2012高考数学-专题练习-十-三角函数的图象与性质-理

高考专题训练十 三角函数的图象与性质班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·黑龙江省哈六中一模)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π3个单位后，得到下面的图象，则ω，φ的值为( )A ．ω＝1，φ＝2π3B ．ω＝2，φ＝2π3C ．ω＝1，φ＝－π3D ．ω＝2，φ＝－π3解析：由图象可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，向右平移π3个单位为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，与y ＝sin(ωx ＋φ)对照可得ω＝2，φ＝2π3.答案：B2．(2011·济南市2月高三模拟)为了得到函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，只需把函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位解析：y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，y ＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，只需把函数y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个长度单位，即可得到y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．答案：A3．(2011·南昌一模)若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( ) A ．－1 B ．±5 C ．－5或－1D ．5或1解析：依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，m ＝－3∓2，m ＝－5或m ＝－1，选C.答案：C4．(2011·陕西省高考摸底试题)将函数y ＝sin x 的图象上的所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 解析：答案：C5．(2011·济宁市高三2月模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3D ．－ 3解析：由函数为奇函数，且0<φ<π， 可知φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx ，由图可知A ＝3，T ＝4，故ω＝π2所以f (x )＝－3sin π2x ，f (1)＝－ 3.答案：D6．(2011·江西师大附中、临川一中联考)已知简谐振动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的振幅为32，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，则该简谐振动的频率和初相是( )A.18，π6B.16，π6C.18，π3D.π6，π3解析：记f (x )的最小正周期为T ，则依题意得A ＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋32＝5，∴T ＝8，频率为1T ＝18.又f (0)＝32sin φ＝34，∴sin φ＝12，而|φ|<π2，因此φ＝π6.故选A. 答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·重庆市调研第二次抽测试卷)有一学生对函数f (x )＝2x cos x 进行了研究，得到如下四条结论：①函数f (x )在(－π，0)上单调递增，在(0，π)上单调递减； ②存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立； ③函数y ＝f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π2，0；④函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称．其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：对于①，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2×π6cos π6＝3π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3cos π3＝π3，0<π6<π3<π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因此函数f (x )在(0，π)上不是减函数，①不正确．对于②，注意到|f (x )|＝|2x cos x |≤2|x |，因此②正确．对于③，若f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，由f (0)＝0，点(0,0)关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0的对称点是(π，0)，由f (π)＝2πcosπ＝－2π≠0，即点(π，0)不在函数f (x )的图象上，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0不是函数f (x )的图象的对称中心，③不正确．对于④，若f (x )的图象关于直线x ＝π对称，则f (0)＝0，点(0,0)关于直线x ＝π的对称点是(2π，0)，f (2π)＝4πcos2π＝4π≠0，即点(2π，0)不在函数f (x )的图象上，因此直线x ＝π不是函数f (x )的图象的对称轴，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②.答案：②8．(2010·河北省石家庄市高三调研考试)已知定义域为R 的函数f (x )对任意实数x ，y满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )cos y ，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.给出下列结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12；②f (x )为奇函数；③f (x )为周期函数； ④f (x )在(0，π)内单调递减．其中正确结论的序号是________．解析：在原式中令x ＝y ＝π4，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f (0)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，故①错误；在原式中令x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝0，∴函数f (x )为奇函数，故②正确；在原式中令y ＝π2，得f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝0，∴f (x ＋2π)＋f (x ＋π)＝0，即f (x ＋π)＝－f (x ＋2π)，在原式中再令y ＝π，得f (x ＋π)＋f (x －π)＝－2f (x )，∴f (x ＋2π)＋f (x )＝－2f (x ＋π)，∴f (x ＋2π)＋f (x )＝－2[－f (x ＋2π)]，即f (x ＋2π)＝f (x )，∴f (x )是以2π为周期的周期函数，故③正确；④由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1即可知f (x )在(0，π)内不是减函数，故④错误．答案：②③9．(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴f (0)＝2sin π3＝62.答案：6210．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如下图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2.又f (x )＝A tan(2x ＋φ)x ＝38π时，A tan ⎝⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1， ∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)(2011·潍坊2月模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值． 解：(1)由图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0，∵0<φ<π2，－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.12．(13分)(2011·合肥市高三第二次质检)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π12个单位后，得到的图象与函数g (x )＝sin2x 的图象重合．(1)写出函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴方程； (2)若A 为三角形的内角，且f (A )＝13，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的值．解：(1)由题意可知，将函数g (x )＝sin2x 的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数f (x )的图象，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z)．故函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π＋2π3(k ∈Z)．(只要写出一个对称轴方程即可)(2)由f (A )＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝13.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，又0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝13<12，∴0<A －π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝223.∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋π6＝13×32＋223×12＝22＋36.。