高二数学互斥事件、对立事件教案

互斥事件、对立事件

【学习目标】

1．理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据它们的定义来辨别一些事件是

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【基础知识精讲】

本节内容主要有两部分：一是互斥事件、对立事件的基本概念，二是互斥事件概率加法

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如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥（互不相容）．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，则A∩B＝∅．易知，必然事件与不可能事件是互斥的．如果A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说，事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此各不相交．例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和

再如，掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。事件A：向上的数字大于4；事件B：向上的数字小于3；两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件．若事件A向上的数字大于4，事件B向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的．因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B

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如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立（互逆）事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组

成的集合的补集．也即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝U，通常事件A的对立事件记作A．由

定义知，互斥事件是对立事件的必要不充分条件．即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．如掷正方体玩具向上的面的数字大于4和向上的数字小于3两个事件，A、B是互斥的但不是对立．因为A、B两个事件可以都不发生．若事件A是向上的数字为偶

数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件，对立事件A和A的概率性质为P（A）＋P（A）＝1，即两个对立事件的概率和为1

3．互斥事件A与B

由于集合是可以运算的，可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么“在同一试验中，A或B至少有一个发生”这一事件，则称为A与B的和，记作A＋B （或A∪B）．教材仅限于两互斥事件的和事件．推而广之，“A1＋A2＋…＋A n”表示这样一

A2，…，A n

个事件：在同一试验中，A

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两互斥事件的和的概率，等于这两事件的概率的和．即P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．更一般地，有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和．即)()(11i n

i n i i A P A P ∑∑===

利用这一定理来求概率的步骤是：（1）要确定这诸事件彼此互斥；（2）这诸事件中有一发生；（3）先求出这诸事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：（1）（2

）两

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对立事件的概率和等于1，即P （A ）＋P （A ）＝1

．通常，当直接求某一事件的概率

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在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，

利用概率的可加性及对立事

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互斥事件是不可能同时发生的事件，它可以是两个事件之间，也可以是多个事件之间；对立事件首先应

［例1］某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E

为“一种报也

（1）A 与C ；（2）B 与E ；（3）B 与D ；（4）B 与C ；（5）C 与E

解：（1）由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C

不是互

（2）事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与

E

（3）事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与

D

（4）事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与

C

（5）由（4）的分析，事件E “一种报也不订”只是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与

E

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从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．而在对立事件中，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A

所含的结果组

［例2］如果事件A 、B 互斥，那么（

A ．A ＋

B 是必然事件

B ．A ＋B

C ．A 与B 一定互斥

D ．A 与B

解：对于选项A ：事件A ＋B 相当于集合A ∪B ，显然它不一定为全集，故不一定为必然事件，不能选A

对于选项B ：事件A ＋B 相当于集合)()()(B A U B U A U ⋂-=-⋃-，由于A 、B 互斥，故A ∩B ＝∅，所以U B A U =⋂-)(，即A ＋B 为必然事件，故选B

对于选项C 、D 评注：利用集合思想可以帮助我们理解基本概念，也可以帮助我们判断一些命题的真假，

其关键在于事件A 、B 所对应的集合与全集U

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［例3］向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1

解：设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P （A ）＝0.025，P （B ）＝P （C ）＝0.1

又设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，因为

∴P （D ）＝P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225

评注：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥

值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用概率加法公式．例如把抛掷一个正方体玩具（各面分别标有数1～6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过3，那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了．现在再看A ＋B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5，所以 P （A ＋B ）＝

32，而P （A ）＝21，P （B ）＝21，显然P （A ＋B ）≠P （A ）＋P （B 4

所谓对立事件就是某事件的反面，用集合观点看就是某集合的补集，当某个事件包含的情况（即基本事件）太多时，或者含有“至多”“至少”这样的字眼时，可考虑对立事件．

［例4］一批产品共100件，其中5件是废品,任抽10件进行检查，求下列事件的概率．

（1）10

（2）10

策略：10件产品中恰有0、1、2、3、4、5

解：设A i 为事件“10件产品中恰有i 件废品”，其中i ＝0、1、2、3、4、5，易知A i （i ＝0，1，…，5