古代趣味数学

古代趣味数学

篇一：中国古代的趣味数学

中国古代的趣味数学

——简析几个典型的古代数学问题

夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理

数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。

1. 鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。所以有鸡35-12=23（只）。解：假设全是鸡：35×2=70（只）

比总脚数少：94-70=24（只）

它们脚数的差：

4-2=2（只）

因此有兔子：24÷2=12（只）

鸡：35-12=23（只）

解法二（方程法）：解：

设兔有x只，则鸡有35-x只。

4x+2（35-x）=94 2x=24

x=12

35-12=23（只）

故：有鸡23只，兔12只。

除此之外还有解

法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6

解法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

一个简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？

2.百鸡问题

百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。

书中写道：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？

意思是：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值三文钱，而3 只小鸡值1 文钱。现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？，

“答

原书的答案是：曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。”

这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，它实际是一个求不定方成整数解的问题。

解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只。

则,由题意知: ①x ＋y＋z ＝100

②5x＋3y＋(1/3)z ＝100

令②×3－①得: 7x＋4y＝100’

所以

y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t为整数）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

易得z=75+3t

所以：x=4t

y=25-7t

z=75+3t

因为x,y,z大于等于0

所以4t≥0

25-7t≥0

75+3t≥0

解之得：0≤t≤25/7

又t为整数

所以t=0,1,2,3

当t=0时

x=0,y=25,z=75

当t=1时

x ＝4；y ＝18；z ＝78

当t=2时

x ＝8；y ＝11；z ＝81

当t=3时

x ＝12；y ＝4；z ＝84

小小的一个百鸡问题让我们看到了古人数学智慧，一题多答的解题方法也让我们感受到数学严谨之外多变的魅力。

3.孙子定理

孙子定理来源于物不知其数问题，出自于一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？

变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。

这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

另一个著名的例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？

这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，?代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+ 15m，分别把m=1，2，?代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合