高中数学北师大版必修1全册知识点总结

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北师大版高中数学必修一

北师大版高中数学必修一
北师大版高中数学必修一全称为《北师大版高中数学必修第一册》，其目录包括四章内容，如下：
1.第一章：集合与函数概念。

主要学习集合的含义与表示，常用数集及其记法，
集合与元素间的关系，以及集合的表示法。

2.第二章：函数。

学习函数的概念、函数的表示方法、函数的单调性和奇偶性
等性质，以及函数的实际应用。

3.第三章：指数函数和对数函数。

学习指数函数、对数函数的概念和性质，以
及它们的实际应用。

4.第四章：函数应用。

主要学习如何利用函数模型解决实际问题，包括建立函
数模型、求解模型参数等。

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(完整版),高中数学北师大版必修1全册知识点总结,推荐文档

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数N N *N +Z Q 集，表示实数集.R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂（或B A ）≠⊃，且B A ⊆B 中至少有一元素不属于A（1）（A 为非空子A ≠∅⊂集）(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A 集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它A (1)n n ≥2n 21n -有个非空子集，它有非空真子集.21n -22n -【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集3∁u (∁uA )=A,4∁u (A ∩B )=(∁uA )∪(∁uB ),5∁u(A ∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U ∁uA =∅CuA ∁uU =∅∁u∅=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)∁u ∁u ∁u ∁u ∁u ∁u 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的叫做象，叫做原象。

高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改

精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的元素；在集合B 中都有元素和它对应；这样的对应叫做到的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的叫做象；叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的；记作 .2．函数的三要素为、、；两个函数当且仅当分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有、、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的域是外函数f (x )的域.③实际应用问题的定义域；就是要使得有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑；取决于；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用法；④ y ＝x －x-1；可采用法；⑤ y ＝x －21x -；可采用法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个；②都有；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若；则f (x )在这个区间上是增函数；②若；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有；则称f (x )为奇函数；若；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称. 2）函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值的变化当x >0时；______；当x <0时；________ 当x >0时；________；当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性在(0；＋∞)上是增函数在(0；＋∞)上是减函数共点性图像过点______；即log a 1＝0函数值特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。

下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。

一、函数与方程1.函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.函数的图像与性质：函数图像的平移、翻折和缩放等。

4.方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示：等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。

2.数列的通项公式：求通项公式、求和公式等。

3.数列的前n项和与无限项和：有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。

4.数学归纳法的基本思想与应用。

三、平面向量1.向量的概念与运算：向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。

2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算：向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。

3.平面向量的应用：向量的共线性、向量的法则等。

四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制：角度与弧度的转化、正角和负角等。

2.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

3.三角函数的诱导公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。

5.解三角形：海伦公式、正弦定理、余弦定理等。

6.三角函数的应用：三角函数的模型求解等。

五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念：点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。

2.平面几何的证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。

3.圆的性质与判定：圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。

4.圆锥曲线：椭圆、双曲线的定义与性质。

5.空间几何基本概念：点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。

6.空间几何的投影：点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。

北师大版数学高一知识点总结

北师大版数学高一知识点总结高中数学是一门学科，它不仅是学生思维发展和逻辑推理能力培养的重要途径，同时也是实际应用的基础。

而北师大版数学教材作为高中数学的学习教材之一，内容丰富、深入浅出，对于高一学生来说至关重要。

下面我将结合北师大版数学高一教材，总结一些重要的知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学的基础概念，是高中数学的重点内容。

在高一的学习中，我们需要掌握的主要内容包括：1. 一次函数：了解一次函数的基本定义，掌握斜率的计算与性质，并能应用到实际问题中。

2. 二次函数：熟悉二次函数的基本性质，掌握抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等概念，并能灵活运用。

3. 高次函数：了解高次函数的特点，包括奇偶性、单调性等，并学会化简、展开和因式分解。

4. 指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本定义与性质，并能运用到实际问题中。

5. 三角函数：学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质与图像，能够解决相关的三角函数方程与不等式。

二、平面向量平面向量是高中数学中的重点内容，它是线性代数的一个重要分支。

在高一学年，我们需要学习的平面向量知识点主要有：1. 向量的基本定义：了解向量的概念，包括向量的模、方向和终点坐标等，并掌握向量的运算法则。

2. 向量的共线和垂直：熟悉向量的共线和垂直判定方法，能够通过向量的内积和外积判断向量的关系。

3. 向量的投影：掌握向量的投影概念和计算方法，能够应用到平面几何和物理问题中。

4. 向量与平面几何的应用：学会利用向量的知识解决平面几何问题，如直线的垂直和平行判定、角的平分线等。

三、概率与统计概率与统计是高中数学的另一大重要组成部分，是实际生活中经常用到的数学知识。

在高一学年，我们需要学习的概率与统计知识点主要包括：1. 随机事件与概率：了解随机事件和概率的概念，能够计算概率并应用到实际问题中，如排列组合和条件概率等。

2. 统计的基本概念：学习统计学中的基本概念，包括数据的收集、整理和处理方法，能够制作频数表、频率表和直方图等。

必修一数学北师大版

必修一数学北师大版
以下是北师大版必修一数学的主要内容：
1. 集合：集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算（交集、并集、补集）。

2. 函数概念与性质：函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性。

3. 一次函数与反比例函数：一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质。

4. 指数函数与对数函数：指数函数的图像和性质、对数函数的图像和性质。

5. 幂函数：幂函数的图像和性质。

6. 任意角的三角函数：任意角的三角函数的概念、三角函数的诱导公式、三角函数的图像和性质。

7. 三角恒等变换：三角函数的和差化积、三角函数的倍角公式。

8. 三角函数的实际应用：三角函数在解决实际问题中的应用。

以上内容仅供参考，具体的教学内容可能因教材版本、地区差异等因素有所不同。

高一北师大版数学知识点

高一北师大版数学知识点数学是一门重要的学科，在高中阶段尤其需要我们全面掌握各个知识点，为日后的学习打下坚实基础。

北师大版高一数学教材是我们学习的重要参考，下面将为大家介绍一些高一北师大版数学教材中的主要知识点。

一、直线与函数1. 直线的方程：包括一次函数的一般式、斜截式和截距式等形式。

掌握通过给定条件求解直线方程的方法。

2. 直线的性质：了解直线的斜率、截距等概念，掌握计算斜率的方法，能够根据斜率判断两条直线的关系。

3. 二元一次方程组：掌握解二元一次方程组的方法，包括代入法、消元法和相减法等。

二、平面向量1. 向量的定义与性质：了解向量的定义，学会用坐标表示向量，熟练掌握向量的加法、减法、数量乘法等运算。

2. 平面向量的坐标运算：能够根据向量坐标计算模长、方向角等，并灵活应用到具体问题中。

3. 向量的共线和垂直关系：学会判断向量的共线和垂直关系，能够应用到几何问题中解决。

三、三角函数1. 角度的度量与弧度制：了解角度和弧度的定义及相互转化的方法，能够运用到解决三角函数问题中。

2. 三角函数的定义与性质：掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义及性质，能够计算三角函数的值。

3. 三角函数的图像与性质：了解三角函数图像的特点，能够根据函数图像解决相关问题。

四、导数与微分1. 导数的概念：理解导数的定义，能够计算函数在某点处的导数，掌握导数的运算法则。

2. 函数的单调性与极值：学会利用导数判断函数的单调性和求函数的极值。

3. 函数的图像与导数关系：了解函数图像和导数之间的关系，能够根据导数图像推断函数图像的形态。

五、概率与统计1. 事件与概率：了解事件、样本空间和概率等基本概念，学会计算事件的概率。

2. 随机变量与概率分布：掌握离散型随机变量和连续型随机变量的定义及概率分布。

3. 统计图表与统计量：能够根据数据绘制各种统计图表，掌握均值、方差等统计量的计算方法。

以上只是北师大版高一数学教材中的一部分知识点，希望大家能够认真学习，掌握好每一个知识点。

新教材北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识知识点重点难点归纳总结汇总

第一章预备知识1 集合 (1)1、集合的含义 (1)2、集合的表示 (4)3、集合的基本关系 (9)4、交集与并集 (12)5、全集与补集 (16)2 常用逻辑用语 (19)1、必要条件与充分条件 (19)2、全称量词与存在量词 (23)3不等式 (27)1、不等式的性质 (27)2、基本不等式 (32)4一元二次函数与一元二次不等式 (36)1、一元二次函数 (36)2、一元二次不等式及其解法 (43)3、一元二次不等式的应用 (47)1 集合1、集合的含义知识点1 元素与集合的相关概念1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．知识点2 元素与集合的关系1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A.元素与集合之间有第三种关系吗？[提示]没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．知识点3 常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋N与N＋(N*)有何区别？[提示]N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.疑难解惑类型1 集合的概念【例1】下列给出的对象中，能构成集合的是( )①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校A．①③B．②④C．①④D．③④C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．类型2 元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)π是实数，2是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是正整数，则①②正确，故选B.(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a ＝4，综上知，a＝2,4.故选B.]1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．类型3 集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．a≠0且a≠1[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴a＝－1.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤0或1 [∵3∈A ，∴⎩⎨⎧a ＋3＝32a ＋1≠3或⎩⎨⎧a ＋3≠3，2a ＋1＝3，解得：a ＝0或a ＝1.]2、集合的表示知识点1 列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a ，b ，c ，…}．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a ，b }与{b ，a }表示同一个集合．知识点2 描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x 及x 的范围|x 满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合吗？ [提示] A ＝{x |x －1＝0}＝{1}与集合B 表示同一个集合．知识点3 集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合． 2．无限集：含有无限个元素的集合． 3．空集：不含任何元素的集合，记作∅.{0}与∅相同吗？[提示] 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．知识点4 区间及相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b闭区间[a，b]}{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？[提示](1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．疑难解惑类型1 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．[解](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．类型2 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．[解](1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．描述法表示集合的2个步骤注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．类型3 用区间表示集合【例3】将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．[解](1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．类型4 集合表示法的应用【例4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．1．(变条件)若集合A 中有2个元素，求k 的取值范围． [解] 由题意得⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16>0，解得k <1，且k ≠0.2．(变条件)若集合A 中至多有一个元素，求k 的取值范围． [解] ①当集合A 中含有1个元素时，由例4知，k ＝0或k ＝1； ②当集合A 中没有元素时，方程kx 2－8x ＋16＝0无解，即⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16<0，解得k >1.综上，实数k 的取值集合为{k |k ＝0或k ≥1}．集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．3、集合的基本关系1．Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示结论(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C若A＝B且B＝C，则A＝C(1)若A B且B C，则A C(2)若A⊆B且A≠B，则A B(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．疑难解惑类型1 集合间的关系的判断【例1】判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z .[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B .(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，①若由p (x )可推出q (x )，则A ⊆B ；②若由q (x )可推出p (x )，则B ⊆A ；③若p (x )，q (x )可互相推出，则A ＝B ；④若由p (x )推不出q (x )，由q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．类型2 子集个数问题【例2】已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M .[解] 集合M 含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5；含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．求集合子集、真子集个数的3个步骤类型3 集合间的关系的应用【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B? [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m ＋1<－22m －1>7，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x | x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7，解得m ≥6，综上得m ≤2或m ≥6.由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．注意：(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．4、交集与并集知识点1 交集文字语言一般地，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 与B 的交集，记作A ∩B 读作“A 交B ”符号语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } 图形语言运算性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ，A ⊆B ⇔A ∩B ＝A(1)当集合A ，B 无公共元素时，A 与B 有交集吗？ (2)若A ∩B ＝A ，则A 与B 有什么关系？ [提示] (1)有，交集为空集．(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B . 知识点2 并集文字语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫作集合A 与B 的并集，记作A ∪B 读作“A 并B ”符号语言 A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } 图形语言运算性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，A ⊆(A ∪B )，B ⊆(A ∪B )，A ⊆B ⇔A ∪B ＝B(1)集合A ∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数和？ (2)在什么条件下，集合A ∪B 的元素个数等于集合A 与B 的元素个数之和？ [提示] (1)不一定，A ∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数和．(2)A ∩B ＝∅.疑难解惑类型1 交集运算【例1】 (1){} |x x 是等腰三角形∩{x |x 是等边三角形}＝________. (2){} |x －1≤x ≤2∩{} |x 0≤x ≤4＝( ) A.{} |x 0≤x ≤2 B ．{} |x 1≤x ≤2 C.{} |x 0≤x ≤4D ．{} |x 1≤x ≤4(3)已知集合A ＝{}x | x ＝3n ＋2，n ∈Z ，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(1){x |x 是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为{} |x x 是等边三角形⊆{x |x 是等腰三角形}，所以{} |x x 是等腰三角形∩{} |x x 是等边三角形＝{x |x 是等边三角形}．(2)如图，所以{x |－1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4}＝{}x | 0≤x ≤2. (3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，所以A ∩B ＝{}8，14.]1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn 图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．类型2 并集运算【例2】 (1)设集合A ＝{}x | x 2＋2x ＝0，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则A ∪B ＝( )A.{}0 B ．{}0，2 C.{}－2，0D ．{}－2，0，2(2)已知集合M ＝{} |x －3<x ≤5，N ＝{}x | x <－5，或x >5，则M ∪N ＝( )A.{}x | x <－5，或x >－3 B ．{} |x －5<x <5 C.{} |x －3<x <5D ．{}x | x <－3，或x >5(3)已知集合A ＝{}1，4，x ，B ＝{}1，x 2，且A ∪B ＝{1,4，x 2}，则满足条件的实数x 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)D (2)A (3)A [(1)因为A ＝{}0，－2，B ＝{0,2}，所以A ∪B ＝{－2,0,2}．(2)如图，在数轴上表示两集合，所以M ∪N ＝{}x | x <－5，或x >－3.(3)由A ∪B ＝{}1，4，x 2，得x ＝x 2，又x ≠1，所以x ＝0.]在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．类型3 由集合的并集、交集求参数【例3】已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[解] ①当B ＝∅时，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A . ②当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合①②可知k ≤52.1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． [解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B . 所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎨⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．5、全集与补集1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U 表示．全集包含所要研究的这些集合．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？[提示] 全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．2．补集：(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集，记作∁U A .(2)符号：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }． (3)Venn 图(4)补集的性质①A∪(∁U A)＝U.②A∩(∁U A)＝∅.③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)．⑤(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．A，A，U三者之间有什么关系？∁U[提示]A⊆U，∁U A⊆U，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.疑难解惑类型1 补集运算【例1】已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁U B.[解]因为A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，如数轴：所以U＝A∪(∁U A)＝{x|x>2}，所以∁U B＝{x|2<x<4或x≥6}．求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．类型2 交、并、补的综合运算【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁A)∩B.R[解]把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∴∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∵∁R∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．类型3 补集及补集思想的应用【例3】设全集U ＝R ，A ＝{}x | x ＋m ≥0，B ＝{x |－2<x <4}，若()∁U A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解] 法一：∁U A ＝{}x | x ＋m <0＝{}x | x <－m ， ∵()∁U A ∩B ＝∅，∴－m ≤－2，∴m ≥2.法二：A ＝{}x | x ≥－m ，由()∁U A ∩B ＝∅，得A ⊇B ，∴－m ≤－2，∴m ≥2.1．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ＝B ”，求实数m 的值． [解] 由已知得∁U A ＝{}x | x <－m ，∁U A ⊇B ，所以－m ≥4，解得m ≤－4. 2．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U B ∪A ＝R ”，求实数m 的值． [解] 由已知得，A ＝{}x | x ≥－m ，A ⊇B ，所以－m ≤－2，解得m ≥2. 3．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ≠∅”，求实数m 的值． [解] 由例3知，当()∁U A ∩B ＝∅时，m ≥2，所以当()∁U A ∩B ≠∅时，m <2.1．要注意下面五个关系式A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩()∁U B ＝∅、()∁U A∪B＝U都与A⊆B等价．2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求∁U A，再∁U A＝A求A.由∁U()2 常用逻辑用语1、必要条件与充分条件知识点1 必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．知识点2 充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)这五种表述形式是等价的．知识点3 充要条件(1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p 是q的充要条件，记作p⇔q.(2)p 是q 的充要条件也常常说成“p 成立当且仅当q 成立”，或“p 与q 等价”．(3)当p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件．(1)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？ [提示] (1)正确．若p 是q 的充要条件，则p ⇔q ，即p 等价于q . (2)①p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是q 说明q 是条件，p 是结论．疑难解惑类型1 充分、必要、充要条件的判断【例1】下列各题中，p 是q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1；(2)p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p ：xy >0，q ：x >0，y >0；(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．[解] (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p ⇒q .反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p .所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0. 故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件．类型2 必要条件、充分条件的应用【例2】已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的充分不必要条件，得集合{x |－2≤x ≤10}是集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集，所以⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m <－21＋m ≥10，或⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m ≤－21＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.1．把本例中的“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的必要不充分条件，得集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }是集合{x |－2≤x ≤10}的真子集，当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝∅，即m <0时，符合题意；当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ≠∅，即m ≥0时，可得⎩⎨⎧ m ≥01－m >－21＋m ≤10 ，或⎩⎨⎧m ≥01－m ≥－21＋m <10，解得0≤m ≤3.综上得，实数m 的取值范围是m ≤3.2．本例中，是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] 若p 是q 的充要条件，则{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝{} |x －2≤x ≤10，即⎩⎨⎧1－m ＝－21＋m ＝10，由于该方程组无解，所以实数m 不存在．利用必要条件与充分条件求参数的取值范围 (1)化简p 与q ；(2)把p 与q 之间的关系转化为相应集合之间的关系； (3)利用集合之间的关系建立不等式； (4)解不等式求参数的取值范围．类型3 充要条件的探求与证明【例3】求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.[证明] ①必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即c a<0.②充分性：由ca<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝ca<0，所以两根异号．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．2、全称量词与存在量词知识点1 全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？[提示]该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．知识点2 存在量词命题与存在量词1．存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．[提示]是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”．知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∃x∈M，x不具有性质p(x)．2．存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∀x∈M，x不具有性质p(x)．如何对省略量词的命题进行否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．疑难解惑类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x －2y ＝10有整数解．[解] (1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题． (3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改表述为“存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立”．故为存在量词命题．1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．2．存在量词命题真假的判断要判断存在量词命题“存在x ∈M ，p ()x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得p ()x 0成立即可；如果在集合M 中，使得p ()x 成立的x 不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断【例2】判断下列命题的真假： (1)∃x ∈Z ，x 3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (4)∀x ∈N ，x 2>0.[解] (1)因为－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题．。

高一数学必修1(北师大版)第1章归纳总结

[分析] A∪B＝A 可得到 B⊆A.
[解析] 因为 A∪B＝A，所以 B⊆A. A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)(x－1)＝0} ＝{1,2}． (1)若 1∈B，则 2×1－a×1＋2 得 a＝4. 当 a＝4 时，B＝{1}⊆A.符合题意． (2)若 2∈B，则 2×22－2a＋2＝0 得 a＝5.
A．(0,1)，(1,2)
B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1，或 y＝2}
D．{y|y≥1}
[解析] M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}．所以 M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．选 D.
[答案] D
[方法总结] (1)集合是由元素构成的，认识集合要从认识
第二步：将 L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}， ∁U(M∪L)＝{0,5}中的元素在 Venn 图中依次定位；第三步：将元素 4,7 定位；第四步：根据图中的元素位置，得集合 M＝{2,3,4,7}，集合 L＝{1,4,6,7}．
分别求出当全集 U ＝ R ， A ＝ {x|x≥10} 和全集 U ＝ {x|x≥7}，A＝{x|x≥10}时的∁UA.
[解析] ∵x∈Z，且|x|≤2，
∴x＝－2，－1,0,1,2，但当 x＝0 时，y 不存在，故相应的 y＝
－
1 2
，
－
1,1
，
1 2
，
故
集
合
用
列
举
法
表
示
为
－2，－12，－1，－1，1，1，2，12
集合的特征
集合元素的互异性，是集合的重要属性．在解题过程中，集合元素的互异性常常由于被忽视而出错．

高一数学北师大知识点总结

高一数学北师大知识点总结高一数学学科是中学阶段数学学科教学的一个重要环节，也是学生建立数学基础的关键时期。

北师大数学教材是很多学校的主要教材，下面对于高一数学北师大教材的知识点进行总结和归纳，以便帮助学生更好地掌握和理解这些知识。

1. 数与代数运算- 自然数、整数、有理数、无理数、实数的性质及在数轴上的表示- 数的分类及运算规则，包括正数、负数、零的加减乘除运算 - 分数、百分数、比例与比例的应用- 指数与对数运算，包括指数律、对数律及其应用- 根式与实数的运算，包括开方、开方的运算性质和应用2. 几何与图形- 平面几何基本概念，包括点、线、面及其性质- 图形的基本概念，包括线段、角、多边形等几何图形的性质 - 各种几何图形之间的关系与性质，如相似、全等、投影等- 平行线与垂直线及其性质，包括平行线、垂线、相交线等 - 三角形的性质与判定，如三角形的内角和、外角、中位线、高线等- 圆的基本概念及其性质，如圆的周长、面积、切线等- 空间几何基本概念，如点、直线、平面、立体等3. 方程与函数- 一次方程及其解法，包括一元一次方程、两个一次方程联立等- 二次方程及其解法，包括一元二次方程、二元二次方程等 - 不等式及其解法，包括一元一次不等式、一元二次不等式等 - 函数及其表示与运算，包括函数的概念、函数的图象及其性质等- 初等函数及其图象，如常数函数、一次函数、二次函数、指数函数等- 函数的应用问题，如函数方程、函数的最值、函数的复合等4. 数列与数学归纳法- 数列的基本概念，如等差数列、等比数列、等差数列的前n 项和等- 数学归纳法的定义及应用，包括利用数学归纳法证明数学命题等5. 概率与数据统计- 统计基本概念，包括样本、总体、频数等- 数据的处理与分析，如数据的整理、频数统计、频率分布表等- 概率的基本概念及其计算这些是高一数学北师大教材的主要知识点总结，通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以在高一数学的学习过程中建立坚实的数学基础，为后续学习及应用数学打下牢固的基础。

数学高一必修一知识点北师大版

数学高一必修一知识点北师大版数学高一必修一知识点高一数学必修一是北师大版的教材，主要包含了代数、函数、数列和立体几何等内容。

这些知识点是学习高中数学的基础，并为以后更深入的学习奠定了坚实的基础。

下面将对其中的几个重要知识点进行介绍。

一、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数的运算规则和数关系。

在高一必修一的代数部分主要包含多项式的运算和因式分解。

1. 多项式的运算多项式是由若干项通过加法和减法连接而成的算式。

多项式的运算包括加法、减法和乘法，其中乘法也涉及到多项式与多项式的乘法和多项式与常数的乘法。

2. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个因子的乘积。

因式分解有基本公式法、公因式法和提取公因式法等方法。

二、函数函数是数学中一个重要的概念，函数是一种特殊的关系，它将自变量与因变量建立起一一对应的关系。

1. 函数的概念函数的概念包括定义域、值域、图像和性质等内容。

了解函数的概念是后续学习函数的基础。

2. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是高中数学中最基本的函数类型。

一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，形如y=kx+b；二次函数是指函数的最高次幂为2的函数，形如y=ax^2+bx+c。

三、数列数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列，在高一必修一的数列部分主要包括等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中每两项之间的差等于一个常数，这个常数称为公差。

等差数列有通项公式和求和公式。

2. 等比数列等比数列是指数列中每两项之间的比等于一个固定的常数，这个常数称为公比。

等比数列也有通项公式和求和公式。

四、立体几何立体几何是研究物体形状和空间关系的分支学科，在高一必修一的立体几何部分主要包括了点、线、面的性质和空间直角坐标系等内容。

1. 点、线、面的性质点、线、面是几何中最基本的几何元素，了解它们的性质对于后续学习立体几何很重要。

2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中引入直角坐标系，通过三个坐标轴确定一个点的位置。

北师大高一数学知识点汇总

北师大高一数学知识点汇总一、函数与方程1. 函数的定义与性质函数的定义：函数是一个将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

二次函数的性质：开口方向、顶点坐标、对称轴等。

3. 指数函数与对数函数指数函数的表达式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。

对数函数的表达式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。

指数函数与对数函数的性质：指数函数的图像特点、对数函数的图像特点等。

4. 幂函数与反比例函数幂函数的表达式为y = x^k，其中k为常数。

反比例函数的表达式为y = k/x，其中k为常数。

幂函数与反比例函数的性质：幂函数的图像特点、反比例函数的图像特点等。

5. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数的性质：周期、对称性、奇偶性、图像特点等。

二、数列与数学归纳法1. 数列与数列的表示方法数列：按一定规则依次排列的一串数。

数列的表示方法：通项公式、递推公式等。

2. 等差数列与等比数列等差数列：相邻两项之差都相等。

等比数列：相邻两项之比都相等。

等差数列与等比数列的性质及求和公式。

3. 数列的递推关系与通项公式递推关系：表示数列的前一项与后一项的关系。

通项公式：表示数列的第n项与n的关系。

4. 数学归纳法数学归纳法是用来证明关于自然数的命题的一种方法。

包括归纳基、归纳假设、归纳步骤等。

三、平面几何1. 角的概念与性质角的概念：由两条射线共同起点组成的图形。

角的性质：平分线、外角、内角和、同位角等。

2. 直线与平面直线的性质：平行线、垂直线、夹角等。

平面的性质：平行平面、垂直平面、平面图形等。

北师大高一数学知识点总结

北师大高一数学知识点总结在北师大高一的数学学习中，我们接触到了许多重要的知识点和概念，这些知识点对我们接下来的学习和应试都有着重要的影响。

下面，我将对北师大高一数学课程的知识点进行总结，希望能够为大家提供一个全面且有条理的学习参考。

一、函数与方程1. 函数的概念及性质函数是数学中的一个重要概念，表示输入和输出之间的关系。

函数的定义域、值域、单调性以及奇偶性等是我们需要关注的性质。

2. 初等函数及其性质包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的图像、定义域、值域、单调性以及性质的掌握十分重要。

3. 方程的解与方程的应用方程的解是我们需要求解的问题，要掌握方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、两个变量的线性方程组等。

方程的应用在数学中有着广泛的应用领域，例如几何问题、实际问题中的应用等。

二、几何1. 平面几何的基本概念平面几何涉及到的概念包括点、线、面、角、三角形、四边形等，对这些基本概念的理解和掌握是进行几何证明和计算的基础。

2. 四边形的性质与应用四边形是我们几何学习中常见的几何图形之一，了解四边形的性质和分类可以帮助我们进行几何证明和计算。

3. 三角形的性质与应用三角形是几何学中非常重要的一个概念，了解三角形的性质、分类和相关定理对于解决几何问题非常关键。

4. 圆的性质与应用圆是几何学中常见的几何图形之一，了解圆的性质、圆周率以及相关的定理和公式可以帮助我们计算和解决几何问题。

三、数列与数学归纳法1. 数列的概念及表示方法数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的，了解数列的概念以及表示方法对于数学归纳法和数学推理非常重要。

2. 等差数列及其应用等差数列是数列中的一种常见形式，了解等差数列的性质、公式及其应用可以帮助我们解决实际问题和进行数学证明。

3. 等比数列及其应用等比数列也是数列中的一种常见形式，了解等比数列的性质、公式及其应用可以帮助我们解决实际问题和进行数学证明。