第26章反比例函数章末知识小结-2020-2021学年九年级数学下册随堂讲练(人教版)(含答案)

2020-2021学年九年级数学下册随堂讲练(人教版)第二十六章 反比例函数章末知识小结要点梳理 典例精讲考点一 反比例函数的图象和性质考点小结：(1)反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形．(2)当k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大．经典例题1 已知反比例函数y ＝12x，当2<x <3时，y 的取值范围是( ) A ．0<y <4 B ．2<y <3 C ．4<y <6 D ．y >6【解析】当x ＝2时，y ＝6；当x ＝3时，y ＝4.因为当x >0时，y 随x 的增大而减小，所以当2<x <3时，y 的取值范围是4<y <6.【答案】C经典例题2 点A (－1，y 1)，B (－2，y 2)在反比例函数y ＝2x的图象上，则y 1，y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定【解析】函数y ＝2x 的图象在第一、三象限，在第三象限内y 随x 的增大而减小．∵－2<－1<0，∵y 1<y 2<0.【答案】C考点二反比例函数中比例系数k的几何意义考点小结：|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴围成的长方形的面积．经典例题3如图所示，M为反比例函数y＝kx的图象上的一点，MA垂直于y轴，垂足为A，∵MAO的面积为4，则k的值为________．【解析】设点M的坐标为(m，n)，在Rt∵AMO中，AM＝m，AO＝n，∵S∵MAO＝12mn＝4.∵mn＝8.把点M(m，n)代入y＝kx中，得k＝mn＝8.答案：8考点三反比例函数与其他函数的综合运用考点小结：(1)只需反比例函数图象上一个点的坐标即可求出反比例函数解析式；(2)掌握用待定系数法求函数解析式的一般步骤．经典例题4如图所示，反比例函数y＝kx(k≠0，x>0)的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB∵x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝3BD.(1)求k的值；(2)求点C的坐标；(3)在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d＝MC＋MD最小，求点M的坐标．【解析】(1)根据点A 的坐标及AB ∵x 轴得出点D 的横坐标为1，再根据AB ＝3BD ，得出点D 的纵坐标为1，从而求出k 的值．(2)由题意得，点C 的坐标是由反比例函数y ＝1x(x >0)与一次函数y ＝3x 组成的方程组的解来确定的．(3)作点D 关于y 轴的对称点E ，连接CE 交y 轴于点M ，根据线路最短问题可知点M 就是所求点，再用待定系数法求出过C ，E 两点直线的解析式，则直线CE 与y 轴的交点坐标就是点M 的坐标．解：(1)∵点A 的坐标为(1，3)，且AB ∵x 轴于点B ，∵OB ＝1，AB ＝3.又AB ＝3BD ，∵BD ＝13AB ＝1. ∵点D 的坐标为(1，1)．∵反比例函数y ＝kx(k ≠0，x >0)的图象过点D ，∵k ＝1×1＝1. (2)由(1)知反比例函数的解析式为y ＝1x (x >0)，由题意得，点C 的坐标由方程组31y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝的解来确定，解方程组得x y ⎧⎪⎨⎪⎩或x y ⎧⎪⎨⎪⎩(不合题意，舍去)．∵点C 的坐标为(3)． (3)如图所示，作点D 关于y 轴的对称点E ，则点E 的坐标为(－1，1)，连接CE 交y 轴于点M ，则点M 即为所求．设直线CE 的解析式为y ＝tx ＋b (t ≠0)，则根据题意，得1b t b ⎪⎩＋－＋＝，解得32t b ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，∵直线CE 的解析式为y ＝3)x ＋－2， 当x ＝0时，y ＝－2，∵点M 的坐标为(0，2)．考点四 反比例函数在实际问题中的应用经典例题5 如图所示，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m 3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S (单位：m 2)与其深度d (单位：m)的函数图象大致是( )A B C D 【解析】由圆柱的体积计算公式可得Sd ＝104m 3，所以S ＝410d.由此可知S 是关于d 的反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，又因为这是个实际问题，S 与d 的取值都为正数，所以图象只能在第一象限，故A 正确．【答案】A经典例题6 如图所示，科技小组准备用材料围建一个面积为60m 2的矩形科技园ABCD ，其中一边AB 靠墙，墙长为12m.设AD 的长为x m ，DC 的长为y m.(1)求y 与x 之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)．(2)若围成矩形科技园ABCD 的三边的材料总长不超过26m ，AD 和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．【解析】(1)根据面积为60m2，利用矩形面积公式可得出y与x之间的函数解析式；(2)由(1)的解析式，结合x，y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC≤12m，可得出x，y的值，从而得出可行的方案．解：(1)由题意得，S矩形ABCD＝AD·DC＝xy，故y＝60 x.(2)由y＝60x，且x，y都是正整数，可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.∵2x＋y≤26，0<y≤12，∵符合条件的围建方案为AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m.随堂练习1．对于反比例函数y＝－10x，下列说法正确的是()A．它的图象是一条直线B．它的图象分布在第一、三象限C ．点(－1，－10)在它的图象上D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大2．a ，b 是实数，点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2x的图象上，则( ) A ．a ＜b ＜0 B ．b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜b D ．b ＜0＜a 3．反比例函数y ＝3x图象上三个点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2 4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝2k x(k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( )A ．(－1，－2)B ．(－2，－1)C ．(－1，－1)D ．(－2，－2) 5．如图，反比例函数y ＝kx(x ＜0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点的横坐标分别为－3，－1.则关于x 的不等式kx＜x ＋4(x ＜0)的解集为( )A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜06．已知二次函数y＝(x＋m)2－n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n与反比例函数y＝mnx的图象可能是()A B C D7．如图，双曲线y＝－32x(x＜0)经过∵ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC∵OC于点C，则∵OABC的面积是()A. 32B.94C．3 D．68．如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将∵ABC绕点B逆时针旋转90°后得到∵A′BC′.若反比例函数y＝kx的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是()A．9 B．12 C．15 D．189．如果反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．(填“增大”或“减小”)10．直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为．11．函数y1＝x与y2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：∵函数的图象关于原点中心对称；∵当x＜2时，y随x的增大而减小；∵当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号．12．如图，一次函数y＝x－1的图象与反比例函数y＝2x的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC＝BC，则点C的坐标为．13. 已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．14. 如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝kx的图象于点B，AB＝32.(1)求反比例函数的解析式；(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由．15.如图，在∵ABC中，AC＝BC，AB∵x轴，垂足为A.反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝5 2 .(1)若OA＝4，求k的值；(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．16．某农业公司将部分农副产品运往福州农贸市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v 千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：(1)(2)汽车上午7：30从公司出发，能否在上午10：00之前到达福州农贸市场？请说明理由；(3)若汽车到达福州农贸市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．随堂练习参考答案：1. D2. A3. B4. A5. B6. C7. C8. C9. 减小10. 3611. ∵∵12. (0，2)13. 解：(1)∵A(1，4)在反比例函数图象上，∵把A(1，4)代入反比例函数y1＝kx得：4＝11k，解得k1＝4，∵反比例函数解析式为y1＝4x，又B(m，－2)在反比例函数图象上，∵把B(m，－2)代入反比例函数解析式，解得m＝－2，即B(－2，－2)，把A(1，4)和B(－2，－2)代入一次函数解析式y2＝ax＋b得，422 a ba b⎧⎨⎩＋＝，－＋＝－，解得22ab⎧⎨⎩＝，＝，∵一次函数解析式为y2＝2x＋2.(2)根据图象得－2＜x＜0或x＞1.14. 解：(1)由题意得，B(－2，32)，把B(－2，32)代入y＝kx中，得到k＝－3，∵反比例函数的解析式为y＝－3 x .(2)结论：P在第二象限，Q在第四象限．理由：∵k＝－3＜0，∵反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∵P，Q在不同的象限，∵P 在第二象限，Q在第四象限．15. 解：(1)如图，作CE∵AB，垂足为E，作CF∵x轴，垂足为点F，∵AC＝BC，AB＝4，∵AE＝BE＝2.在Rt∵BCE中，BC＝52，BE＝2，∵CE＝32，∵AF＝32，∵OA＝4，∵OF＝4－32＝52，∵C点的坐标为(52，2)，∵点C在y＝kx的图象上，∵k＝5.(2)设A点的坐标为(m，0)，∵BD＝BC＝52，∵AD＝32，∵D，C两点的坐标分别为：(m，32)，(m－32，2)．∵点C，D都在y＝kx的图象上，∵32m＝2(m－32)，∵m＝6，∵C点的坐标为(92，2)，∵OF＝92，CF＝2，在Rt∵OFC中，OC2＝OF2＋CF2，∵OC.16. 解：(1)根据表格中数据，可知v＝kt，∵v＝75时，t＝4，∵k＝75×4＝300，∵v＝300t.(2)∵10－7.5＝2.5，∵t＝2.5时，v＝3002.5＝120＞100，∵汽车上午7：30从公司出发，不能在上午10：00之前到达福州农贸市场．(3)∵3.5≤t≤4，∵75≤v≤6007，∵平均速度v的取值范围是75≤v≤6007.。