三角形中的数列经典结论

三角形中的数列经典结论

【定理1】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .

无论sinA 、sinB 、sinC 成等差数列或1sin A 、1sin B 、1sin C

成等差数列; 还是a 、b 、c 成等差数列或

1a 、1b 、1c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦

. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .

无论sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或A 2sin 1、B 2sin 1、C

2

sin 1

成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;

还是a 2 、b 2、c 2成等差数列或

21a 、21b 、21c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦

. 【定理2】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .

无论sinA 、sinB 、sinC 成等比数列或1sin A 、1sin B 、1

sin C

成等比数列; 还是a 、b 、c 成等比数列或

1a 、1b 、1c 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦

. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .

无论sin n A 、sin n B 、sin n C 成等比数列或

A n sin 1、

B n sin 1、C

n sin 1

成等比 数列;

还是a n 、b n 、c n 成等比数列或

n a 1、n b 1、n

c 1()

*∈N n 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦

.

【定理1证明】

1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC ⇔2b =a +c

再由余弦定理得： cosB=222222224()()3()2288a c b a c a c a c ac

ac ac ac

+-+-++-==

∵a 2

+c 2

≥2ac ∴cosB=223()28a c ac ac

+-≥628ac ac ac -=1

2

当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈(0,

3

π

]. 2) 由等差中项公式和正弦定理得

2112112sin sin sin ac

b B A C b a

c a c

=+⇔=+⇔=

+ 再由余弦定理得 cosB=222

2

2

2

2(

)

22ac a c a c b a c ac ac +-+-+=

∵a 2+c 2≥2ac ⇔(a +c ) 2≥4ac ⇔22()ac a c +≤ac ∴a 2+c 2－2

2()ac a c

+≥2ac －ac =ac ∴ cos B≥2ac ac =1

2

,当且仅当a =c 时等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调

递减，

故B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

【推论证明】由a 2 、b 2、c 2成等差数列得2b 2=a 2+c 2,

再由余弦定理得cosB=2222a c b ac +-=

ac c a ac c a c a 4222

22

22

2

+=+-+≥ac ac 42=12

, 当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故

B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

同理可证若

21a 、21b 、21c

成等差数列或sin 2A 、sin 2B 、sin 2

C 成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;或A 2sin 1、B 2sin 1、C 2sin 1

成等差数列,都

有B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

【定理2证明】 由等比中项公式和正弦定理得： sin 2B=sinAsinC ⇔

ac b C A B C

A B =⇔=⇔=2

22

sin sin sin sin sin 1sin 1 再由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=

222a c ac

ac +- ∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB≥

22ac ac ac -=2ac ac =12

, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故

B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

【推论证明】在△ABC 中，若sin n A 、sin n B 、sin n C ()

*∈N n 成等比数列, 则b 2n =a n c n , 即b 2=ac.

由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=

222a c ac ac

+-≥22ac ac ac -=2ac ac =1

2, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故

B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

同理可证若

n a 1、n b 1、n c

1成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、C n sin 1()

*∈N n 成等比数列,都有B ∈0,3π⎛⎤

⎥⎝⎦

.

【典例1】 在△ABC 中，

C 2sin 1、B 2sin 1、A

2sin 1

成等差数列, 且p =(sinB, 1)，q =(1, cosB)，

证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(

；