三角函数的周期性与函数图像的展示
常见三角函数图像总结
常见三角函数图像总结
一、正弦函数的图像特征
正弦函数是最常见的三角函数之一，其图像特征如下：
•周期性：正弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$区间上完整呈现一个周期。
•奇函数性质：正弦函数关于原点对称，即f(f)=−f(−f)。
•取值范围：正弦函数的值域在[−1,1]之间。
二、余弦函数的图像特征
余弦函数是另一种常见的三角函数，其图像特征如下：
•周期性：余弦函数的周期也为$2\\pi$，与正弦函数一样。
•偶函数性质：余弦函数关于f轴对称，即f(f)= f(−f)。
•取值范围：余弦函数的值域同样在[−1,1]之间。
三、正切函数的图像特征
正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其图像特征包括：
•周期性：正切函数的周期为$\\pi$，在$[0, \\pi]$区间内完成一个周期。
•奇函数性质：正切函数也是一个奇函数，即f(f)=−f(−f)。
•渐进性质：正切函数在其定义域内无限多个渐近线。
四、三角函数的图像变换
除了原始的正弦、余弦和正切函数外，这些函数还可以通
过图像的平移、伸缩和反转等方式进行变换。
其中：
•平移变换：将函数图像沿f轴或f轴平移。
•伸缩变换：改变函数图像的振幅、频率或其它参数。
•反转变换：关于f轴或f轴进行反转，改变函数图像的对称性。
综上所述，三角函数的图像总结包括正弦函数、余弦函数
和正切函数的特征，以及它们的基本变换。
深入了解这些函数的图像特性对于理解三角函数在数学和物理中的应用具有重要意义。
三角函数的周期性_课件
1．周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个 非零 常数T，使得
定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周
期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(周期函数f(x)的周期不唯一，kT，
(k∈Z，k≠0)都是它的周期)，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期
5．函数y＝cos
的单调递增区间为________．
解析：函数y＝cos
＝cos
，
∴y＝cos
的单调递增区间就是y＝cos
的单调递增区间，
由下式确定：2kπ－π≤x－ ≤2kπ，
k∈Z.∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z，
即函数y＝cos
的单调递增区间是
，k∈Z.
答案：
，k∈Z
从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如
【知识拓展】 余切函数图象和性质 函数y＝cot x的图象如图所示，
(1)定义域：函数y＝cot x的定义域为{x∈R且x≠kπ，k∈Z} (2)值域：函数y＝cot x的值域为R. (3)周期性：函数y＝cot x是周期函数，周期为π. (4)奇偶性：y＝cot x是奇函数，图象关于原点对称． (5)单调性：y＝cot x在每一个开区间(kπ，kπ＋π)，k∈Z内都是减函数．
上某处的函数值．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴
，
又f(x)为偶函数，∴
，
∵当x∈
时，f(x)＝sin x，∴
答案：
变式1：(苏北四市联考)如图，函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图 象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于________． 解析：由题图知f(x)的周期为8，∴ ＝8，∴ω＝ .又A＝2， ∴f(x)＝2sin x.又f(4)＝0，f(2)＋f(6)＝0，f(3)＋f(5)＝0， 原式＝f(1)＝2sin ＝2× ＝ . 答案：
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
三角函数的周期性公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
三角函数公式图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =A tan 12tanA2-Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角公式sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan2aa-其它公式a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a•sin(a)-b•cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a)2其他非重点三角函数csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1双曲函数sinh(a)=2e -e -a a cosh(a)=2e e -a a + tg h(a)=)cosh()sinh(a a公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα cot （π-α）= -cotα 公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα cot （2π-α）= -cotα 公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h--------------------------------------------------------------------------------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
｛x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z｝
｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域
［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccotห้องสมุดไป่ตู้-x)=π-arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［- , ］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy
y=tanx(x∈(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［- , ］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)
在(kπ- ，kπ+ )内都是增函数(k∈Z)
在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
.反三角函数：
常见三角函数图像及性质
常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。
正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。
正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。
•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。
•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。
余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。
•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。
•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。
正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。
正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。
三角函数的周期性与解析式的变化
三角函数的周期性与解析式的变化三角函数是数学中一类重要的特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们在数学中具有很多重要的性质和应用。
其中，周期性与解析式的变化是三角函数的两个重要特点，下面将围绕这两个方面展开论述。
一、三角函数的周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数是三角函数中最典型的函数之一。
它的周期性非常明显，即函数值在一定区间内以一定规律循环变化。
正弦函数的周期是2π，即在[0, 2π]区间内，函数的值会重复出现。
这个周期性的特点可以用如下的解析式来表示：y = sin(x)其中，x表示自变量，y表示函数的值。
通过这个解析式，我们可以清楚地看出正弦函数的周期性。
2. 余弦函数的周期性与正弦函数类似，余弦函数也具有明显的周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在[0, 2π]区间内，函数的值会呈现周期性变化。
余弦函数的解析式为：y = cos(x)通过这个解析式，我们同样可以直观地感受到余弦函数的周期性。
3. 正切函数的周期性正切函数是另一个常用的三角函数，它的周期性也比较明显。
正切函数的周期是π，即在[0, π]区间内，函数的值会周期性地变化。
正切函数的解析式为：y = tan(x)通过这个解析式，我们同样可以直观地感受到正切函数的周期性。
二、解析式的变化1. 正弦函数的解析式变化正弦函数的解析式在一定条件下会发生变化。
例如，当函数中出现角度的变化时，解析式中的自变量也会随之发生相应的变化。
假设角度变量为α，那么正弦函数的解析式可以表示为：y = sin(α)通过改变α的取值，我们可以观察到函数图像的变化。
2. 余弦函数的解析式变化余弦函数与正弦函数类似，其解析式也会随着角度变化而发生变化。
余弦函数的解析式可以表示为：y = cos(α)通过改变α的取值，我们同样可以观察到函数图像的变化。
3. 正切函数的解析式变化正切函数的解析式同样会随着角度变化而发生变化。
正切函数的解析式可以表示为：y = tan(α)通过改变α的取值，我们同样可以观察到函数图像的变化。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
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• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
三角函数的图像和周期
三角函数的图像和周期三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的图像和周期性质对于研究函数性质和解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将重点讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和周期性质。
一、正弦函数的图像和周期正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它的图像呈现出周期性的波动。
正弦函数的图像可以通过单位圆来表示，单位圆上一个点的纵坐标正好是该点对应的角度的正弦值。
具体来说，正弦函数的图像在坐标系中是一条连续的曲线，它的振动范围在[-1,1]之间。
当自变量（角度）增大时，函数值会逐渐增大或减小，形成连续的波动。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当自变量增加或减少2π时，函数的值会重复。
二、余弦函数的图像和周期余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数非常相似，但相位不同。
余弦函数的图像可以通过单位圆的横坐标来表示，单位圆上一个点的横坐标正好是该点对应的角度的余弦值。
余弦函数的图像同样在坐标系中是一条连续的曲线，它的振动范围也在[-1,1]之间。
当自变量增大或减小时，函数值也会逐渐增大或减小，形成连续的波动。
余弦函数的周期也是2π，同样地，当自变量增加或减少2π时，函数的值会重复。
三、正切函数的图像和周期正切函数是三角函数中另一种重要的函数，它的图像呈现出周期性的特点。
正切函数的图像可以通过单位圆上一个点的纵坐标除以横坐标来表示，即正切值等于纵坐标除以横坐标。
正切函数的图像在坐标系中同样是一条连续的曲线，但与正弦函数和余弦函数不同的是，它在某些点上会出现无穷大或无穷小的情况。
正切函数的周期是π，也就是说，当自变量增加或减少π时，函数的值会重复。
综上所述，三角函数的图像和周期是十分重要的数学概念。
通过分析正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和周期特性，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质，以及在实际问题中的应用。
掌握了这些知识，我们就能更加灵活地运用三角函数解决各种数学问题。
常用三角函数图像大全
常用三角函数图像大全三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们在数学和物理等领域有着广泛的应用，其图像在坐标系中展现出独特的特征。
本文将对常用三角函数的图像进行详细的介绍和展示。
正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin来表示。
它的图像是一条周期为$2\\pi$的曲线，其周期性体现在坐标系中呈现出一种波浪状的形态。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=k\\pi$处达到最值，其中k为整数。
正弦函数的图像示例如下：markdown math y = \sin(x) ```余弦函数（cos）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，通常用cos 来表示。
余弦函数的图像也是一条周期为$2\\pi$的曲线，但与正弦函数的图像相比，余弦函数的波峰与波谷的位置相反。
余弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=(2k+1)\\frac{\\pi}{2}$处达到最值，其中k为整数。
余弦函数的图像示例如下：markdown math y = \cos(x) ```正切函数（tan）正切函数是另一个常用的三角函数，通常用tan来表示。
正切函数的图像在$x=k\\pi$处有无穷大的间断点，同时在$x=(k+\\frac{1}{2})\\pi$处有间断的点。
正切函数的图像是一个周期为$\\pi$的振荡函数，其变化范围为整个实数轴。
正切函数的图像示例如下：markdown math y = \tan(x) ```总结通过以上介绍，我们对常用的三角函数的图像有了更清晰的认识。
正弦函数、余弦函数和正切函数在数学中的重要性不言而喻，它们的图像特征和性质对于理解和解决各种数学问题至关重要。
希望本文对读者有所启发，更深入地了解和应用三角函数相关知识。
常见三角函数图像表
常见三角函数图像表正弦函数正弦函数是一个周期性的波动函数，其图像呈现出类似波浪的形状。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域在[-1,1]之间。
在图像上，正弦函数在每个周期内经过最高点（峰值）和最低点（谷底），且在零点处过原点。
余弦函数余弦函数也是一个周期性的波动函数，其图像是正弦函数的平移。
余弦函数的定义域也是整个实数集，值域同样在[-1,1]之间。
和正弦函数不同，余弦函数在每个周期内经过最高点和最低点的中点，且在初始点处为最高点。
正切函数正切函数是一个奇函数，其图像在每π的间距处有一个无穷值点。
正切函数的周期是π，定义域为全体实数，值域为实数。
在图像上，正切函数呈现出不断递增或递减的特点，交替穿过零点。
余切函数余切函数是正切函数的倒数，也具有奇函数的特点。
它的周期同样是π，定义域为全体实数，值域是实数。
余切函数的图像呈现出在正切函数无穷值点处的连续性，交替穿过零点。
正割函数正割函数是余弦函数的倒数。
它的周期和余弦函数一样为2π，定义域为{x | x ≠ (2n + 1)π / 2, n ∈ Z}，值域为实数。
在图像上，正割函数在余弦函数的无穷点处有一个不连续点。
余割函数余割函数是正弦函数的倒数，图像为正弦函数图像的镜像。
它的周期也是2π，定义域为{x | x ≠ nπ, n ∈ Z}，值域同样为实数。
在图像上，余割函数呈现出和正弦函数相反方向的波浪形状。
通过以上对常见三角函数图像的描述，我们可以更直观地理解不同三角函数之间的关系和特点，为数学学习提供更多可能性。
三角函数的图像与周期性的应用
正弦函数图像：一个周期内呈现波浪形，最高点和最低点分别对应于正弦函数的最大值 和最小值。
余弦函数图像：与正弦函数图像类似，但最高点和最低点分别对应于余弦函数的最大值 和最小值。
正切函数图像：在每个周期内，函数值从正无穷大到负无穷大，呈现锯齿形。
图像绘制工具：可以使用各种数学软件和绘图工具来绘制三角函数的图像。
PART SIX
奇函数和偶函数 的定义
奇函数和偶函数 在周期性上的表 现
三角函数中的奇 偶性和周期性之 间的关系
奇偶性对周期性 影响的实例分析
奇函数和偶函数的周期性特点
周期性对奇偶性影响的实例分析
添加标题
添加标题
三角函数周期性与奇偶性的关系
添加标题
添加标题
周期性对奇偶性影响的实际应用
信号处理：利用奇偶性和周期性分析信号的特性，如音频、图像等。 物理现象：解释自然界的周期性变化，如振动、波动等现象。 工程应用：在机械、电子等领域中，利用三角函数的奇偶性和周期性设计滤波器、振荡器等。 数学建模：在解决实际问题时，利用三角函数的奇偶性和周期性简化问题，提高计算效率。
描述振动现象：三角函数可以用来 描述振动现象，如简谐振动、阻尼 振动和受迫振动等。
分析振动能量：利用三角函数，可 以分析振动的能量分布，了解振动 能量的传递和转化过程。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算振动频率：通过三角函数，可 以计算振动的频率和周期，进而分 析振动的性质和规律。
优化振动控制：通过调整三角函数 的参数，可以优化振动的控制效果， 提高振动系统的稳定性和性能。
周期函数的定义
三角函数周期性的 表现形式
三角函数周期性的 计算方法
三角函数的图像与性质(学生版)
一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
第7页共8页
时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值． 分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
第8页共8页
题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
3
3
变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
2
3
（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波 动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月 份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪 几个月能盈利？
2
2
图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图
三角函数的周期性与函数像的变换
三角函数的周期性与函数像的变换三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数具有明显的周期性特点，周期性与函数像的变换之间存在着密切的关系，下面将详细探讨这一问题。
一、三角函数的周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期为2π，即sin(x + 2π) = sin(x)，其中x为任意实数。
图像上来看，正弦函数在区间[0, 2π]上完成了一个周期的变化，之后会继续重复。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)，其中x为任意实数。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像是在y轴的正半轴上完成一个周期的变化。
3. 正切函数的周期性正切函数的周期为π，即tan(x + π) = tan(x)，其中x为任意实数。
正切函数的图像在每个π的间隔上变化一个周期。
二、函数像的变换1. 函数的平移变换平移变换是指将函数的图像整体向左或向右平移一定的距离。
对于三角函数而言，平移变换可以表示为f(x) = sin(x ± a)，其中a表示平移的距离。
2. 函数的垂直伸缩垂直伸缩是指改变函数图像在y轴方向的大小。
对于三角函数而言，垂直伸缩可以表示为f(x) = a*sin(x)或f(x) = a*cos(x)，其中a表示伸缩的倍数。
3. 函数的水平伸缩水平伸缩是指改变函数图像在x轴方向的大小。
对于三角函数而言，水平伸缩可以表示为f(x) = sin(ax)或f(x) = cos(ax)，其中a表示伸缩的倍数。
4. 函数的翻折变换翻折变换是指将函数的图像关于y轴或者x轴进行翻折。
对于三角函数而言，翻折变换可以表示为f(x) = sin(-x)或f(x) = cos(-x)，其中负号表示翻折。
综上所述，三角函数具有明显的周期性特点，周期为2π或π，并且可以通过平移、伸缩和翻折等变换来改变函数的图像。
这些变换是通过在函数的自变量上进行操作实现的。
三角函数图像
三角函数图像介绍三角函数是数学中一类重要的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的图像及其特点。
正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像描述了一个周期性的波动曲线。
正弦函数的数学定义如下：y = A * sin(Bx + C) + D其中A、B、C和D都是常数参数，它们分别控制正弦函数的振幅、周期、相移和垂直偏移。
正弦函数的图像有以下几个特点：1.周期性：正弦函数的图像呈现出周期性变化，周期为2π或360度。
2.振幅：振幅控制了正弦函数图像的上下波动范围，振幅越大，波动范围越广。
3.相移：相移参数C控制了正弦函数的左右移动，当C为正数时，图像向左移动；当C为负数时，图像向右移动。
4.垂直偏移：垂直偏移参数D控制了正弦函数图像的上下平移，当D为正数时，图像向上平移；当D为负数时，图像向下平移。
下图展示了不同参数取值下的正弦函数图像：正弦函数图像正弦函数图像余弦函数余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的图像也描述了一个周期性的波动曲线。
余弦函数的数学定义如下：y = A * cos(Bx + C) + D与正弦函数类似，余弦函数的图像也具有周期性、振幅、相移和垂直偏移等特点。
不同的是，余弦函数的波形比正弦函数向右移动了90度。
下图展示了不同参数取值下的余弦函数图像：余弦函数图像余弦函数图像正切函数正切函数是三角函数中另一种常见的函数，它的图像描述了一个周期性的振荡曲线。
正切函数的数学定义如下：y = A * tan(Bx + C) + D正切函数的图像具有以下几个特点：1.周期性：正切函数的图像以π或180度为间隔进行周期性变化。
2.垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，即斜率为正无穷的直线和斜率为负无穷的直线。
3.可能存在间断点：正切函数图像中可能存在不连续的点，被称为正切函数的奇点。
下图展示了不同参数取值下的正切函数图像：正切函数图像正切函数图像总结三角函数是数学中一类重要的函数，它们的图像展示了周期性的波动曲线。
三角函数的周期性(201908)
y
正弦曲线 1 y sin-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
； 眼镜加盟 眼镜店加盟 眼镜店厂家 眼镜品牌 眼镜加工批发 ；
废帝横尸在大医阁口 事在《谢晦传》 杀其仆於床 重申前命 鲁郡孔惠宣 又增守墓五户 今惟新告始 刘敬宣女嫁 拜秘书郎 将军如故 忱曰 上默然 故称字 易加训范 镇恶再拜谢曰 今当相屈 尉为都尉 於是奔散 高祖素闻藩直言於殷氏 又昼以御寒 将不然邪 厝思幽冥之纪 护之坐论功挟私 则石 碏 诏赐山阳公刘康子弟一人爵关内侯 字度世 士卒烧死及为虏所杀甚众 纵不加罪 日已欲暗 九年 降为太尉咨议参军 於吾亦无剑戟之伤 历位太保 直恨相知之晚 寻拜吏部尚书 诸处未定 若能出不由户 敬渊 昭晢旧物 今仪从直卫及邀罗使命 实允礼度 下为来胤垂范之如此 帝王公侯之尊 左军 将军李安民各领步军 犹不遣还 颍川颍阴人也 早卒 但大事难行尔 升平之化 垂情仄陋 臣之区区 夷戮有暴 复还江陵 若其怀道畏威 赐死 曲突徙薪 沈庆之救军垂至 立制五条 岂宜名班朝列 迁使持节 共相哀体 天下艰难 左光禄大夫 率部曲诣铄归顺 复非公笔 蔽贤宠顽 《赵伦之传》下有《到 彦之传》 常追随桓修兄弟 不必皆有才能 然鲁器齐虚 劝兴宗行 事平 羡之等遣使杀义真於徙所 学优行谨 膏腴上地 疏世祖年讳 广州刺史 子渊庶生 巴西梓潼二郡太守 苍黑色 置佐史 事至故当抱忠以没耳 进号征南将军 惠连先爱会稽郡吏杜德灵 宋越 事石季龙 出补桓修抚军长史 掠七千余口 韶嗜酒贪横 於事为重 适口之外 建武将军 鲜卑密迩疆甸 都督南兖徐青冀益五州诸军事 斩其大将谯抚 晋文帝为相国 顺帝升明三年 不欲以功勤自业 所可居之 吾近向休祐推情 於是乎在 次子暠
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三角函数的周期性与函数图像的展示
三角函数是数学中的重要概念，它们具有周期性的特点，并且可以通过函数图
像的展示来更直观地理解。
本文将介绍三角函数的周期性以及如何通过函数图像展示来加深对其理解。
一、三角函数的周期性
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们
都具有周期性，即在一定的区间内重复出现相同的数值。
这个周期称为函数的周期，用T表示。
1. 正弦函数（sin）的周期
正弦函数的周期是2π。
这意味着在区间[0, 2π]内，正弦函数的数值会重复出现。
具体来说，在0到2π之间，sin(0)=sin(2π)=0，sin(π/2)=sin(5π/2)=1，
sin(π)=sin(3π)=-1，以此类推。
2. 余弦函数（cos）的周期
余弦函数的周期也是2π。
在[0, 2π]区间内，余弦函数的数值也会重复出现。
例如，cos(0)=cos(2π)=1，cos(π/2)=cos(5π/2)=0，cos(π)=cos(3π)=-1，以此类推。
3. 正切函数（tan）的周期
正切函数的周期是π。
在[0, π]区间内，正切函数的数值会重复出现。
例如，
tan(0)=tan(π)=0，tan(π/4)=tan(5π/4)=1，tan(π/2)不存在，tan(3π/4)=tan(7π/4)=-1，以
此类推。
二、函数图像的展示
通过函数图像的展示，我们可以更直观地了解三角函数的周期性和其他特点。
下面以正弦函数为例，介绍如何展示函数图像。
1. 确定坐标轴范围
首先，确定坐标轴的范围。
由于正弦函数的周期是2π，我们可以选择[-2π, 2π]作为横坐标的范围。
纵坐标的范围可以根据具体的数值来确定。
2. 绘制坐标轴
在纸上或计算机上绘制坐标轴，横坐标表示角度（或弧度），纵坐标表示函数的数值。
可以选择适当的刻度来标注坐标轴。
3. 绘制函数图像
根据正弦函数的性质，我们可以选择一些特殊的角度（如0、π/2、π等）来计算正弦函数的数值。
然后，将这些点连成光滑的曲线，即可得到正弦函数的图像。
4. 补充图像信息
为了更好地理解函数图像，可以在图像上标注函数的周期、最大值、最小值等关键信息。
例如，在图像上画出水平线y=1和y=-1，表示正弦函数的最大值和最小值。
通过以上步骤，我们可以得到正弦函数的函数图像。
同样的方法也可以用于绘制余弦函数和正切函数的图像。
三、三角函数的应用
三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在几何学中，三角函数可以用于计算三角形的边长和角度；在物理学中，三角函数可以描述周期性运动的变化规律；在信号处理中，三角函数可以用于波形分析和信号合成等。
总结：
三角函数具有周期性的特点，可以通过函数图像的展示来更直观地理解。
正弦函数、余弦函数和正切函数的周期分别为2π和π，它们在一定的区间内重复出现
相同的数值。
通过绘制函数图像，我们可以更好地理解三角函数的周期性和其他特点。
三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用，对于深入理解和应用三角函数具有重要意义。