二次函数的应用1-2
二次函数的应用
二次函数的应用在数学中，二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数是一种常见且重要的函数类型，在实际生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的应用，并通过具体的实例来说明其在不同领域中的作用。
一、二次函数在物理学中的应用二次函数在物理学中常常用于描述运动的轨迹、抛物线的形状以及力学的相关问题。
例如，当一个物体在空中自由落体时，其下落的高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从高度为h的位置自由落下，忽略空气阻力的影响，记时间为t，则物体的高度可以表示为h = -gt^2 + vt + h0，其中g是重力加速度，v是物体的初速度，h0是物体的初始位置。
该二次函数描述了物体下落的抛物线轨迹。
二、二次函数在经济学中的应用二次函数在经济学中的应用非常广泛，可以用于描述成本、收益、利润等与产量或销量之间的关系。
例如，对于某个企业而言，其生产的产品的总成本可以由二次函数表示。
假设该企业的总成本C与产量x之间的关系可以表示为C = a'x^2 + b'x + c'，其中a'、b'、c'为常数。
该二次函数描述了生产成本随着产量的增加而递增的曲线，对企业的经营决策具有重要的参考意义。
三、二次函数在工程学中的应用在工程学中，二次函数常常用于描述曲线的形状以及材料的弯曲变形。
例如，对于一座桥梁而言，其横截面的弯曲变形可以用二次函数来表示。
假设桥梁横截面的变形高度与距离之间的关系可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中y表示高度，x表示距离。
该二次函数描述了桥梁横截面弯曲变形的形状，对于设计和构建安全的桥梁至关重要。
四、二次函数在生物学中的应用在生物学研究中，二次函数常常用于描述某些生物过程的增长或衰减。
例如，某种细菌的数量随着时间的推移而增长，其增长过程可以用二次函数来描述。
假设细菌数量与时间之间的关系可以表示为N = at^2 + bt + c，其中N表示细菌数量，t表示时间。
二次函数的实际应用问题解题技巧
二次函数的实际应用问题解题技巧二次函数是一种在数学中非常重要的函数,它在各个领域都有广泛的应用,比如物理、工程、经济学等等。
本文将介绍二次函数的一些实际应用问题解题技巧,以及如何在实际问题中应用这些技巧。
正文:1. 二次函数的实际应用问题二次函数在数学中主要用于描述抛物线、双曲线等曲线的情况。
在各个领域,二次函数都有广泛的应用,下面列举几个例子:- 物理学:在物理学中,二次函数主要用于描述质点的运动轨迹,如牛顿第二定律、万有引力定律等。
- 工程学:在工程学中,二次函数主要用于描述机械、电气、建筑等领域中的问题,如压力、张力、电流等。
- 经济学:在经济学中,二次函数主要用于描述供求关系、价格变化等。
例如,抛物线可以用来描述通货膨胀率的变化。
2. 二次函数的解题技巧在实际问题中,我们需要用到二次函数的一些基本性质和解题技巧,下面列举一些常见的解题技巧:- 求抛物线与x轴的交点:通过用x=0和x=抛物线顶点式来求解。
- 求抛物线的对称轴:通过用y=-b/2a来求解,其中a和b是二次函数的系数。
- 求二次函数的极值:通过用抛物线的对称轴和x轴的交点来求解。
- 求二次函数的图像形状:通过用抛物线的顶点坐标和参数方程来求解。
3. 拓展除了上述技巧,我们还可以利用二次函数的一些特殊性质来解决实际问题。
例如,我们可以通过用二次函数的对称性来解决实际问题,如求解一个二次函数的极值、图像形状等。
此外,我们还可以利用二次函数的性质来解决实际问题,如求解一个二次函数的方程、求抛物线的解析式等。
二次函数在数学中有着广泛的应用,而且在实际问题中,我们需要用到二次函数的基本性质和解题技巧来解决实际问题。
掌握这些技巧,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数在几个常见领域的具体应用，包括物理学、经济学和工程学等。
一、物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，二次函数被广泛应用于自由落体运动的描述中。
自由落体运动是指在只受重力作用下的物体运动。
根据质点在自由落体运动中的运动方程可知，物体的落地时间t与物体下落高度h之间存在二次函数的关系。
这种关系可以用二次函数公式f(t) = -gt^2 + h 来表示，其中g为重力加速度。
2. 弹性力学在弹性力学中，二次函数常被用来描述弹性体的变形情况。
例如，当一个弹簧受力拉伸或压缩时，其长度与施加在它上面的力之间存在二次函数的关系。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = kx^2 来表示，其中k为弹簧的弹性系数。
二、经济学中的应用1. 成本和产量关系在经济学中，二次函数被广泛应用于成本和产量之间的关系模型中。
例如，在某产品的生产过程中，成本通常与产量呈二次函数的关系。
随着产量的增加，成本会逐渐增加，但增速逐渐减缓。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。
2. 市场需求二次函数在经济学中还常被用来描述市场需求的变化情况。
例如，对于某个产品的需求量与其价格之间一般存在倒U型的关系，即需求量随着价格的升高或降低逐渐减少。
这种关系可以用二次函数公式f(x) = ax^2 + bx + c 来表示，其中a、b和c为常数。
三、工程学中的应用1. 抛物线型拱桥在工程学中，二次函数被广泛应用于抛物线型拱桥的设计与建造中。
抛物线型拱桥由一段段的抛物线组成，而抛物线正是二次函数的图像。
通过使用二次函数来描述拱桥的形状，工程师可以更好地控制拱桥的承重和稳定性。
2. 圆环轨道设计二次函数还可以用来设计圆环轨道。
例如，在某高速铁路项目中，为了确保列车的平稳运行和最佳速度分布，工程师使用了二次函数来设计轨道的曲率。
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用
二次函数是一种常见的数学函数，它在我们的生活和工作中有许多应用。
以下是二次函数在生活中的几个应用：
1. 抛物线运动
当一个物体以一定的初速度开始运动，并且受到重力的影响而向下运动时，它的运动轨迹就是一条抛物线。
这个运动过程可以用二次函数来描述。
例如，当你抛出一颗球时，它的高度会随着时间的推移而不断降低，形成一条抛物线。
2. 建筑设计
在建筑设计中，二次函数可以用来描述建筑物的结构和形状。
例如，在建造一座拱形桥时，设计师需要使用二次函数来确定桥的最高点和曲线的形状。
3. 经济学
在经济学中，二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
例如，当一家企业决定生产某种产品时，它需要考虑生产成本和销售收益之间的平衡点，这个平衡点可以用二次函数来计算。
4. 电子技术
在电子技术中，二次函数可以用来描述电路中的电压和电流之间的关系。
例如，在设计一条放大电路时，工程师需要使用二次函数来确定电路的增益和频率响应。
总之，二次函数在我们的生活和工作中有许多应用，这些应用涉及到不同的领域，包括物理学、工程学、经济学和电子技术等。
熟练
掌握二次函数的概念和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的应用(1)利润问题高品质版
何时获得最大利润
问题一：某商场销售一批衬衫，平均每天 可以售出20件， 每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果 每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件。求每 件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 问题二：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售 出时，能卖出500个.商场想采用提高售价的方法来增加利 润。已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，为赚得最 大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
总利润=单利数量
单利=售价- 进价
请想一想:（1）问题解决的过程 是怎样的? （2）是否售价越高或越低，利润越小?
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵 就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平 均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
(4)种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ (5)增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
练 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是 习 2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下 1 关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是
若你是商店经理,你需要多长时间定出这 个销售单价?
作业
P26练习第2 题,P34第10题
谢谢大家，再会!
结束寄语
•生活是数学的源泉.
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
二次函数在物理学中的应用
二次函数在物理学中的应用二次函数是一种常见的数学模型，在物理学中有着广泛的应用。
本文将从物理学角度出发，探讨二次函数在物理学中的应用，并举例说明其在力学、光学和电磁学等领域的运用。
一、力学中的二次函数应用1. 自由落体运动的模拟在力学中，自由落体运动是一个常见的研究课题。
对于一个自由下落的物体，其位置随时间变化的关系可以通过二次函数来描述。
假设某物体从高处自由下落，重力加速度为g，则其位置可以由二次函数h(t) = gt^2/2表示，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间。
2. 弹簧振动的分析弹簧振动是力学中另一个重要的课题。
弹簧的伸长或缩短的长度与作用力之间的关系可以用二次函数来表示。
假设k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的位移，则作用力可以由二次函数F(x) = -kx^2表示，其中负号表示弹簧的恢复力方向与位移方向相反。
二、光学中的二次函数应用1. 球面镜成像在光学中，球面镜成像是一个重要的研究内容。
球面镜成像的关键是确定物距、像距和焦距之间的关系。
对于凸透镜和凹透镜而言，物距和像距之间的关系可以通过二次函数来表示。
以凸透镜为例，根据薄透镜公式，可以得到1/f = 1/v - 1/u，其中f为焦距，v为像距，u为物距。
2. 光的折射光的折射是光学中另一个重要的现象。
光线在从一种介质进入另一种介质时，会发生折射。
根据斯涅尔定律，光线的折射角与入射角之间满足一个二次函数的关系。
可以利用二次函数来描述光的折射现象，在光学计算中起到重要的作用。
三、电磁学中的二次函数应用1. 电荷分布的电势能在电磁学中，电势能是一个重要的概念。
对于某个电荷分布在空间中的情况，其电势能可以用二次函数来表示。
根据库仑定律，电势能与电荷之间的关系可以表示为U = kQ^2/r，其中U表示电势能，k为比例常数，Q为电荷量，r为距离。
2. 振荡电路的电流变化振荡电路是电磁学中常见的电路形式。
振荡电路中电流的大小是随时间变化的，而其变化可以用二次函数来描述。
二次函数的实际应用总结
二次函数的实际应用总结二次函数是高中数学中重要的一类函数。
它具有形如y=ax^2+bx+c的特点，其中a、b、c是实数且a不等于0。
二次函数有许多实际应用，涉及到物理、经济和生活中的各种问题。
本文将总结几个二次函数的实际应用。
一、物体自由落体物体自由落体是一个常见的物理问题，可以用二次函数来描述。
当一物体从高处自由落下时，它的高度与时间之间的关系可以由二次函数表示。
设物体自由落下的高度为H（米），时间为t（秒），重力加速度为g（9.8米/秒²），则有公式H = -gt²/2。
其中负号表示高度的减小，因为物体向下运动。
通过这个二次函数，我们可以计算物体在不同时间下的高度，进而研究物体的运动规律。
例如，我们可以计算物体自由落地所需的时间，或者计算物体在某个时间点的高度。
这在工程设计和物理实验中具有重要意义，帮助我们预测和控制物体的运动。
二、开口向上/向下的抛物线二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于开口向上的抛物线，我们可以将其应用到生活中的一些情景。
比如，一个喷泉的水柱，水流高度与时间之间的变化可以用开口向上的二次函数来描述。
同样，开口向下的抛物线也有实际应用。
例如，一个弹簧的变形量与受力之间的关系常常是开口向下的二次函数。
通过了解抛物线的性质和方程，我们可以更好地理解和解决与之相关的问题。
三、经济学中的应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。
例如，成本函数和收入函数常常是二次函数。
企业的成本与产量之间的关系可以用二次函数来刻画。
同样，市场需求和供给也可以用二次函数来表达。
在经济学中，研究成本、收入、需求和供给的函数对于决策和市场分析至关重要。
通过对二次函数的运用，我们可以计算某一产量下的成本和收入，并了解市场价格的影响因素。
这有助于企业决策和经济政策的制定。
四、其他实际应用除了以上提到的应用，二次函数还可以用于建模和预测其他实际问题。
二次函数的应用讲义
22.3 二次函数的应用（1）——A班级____________ 姓名____________ 学号__________热身练习：（1）在一次羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线c bx x y ++-=241的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m. 那么这条抛物线的解析式是（ ）(A)143412++-=x x y (B)143412-+-=x x y(C)143412+--=x x y (D)143412---=x x y（2）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球距地面的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为3)4(1212+--=x y ，由此可知铅球推出的最大高度是_______m ，落地时的水平距离是_______m.（3）小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21001v s =，一辆小汽车速度为100km/h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车______有危险（填“会”或“不会”）.（4）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h （m ）与时间t （s ）的关系可以用公式1015052++-=t t h 表示，则发射后经过_______s ，火箭达到它的最高点.（5）如图所示为一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y =ax 2+bx 。
小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需________秒.例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重叠于上底面上一点）。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的二次函数应用场景。
1. 物理学中的自由落体运动自由落体是物理学中常见的运动形式，它的运动规律可以用二次函数来描述。
当一个物体在重力作用下自由下落时，其位移和时间的关系可以通过二次函数来表示。
假设物体的下落轨迹为 y = -4.9t^2 + v0t + h0，其中 t 表示时间，v0 表示初始速度，h0 表示初始高度。
通过二次函数的图像，我们可以计算物体的落地时间、最大高度等物理量，进一步分析自由落体运动的特性。
2. 金融学中的收益率曲线在金融学中，收益率曲线常用来描述不同期限的债券收益率之间的关系。
假设某个债券的收益率与到期期限的关系可以用二次函数表示，那么我们可以通过该二次函数的图像来预测不同期限的债券的收益率。
另外，通过对收益率曲线进行分析，可以评估利率的变动趋势、市场风险等重要的金融指标。
3. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述企业生产成本与产量之间关系的数学函数。
对于某些生产过程，成本函数常常具有二次函数的形式。
例如，某企业的总成本可以表示为 C(q) = aq^2 + bq + c，其中 q 表示产量，a、b、c 是常数。
通过分析该二次函数，可以找到最小成本对应的产量，从而在生产决策中进行合理的成本控制。
4. 工程学中的抛物线天桥设计在工程设计中，抛物线天桥是一种常见的设计形式。
抛物线为二次函数的图像，因此可以通过二次函数来描述天桥的形状和结构。
工程师可以利用二次函数的性质来计算天桥的高度、跨度等参数，确保天桥的结构稳定性和安全性。
总结起来，二次函数的应用十分广泛，涵盖了物理学、金融学、经济学、工程学等多个领域。
通过对二次函数图像的分析和计算，我们可以探索和解决实际问题，提高问题的解决效率和准确性。
二次函数在生活中的运用
二次函数在生活中的运用二次函数是一个具有形式为y=ax^2+bx+c的二次多项式函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
它是数学中一个重要的函数类型，其在现实生活中有许多广泛的应用。
下面将介绍一些二次函数在生活中的运用。
1.物体的自由落体运动：当物体从静止的位置开始自由下落时，其高度与时间的关系可以用二次函数来描述。
根据物体下落的加速度和初速度，我们可以建立二次函数模型来预测物体的高度随时间的变化。
2.弹性力的计算：弹性力是恢复力的一种，其大小与物体偏离平衡位置的距离成正比。
当物体被施加一个力使其偏离平衡位置时，恢复力的大小可以用二次函数描述。
3.抛物线的建模：抛物线是二次函数的图像，它在很多领域中都有应用。
例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶可以提供更好的排水系统。
在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供更好的结构稳定性。
4.投射物体的路径预测：当一个物体以一定的初速度和角度被抛出时，它的轨迹可以用二次函数模型来预测。
例如，在棒球运动中，球员可以通过分析投球的初速度和角度来预测球的落点。
5.音乐乐器的调音：乐器的音高可以通过改变乐器弦的张力来调节。
根据弦的拉紧程度，可以建立一个二次函数模型来描述音高与弦长的关系。
这使得乐器演奏者能够根据需要调整乐器的音高。
6.经济中的成本与产出关系：在经济学中，成本与产出的关系经常可以用二次函数来描述。
例如，生产一定数量的商品所需的成本与产出之间可能存在一个最优点，通过求二次函数的极值，可以确定最大化利润的产量。
7.变量与值的关系：二次函数可以用来描述两个变量之间的关系。
例如，员工的工资与工作经验之间可能存在一个二次函数模型，随着工作经验的增加，工资可能会呈现先上升后下降的趋势。
8.交通流量的模拟：交通流量的变化可以用二次函数来建模。
例如，小时交通流量随时间的变化可能呈现一个钟形曲线，交通高峰期的交通流量较大，而其他时间段的交通流量相对较小。
以上仅列举了二次函数在生活中的一些应用，其中还有许多其他的应用。
一次函数与二次函数的比较与应用
一次函数与二次函数的比较与应用一、引言在数学中，一次函数和二次函数是常见的代数函数类型。
它们在数学应用和实际问题中起着重要的作用。
本文将比较一次函数和二次函数，并探讨它们的应用领域。
二、一次函数概述一次函数又称为一次方程，其一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数，且a不为0。
一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的特点包括线性增长，通常用来表示一元线性关系。
三、二次函数概述二次函数是一个关于变量的二次方程，一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为0。
二次函数的图像为一个抛物线，开口方向取决于a的正负，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的特点包括非线性增长和拥有极值点。
四、一次函数与二次函数的比较1. 增长速度一次函数的增长速度是恒定的，斜率决定了该函数的斜率的大小。
二次函数的增长速度是非恒定的，由于存在平方项，二次函数在x轴两侧的增长速度不同。
2. 极值点一次函数没有极值点。
二次函数的抛物线在开口方向上具有一个极小值或极大值点，称为顶点。
3. 函数图像一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向和斜率。
二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的特点是开口方向、顶点位置和对称轴等。
4. 解析式一次函数的解析式只有两个常数项a和b，可以通过求解方程得到函数的值。
二次函数的解析式有三个常数项a、b和c，通常可通过配方法、求解方程或顶点法来获得函数的值。
五、一次函数与二次函数的应用1. 经济学一次函数和二次函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，成本函数、利润函数、需求函数等可以使用一次函数或二次函数来进行建模和分析。
2. 物理学在物理学中，一次函数和二次函数可以用来描述各种物理量之间的关系。
例如，速度和时间之间的关系可以由一次函数表示，而自由落体高度和时间之间的关系可以由二次函数表示。
3. 工程学在工程学中，一次函数和二次函数常用于建模和解决实际问题。
二次函数的日常应用实例
二次函数的日常应用实例二次函数作为高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍二次函数在现实生活中的几个常见应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 物体运动的轨迹分析二次函数可以描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当一个投掷物体从地面上抛出时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
假设一个物体从地面上以初始速度v向上抛出，重力加速度为g。
物体的高度h 可以用二次函数h(t) = -0.5gt^2 + vt + h_0来表示，其中t表示时间，h_0表示初始高度。
通过解析二次函数，可以分析物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等参数。
2. 抛物线形状的建筑设计在建筑设计中，抛物线形状经常被应用于拱门、扶手、悬臂等结构中。
这些结构的形状可以用二次函数来描述。
通过对二次函数进行合适的平移、缩放和旋转，可以根据设计要求来创建出各种形态的抛物线结构。
抛物线结构不仅具有美观的外观，还具有稳定性和均衡负荷的优势。
3. 经济学中的消费模型在经济学中，二次函数常常被用来建立消费模型，帮助研究者了解人们的消费行为。
例如，假设一个人的收入为x，他的消费支出为y。
那么，他的消费行为可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来模拟。
通过研究二次函数的系数a、b、c，可以分析消费者的倾向、边际消费率以及其对价格变化的敏感度等信息，为企业和政府制定经济政策提供指导。
4. 高精度测量中的误差修正在科学实验和测量中，我们经常需要对测量误差进行修正。
二次函数被广泛应用于误差修正的算法中。
假设我们进行一次测量，得到的结果为y，而真实值为x。
我们可以构建一个二次函数y = ax^2 + bx + c 来表示测量值与真实值之间的关系。
通过测量多组数据并利用最小二乘法求解系数a、b、c，我们可以对测量结果进行校正，提高测量精度。
5. 经典力学中的力学模型二次函数在经典力学中也有重要的应用。
例如，胡克定律描述了弹簧的弹性变形与施加力之间的关系。
二次函数在生活中的应用案例
二次函数在生活中的应用案例1. 游艺项目中的过山车设计过山车是一个经典的游艺项目，其设计中应用了二次函数的概念。
在过山车的设计中，设计师需要考虑到乘客的体验和安全。
二次函数可以描述过山车的轨道曲线，使乘客在高速行驶和兴奋的同时，保持相对平稳和安全的感觉。
通过调整二次函数的参数，如抛物线的开口方向、高度、曲率等，设计师可以创造出令人惊险刺激又相对安全的过山车体验。
2. 投掷运动中的球的抛物线轨迹在投掷运动中，例如投掷物体或运动员抛投物体，物体在空中的轨迹可以被二次函数描述。
球类运动如篮球、足球、棒球等的投掷和弹射过程，都可以用二次函数模型来描述球的运动轨迹。
运动员和教练可以利用二次函数模型来预测球的飞行轨迹和最佳投掷角度，从而提高命中率和战术效果。
3. 桥梁和建筑物设计在桥梁和建筑物的设计过程中，对于拱形和弧形结构的设计，也是利用了二次函数的概念。
二次函数可以描述建筑物和桥梁的曲线形状，使得结构既具有美观性，又具备一定的坚固和稳定性。
例如，拱桥和拱门的设计中，二次函数模型可以帮助工程师确定合适的拱形曲线，以及正确的弧度和支撑结构，从而确保桥梁的结构稳定和承载能力。
4. 金融领域的货币供给和通货膨胀模型二次函数在金融领域中也有广泛的应用。
例如，货币供给和通货膨胀模型可以使用二次函数来描述。
在经济学中，通过调整二次函数的参数，如货币供应量和通货膨胀率之间的关系，可以预测未来经济的走势和市场表现。
政府和央行可以据此采取相应的货币政策，以维持经济的稳定和平衡。
5. 自然界中的抛物线曲线在自然界中，许多自然现象的运动轨迹也可以用二次函数来描述。
例如，抛物线轨迹可以在大多数情况下模拟自然界中物体的运动。
比如，自由落体下的物体、喷泉中水的喷射、炮弹的轨迹等都可以使用二次函数模型来描述其运动状态。
通过利用二次函数，我们可以更好地理解和解释自然界中的规律和现象。
总结：二次函数在生活中的应用案例非常广泛。
从游艺项目的过山车设计到金融领域的经济模型，从投掷运动的球的抛物线轨迹到桥梁和建筑物的设计，二次函数都发挥着重要的作用。
二次函数应用知识点总结
二次函数应用知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容，学好二次函数的应用是解决实际问题的关键。
以下是二次函数应用知识点的总结：1. 二次函数的概念和性质- 二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
- 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于 $a$ 的正负性。
- 抛物线的对称轴是一个过抛物线顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
- 二次函数的最值可以通过求解方程$\frac{{-b}}{{2a}}$ 得到。
2. 抛物线的方程和图像- 二次函数的图像称为抛物线，其形状和位置可以通过函数的系数进行调整。
- 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最小值点。
- 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，顶点是最大值点。
- 通过变换和平移可以将标准形式的抛物线方程转化为一般形式。
3. 抛物线的顶点和轴- 抛物线的顶点是抛物线的最值点，其 $x$ 坐标为 $-\frac{b}{2a}$，$y$ 坐标可以通过代入得到。
- 抛物线的轴对称线是过顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
4. 抛物线的焦点和准线- 抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比保持不变的点。
- 抛物线的准线是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比为1的直线。
5. 解决实际问题- 在解决实际问题中，抛物线的应用非常广泛。
例如，可以利用二次函数模型解决抛物线的最值问题、时间和距离问题等。
- 在解决问题时，需要将实际问题转化为数学模型，并利用相关知识点解决问题。
以上是二次函数应用知识点的总结。
通过理解和掌握这些知识点，我们能够更好地应用二次函数解决实际问题。
希望这份总结对您有帮助！。
二次函数图像性质与应用
二次函数图像性质与应用二次函数，也叫做一元二次方程，是中学数学中非常重要的一门知识。
它的图像是一条叫做抛物线的曲线，也广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域。
在这篇文章中，我将会介绍二次函数的图像性质以及在现实生活中的应用。
一、二次函数的图像性质二次函数是以 x 的二次方作为自变量的函数。
它的一般式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c 都是实数，a 不等于 0。
这个式子是抛物线的标准式，根据 a 的正负可以确定抛物线的形状。
如果 a 大于 0，抛物线开口朝上；如果 a 小于 0，抛物线开口朝下。
除了开口方向，二次函数还有一些其他的图像性质。
以下是一些重要的性质：1、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线。
它过抛物线的顶点，用下面的公式可以求出它的方程：x = -b / 2a2、零点二次函数的零点就是方程 y = 0 的解。
抛物线和 x 轴的交点就是它的零点。
用下面的公式可以求出它的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a如果判别式 b²-4ac 大于 0，那么二次函数就会有两个不同的零点；如果判别式等于 0，那么二次函数有一个二重根；如果判别式小于 0，那么二次函数没有实数解。
3、极值二次函数的极值就是抛物线的顶点。
如果 a 大于 0，那么它的极小值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标是 -b/2a；如果 a 小于 0，那么它的极大值就是 y = c - (b²/4a)，对应的 x 坐标也是 -b/2a。
二、二次函数在现实生活中的应用二次函数在现实生活中的应用非常广泛。
以下是几个例子。
1、建筑设计建筑设计中常常需要使用二次函数。
比如说，建筑师需要设计一个带拱形的门，那么他们会使用二次函数来描述这个门的形状。
不同的二次函数可以绘制出不同形状的门，用于满足客户的设计需求。
2、股市预测股市是一个非常复杂的市场，股票价格每天都有不同的波动。
二次函数的应用一(最值问题)
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
=- 10（x-20）2 +9000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平 均结600个橙子.现准备多种一些橙子树 以提高产量,但是如果多种树,那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均 每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市 场售价约2元，问增种多少棵橙子树， 果园的总产值最高，果园的总产值最高 约为多少？
检验
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
例 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教 师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初 步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状 态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学 生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
二次函数的基本概念与应用
二次函数的基本概念与应用二次函数是一种基本的代数函数，其形式表达为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
本文将介绍二次函数的基本概念以及它在实际应用中的一些常见情境。
一、基本概念1. 零点与轴对称点：在二次函数的图像中，零点是指函数与x轴相交的点，即使得y = 0的x值。
通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，可以找到二次函数的零点。
轴对称点是指函数图像关于某条垂直于x轴的线对称的点，其x坐标为二次函数的顶点横坐标，可以通过求解方程-x轴对称点的x值，找到二次函数的轴对称点。
2. 最值与段落：二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向决定了函数的最值。
当a>0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点处；当a<0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点处。
段落是函数图像的一部分，通常用来指示函数的定义域。
3. 增减性与凹凸性：根据二次函数的导数，可以判断函数在某个区间内的增减性以及凹凸性。
当函数的导数大于0时，函数在该区间内递增；当函数的导数小于0时，函数在该区间内递减。
凹凸性指函数图像的曲率方向，当函数的二阶导数大于0时，函数在该区间内为凹曲线；当函数的二阶导数小于0时，函数在该区间内为凸曲线。
二、应用场景1. 物理学中的抛体运动：在物理学中，二次函数被广泛应用于描述抛体运动的轨迹。
抛体运动是指任何物体在一定初速度和角度下，沿着曲线轨迹运动的现象。
通过将时间作为自变量，重力加速度作为常数，可以建立二次函数来描述抛体运动的轨迹。
2. 经济学中的成本与收益曲线：在经济学中，二次函数被用来模拟成本与收益的关系。
以企业生产为例，成本通常随着产量的增加而增加，但增长速度逐渐减慢。
类似地，收益随着产量的增加而增加，但增长速度逐渐变缓。
通过建立二次函数，可以分析最大化收益或最小化成本的最优产量。
3. 工程学中的建筑设计：在建筑设计中，二次函数被用来描述拱形结构的特点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 ) 答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方 米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 A D ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） B C
二次函数的应用
一、根据已知函数的表达式解决实际 问题：
问题1：
1。 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如 1 图所示的坐标系，其函数的表达式为y= x2 ， 当水位线在 25 AB位 置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ） A、5米 B、6米； y
0 h
C、8米；
y= -3x2
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳 某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高 处距水面32/3米， 入水处距池边的距离为4米，同 时， 运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾 动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解 析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是 （1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时 ，距池边的水平 距离为18/5米，问此次跳水会不会失 误？并通过计算说明理由。
图 26.3.2
做一做一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米， 若水面上张1米，则此时的水面宽MN为多少？ （1）建立适当的直角坐标系(几种建法） （2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式
y 3( x 1)2 3
y=-3x2+3
Y
．B(1,2.25)
(0,1.25) A
O x
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一 个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元， 销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点. 点 A 、 C 的坐标分别 3 是（－1，0）、（0， 2 ）. (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动 点，求△ABP面积的最大值.
2、已知抛物线 与x轴有两个交点. （1）求k的取值范围; （2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点 B的左侧，点D是抛物线的顶点．如果⊿ABD是 等腰直角三角形，求抛物线的解析式; （3）在（2）的条件下．抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三 角形与⊿AOC相似。求点E坐标.
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么
y=(50+x-40)(500-10x)
=-10 x2 +400x+5000 =-10[ （x-20）2 -900] =- 10（x-20）2 +9000
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
几秒后ΔPBQ的面积最大？
P
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
最大面积是多少？
C
Q
B
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大 A AP=2x cm QB=x cm PB=（8-2x ） cm
P
则
y=1/2 x（8-2x） （0<x<4） =-x2 +4x
=-（x2 -4x +4 -4） = -（x - 2）2
y
1m
·B
A 1.25m O
·
A
B (1,2.25)
· ·
2.25m
·
O
(0,1.25)
x
·
CLeabharlann 如图，一次,我们班邓雷同学在距篮下4m处跳起投篮，球 运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达 到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心距地 面3.05m,邓雷同学身高1.7m.若在这次跳投中，球在头顶上 方0.25m处出手，那么 球出手时，他跳离地 A 面的高度是 0.3 米. B
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系 式； （2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销 售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式； （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润 ＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？
小试牛刀
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
问题3二次函数与一元二次方程．一元二次不等式的关系
3 画出 y x x 函数的图象．根据图象 4 回答下列问题． (1)图象与x 轴交点的坐标是什么？ (2)当x 取何值时， y＝0？这里x的取值 3 2 x x 0 与方程 有什么关系? 4
2
(3)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？ (4)能否用含有x的不等式来描述（3）中的问题？
+
4 C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大 最大面积是 4 cm2
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四 边上分别选取E、F、G、H四点，且 AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计， 可使花园面积最大？
D
G
C
解：设花园的面积为y
F
E B
A
6 =-2x2 + 16x （0<x<6）
例 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教 师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初 步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状 态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学 生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系（04黄冈）
t 2 24t 100(0 t 10) y 240 (10 t 20) 7t 380 (20 t 40)
next
如图，在Rt△ABC中，P在斜边上移动， PM⊥BC，PN⊥AC，M、N是垂足，已知 AC=1，AB=2，求：何时矩形的面积最大？ 并求出最大面积。
B
M
P
C
N
A
例2：某高科技发展公司投资500万元,成功研制出 一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入 资金1500万元进行批量生产,已知行产每件产品的 成本为40元,在销售过程中发现:当销售单价定为 100元时,一年的销售量为20万件;销售单价每增加 10元,年销售量就减少1万件.设销售单价为x （元），年销售量为y（万件），年获利（年获利 =处销售额－生产成本－投资）为z（万元）。 （2003 湖北） （3）计算销售单价为 160元时的年获利， （4）公司计划：在第一年按年获利最大确 并说明同样的年获利，销售单价还可以定 定的销售单价，进行销售；第二年年获利 为多少元？相应的年销售量分别为多少万 不低于 1130 万元，请你借助函数的大致图 件？ 像说明，第二年的销售单价x（元），应确 定在什么范围。
=-2（x-4）2 + 32
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
H
10
所以当x=4时 花园的最大面积为32
谈谈你的学习体会
实际问题
抽象
转化
运用 数学问题 问题的解 数学知识 返回解释 检验
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何 时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能 持续多少分钟？ （3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好， 要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师 能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天， 如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数 量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。 现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养 在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每 千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各 种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定 死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
3、小张在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分(如图)，若命中篮圈
中心，则他与篮底的距离L以及投篮时手离地面的
高度分别是多少？
问题2 建立适当的直角坐标系，求抛物线表达式
一涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现测得水 面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是 多少？是否会超过1 m？
1 2 y x xk 2
如图，某公园一圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安 装一个花形柱子OA, 水流在各方向沿形状相同的抛物线落下. 当水流到与OA距离1米时达到最高点B，点B距离水面2.25米; 其中OA长1.25米，如果不考虑其他因素，那么水池的半径至 少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？