吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十)
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( B)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( D)A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.3．下列命题中为真命题的是( A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．5．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.6．“1<x <2”是“x <2”成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．7．若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α； 而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( B )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”； ④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件． 其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数 ∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2， 且a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十八)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十八)一、选择题1．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( A )A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是12解析：“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16； 设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23(或设事件A 为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23)． 2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( D )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( D )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.7解析：由互斥事件概率加法公式知：重量在(40，＋∞)的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.答案：D4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( A )A.310B.15C.110D.112解析：从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310.5．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( D )A．0.45 B．0.67C．0.64 D．0.32解析：摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7 527 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 6 9471 417 4 698 0 371 6 2332 616 8 045 6 0113 6619 597 7 424 7 610 4 281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( D )A．0.852 B．0.819 2 C．0.8 D．0.75解析：20组数据中有5组数据，表示的是击中次数少于3次，7 140,1 417,0 371,6 011,7610，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝34＝0.75，选D.二、填空题7．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.解析：∵A、B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.38．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14159．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B 为互斥事件．所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.答案：1735三、解答题10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1，P B ＋P C ＝512，PC ＋PD ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.11．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率；(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？解：(1)记“他乘火车去开会”为事件A 1，“他乘轮船去开会”为事件A 2，“他乘汽车去开会”为事件A 3，“他乘飞机去开会”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为P ， 则P ＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5， 1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．12．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率． 解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X ) ＝800X －39 000.当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.[热点预测]13．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知得Y＝2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为3 10 .。
吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数基础训练A组 新人教A版必修4
吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数基础训练A 组 新人教A版必修4金牌教研中心高中数学训练题根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。
欢迎使用本资料!（数学4必修）第一章 三角函数（上） [基础训练A 组] 一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-； ③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A.43-B.34-C.43D.34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在 二、填空题子曰：学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________。
3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。
4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(七)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(七)一、选择题1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( B )解析：由①图可知此函数为奇函数，且单调递增，结合选项对应的函数应为y ＝x 3，由②图可知，此函数为偶函数且过原点，结合选项对应的函数为y ＝x 2，由③图知，函数的定义域为[0，＋∞)，单调递增，由④图知，为奇函数，定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，所以选B.2．已知函数f (x )＝x －2，则( C ) A ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调增 B ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调增 C ．f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上单调减 D ．f (x )为奇函数且在(0，＋∞)上单调减解析：∵f (－x )＝(－x )－2＝x －2＝f (x )且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (x )为偶函数，又f ′(x )＝－2x －3，当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故选C.3．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( D )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析：由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c .4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( D )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0, f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.5．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f 解得－235≤a ≤1.6．函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( C )A ．a >23 B.12<a <32 C ．a >12 D ．a <12解析：f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.故选C.二、填空题7．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝2\1x，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是______．解析：分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象，如图所示． 可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )8．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．解析：当m ＝1时， f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点(14，0)．当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0， 即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0. ∴m 的取值的集合为{－3,0,1}． 答案：{－3,0,1}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：34三、解答题10．如果幂函数f (x )＝ (p ∈Z )是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ，∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．(2013·宁德质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数，且f (－1)＝－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )＋(2－k )x 在区间[－2,2]上单调递减，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1为偶函数， ∴对称轴x ＝－b2a ＝0，得b ＝0.由f (－1)＝a ＋1＝－1，得a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 2＋1.(2)g (x )＝－2x 2＋(2－k )x ＋1∵抛物线g (x )的开口向下，对称轴x ＝2－k4，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－k 4，＋∞上单调递减．依题意可得2－k4≤－2，解得k ≥10.∴实数k 的取值范围为[10，＋∞)．12．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间 [－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此， f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．[热点预测]13．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足下列条件： ①当x ∈R 时， f (x )的最小值为0，且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x )≤2|x －1|＋1恒成立． (1)求f (1)的值；(2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m >1)，使得存在实数t ，当x ∈[1，m ]时， f (x ＋t )≤x 恒成立． 解：(1)在②中令x ＝1，有1≤f (1)≤1.故f (1)＝1.(2)由①知二次函数的图象关于直线x ＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f (x )＝a (x ＋1)2(a >0)．因为f (1)＝1，所以a ＝14，所以f (x )＝14(x ＋1)2.(3)f (x )＝14(x ＋1)2的图象开口向上，而y ＝f (x ＋t )的图象是由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|t |个单位得到的，要在区间[1，m ]上使得y ＝f (x ＋t )的图象在y ＝x 的图象下方，且m 最大，则1和m 应当是方程14(x＋t ＋1)2＝x 的两个根．令x ＝1代入方程，得t ＝0或－4.当t ＝0时，方程的解为x 1＝x 2＝1(这与m >1矛盾，舍去)； 当t ＝－4时，方程的解为x 1＝1，x 2＝9，所以m ＝9.又当t ＝－4时，对任意x ∈[1,9]，y ＝f (x －4)－x ＝14(x －3)2－x ＝14(x 2－10x ＋9)＝14(x－5)2－4≤0，即f (x －4)≤x 恒成立．所以最大的实数m 为9.。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十六)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十六)一、填空题1．不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立的实数a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ， －2≤x ≤－13，－1<x ≤1，可知y ＝f (x )的最大值为5，所以a ≥5.答案：[5，＋∞)2．已知不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2. 答案：a ≥23．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．解析：不等式可化为|x －1|＋|x ＋2|<4，令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1 x <－23 －2≤x ≤12x ＋1 x >1，则f (x )<4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 4．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 x <－2x ＋2 －3≤x4 x 易得f (x )，在R 上的最大值为4，故只需a 2－3a ≥4即可．解得a ≤－1或a ≥4.答案：a ≤－1或a ≥45．若不等式|x ＋2|＋|x －3|≥a ＋4a －1对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a <1时a ＋4a －1<0，故此时不等式恒成立；由绝对值的几何意义可推知|x ＋2|＋|x －3|的最小值为5，故当a ＋4a －1≤5时，a ＝3时不等式恒成立，综上所述，a ＝3或a <1. 答案：a ＝3或a <16．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1对一切非零实数x 均成立，记实数m 的取值范围为M ，已知集合A＝{x |x ∈M }，集合B ＝{x ∈R |x 2－x －6<0}，则集合A ∩B ＝________.解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥|m －2|＋1恒成立得|m －2|≤3，解得－1≤m ≤5，故A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－2<x <3}，故A ∩B ＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}7．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，则3a ＋4b ＋5c 的最大值为________． 解析：由柯西不等式，得3a ＋4b ＋5c ≤ a 2＋b 2＋c 2·32＋42＋52＝10 2. 答案：10 28．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．解析：a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，|x －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min， |a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3.答案：－1≤x ≤3 二、解答题9．已知不等式|x ＋2|＋|x －m |≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求实数m 的值；(2)若a 2＋2b 2＋3c 2＝m ，求a ＋2b ＋3c 的取值范围．解：(1)依题意，当x ＝1时不等式成立，所以3＋|1－m |≤3，解得m ＝1， 经检验，m ＝1符合题意．(2)由(1)知a 2＋2b 2＋3c 2＝1.根据柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )2≤(12＋(2)2＋(3)2)[a 2＋(2b )2＋(3c )2]＝6， 所以－6≤a ＋2b ＋3c ≤ 6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝66时，取得最大值6，a ＝b ＝c ＝－66时，取得最小值－6，因此a ＋2b ＋3c 的取值范围是[]－6，6.10．已知函数f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )． (1)当a ＝4时，求函数f (x )的定义域；(2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≥2成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－4)， |2x －1|＋|x ＋2|－4>0.当x <－2时，－(2x －1)－(x ＋2)－4>0， ∴x <－53.即x <－2.当－2≤x ≤12时，－(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x <－1.即－2≤x <－1.当x >12时，(2x －1)＋(x ＋2)－4>0，∴x >1.即x >1.综上所述，函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)由题意得log 2(|2x －1|＋|x ＋2|－a )≥2＝log 24恒成立， 即|2x －1|＋|x ＋2|－a ≥4， ∴|2x －1|＋|x ＋2|－4≥a 恒成立， 令g (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －5，x <－2，－x －1，－2≤x ≤12，3x －3，x >12.显然x ＝12时，g (x )取得最小值－32，∴a ≤－32.11．已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －2＋2x －2>3解得x >73，⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <22－x ＋2x －2>3解得x ∈Ø ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＋2－2x >3解得x <13.不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. (2)a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤2－x ＋2a －2，2<x <a ；3x －2－2a ，x ≥aa ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6，x ≤23x －6，x >2；a <2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤a x －2a ＋2，a <x <23x －2－2a ，x ≥2；∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )；则⎩⎪⎨⎪⎧faf ，解得a ≤1或a ≥3.12．设函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>2；(2)若关于x 的不等式a 2－2a ≤f (x )解集是空集，求a 的取值范围．解：(1)由|x －2|－|x ＋1|>2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3>2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－3>2解得x <－12，即解集为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)∵a 2－2a ≤f (x )的解集为空集，∴a 2－2a >f (x )max ， 而f (x )＝|x －2|－|x ＋1|≤|(x －2)－(x ＋1)|＝3， ∴a 2－2a >3，即a >3或a <－1. 13．已知函数f (x )＝|x ＋a |.(1)当a ＝－1时，求不等式f (x )≥|x ＋1|＋1的解集；(2)若不等式f (x )＋f (－x )<2存在实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝－1时， f (x )＝|x －1|≥|x ＋1|＋1， 即：|x －1|－|x ＋1|≥1，x ≤－1时，－x ＋1＋x ＋1≥1，∴x ≤－1；－1≤x ≤1时，－x ＋1－x －1≥1，∴－1≤x ≤－12；x ≥1时，x －1－x －1≥1，无解．∴x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. (2)f (x )＋f (－x )＝|x ＋a |＋|－x ＋a |≥|(x ＋a )＋(－x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |≤f (x )＋f (－x )<2，∴－1<a <1. 14．设f (x )＝|x －3|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤2；(2)若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x <31，3≤x ≤42x －7，x >4，作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为52和92，由图象知不等式f (x )≤2的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，92.(2)函数 y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在满足题意的x .由图象知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [热点预测]15．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十三)一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( D ) A ．2 3 B ．2 C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离是d ＝2－02＝1，选D.2．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.3．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( B )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( C ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.5．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( C )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12 解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝66．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( C )A.22B. 2C.322D ．2 2解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 二、填空题7．抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l 过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB |＝1，即2p ＝1，∴y 2＝x . 答案：y 2＝x8．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x 2＝2py ，过(2，－2)点得p ＝－1，∴x 2＝－2y ，水面下降2米得y ＝－4， 解得x ＝±22，∴水面宽4 2. 答案：4 29．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十)一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈RD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( D )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋k π，φ＝k π－56π，k ∈Z ，所以选D.3．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )解析：把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝cos x ＋1，然后向左平移1个单位得到y ＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y ＝cos(x ＋1)其对应的图象为A.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( A )A ．－23B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝A sinθ＝-23.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－A sin θ＝23，选A.5．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( B )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋13 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －13解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.6．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( A )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故选A.7．已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( D ) A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2π B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ， f (x )·g (x )＝12sin2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C错．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x . 其中正确的是( C )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π，∴ω＝2,2×712π＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3，k ∈Z .f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f x 还在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 二、填空题9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2 又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1， ∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3三、解答题12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4 2k π＋π12<2x <2k π＋712π，k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x <k π＋724π，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3. [热点预测]14．(1)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( D )A ．ω＝8，φ＝π2B ．ω＝8，φ＝－π2C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( D )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3解析：(1)若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x ＝π4时取得最大值．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D.(2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，∴f (1)＝－ 3. 答案：(1)D (2)D。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十二)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十二)一、选择题1．设双曲线y 29－x 2a2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率为( B )A.54B.53C.74D.7解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，故选B. 2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( B )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.3．已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化解析：如图，对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )， 而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B.4．斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( D )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知b a>3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2.5．圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( D )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，若此曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以离心率为e ＝2c 2a ＝3x 6x ＝12，若此曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，此时离心率e ＝2c 2a ＝3x 2x ＝32，故选D.6．如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝ca＝23－1＝3＋1，选B.7．已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( B )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OG OP ＝OA OF 1＝ac＝13得e ＝ca＝3，故选B. 二、填空题8．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：由已知可得，|PF 1|＝2c cos 30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin 30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝ca＝23－1＝3＋1. 答案：3＋19．已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为________． 解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y＝±b ax ＝±2x .答案：y ＝±2x10．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：4411．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，根据双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝2a 所以|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，则△ABF 1为等腰直角三角形，所以|AB |＝|BF 1|＝2 2.所以S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4 三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为6；(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为 8x 2－y 2＝8. ①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1·x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是 |AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝－199. 由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1.故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列． [热点预测]14．(1)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，则∠AFB ＝( B )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°(2)F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( B )A ．2 B.7 C.13 D.15解析：(1)双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，由题可得右图，所以∠AFB ＝60°.(2画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a＝7，故选B.。
吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数上
吉林省延吉市金牌教育中心高中数学 第一章 三角函数上基础训练B 组 新人教A 版必修41．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）A ．34B ．34-C ．34±D ．32．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ）A ．{}3,1,0,1-B ．{}3,0,1-C ．{}3,1-D ．{}1,1-3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21m m- B ．21m m--C ．21m m-±D ． m m 21-±5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）．A ．2B ．2-C ．2-或2D ．06．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）．A ．231+-B ．231+- C ．231- D ．231+ 二、填空题1．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____。
2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________。
3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角。
4．与02002-终边相同的最大负角是_______________。
5．化简：00000360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________。
三、解答题1．已知,9090,90900<<-<<-βα求2βα-的范围。
2．已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值。
吉林省延吉市金牌教育中心高中数学第一章三角函数上基础训练C组新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数上基础训练C 组 新人教A 版必修4一、选择题1．化简0sin 600的值是（ ）A ．0.5B ．0.5-C ．32D ．32-2．若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---xxa ax x a x x a的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．若⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα，则αsin log 33等于（ ）A ．αsinB ．αsin 1C ．αsin -D ．αcos 1-4．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2， 那么这个圆心角所对的弧长为（ ）A ．5.0sin 1B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.55．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ） A.若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B.若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C.若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D.若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 6．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ， 则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 二、填空题子曰：温故而知新，可以为师矣。
1．已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重合，αααsin 1tan 1cos -+的值为_____________．2．若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则2βα-是第 象限的角.3．在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源， 射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为0120，若要光源 恰好照亮整个广场，则其高应为_______m (精确到0.1m )4．如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第 象限。
5．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A I =_______________________________________。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十)一、选择题1．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为k ＝1时，直线为x －y ＋1＝0，则圆心到直线的距离d ＝12<1，即相交；反之，若直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|k |2<1，得k ∈(－2，2)，故选A.2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( D ) A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22因此根据三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 3．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( D )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解析：将两圆方程分别化为标准式 圆C 1：(x －m ) 2＋y 2＝4圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9，则|C 1C 2|＝m ＋2＋m 2＝2m 2＋2m ＋1> 2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3 ∴两圆相离．4．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( C ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3]D ．[1－22，3]解析：曲线y ＝3－4x －x 2表示圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y ＝x ＋b 经过点(0,3)时，b 取最大值3，当直线与半圆相切时，b 取最小值，由|2－3＋b |2＝2⇒b ＝1－22或1＋22(舍)，故b min＝1－22，b 的取值范围为[1－22，3]．5．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( A )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.故选A.6．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( A )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析：计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.二、填空题7．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析：显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝08．若直线y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，则实数k ＝________.解析：△AOB 为等腰三角形，∠AOB ＝60°，所以|AB |＝1，圆心到直线的距离d ＝32即1k 2＋1＝32，解得k ＝±33.答案：±339．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 230 三、解答题10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为 (0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解：已知圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，如图所示．可设光线l 所在直线方程为y －3＝k(x ＋3)，∵直线l 与圆C ′相切，∴圆心C ′(2，－2)到直线l 的距离d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1， 解得k ＝－34或k ＝－43.∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0②联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b ＋，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.[热点预测]13．(1)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|O A →＋O B →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6(2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2(3)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦长为2，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为________．解析：(1)由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.(2)圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k >0，即k ＝2.(3)∵直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，1n ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，而直线与圆相交所得的弦长为2，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝r 2－12＝4－1＝3， 即圆心到直线的距离d ＝|－1|m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13；∵三角形的面积为S ＝121m ·1n ＝12|mn |，又S ＝12|mn |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |＝66时取等号，故最小值为3. 答案：(1)C (2)D (3)3。