高中数学北师大版必修1全册知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，

R 表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

A B =

真子集

A ≠

⊂B

（或

B ≠

⊃A ） B A ⊆，且B

中至少有一元素不属于A （1）A ≠

∅⊂（A 为非空子

集）

(2)若A B ≠

⊂且B C ≠

⊂，则

A C ≠

⊂

B

A

集合 相等

A B =

A 中的任一元

素都属于B ，B 中的任一元素都属于A

(1)A ⊆B

(2)B ⊆A

A(B)

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有

21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集 名

称 记

号

意义

性质

示意图

交集

A B

{|,x x A ∈且}x B ∈

（1）A

A A =

（2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆

A B B ⊆

B

A

并集

A B

{|,x x A ∈或}x B ∈

（1）A

A A =

（2）A A ∅= （3）A B A ⊇

A B B ⊇

B

A

补集{|,}

x x U x A

∈∉

且

⑴（

⑵

⑶

⑷

⑸

⑼集合的运算律：

交换律：.

;A

B

B

A

A

B

B

A

=

=

结合律:)

(

)

(

);

(

)

(C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

=

=

分配律:)

(

)

(

)

(

);

(

)

(

)

(C

A

B

A

C

B

A

C

A

B

A

C

B

A

=

=

0-1律：,,,

A A A U A A U A U

Φ=ΦΦ===

等幂律：.

,A

A

A

A

A

A=

=

求补律：A∩ A∪=U

反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)

第二章函数

§1函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。

二、函数

1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作 .

2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有、、。

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是 .

② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证函数g(x )的 域是外函数

f (x )的 域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：

1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）

例如：① 形如y ＝

2

21x +，可采用 法；② y ＝)3

2(2

312-≠++x x x ，可采用

法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －

x

-1，可采用 法；⑤ y ＝x －

2

1x -，可采用 法；⑥ y ＝

x

x

cos 2sin -可采用 法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

若函数f (x )在整个定义域l 只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .