高二数学互斥事件、对立事件教案

互斥事件、对立事件【学习目标】1．理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据它们的定义来辨别一些事件是234【基础知识精讲】本节内容主要有两部分：一是互斥事件、对立事件的基本概念，二是互斥事件概率加法1如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥（互不相容）．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，则A∩B＝∅．易知，必然事件与不可能事件是互斥的．如果A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说，事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此各不相交．例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和再如，掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。

事件A：向上的数字大于4；事件B：向上的数字小于3；两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件．若事件A向上的数字大于4，事件B向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的．因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B2如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立（互逆）事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．也即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝U，通常事件A的对立事件记作A．由定义知，互斥事件是对立事件的必要不充分条件．即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．如掷正方体玩具向上的面的数字大于4和向上的数字小于3两个事件，A、B是互斥的但不是对立．因为A、B两个事件可以都不发生．若事件A是向上的数字为偶数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件，对立事件A和A的概率性质为P（A）＋P（A）＝1，即两个对立事件的概率和为13．互斥事件A与B由于集合是可以运算的，可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么“在同一试验中，A或B至少有一个发生”这一事件，则称为A与B的和，记作A＋B （或A∪B）．教材仅限于两互斥事件的和事件．推而广之，“A1＋A2＋…＋A n”表示这样一A2，…，A n个事件：在同一试验中，A4两互斥事件的和的概率，等于这两事件的概率的和．即P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．更一般地，有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和．即)()(11i ni n i i A P A P ∑∑===利用这一定理来求概率的步骤是：（1）要确定这诸事件彼此互斥；（2）这诸事件中有一发生；（3）先求出这诸事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：（1）（2）两5对立事件的概率和等于1，即P （A ）＋P （A ）＝1．通常，当直接求某一事件的概率6在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，利用概率的可加性及对立事1互斥事件是不可能同时发生的事件，它可以是两个事件之间，也可以是多个事件之间；对立事件首先应［例1］某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E为“一种报也（1）A 与C ；（2）B 与E ；（3）B 与D ；（4）B 与C ；（5）C 与E解：（1）由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C不是互（2）事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E（3）事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D（4）事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C（5）由（4）的分析，事件E “一种报也不订”只是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E2从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．而在对立事件中，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组［例2］如果事件A 、B 互斥，那么（A ．A ＋B 是必然事件B ．A ＋BC ．A 与B 一定互斥D ．A 与B解：对于选项A ：事件A ＋B 相当于集合A ∪B ，显然它不一定为全集，故不一定为必然事件，不能选A对于选项B ：事件A ＋B 相当于集合)()()(B A U B U A U ⋂-=-⋃-，由于A 、B 互斥，故A ∩B ＝∅，所以U B A U =⋂-)(，即A ＋B 为必然事件，故选B对于选项C 、D 评注：利用集合思想可以帮助我们理解基本概念，也可以帮助我们判断一些命题的真假，其关键在于事件A 、B 所对应的集合与全集U3［例3］向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1解：设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P （A ）＝0.025，P （B ）＝P （C ）＝0.1又设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，因为∴P （D ）＝P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225评注：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用概率加法公式．例如把抛掷一个正方体玩具（各面分别标有数1～6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过3，那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了．现在再看A ＋B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5，所以 P （A ＋B ）＝32，而P （A ）＝21，P （B ）＝21，显然P （A ＋B ）≠P （A ）＋P （B 4所谓对立事件就是某事件的反面，用集合观点看就是某集合的补集，当某个事件包含的情况（即基本事件）太多时，或者含有“至多”“至少”这样的字眼时，可考虑对立事件．［例4］一批产品共100件，其中5件是废品,任抽10件进行检查，求下列事件的概率．（1）10（2）10策略：10件产品中恰有0、1、2、3、4、5解：设A i 为事件“10件产品中恰有i 件废品”，其中i ＝0、1、2、3、4、5，易知A i （i ＝0，1，…，5（1）设A 为事件“10件产品中至多有1件废品”，则有A ＝A 0＋A 1，又由于A 0与A 1互P （A ）＝P （A 0＋A 1）＝P （A 0）＋P （A 1）＝101009951510100109505C C C C C C +⋅＝0.923（2）（法一）设B 为事件“10件产品中至少有1件废品”，则有B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5，而且A 1，A 2，…，A5P （B ）＝P （A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A5＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＋P （A 5 ＝416.0C C C C C C C C C C C C C C C 10100595551010069545101007953510100895251010093515=⋅++⋅+⋅+⋅ （法二）由于B 的对立事件为“10件产品中无废品”，即B ＝A∴P （B ）＝1－P （B ）＝1－P （A 0）＝1－10100109505C C C ⋅＝0.416评注：抽查产品问题与摸球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握．（1）“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即m ≤1（又m ∈N ，∴m ＝0，1），其反面是“有2件以上废品”，即m ≥2（故m ＝2，3，4，5）．“至少有一件废品”的意义是“可以有一件废品，可以有两件废品，…，可以有五件废品”即m ≥1，（故m ＝1，2，3，4，5），其反面是“没有废品”，即m ≤0（故m ＝0）．要正确理解“至多”“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反面去解简单．（2）注意求概率的直5互斥事件与对立事件的关系前面早有叙述，不再重复．等可能事件与互斥事件、对立事件不属于同一概念范畴，它们只是从不同的角度去研究问题，且等可能事件是计算互斥事件［例5］一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球得到的是（1）红或黑的概率；（2解：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝43129=． （2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P 2＝121112245=++【学习方法指导】根据事件的性质，把比较复杂的事件分解为几个简单的互斥事件，从而直接套用概率求［例1］某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10策略：射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用 解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A 1、A 2、A 3、A4∵A 2、A 3、A4∴P （A 2＋A 3＋A 4）＝P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76又∵A 1＝432A A A ++∴P （A 1）＝1－P （A 2＋A 3＋A 4）＝1－0.76＝0.24A 1与A 2互斥，且A ＝A 1＋A2∴P （A ）＝P （A 1＋A 2）＝P （A 1）＋P （A 2）＝0.24＋0.28＝0.52即这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率是0.52评注：要注意理清各个事件之间的关系，分清哪些事件是互斥的，哪些不互斥，在将一当一个事件从正面考虑比较困难，比较繁杂时，它的反面肯定比较简单，这时我们可以先考虑反面，即先求其对立事件的概率，从而求出原事件的概率，这也是“正难则反”思想［例2］学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216策略：可先设既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则该队的队员人数为（5＋7－x ）人．如图10－6－110－6－1解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x 名，则该队中只会唱歌和只会跳舞的队员的人数为（12－2x ）名，只会唱歌的人有5－x 人，只会跳舞的人有7－x 人，从中选出3人，记A 为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则A 的对立事件A 为“3人都只会唱歌或只∵P （A ）＝3123212C C x x --，∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－2116C C 3123212=--xx ∴215)10)(11)(12()210)(211)(212(=------x x x x xx解得x ＝3．∴12－x ＝9．∴该文娱队共有9评注：（1）注意集合元素个数的计算方法：card （A ∪B ）＝card A ＋card B －card （A ∩B ）．（2）本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因为人数不知，所以从正面做较繁．［例3］从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（A ．至少有一个白球，都是白球 BC ．恰有1个白球，恰有2个白球 D解：至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}（注：（白，红）表示一白一红两个球），都是白球＝{（白，白）}两集合的交集非空，故不能选A至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}，至少有一个红球＝{（白，红）、（红，红）}，其交集也非空，不为互斥事件，不能选B恰有1个白球＝{（白，红）}，恰有2个白球＝{（白，白）}，交集为空集，两事件是互斥事件，又两集合的并集＝{（白，红）、（白，白）}≠{（白，白）、（白，红）、（红，红）}（此为全集），故两事件不对立．所以选C对于选项D ，也可以同法判定两事件对立，不选D评注：两事件互斥，必有A ∩B ＝∅；两事件对立，必有A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝U【知识拓展】［例1］证明：若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率等于事件A 、B分析：此结论课本上是用一个等可能事件的例子加以说明的．这个说明实质上已经给出证明：设在某一随机试验之下，共有N 种等可能出现的结果，其中有m 1个结果属于事件A （也就是这m 1个结果中任何一个发生都表示A 发生），有m 2个结果属于事件B ．这里，因A 与B 是互斥的，所以属于事件A 的m 1个结果与属于事件B 的m 2个结果中不存在相同的结果．事件A ＋B 的发生表示A 与B 中有一个发生，就是说，在上述属于A 的m 1个结果连同属于B 的m 2个结果中，有任何一个结果发生都表示A ＋B 发生．因此，P （A ＋B ）＝Nm m 21+． 又已知P （A ）＝N m 1，P （B ）＝Nm 2 P （A ＋B ）＝N m N m N m m 2121+=+＝P （A ）＋P （B说明：上述证明虽然是就等可能性事件证明的，但此公式对非等可能性的互斥事件仍然［例2］两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时可以离去，图10－6－2解：以x 、y 分别表示二人到达时刻（精确到分），0≤x ≤60，0≤y ≤60二人会面的充要条件为|x －y |≤20．这是一个几何概率问题．可能结果的全体为边长为60分的正方形，可能会面的点的区域为图10－6－2故所求概率为P ＝9560)2060(60222=--【同步达纲训练】1．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（A ．至多有一次中靶 BC ．两次都不中靶 D2．袋中5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．73B ．1413C ．101D ．413．从4个男生、3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的概率是（A ．3512B ．3534C ．53D ．52 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（A ．32024116C C C B ．32024216C C C C ．32031614216C C C C +⋅ D ．以上均不对5．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人下成和棋的概率为50%，则甲获胜的概率为_______6．一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，3…，9．从中任取两张，其号数至少有一个为奇数的概率为_______7．一个口袋内装有3个红球和n 个绿球，从中任取3个，若取出的3个球中至少有一个是绿球的概率是3534，则n ＝_______8．口袋里放了12个大小完全一样的球，其中3个是红色的，4个是白色的，5个是蓝色的，从袋里取出4（1（2参考答案一、1．解析：“至少有一次中靶”包括一次中靶、两次中靶两种情况．A ：至多有一次中靶也包括有一次中靶的情况，故不能选．同理B 不能选，“两次都不中靶”显然与“至少有一次中靶”不能同时发生，故选C答案：C2．解析：摸出的4个球全为白色的概率141705C C 48451===P ．∴所求概率P ＝1－P 1＝1413． 答案：B3．解析：所求概率35343511C C 14744=-=-=P 答案：B4．解析：所求概率P ＝1－320316142161411632034C C C C C C C C +⋅+⋅=答案：D二、5．解析：因为甲不输包括甲胜与战和两种情况，故甲获胜的概率应为80%－50%＝30%．答案：30%6．解法一：一奇一偶的概率P 1＝95C C C 291415=；二个全为奇数的概率P 2＝185C C 2925=∴所求概率P ＝P 1＋P 2＝6518595=+解法二：两个数全为偶数的概率P 0＝61C C 2924= ∴所求概率P ＝1－P 0＝1－6561= 答案：65 7．解析：据题意3333C C 13534+-=n ，∴n ＝4 答案：4三、8．解：（1）设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为A ，A 的对立事件为A ，其中全为白色的有1种，全为蓝色的有5种，则P （A ）41241251C C +=＝165249554951=+ ∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－1651631652= 答：取出的球的颜色至少是两种的概率为165163（2）设取出4球中，1个红色、1个白色、2个蓝色的事件为A 1；1个红色、2个白色、1个蓝色的事件为A 2；2个红色、1个白色、1个蓝色的事件为A 3，且事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，所以所求的P （A 1＋A 2＋A 3）＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）412151423412152413412251413C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=＝1164956049590495120=++ 答：取出的球的颜色是三种的概率为116。