高一数学求函数的值域1
高一数学函数值域方法汇总
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sin x 例10 求函数 y 的值域。 2 cos x
3 3 y . 3 3
பைடு நூலகம்
例11 求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。 分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合 法解之。 解：函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2. 将上式可看成为x轴上点P(x,0)与 A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x y 轴上求作一点P与两定点A,B的距离 之和的最值，利用解析几何的方法 A(1,3) 可求其最小值。 B(-3,2) 如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 o P x 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求， 可证明
解：（1）令t= 3x-1 0,有
1 2 x= (t +1), 3
1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12
3 65 65 t ，ymin , 故y -, . 2 12 12
(2)令x=2cos , 0, , 有y 2cos 2 4 4cos
x y 4 2(cos sin ) 3
2 2 2( cos sin ) 3 2cos( ) 3. 2 2 4
∴(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1
解法2（线性规划）
∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x 并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时， z-4有最大值和最小值。
高一数学求函数值域的方法
高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。
在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。
在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。
所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。
本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。
具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。
方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。
一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。
对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。
需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。
另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。
总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。
高一数学例析求函数值域的方法
例析求函数值域的方法某某黔江新华中学 侯建新求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。
注意：求值域要先求定义域。
虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
例1：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。
例2：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定X 围的代数式。
例3：求函数2211x y x -=+的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，（特殊情况优先原则）∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例4：求y=525+-x x （1≤X ≤3）的值域。
解：y ＝525+-x x ⇒ x ＝1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 （怎么求解？）⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数125x y x -=+的值域。
解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
高一数学 函数的值域(1)教案
江苏省泰州市第二中学 高一数学教案 函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。
教学重点：二次函数值域的求法。
教学过程:一． 问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。
(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。
并求这些函数值构成的集合C 。
(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。
如x ∈R 呢？二． 数学建构用自己的语言说值域的定义。
三． 数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。
问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3： 已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。
（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。
2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。
3．写解。
思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。
四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
高中数学 高一数学 求函数的值域
（1）观察法(用非负数的性质，如：20x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)例如：求下列函数的值域：y=-3x 2+2;{y|y ≥2} 变式：y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}函数y=ax+1 (a ≠0，－1≤x ≤1)的值域是______. （2）直接法：利用常见函数的值域来求，（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； 例如：求值域：y=21x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--变式1：y ＝－x 2＋4x －1 x ∈[-1,3)；变式2：求函数y=34252+-x x 的值域. 变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）；（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞- 变式1：求函数y=3x-x 21-的值域.{y|y ≤23}变式2：21y x =+的值域为_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。
运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；变式3：4y x =+的值域为____（答：4]）； 变式4：函数21x x y --=的值域为____变式5：22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；变式6：sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域为____（答：1[1,2-）； 变式7：求函数)42(5log log 241241≤≤+-=x x x y 的值域（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=例如：求下列函数的值域：y=12++x x ({y|y 1≠}) 变式：函数y =2211xx +-的值域是（ ） A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解法一：y =2211x x +-=212x +－1. ∵1+x 2≥1，∴0＜212x +≤2.∴－1＜y ≤1.解法二：由y =2211x x +-，得x 2=y y +-11.∵x 2≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1.解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π），则y =θθ22tan 1tan 1+-=cos2θ.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B 求函数()3025xy x x -=≥+的值域 求函数122+=x x y 的值域（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.例5 求函数y =432+x x 的最值．[-43,43]变式：22221x x y x x -+=++；[1,5]（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x xy =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）；（9）基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k xkx y ，利用基本不等式公式来求值域； 设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。
高一数学函数的定义域与值域(讲义)(精)
高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。
函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。
（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。
②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。
高一数学函数的值域与最值(教师版)
学科教师辅导讲义11222=，故225)4x x x +=+254x +=+显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了例4、求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内,画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =+++-+的值域。
解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =+++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。
设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。
由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。
当A 、K 、C 三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。
变式练习3：求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值解：()225222++-++=x x x x x f =()()114122++-++x x=()()()()2222101201-++--++x x ，显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y yB 2 B 2C 1 C 1-1 O 1 x -1 O 1 x图1 图2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231时，x R ∈，函数的值域为[1,92212+++x x x 的值域先将此函数化成隐函数的形式得的一元二0)1≥-,解得略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而12y x x =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、求函数22y x x =-++的值域。
高一数学必修一重难点讲解
高中必修一一些重点函数值域求法十一种 (2)复合函数 (9)一、复合函数的概念 (9)二、求复合函数的定义域： (9)复合函数单调性相关定理 (10)函数奇偶性的判定方法 (10)指数函数： (12)幂函数的图像与性质 (15)函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-〔1〕当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ 〔2〕当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-〔1〕 ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数定义域 函数值域高一数学知识点总结
函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。
②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。
3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。
本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。
因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。
2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。
当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。
因此，所求值域为$[-4,12]$。
3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。
由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。
5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。
例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法《新形势下教育管理理论与实践指导全书》函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。
（1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围；（2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；（3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；（4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；（5）单调性法——利用函数的单调性求值域；（6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例1、求下列函数的值域：（直接法）（1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1}解：当x=－1时,y=0当x=0时,y=－3当x=1时,y=－4∴所求值域{0,－3,－4}（2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］解：y=(x－1)2－4当y=－3时,y max=12当x=1时,y min=－4所求值域为［－4，12］（3）y=x2－2x－3，x∈R解：y=(x－1)2－4≥－4∴所求值域为［－4,+∞)可改变x的范围，求函数的值域。
如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞)（4）y=4解：要使原函数有意义,则3+2x－x2≥0－1≤x≤3y=4当x=1时,y min=0当x=－1或3时,y max=4∴所求值域为［0,4］（5）y=25243 x x-+解：y=252(2)3 x x-+=252(1)1x -+ ∵2(x －1)2≥0∴2(x －1)2+1≥1∴0＜212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。
例2、求下列的值域：（1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x+，x ∈［1,3］ （4）y=22436x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞)解：（2）≥0)则x=212t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54当t=12时,y max =54∴所求值域为（－∞, 54］ 解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2当x=3时，y max =103∴所求值域为［2，103］ 解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}方法1：（先化简函数）y=(3)(1)131(3)(2)22x x x x x x x +++==++--- ∵x ≠2 ∴y ≠1 又x ≠3 ∴y ≠312x +--即y ≠25所求值域为{y R ∈|y ≠1且y ≠25} 方法2：（判别式法）由y=22436x x x x +++-得 (y －1)x 2+(y －4)x －3(2y+1)=01°当y=1时，x=－3与定义域中x ≠=－3矛盾，∴y ≠12°当y ≠1时，由△=(5y －2)2≥0得y ∈R ，但y ≠1而当y=25时，求得x=－3不合题意∴y ≠25故所求值域为{y ∈R|y ≠1,且y ≠25} 解：(5)(判别式法)：由y=234x x +得 y ·x 2－3x+4y=01°当y=0时,x=02°当y ≠0时，∵x ∈R ∴△=32－4y ·y ≥0 －34≤y ≤34且y ≠0 综合以上知所求值域为［－34，34］ 注：利用判别式求形如：y=22ax bx c dx ex f++++的值域当化为m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0后，要注意： ①分m(y)=0，及m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才能利用判别式；②在求出y 的取值范围后；要注意“=”能否取到，即检验间断点以及△=0时，y 对应x 是否属于定义域。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1、 已知，试求。
解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。
故得:。
说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。
(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。
（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。
(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。
(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。
【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。
故所求函数得解析式为。
（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。
（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。
（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。
【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。
若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。
高一数学求函数值域的方法仅限高一
仅限高一求函数值域的方法：1、 直接法直接根据函数表达式来求值域，例：y = x 2 , x ∈(2,3)2、 单调性法利用函数的单调性来求值域例：y=x-x 21-;解：定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯-- ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. 3、 图象法利用函数图象来求值域例：y = x 3 x ∈(-2,5)4、 配方法把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求， 例： y=12+-x x 解：∵y=412+-x x 能构成完全平方而y=412+-x x +43 ∴4321y 2+-=）（x ∵x R ∈ ∴值域为y ≥435、 判别式法把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求，例：y=;122+--x x x x解：由y=,122+--x x x x 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 6、 换元法把带根号或者带分式等不容易看出来的式子用一个新元代替了，换完元后，一定要注意新元的范围，根据新元的范围来求值域。
例1：y=x-x 21-;解：令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t - ∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）, ∴y∈（-∞，21］. 例2：y=|x|21x -. 解：∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|, 故函数值域为［0，21］.７、分离常数法适用于分子与分母同样的次幂，最终化成只有分母有x 。
例：y=521+-x x ;解：y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21. 故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}. ８、反求法用ｙ来表达ｘ，适用于ｘ的范围知道，且能用ｙ来表示ｘ。
高一数学函数值域方法汇总
解法2（线性规划）
∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直 线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线 y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C 相切时，z-4有最大值和最小值。
高一数学函数值域方法汇总
求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法 、图像法（数形结合法）、函数的单调 性法以及均值不等式法等。这些方法分 别具有极强的针对性，每一种方法又不 是万能的。要顺利解答求函数值域的问 题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据 特点选择求值域的方法，下面就常见问 题进行总结。
将上式可看成为x轴上点P(x,0)与
A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x
轴上求作一点P与两定点A,B的距离
y
之和的最值，利用解析几何的方法
可求其最小值。
B(-
A(1,3)
如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，
例1 求函数
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题 ，可用配方法或图像法求解。
y
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
3/2
o 1/2
-1
1x
-3/4
例2 求函数
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
高一数学三角函数值域的求法
故值域为 [
3 3 ,0) (0, ] 6 6
发散思维
2.求函数 y
sin x sin x 3
2
的值域.
分析一: 将分子化为常数,使变量集中到分母中,
从而只考虑分母的取值范围,化繁为简.
分析二: 令 t sin x , 则 t 1,1,去分母,变为一
元二次方程根的分布问题,化新为旧.
2
反表示法 数形结合法
反表示法 数形结合法
分离系数法
数形结合法
有界性法 判别式法
根的分布
单调性法
课后思考
2 2 1.求函数 y a sin x 6a cos x 2a (a R)
作业
sin x cos x 的值域. 2.求函数 y 3 2 sin x 2 cos x
的最值.
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
； https:/// 苗疆小说网 ； 2019.1 ；
就在刚刚,它爆炸给予叶甫根尼很大震撼,他知道两个女孩冲的太靠前,心里忧心忡忡.那番,他有看到它两个熟悉的身影,女孩子们还在战斗,顿时一颗悬着的心放下. 叶甫根尼知道队伍的冲锋已经刹不住闸,再者敌人的重炮再次装填有几十秒的间隔,那几十秒只怕就是部队的最后机会.他高呼 着口号,率领后续部队,以身先士卒的姿态奋勇冲锋. 战士们的士气被再次鼓舞,加上狙击手的掩护,冲锋继续. ------------ 第一百零七章 攻占教堂 战士们前赴后继的冲锋,他们势如破竹,已经全然不顾地上横七竖八的碎尸,还有燃烧的火焰. 李桃和娜塔莎趴在伞兵坑里,她们的小心脏还 在急速的跳着,以至于娜塔莎亲自瞄准的时候,狙击镜中的准星都晃动的厉害. 因为双手在下意识的都懂,娜塔莎硬着头皮的射击,弹着点都在敌人掩体的沙袋上. 一发不中,二发不中,到
高一数学讲义函数的值域
函数的值域（学生用）知能点全解：知能点一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。
若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
知能点二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为()()224 044 04ac b y a a ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)首先判定其对称轴2b x a=-与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2b f a-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。
（2）若[],2b m n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。
特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1 分别求函数241y x x =-+在下列区间上的值域：（1）x R ∈ ； （2）[3,4]x ∈； （3）[0,1)x ∈； （4）[0,5]x ∈； （5）(),2x ∈-∞；知能点三：一次分式函数的值域1、反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b+=+的值域： （1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭ （2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by x ay c-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。
高一函数值域的求法
定义法通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考查思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。
今天的学习希望大家就从定义出发，理解函数值域。
先看例题：已知函数2,y x x A =∈，其中{|||2,}A x x x Z =≤∈且则函数的值域是_____若函数24y x x =-的定义域是{|15,}x x x N ≤≤∈则其值域为________求函数||x y x =的值域注意：定义域不是有限集，值域可能是有限集总结：函数值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则共同给确定的,求值域时要注意函数的定义域练习：1. 若f (x )的定义域为[a ,b ],值域为[a ,b ] (a <b ),则称函数f (x )是[a ,b ]上的“四维方军”函数.（1）设213()22g x x x =-+是[1,b]上的“四维方军”函数,求常数b 的值; （2）问是否存在常数a ,b (a >－2)使函数1()2h x x =+是区间[a ,b ]上的“四维方军”函数?若存在,求出a ,b 的值,否则,请说明理由.分离常数法分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。
该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用，今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。
1.函数2211x y x -=+的值域为____2.求函数312x y x +=-的值域 我们发现，如果一个函数形如(0)cx d y a ax b+=≠+，这时可以考虑使用分离常数的方法，来求其值域。
更进一步，如果我们把x 的位置换成一个函数，即()(0)()c f x d y a a f x b ⋅+=≠⋅+还能够使用分离常数的方法么？继续往下看：3.求函数11x x e y e -=+的值域 （先分离常数） 对于形如()(0)()c f x d y a a f x b⋅+=≠⋅+的函数，都可以考虑用分离常数的方法进行求解。
高一数学学习：函数值域
高一数学学习：函数值域一.观看法通过对函数定义域、性质的观看，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨：依照算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，本题通过直截了当观看算术平方根的性质而获解，这种方法关于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域确实是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：明显函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y?y≠1,y∈R｝。
求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y?y1｝)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,能够利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
现在-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y?y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。
(答案：值域为y≤-8或y>0)。