通用逼近定理
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
本科毕业论文题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院：班级：姓名：指导教师：职称：完成日期：年月日Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]bC,中的函a数()xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；测度收敛目录1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3)1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3)1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)1.1.2 闭区间[]ba,上的weierstrass逼近定理 (5)1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6)2 Weierstrass逼近定理的推广 (8)2.1 Weierstrass第二定理 (8)2.2 Weierstrass-Stone定理 (9)2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9)2.4 非连续函数的情形 (10)3 Weierstrass逼近定理的应用 (11)3.1 复合函数的测度收敛定理 (11)3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass 对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass 逼近定理设()[]1,0C x f ∈ ,则存在多项式n n P x p ∈)(,使0)()(max lim 10=-≤≤∞→x p x f n x n .1 Weierstrass 逼近定理的证明1.1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明1.1.1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein 的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩.定义1 设()[]1,0C x f ∈,()x f 的第()1≥n n )个Bernstein 多项式由下式给出:kn k nk n n x x k n n k f x f B f B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑)1();()(0.显见n n P f B ∈)(.引理1 下列恒等式成立:(1)()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , (2)()()010=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑kn k nk x x k n nx k, (3)()()()x nx x x k n nx k k n k nk -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112. 引理2 对任意给定的δ＞0 及10≤≤x ,有()2411δδn x x k n k n k x n k≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑,其中求和号表示对固定的x 满足不等式δ≥-x nk 的k 求和.该引理的意义在于当n 很大时,在和式()kn nk kx x k n -=∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01中,起主要作用的只是满足条件δ<-x nk 的那些k 值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响.证 我们从(1)知()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , 因此两边同时乘以()x f 有()x f =()()kn k nk x x k n x f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10.对任意0>δ,我们有()()x f f B n -≤()()kn k nk x x k n x f n k f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10=()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 +()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1. 由于()x f 在x 处连续,对任给0>ε,存在0>δ,使得 当δ<-x n k 时,()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f ,故第一个和式()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f nk f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ε≤()kn k x n kx x k n -<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ ε≤()kn k nk x x k n -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10ε=.又由()x f 在[]1,0上连续,所以存在M >0,使得()()M x f n k f x f n k f ≤+⎪⎭⎫⎝⎛≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛.故由引理2,第二个和()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ≤()∑≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k kn k x x n k M124δn M ≤.因此,对任何0>ε,先取0>δ,使得当δ<-x nk 时，()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f然后固定δ,再取n 充分大,就有()()ε2<-x f f B n .注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到()x f 在x 处连续,对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界.因此有Bernstein 定理 ：设()x f 在[]1,0上有界,则()()x f f B n n =∞→lim 在任何()x f 的连续点[]1,0∈x 成立.如果()[]1,0C x f ∈,则极限在[]1,0上一致成立.注(1)若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f ", 则()()()()()nn x x nx f x f f B n ρ+-''+=12,其中()()∞→→n n 0ρ.(2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f ',则()x B n '一致收敛于()x f '.(3) 设()[]1,0C x f ∈,那么()()()()x ff B p p n n =∞→lim 在[]1,0上一致地成立.(4) 若()()0≥x fp ,∈x []1,0,那么，()()0≥f B p n ,∈x []1,0.(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的,那么()f B n 在[]1,0上也是非减的. (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的,那么()f B n 在[]1,0上也是凸的.由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein 多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理 设()[]b a C x f ,∈,则存在多项式n n P x p ∈)(,使得0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n bx a n .证 令()a b y a x -+=,则有()()()()y a b y a f x f ϕ=-+=. 因为ab a x y --=,所以()y ϕ是定义在[]1,0上的连续函数,于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()knk kycy Q ∑==,使得对于一切[]1,0∈y ,有()()()()εϕ<--+=-∑=nk kkyca b y a f y Q y 0.也就是()[]b a x a b a x c x f nk kk ,,0∈<⎪⎭⎫⎝⎛---∑=ε.1.2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev ’s polynomials)的一个多项式核. 引理3 恒等式cos (),2,1,cos cos 211=+=∑-=-n n kn k n knn θλθθ为真,其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数.推论3 当[]1,0∈x 时,恒等式()(),2,1,2arccos cos 11=+=∑-=-n x x x n kn k n knn λ成立.定义2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式.设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式,对任意N n ∈,在[]1,1-上令()()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x x T x K n n n γ,其中()dx x x T n n 21112⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=γ. 如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用.它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式,且是偶数.性质2 由定义显然有下面的恒等式()111=⎰-dx x K n .性质3 对于 何()1,0∈δ,及N n ∈都有()δδn dx x K n 11<⎰.证 由第一种证明可知,我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可.首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上.例如,我们令()x f =()()()[)[](].,,2,11,11,2,,,11∈-∈--∈⎪⎩⎪⎨⎧-x x x f x f f 显然,()x f 在[]2,2-上一致连续.对任意N n ∈,当∈x []1,1-时,以n K 为核构造函数 ()()dtx t K t f x P n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-33122. (1)由于n K是n 4次多项式,故()()knk n kn x t x t K ∑==⎪⎭⎫⎝⎛-403λ.所以()()()()kn k k n kx dtx t t f μλ=⎰-22,其中()n k μ是常数,故而()x P n 是一个n 4次的多项式.令3x t -=η，(1)就变为()()()ηηηd K x f x P n xx n ⎰---+=32323 (2)由性质2,可得()()=-x P x f n ()()()()⎰⎰----+-3232113xx n n d K x f d K x f ηηηηη=()()[]()ηηηδδd K x f x f n⎰-+-333+()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰----≤()()⎰-+-333δδηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331+()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰----. 将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I .由于()x f 在[]2,2-上一致连续,故对任意0>ε,存在0>δ.当[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f , (3)所以()εηηεδδ<≤⎰-d K I n 331.设[]()x f M x 2,2max -∈=,那么()δηηδn M d K MI n 62132<≤⎰.()ηηδδd K M I n xx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎰⎰----3233323()δηηδδn M d K M n61331<⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎰⎰--.所以()()δεn M x P x f n 12+<-.因此,对任意0>ε,先取定δ,使(3)成立,然后固定δ,再取n 充分大就有()()ε2<-x P x f n .2 Weierstrass 逼近定理的推广 2.1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数,Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论.设()π2C x f ∈,对任意0>ε,存在三角多项式()x T ,使得对于一切实数x ,都有()()ε<-x f x T .其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合.也就是说,任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近. 注:通常把这个定理和Weierstrass 逼近定理分别称作Weierstrass 第二定理和Weierstrass 第一定理.我们可以通过以下几个引理证得这个定理,这里不做详细证明.见参考文献[1].引理1 若()πϕ2C x ∈,则对于任何a ,等式()()dx x dx x a a⎰⎰=+ππϕϕ202都成立.引理2 对任何N n ∈有下面的恒等式()2!!2!!12cos 202ππn n tdt n -=⎰.引理3 对于一切实数,一致地有 ()()x f x V n n =∞→lim .其中()π2C x f ∈,()()()dt x t t f n n x V nn 2cos21!!12!!22--=⎰-πππ.要想由此推得Weierstrass 第二定理,只须证明()x V n 是一个三角多项式即可.为此,我们需要下列引理.定义1 若0>+n n b a ,则称三角多项式()()∑=++=nk k kn kx b kx aA x T 1sin cos 的阶为n.引理 4 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式,且其阶等于两因子阶之和.引理5若三角多项式()x T 为一偶函数,即()()x T x T =-,则 它可以表示成()∑=+=nk k kx a A x T 1cos 的形式,即式中不含倍角的正弦.2.2 Weierstrass-Stone 定理设E 是某个度量空间中的任意子集,它至少包含两个不同的元素,并且在E 上成立有限覆盖定理.设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间,且构成一个环Y ,这个环包含常数,且对于E 中任意两个不同的元素1x ,2x ,在环Y 中存在函数()x p ,使()()21x p x p ≠,于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ,对于任给0>ε,在Y 上存在元素()x p ,使得有()()E x x p x f ∈<-,ε.利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理,例如下面的有理函数逼近定理设()()∞∞-∈,C x f ,则任给0>ε,存在有理函数()Ω∈x R , 使()()ε<-x R x f ,∞<<∞-x .其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间. 2.3复函数情形下的Weierstrass 逼近定理定理1 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂， 使得()()x f x p n n =∞→lim .引理1 度量空间[]()d b a C X ,,=中点列(){}x f n 收敛于()x f 当且仅当函数列(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f .证 []()d b a C X ,,=中点列{}n f 收敛于()x f .当且仅当()[]()()0max lim ,lim ,=-=∈∞→∞→x f x f f f d n b a x n n n等价于(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f . 由定理1和引理1即可证得如下定理:定理2 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂，使得(){}x p n 在[]b a ,上一致收敛于()x f . 2.4 非连续函数的情形定理1 如果一个函数()x f 与一个连续函数()x g 在闭区间[]b a ,上几乎处处相等（即除了一个零测集A 外都相等）,那么0>∀ε,都存在多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.证 函数()x f 与连续函数()x g 在[]b a ,上几乎处处相等,因此对0>∀ε,有[]()()[]()()[]()()εεε<-≤-=-∈x g x p x g x p x f x p b a x Ab a x Ab a x ,\,\,max maxmax.由此可以看出,是否存在多项式()x p 逼近定义在闭区间上的函数()x f ,只要衡量函数()x f 是否能与一个连续函数()x g 几乎处处相等,即使函数()x f 是处处不连续的,也有上面定理的结论.利用这个定理可以解释下面两个例子.例1:().20,02,1,1≤<≤≤-⎩⎨⎧-=x x x f显然,函数()x f 是除了零点以外其它各点都连续的分段函数,几乎处处连续但不连续,我们不能找到一个多项式使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立,只能找到一个分段多项式满足不等式,这个多项式恰恰是这个函数本身.例2:()[].\2,1,,0,1Q x Q x x f ∈∈⎩⎨⎧=其中Q 是定义[]2,1在上的有理数集.显然函数()x f 是处处不连续的,但取()0p =x ,不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立.3 Weierstrass 逼近定理的应用 3.1 复合函数的测度收敛定理设()x g 在R 上连续函数,若在可测集E 上几乎处处一致有界可测函数列(){}x f n 测度收敛于()x f ,则在E 上可测函数列()(){}x f g n 测度收敛于()()x f g . 3.2 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质,反之,如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近,则该函数必然是连续函数.定理 在实数范围内,对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ,如果满足对0>∀ε,都存在这样的多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立,那么函数()x f 必然是连续函数.由此,我们得到如下结论,这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件.结论1 ()[]b a C x f ,∈的充分必要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立.结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必 要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.这里A 为零测度集.例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等,则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立.证 充分性显然,只需证明必要性.由条件有()()x g x f =,([])A b a x \,∈,其中A 是[]b a ,上的零测度集.所以0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x AnAb a n ban ⎰⎰⎰+=\,=()[]()dxx g x dx x g x AnAb a n⎰⎰+\,=()dx x g x ban ⎰因此由注释①可得()0=x g ,[]b a x ,∈注意当[]A b a x \,∈时, ()()x g x f =,所以()0=x f ,[]A b a x \,∈.证毕. 注释：①设函数()[]b a C x f ,∈.则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是: ()0=x f ,[]b a x ,∈. ②设E 为有界集,当E m E m **=时,称E 为可测的.其中外测度mG E m EG ⊃*=inf ,内测度mF E m EF ⊂*=sup .③设()x f n 是可测集E 上的可测函数列,()x f 是E 上的可测函数.如果对每个0>ε, 有()0lim =≥-∞→εf fmEnn ,则称序列()x f n 测度收敛于()x f .参考文献：[1]莫国端，刘开第．函数逼近论方法[M]．北京：科学出版社，2004：11-44．[2]艾斯卡尔·阿布力米提．Weierstrass 逼近定理的一个应用 [J]．新疆教育学院学报，1999，15 (45)：53-54．[3]Parlett B N.The QR algorithm[J]．Computing in Science & Engineering ，2000，2(1):38-42． [4]Powell M J D ．Approximation theory and methods[M].New York:Cambridge University Press ，1981．[5]刘洋，李宏．关于Weierstrass 逼近定理的几点注记[J]．数学实践与认识，2009，39(2)：208-210．[6]郝玉斌．关于Weierstrass 一致逼近定理的证明[J]．黑龙江大学自然科学学报，1985，3． [7]沈燮昌．Weierstrass 逼近定理及其应用[J]．曲阜师范大学学报，1989，15(2)．Proof and Extension on Weierstrass Approximation TheoremAbstract :The weierstrass approximation theorem is one of the important theorems in functional approximation theories. This theorem expounds that, the precision can be given in advance ,continuous function defined any given on the closed interval can be approximated by a polynomial. At the first part, the article uses the bernstein polynomials to prove the weierstrass approximation theorem. Thus it directly expresses the fanction f(x) in C[a,b]could be approximated uniformly by polynomials.In addition, the article can offer another different proof by chebyshev’s polynomials. At the second part, there are some generalized theorems in different places. And some applications of the weierstrass approximation theorem is given finally.Key words : W eierstrass approximation theorem; Bernstein theorem; Chebyshev’s polynomials; convergence in measure.。
Bernstein—Durrmeger—Bézier算子的逼近定理
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函数的幂级数展开-逼近定理汇总
2
傅里叶级数由正弦函数和余弦函数构成，可以表 示为无穷级数的和，其中每一项都是正弦函数或 余弦函数的线性组合。
3
傅里叶级数的定义基于三角函数的正交性，即在 一个周期内，任何两个不同的三角函数都不会有 相同的积分。
傅里叶级数展开的几何意义
01
傅里叶级数展开的几何意义是将一个周期函数表示为一系列正 弦函数和余弦函数的叠加。
收敛性的判定主要依赖于幂级数的系数和项数， 以及自变量 (x) 的取值范围。
02 泰勒级数展开
泰勒级数定义
泰勒级数定义
对于在某点的可微函数，可以表 示为在该点的n阶导数与n阶倒数 的无穷乘积，即f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-
收敛性的判定通常基于三角函数的性质和函数的周期性，不同的函数可能 有不同的收敛条件和收敛速度。
04 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法定义
拉格朗日插值法是一种通过已知的离 散数据点来构造一个多项式，并利用 该多项式对未知数据进行逼近的方法 。
该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗 日于18世纪提出，是数值逼近理论中 的重要工具之一。
牛顿插值法的收敛性
牛顿插值法的收敛性是指当插值节点增加时，插值多项式的逼近效果会越来越好。具体来说，如果函 数在插值节点上取值的极限存在，则当插值节点趋于无穷时，插值多项式的极限就是该函数的极限。
然而，如果函数在插值节点上取值的极限不存在，则插值多项式的极限也不存在，此时插值多项式无 法逼近该函数。因此，在使用牛顿插值法时需要注意函数的性质和取值情况。
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魏尔施特拉斯逼近定理
魏尔施特拉斯逼近定理
[from wiki]
基本定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：
闭区间上的连续函数可⽤多项式级数⼀致逼近。
闭区间上周期为2π的连续函数可⽤三⾓函数级数⼀致逼近。
证明
第⼀逼近定理可以从第⼆逼近定理直接推出。
第⼆逼近定理的证明；
⾸先证明，为⼀个正交函数系： (因为)。
故令，于是可以求出。
将c n代⼊f a(t) 的定义式中，有：
下⾯对积分号中的和式S求和，令w = e in(t - s)，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 代回原积分，有，这就是f(s)泊松核。
故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：
的泊松积分。
其中称为泊松核
由f(t)的⼀致连续性，可以证明，上式在时，满⾜⼀致收敛的条件，故可以⽤f r(t)来⼀致逼近f(t)。
参阅
傅⾥叶级数。
taylor 公式 几何解释
Taylor公式是数学分析中的重要定理，它为我们提供了一种用多项式逼近函数的方法。
通过Taylor公式，我们可以将一个光滑函数在某一点附近用无限次可微函数的幂级数表示出来。
这一定理的证明和推导非常复杂，但是它的几何解释却可以让我们更直观地理解它的意义和应用。
1. Taylor公式的基本形式在介绍Taylor公式的几何解释之前，我们先来回顾一下它的基本形式。
对于一个无限次可微的函数f(x)，在点x=a处的Taylor展开式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，依此类推。
这个级数可以无限展开下去，将函数f(x)表示为以a为中心的幂级数。
2. 几何解释Taylor公式的几何解释可以通过以a为中心的Taylor多项式来进行解释。
在点x=a处，多项式f(a)+f'(a)(x-a)实际上是函数f(x)在该点处的一阶切线的近似。
也就是说，通过f(a)和f'(a)可以构造出一个线性函数，它与函数f(x)在点x=a附近的曲线具有相似的斜率和截距性质。
这就是Taylor多项式的几何意义之一，它可以在某一点上近似地描述出函数的局部行为。
3. 高阶近似随着Taylor多项式阶数的增加，我们可以得到更高阶的近似多项式。
当我们将Taylor多项式展开到二阶时，就可以得到一个二次多项式f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2，它比一阶多项式在点x=a处对函数f(x)的近似要更精确。
同样地，当我们展开到三阶、四阶乃至更高阶时，我们获得的多项式都能够更准确地描述函数在该点处的局部性质。
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义一、引言Hilbert空间是数学中重要的概念之一，它是一种完备的内积空间。
在实际应用中，Hilbert空间经常被用来描述物理现象、信号处理、图像处理等领域。
而最佳逼近定理则是Hilbert空间中的一个重要定理，它具有很强的几何意义。
本文将从几何角度出发，探讨Hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义。
二、Hilbert空间和最佳逼近定理1. Hilbert空间Hilbert空间是指一个完备的内积空间，也就是说，在这个空间中任意一个柯西序列都有一个极限点。
同时，在这个内积空间中定义了向量之间的内积运算，使得这个向量空间成为一个带有度量结构的向量空间。
2. 最佳逼近定理最佳逼近定理是指在Hilbert空间中，对于任意给定的向量f和子集S （S为该Hilbert子集下所有可能函数组成的集合），都存在唯一一个g∈S，使得||f-g||最小。
其中||·||表示范数（也就是长度）。
三、线性代数与几何1. 线性代数线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵和线性变换等概念。
在线性代数中，向量可以被看作是带有长度和方向的量。
2. 几何几何是研究空间形态、大小、位置关系和运动的一门学科。
在几何中，我们通常使用点、线、面等基本元素来描述空间。
四、最佳逼近定理的几何意义1. 点到直线的最短距离问题我们考虑一个点P到一条直线L的距离问题。
这个距离可以被看作是一个函数f(x)，其中x表示点P在直线L上的投影点。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x)使得||f(x)-g(x)||最小。
而这个函数g(x)就是点P到直线L的最短距离函数。
2. 曲面拟合问题曲面拟合问题是指给定一些散点数据，如何用一个曲面来拟合这些数据。
我们可以将这些散点数据看作是一个函数f(x,y)，其中x和y表示平面上的坐标。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x,y)使得||f(x,y)-g(x,y)||最小。
通用逼近定理的数学证明
通用逼近定理的数学证明
用简便的话来说，泰勒通用逼近定理是一种用于精确地估计复杂函数值的技术。
根据
此定理，给定复杂函数f(x)，可以构建一个函数s(x)，使得在x处的f(x)和s(x)之间的误差
最小。
它是数学家泰勒在1815年发现的，也叫作多项式函数微分，全称为泰勒通用展开。
它在函数分析和近似科学中有很广泛地应用，给数学家们解决复杂函数估算的需求带来了
新的可能性。
这里要证明的是泰勒通用逼近定理。
为了达到这个目的，首先要提出一个假设：存在
复变函数f（x），其除根处以外的所有对x的导数在任意点x处有界。
其次，构建一个多
项式函数：s(x)=α_0 + α_1x + α_2x^2 + … + α_nx^n。
然后，我们可以证明：多项式s(x)
在根处可以有n+1项式满足，其和为s(x)，并该多项式关于f(x)的展开式。
也就是说，在
根处展开后，多项式s(x)的系数与f(x)的各阶导数之和相等。
最后，以上证明的结果表明，s(x)是一个多项式函数，其展开在根处可以逼近f(x)，这就是泰勒通用逼近定理。
泰勒通用逼近定理是一种在一般情况下最接近函数f(x)值的方法，它能够比较精确地
估算复杂函数值，从而解决了函数分析和近似科学中复杂函数估算的需求。
它是完全基于
数学上的证明，并且有充分的理论依据。
由此可见，它对我们理解数学上的函数以及解决
工程问题具有重要的意义。
逼近理论
一致逼近问题及相关定义
一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）： X C[a,b] , Y X ，采用一致（无穷）范数。
设 X C[a,b] , t0 [a,b]，如果 x(t0) x ，则t0 称为x的一个极值点。
Haar条件：设Y是C[a,b]的有限维子空间， 对任意 y Y, y 0，它在[a,b]区间上至多有n-1 个零点，其中n=dimY。
函数逼近问题
函数逼近是数值分析的基础，同时在求取 微分方程数值解等方面有重要应用。
具体说来，函数逼近问题是指：在某一区 间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。
通常这些简单函数包括：(1)多项式函数； (2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。
赋范线性空间上最优逼近的定义
设X是赋范线性空间，Y X 是其子空间； x X ，如果 y0 Y 使得
yi(t)=ti，i=0,1, …,n-1；问题：选择 0 ,1,L ,n1 R ，
使得
n1
y(t) it i
是对x按Y的最优一致逼近。
i0
令t=cosθ,θ∈[0,π]，有下式成立，其中βnj为常数：
x -y 余项 n1
cos n 2n1 cosn nj cos j , n 0,1, 2,L
对固定的n∈N，是[-1,1]上所有n次实系数且tn系数为1 的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。
n
证明：对于任意y∈Y，则 y i yi ,i R i 1 若Y满足Haar条件则Y在[a,b]至多有n-1个零点如t1, t2, …, tn-1
y1(t1)
[ y(t1),
y(t2 ),L
,
y(tn )] [1,2,L
,n
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义引言Hilbert空间是数学中一个重要的概念，它是一个完备的内积空间，常常用于描述物理现象和工程问题。
在Hilbert空间中，最佳逼近定理是一个重要的结果，它揭示了在Hilbert空间中，我们可以通过选择合适的元素来最佳逼近一个给定的目标元素。
本文将深入探讨最佳逼近定理的几何意义，以及其在几何学领域中的应用。
Hilbert空间概述在介绍最佳逼近定理之前，先来了解一下Hilbert空间的基本概念。
Hilbert空间是一个实或复的向量空间，配以一个内积，它是一个完备的度量空间。
在Hilbert空间中，我们可以定义向量的长度、角度和距离，这使得Hilbert空间成为了研究几何性质和进行几何分析的理想工具。
最佳逼近定理的表述最佳逼近定理是Hilbert空间理论中的一个重要结果，它描述了如何通过选择合适的元素来最佳逼近一个给定的元素。
具体而言，最佳逼近定理表明，在Hilbert空间中，对于任意一个给定的元素，总存在一个最佳逼近序列，使得在所有逼近中，这个序列收敛到目标元素，并且存在一个收敛的逼近序列能够达到最佳逼近。
最佳逼近定理可以用数学公式表示如下：定理：设H为Hilbert空间，f是H中的一个元素，E是H中的子空间。
则存在一个最佳逼近序列{en}，使得：1.对于任意n，en属于E；2.对于任意e属于E，||f-en|| <= ||f-e||，其中||.||表示H中的范数；3.对于序列{en}的每一个子序列{en_k}，都存在项ek使得||f-ek||是最小的。
最佳逼近定理的几何意义最佳逼近定理的几何意义十分重要，它从几何的角度解释了Hilbert空间中的最佳逼近现象。
在Hilbert空间中，我们可以将元素看作空间中的点，而子空间可以看作空间中的平面或曲面。
最佳逼近定理告诉我们，在给定一个点的情况下，我们可以选择一个平面或曲面，使得这个点到平面或曲面的距离最小。
刘维尔逼近定理
刘维尔逼近定理刘维尔逼近定理，又被称为刘维尔精确程度定理，是一种非常重要的数学定理，是20世纪几何学家Hans Liebau和William Thurston 在1975年发现的。
刘维尔逼近定理表明，任何一个任意多边形可以通过一系列的网格状调整形状将它们转换为正多边形而不改变它们的内部结构。
这个定理开创了几何学研究中新的领域，并与电子设计、材料工程、计算机图形学等领域有着重要的关联。
刘维尔逼近定理的概念很有趣，它表明一个任意形状的多边形可以通过不断缩小边角来形成一个接近的正多边形，这个多边形的内部结构不会发生任何变化。
它可以为有目的地进行几何形状的重建提供了极大的帮助，尤其是在遥感处理领域，可以快速准确地重建几何形状和图像。
刘维尔逼近定理提出了一个关键的问题：一个任意形状的多边形可以最大程度地精确拟合成正多边形呢？答案是：是的。
刘维尔逼近定理表明，可以使用多边形多少角度的最小步长和正多边形的最小步长进行拟合，而且不会影响多边形的内部结构，尽可能地精确拟合正多边形，以达到最大精确程度。
刘维尔逼近定理是Geometric Design和Computer Graphics领域的一个重要定理，它可以帮助我们在相当高精确度下实现任意形状的多边形重建。
它也为几何建模提供了一个非常有用的工具，可以快速精确地模拟任意形状的几何体。
此外，在计算机绘图领域中，刘维尔逼近定理可以提高图像显示质量，从而减少计算机绘图的时间。
最后，刘维尔逼近定理的研究也让许多研究者在几何研究领域有了新的探索。
它的发现和探究对几何学的发展也有着重要的意义，它不仅激励研究者更深入地探讨几何学的问题，而且为诸如计算机图形学等领域的研究提供了新的思路。
总之，刘维尔逼近定理是20世纪几何学家发现的一种重要定理，它为几何学领域的研究提供了新的思路，并且与电子设计、材料工程、计算机图形学等领域有着重要的关联。
此外，它也为无穷多的研究者提供了新的探索，激励研究者在几何学的研究范围内更深入的深入探索几何学的问题。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
[ E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) }] [ E{ x | f ( x )} 0} E{ x | g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
集后逐点收敛）。显然，如果我们证明 了一个几乎处处收敛的可测函数序列的 极限是可测函数，则上述任何意义下的 极限函数都是可测的。为此，先证明一 个引理。 引理1 假设 { f m ( x )} m 1是上的可测函数序列， 则
(i) h( x ) sup f m ( x ), l ( x ) inf f m ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又 如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列 的极限是否是可测函数？到目前为止， 至少有三种意义下的极限概念，其一是 “一致收敛”、其二是“处处收敛” （即在给定的集上逐点收敛），其三是 “几乎处处收敛”（即在给定的集上， 除去一个零测
| f ( x ) | f ( x ) f ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题5：f(x) 的可测性 与f+(x)、f-(x)的可测 性是否等价？ 问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可 测性是否等价？ 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是 否相同？ f ( x) ，f ( x) 由引理1的（i），知 都是
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
lim f m ( x ) f ( x ) ，则称在上几乎处处收 m 敛到f，记作 f ( x ) lim f m ( x )a.e.[E]
三角函数的逼近性质
三角函数的逼近性质近年来，三角函数的逼近性质成为了数学研究领域的一个重要课题。
三角函数在数学中有着广泛的应用，因此对其逼近性质的研究有助于解决一系列相关问题。
本文将介绍三角函数的逼近性质及其应用，并讨论一些与之相关的数学定理。
首先，我们来探讨三角函数的泰勒级数展开。
三角函数的泰勒级数展开是一种将一个任意函数表示为幂级数的方法。
对于三角函数而言，它们的泰勒级数展开非常简洁。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...我们可以看到，通过不断增加级数的项，我们可以逼近原函数sin(x)，而且近似程度随着项数的增加而提高。
这说明三角函数具有很好的逼近性质。
三角函数的逼近性质在科学计算、信号处理和图像处理等领域得到了广泛应用。
在科学计算中，我们经常需要对某些复杂函数进行求值，但是计算机往往只能处理简单的数学运算。
这时候，我们可以利用三角函数的逼近性质，将复杂函数表示为简单函数的级数形式，从而用计算机进行近似计算。
这种方法被广泛应用于科学计算软件和数值计算领域。
另一个重要的三角函数逼近性质是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是将周期函数表示为三角函数级数的一种方法。
它在信号处理领域有着广泛的应用。
根据傅里叶级数展开定理，任意一个周期为2π的函数f(x)可以表示为以下形式的级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中，an和bn可以通过以下公式计算得到：an = (1/π)∫[0, 2π] f(x)cos(nx)dxbn = (1/π)∫[0, 2π] f(x)sin(nx)dx傅里叶级数展开的应用广泛，例如在通信领域中，我们经常需要对信号进行频谱分析，此时可以利用傅里叶级数展开将时域信号转换为频域信号，从而得到信号的频谱信息。
此外，在数字图像处理中，傅里叶级数展开也被用于图像压缩和去噪等领域。
逼近分解定理
逼近分解定理逼近分解定理（Approximation Decomposition Theorem）是数学上的一个重要定理，被广泛应用于函数逼近和数值计算的领域。
该定理的核心思想是将一个复杂的函数逼近问题分解为简单的函数逼近问题，从而更加高效地进行求解。
逼近分解定理最早由哈恩（Hahn）在20世纪30年代发展而来，随后经过多位数学家的不断完善和推广，逐渐形成了现在的成熟理论。
该定理的核心思想是通过对函数进行适当的分解，将原函数表示为一系列简单函数的和或积的形式，并通过对每个简单函数进行逼近，获得对原函数的近似解。
逼近分解定理的主要应用之一是在数值计算中的函数逼近问题。
例如，在计算机科学中，我们经常需要使用复杂的函数来模拟实际问题，但这些函数的计算通常是困难和耗时的。
利用逼近分解定理，我们可以将这些复杂函数分解为若干简单函数的组合，然后分别对这些简单函数进行逼近，以获得对原函数的近似解。
这种分解和逼近的过程可以大大提高计算效率和准确性。
另一个重要的应用领域是信号处理中的函数逼近问题。
在实际应用中，我们经常需要对信号进行采样和处理，但由于采样频率的限制，我们只能得到离散的信号数据。
利用逼近分解定理，我们可以将离散的信号分解为若干离散谱函数的线性组合，然后通过对每个离散谱函数进行逼近，获得对原信号的近似解。
此外，逼近分解定理还在数学分析中具有广泛的应用。
例如，在泛函分析中，我们经常需要对函数进行近似表示，以便进行求解和证明。
逼近分解定理提供了一种将复杂函数逼近为简单函数的方法，从而方便我们进行进一步的研究和分析。
同时，逼近分解定理还为不同的函数空间提供了一种联系的桥梁，使得我们可以在不同的函数空间间进行逼近和展开。
总之，逼近分解定理是一个重要的数学定理，在函数逼近和数值计算领域发挥了重要的作用。
通过将复杂的函数逼近问题分解为简单的函数逼近问题，我们可以更加高效地进行求解和计算。
逼近分解定理不仅提供了一种实际的数值计算方法，还为数学分析和信号处理等领域提供了理论基础和证明手段。
魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯谒近定理设/是有界闭区间并假定函数f.IfR是连续的，则对每个正数£,存在多项式P：RfR使得对所有XG/,丫(x)-p(X】<£(*)考虑对每个自然数〃及任一数X.£c抨(1)1=1,*=0t~cy(i-A-r=x,⑵*=0〃以及如果n>2,£学肚J(l-x尸=』⑶*=0〃(〃一1)第一个恒等式⑴可从二项式公式(a+bj=£《/■»通过令a=x及b=l-x而得到.上=0恒等式(2)及(3)是⑴的推论.事实上，如果在⑴中用〃-1替换〃.两边再乘上X,则由于而当*=0时，-=0,可得(2).类似地，如果在恒等式(1)用n n〃-2替换〃且两边乘以则由于中=#二加,26《〃,而当k=0,1时，n(〃一1)-=—=0,可得(3).n n对自然数〃及满足0割匕〃的整数X,在记号上定义对所有X.g*(x)=J(l-x广.引理对每个数X及每个自然数n>2,款T#。
-沪=穿,⑷引理的证明对每个整数n>2.从(1)及(2)可得蕾-$")=沙-半+针")=吃喝(对-2工舞i=O k=O〃k=0n=X2-2x2+£%Cfg*(X)•k=o n另一方面，从(2汲(3)我们有i=0« 〃砰+习于是，C ：g*(X)(/7-1) 〃 (〃一 1)£A=0喝(x )=F-2x 2 +x~ +----〃一1X )=x(l-x)魏尔斯特拉斯逼近定理的证明首先考虑/ = [0,1]时的情形.一般情形容易有这种情形推出.令£>0.我们要求一个使(*)成立的多项式P0).我们已经证明有界闭区间上的连续函数是一致连续的.利用一致连续性的准则.可选取$>0使得对/中满足|iz-v|<J 的所有点〃及V, \f(x)-p(x^<^. (5)还有，从极值定理可得函数/：/->/?是有界的.于是可选取数X>0.使得对/中所有 x, |/(-v)|<A/. (6)4M 用&的阿基米德性质,可选取自然数〃.使得〃>—t . (7)£32定义多项式p ：R t R 如下：对所有x."(工)=#(§)中*(1-工)1.以下将证明对如此选择的多项式，所要求的逼近性质(*)成立.事实上.令X 是/中的点而《是一整数且则卜一§ <$或者如果卜-§ <万,由(5)可得|/(.v)-^(x)|<|,如果卜一§卜$,则由(6),于是，对 0 < X < 〃，小-地)|今洗书(8)由(1)可得f(x)=^/Cv)c>*(1-x)i.i=0所以，(x)-p(x)=£c；x*(i-x)r*.*=oL\n J.用三角不等式、(8)、及(4)可得\f GAP。
11-3函数的幂级数展开,逼近定理
例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数.
2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
x ( ,)
2016/1/13 福州大学数学与计算机学院 16
例3 将f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.
例 1 求级数 ( 1)
n 1
n 1
xn 的和函数. n
例 2 求级数 n x n 的和函数.
n 1
2n 1 由此题，求 n 。 2 n 1
n( n 1) (可构造幂级数求数 例 3 求 的和. n 项级数的和) 2 n 1
2016/1/13 福州大学数学与计算机学院 4
1 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 2 n n!
2016/1/13 福州大学数学与计算机学院 22
欲使 rn 10 5 ,
1 只要 105 , n n!
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 105 ,
x0 x0
在x=0点任意可导, 且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,)
n 代入上述表达式的右端得到： 0 x n0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除x 0外, 该级数处处不收敛于 f ( x ).
2016/1/13 福州大学数学与计算机学院 8
逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.
有：
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
2016/1/13 福州大学数学与计算机学院 2
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通用逼近定理
通用逼近定理是数学领域中的一种定理，它的作用是解决函数逼近的问题。
在实际应
用中，我们通常需要在一个已知的函数族中找到一些函数来逼近未知函数，通用逼近定理
为我们提供了一种可行的途径。
通用逼近定理最早由美国数学家斯通－韦尔斯于1936年提出，其基本思想是：对于一个函数集合，如果具有某些特定的性质，那么它们能够在某个意义下最好地逼近一个连续
函数。
通用逼近定理在函数逼近的应用中有很广泛的应用，例如，在信号处理、信号识别、模式识别和控制等领域中，它可以帮助我们更好地描述系统的动态特性。
通用逼近定理具有以下几个基本特点：
1.其适用范围较广，可以应用于各种类型的函数集合中；
2.定理的内容具有一定的普遍性，可以应用于任意的函数集合中，而不需要特定的条件；
3.通用逼近定理的特点不随维度的增加而变化，因此可以应用于高维的对象逼近问
题。
在实践中，通用逼近定理其实就是将一个函数通过一个由一系列函数组成的函数集合
来逼近的过程，因此它实际上是一个函数逼近的基本理论。
通用逼近定理的研究内容主要可以分为以下几个方面：
1.函数的连续性与收敛性研究，这是通用逼近定理的基础研究内容；
2.逼近函数的构造问题，即如何从函数族中选择最好的逼近函数；
3.逼近误差的估计问题，即如何确定逼近误差的大小和估计方法；
4.逼近定理的推广问题，即如何将通用逼近定理推广到更广泛的函数集合中。
通用逼近定理在理论研究和应用研究中都有着广泛的应用。
在理论研究中，通用逼近
定理可以用于解决各种不同类型的函数逼近问题。
在应用方面，通用逼近定理可以用于信
号处理、图像处理和自然语言处理等领域，甚至可以用于解决金融市场预测等实际问题。
总之，通用逼近定理是数学领域中一个非常有用的定理，它可以帮助我们更好地解决
函数逼近问题，同时具有广泛的应用前景，将为更多的实际问题的解决提供有力的支持。