三角形中的数列经典结论

三角形中的数列经典结论
【定理1】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .
无论sinA 、sinB 、sinC 成等差数列或1sin A 、1sin B 、1sin C
成等差数列; 还是a 、b 、c 成等差数列或
1a 、1b 、1c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .
无论sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或A 2sin 1、B 2sin 1、C
2
sin 1
成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;
还是a 2 、b 2、c 2成等差数列或
21a 、21b 、21c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【定理2】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .
无论sinA 、sinB 、sinC 成等比数列或1sin A 、1sin B 、1
sin C
成等比数列; 还是a 、b 、c 成等比数列或
1a 、1b 、1c 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .
无论sin n A 、sin n B 、sin n C 成等比数列或
A n sin 1、
B n sin 1、C
n sin 1
成等比 数列;
还是a n 、b n 、c n 成等比数列或
n a 1、n b 1、n
c 1()
*∈N n 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
【定理1证明】
1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC ⇔2b =a +c
再由余弦定理得： cosB=222222224()()3()2288a c b a c a c a c ac
ac ac ac
+-+-++-==
∵a 2
+c 2
≥2ac ∴cosB=223()28a c ac ac
+-≥628ac ac ac -=1
2
当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈(0,
3
π
]. 2) 由等差中项公式和正弦定理得
2112112sin sin sin ac
b B A C b a
c a c
=+⇔=+⇔=
+ 再由余弦定理得 cosB=222
2
2
2
2(
)
22ac a c a c b a c ac ac +-+-+=
∵a 2+c 2≥2ac ⇔(a +c ) 2≥4ac ⇔22()ac a c +≤ac ∴a 2+c 2－2
2()ac a c
+≥2ac －ac =ac ∴ cos B≥2ac ac =1
2
,当且仅当a =c 时等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调
递减，
故B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【推论证明】由a 2 、b 2、c 2成等差数列得2b 2=a 2+c 2,
再由余弦定理得cosB=2222a c b ac +-=
ac c a ac c a c a 4222
22
22
2
+=+-+≥ac ac 42=12
, 当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故
B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
.
同理可证若
21a 、21b 、21c
成等差数列或sin 2A 、sin 2B 、sin 2
C 成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;或A 2sin 1、B 2sin 1、C 2sin 1
成等差数列,都
有B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【定理2证明】 由等比中项公式和正弦定理得： sin 2B=sinAsinC ⇔
ac b C A B C
A B =⇔=⇔=2
22
sin sin sin sin sin 1sin 1 再由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=
222a c ac
ac +- ∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB≥
22ac ac ac -=2ac ac =12
, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故
B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【推论证明】在△ABC 中，若sin n A 、sin n B 、sin n C ()
*∈N n 成等比数列, 则b 2n =a n c n , 即b 2=ac.
由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=
222a c ac ac
+-≥22ac ac ac -=2ac ac =1
2, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故
B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
同理可证若
n a 1、n b 1、n c
1成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、C n sin 1()
*∈N n 成等比数列,都有B ∈0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【典例1】 在△ABC 中，
C 2sin 1、B 2sin 1、A
2sin 1
成等差数列, 且p =(sinB, 1)，q =(1, cosB)，
证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(
；
(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为512⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭；
(3)函数h (B)=
q
p •+12的值域为(
1)⎤-⎦.
【典例2】 在△ABC 中，
C n sin 1、B n sin 1、A
n
sin 1
()
*∈N n 成等比数列,
且p cosB)， q =(sinB ，－1)， 证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(]1,1-；
(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为7,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；
(3)函数h (B)=
q
p q p •+1(2)
1),⎡+∞⎣.。