+∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若存在实数m ，n ∈[0,2]，且|m-n |≥1，使得)(m f =)(n f ，求证：e e a≤-≤11．苏州市2018届高三调研测试数学II （附加题） 2018．121. 【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4-1：几何证明选讲如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F . 求证：PF 2=PD ·PE .B.选修4-2：矩阵与变换 已知M=⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤12，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=71β，求M 4β．C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=31t y tx （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 2=，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．D.选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1，若()211c b a x x +-≥++-对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．22、23.【必做题】每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ．（1）求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于52？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23. 在正整数集上定义函数)(n f y =，满足[][])1(221)1()(+-=++n f n f n f ，且2)1(=f ．（1）求证：109)2()3(=-f f ； （2）是否存在实数a ，b ，使1)23(1)(+--=ba n f n，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．苏州市2018届高三调研测试答案 数学Ⅰ 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1.3 2. 2 3.（-2,0） 4.101 5.21 6.48 7.-9 8.499.30π 10.18 11.(x -1)2+(y+2)2=2 12.]34,1( 13.14.【部分解析】8. 设等比数列的公比为，则，即，得，，解得9. 该球形容器最小时，正四棱柱与球内接，此时球直径等于正四棱柱的对角线，即，球形容器的表面积为. 10. 过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于， 设∵,记,则，在中，, ∴, 在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．11.圆心在上，可设圆心坐标为，又圆过，圆和直线相切，，解得圆半径，圆心坐标圆方程为，故答案为.12.由，可得，由，得，或，，，，故答案为.13.以为原点，以的垂线平行线为轴，建立直角坐标系，由，，可得，可设，，，14. ，设与平行的的切线的点为，则切线斜率为，切线方程为，则与，被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段的最小值，∵取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，∴令，可得，线段的最小值，故答案为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．16.（1）∵E，F是A1D1，B1C1的中点，∴，在正方体中，A1B1∥AB，∴．又平面ABHG，AB平面ABHG，∴EF∥平面ABHG，．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD ⊥平面BB1C1C，又平面，∴．①设，△BCH≌△，∴，∵∠HBC+∠PHC=90︒，∴+∠PHC=90︒．∴，即．②由①②，又，DC，CF⊂平面CFED，∴平面CFED．又平面ABHG，∴平面ABHG⊥平面CFED．17.（1），定义域为（2）17.68（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，∴，，则，．．由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，∴由A经P到C所用时间与θ的函数关系为．定义域为.（2）由（1），，，，令，解得，设θ0 ，使∴，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少．18. （1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．（1）由题意，故，又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，∴，解得，，∴，∴椭圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为．当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为，联立解得，即两圆过点．猜想以AB为直径的圆恒过定点．对一般情况证明如下：设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,则整理得，∴．∵，∴．∴存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．19.（1）①当时，由则两式相减得，即，当时，，即，解得或（舍），∴，即数列为等差数列，且首项，∴数列的通项公式为.②由①知，，∴，由题意可得对一切恒成立，记，则，，∴，，当时，，当时，，且，，，∴当时，取得最大值，∴实数的取值范围为.（2）由题意，设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，则，即对恒成立，∵，问题等价于将代入，解得.∵，∴，∴，又故.20. （1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），∴时，，∴函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，∴，由题，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，∵，∴，故解得，当时，，当时，，∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满足题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件矛盾，∴.令，解得，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，∵在上单调递减，在上单调递增，且，∴当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，∴．∴，同理．即解得，∴.苏州市2018届高三调研测试答案数学II（附加题）2018．121. 【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题．．．．．．．．．．．．，若多做，．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4-1：几何证明选讲（略）B.选修4-2：矩阵与变换矩阵M的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，∴解得．∴．C.选修4-4：坐标系与参数方程由曲线C的极坐标方程是，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程是y2=2x．由直线l的参数方程(t为参数)，得，∴直线l的普通方程为．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴，∵原点到直线的距离，∴△AOB的面积是．D.选修4-5：不等式选讲（略）22、23.【必做题】每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（1）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP AB，BP⊥AB，∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∵BC⊥平面ABPE，∴为平面ABPE的一个法向量，，设平面PCD的一个法向量为，则即令，则，故，设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为，则，显然，∴平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值．（2）设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设，．由（1）知，平面PCD的一个法向量为，∴，即，解得或（舍去）．当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．22.（1）∵，整理得，由，代入得，，∴．（2）由，，可得．以下用数学归纳法证明：存在实数，，使成立．①当时，显然成立．②当时，假设存在，使得成立，那么，当时，，即当时，存在，使得成立．由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n恒成立．。