八年级上册数学几何证明定理

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八年级数学理科班讲义教学-几何证明

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （） ________3、【应用练习】选择题1．下列说法正确的有（）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ，且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

数学八年级上册勾股定理

数学八年级上册勾股定理一、勾股定理的内容1. 定理表述- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。

2. 定理的证明- 赵爽弦图证明法- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。

- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b>a），斜边为c。

大正方形的面积可以表示为c^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。

- 四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab = 2ab，中间小正方形的边长为b - a，其面积为(b - a)^2=b^2-2ab+a^2。

- 所以c^2=a^2+b^2。

- 毕达哥拉斯证法（拼图法）- 用四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个以a + b为边长的正方形。

- 这个大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即4×(1)/(2)ab+c^2=2ab +c^2。

- 所以a^2+b^2=c^2。

二、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的两边求第三边- 当已知两条直角边求斜边时，直接使用c=√(a^2)+b^{2}。

例如，直角边a = 6，b = 8，则c=√(6^2)+8^{2}=√(36 + 64)=√(100)=10。

- 当已知一条直角边和斜边求另一条直角边时，使用a=√(c^2)-b^{2}（设c为斜边，b为已知直角边）。

例如，斜边c = 13，一条直角边b = 5，则a=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。

2. 解决实际问题中的直角三角形问题- 例如，在一个长方形中，已知长为8米，宽为6米，求对角线的长度。

数学沪科版八年级(上册)第3课时三角形内角和定理及推论

度数是 90° .
A 60°
1 D
B
110° CE
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
∴∠C=∠1
∠2=∠4
F
E
∴∠A=∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180° B
2
4
13 D
C
A
∴∠A+∠B+∠C=180°

F
2 13
D
E 4
C
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
A
B
C
D
△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角 ∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
A
B
C
D
证明： △ABC中 ∵∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（平角定义） ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） A
（等量代换）
D
A E
=180°.
B
C
2. 补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明 D是BC边上一点，过点D作
DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于
点E，F.
B
∵ DE//AB，（所作）
A
F
2 13
D
E 4
C
∴∠A=∠4
∠B=∠3
又∵DF//AC
A
B
C
D
推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角

初二数学几何知识点初中数学几何定理大全

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
14
中心对称定理
定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
四、全等三角形判定
定理：全等三角形的对应边、对应角相等
边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
12
菱形定理
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
13
正方形定理
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
16
中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h
17
相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

八年级数学上册几何定理的表达与证明

八上数学定理的几何表达一、三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

几何表达式：在△ABC中，AB+AC＞BC;AB-AC＜BC;二、三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

几何表达式：（1）∵AH是ΔABC的高∴∠AHC=90°（垂直定义）(2) ∵∠AHC=90°∴AH是ΔABC的高（判定垂直）三、三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.几何表达式：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD（性质）(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线（判定）四、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何表达式：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是∠BAC的平分线（角平分线判定）五、三角形的内角和与外角和（1）三角形的内角和180°；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（1）在△ABC中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°（2）在Rt△ABC中，∵∠B=90°∴∠A+∠C=90°（3）∠ACD=∠A+∠B（4）∠ACD>∠A∠ACD>∠B六、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, AC=DF, BC=EF∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.七、全等三角形的判定1. 三边对应相等的两个三角形全等. 边边边（SSS）2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 边角边（SAS）3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角边角（ASA）4. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 角角边（AAS）5. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 斜边、直角边（HL）（1）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EFAB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）（3）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）（4）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）（5）在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）或在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）∠A＝∠D∠B＝∠EAB＝DE∠A＝∠DBC＝EF∠B＝∠EAC＝A′C′AB＝A′B′BC＝B′C′AB＝A′B′八、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。

初中数学几何定理大全

（ 2）N边形的内角和：（ n －2）× 180° .
（ 3）任意多边形的外角和都为 360°
28、平行四边形的性质：
（ 1）平行四边形的对边平行且相等；
（ 2）平行四边形的对角相等；
（ 3）平行四边形的对角线互相平分。
-可编辑修改 -
29、平行四边形的判定 : （ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（ 2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（ 3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（ 4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（ 5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 30、矩形的性质：（ 1）具有平行四边形的所有性质（ 2）矩形的四个角都是直角；（ 3）矩形的对角线相等且互相平分 . 31、矩形的判定：（ 1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（ 2）有三个角是直角的四边形是矩形 . （ 3）对角线相等的平行四边形是矩形。 32、菱形的性质：（ 1）具有平行四边形的所有性质（ 2）菱形的四条边都相等；（ 3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 . 33、菱形的判定：（ 1）四条边相等的四边形是菱形 . （ 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（ 3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 34、正方形的性质：（ 1）具有矩形、菱形的所有性质（ 2）正方形的四个角都是直角；（ 3）正方形的四条边都相等；（ 4）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 . 35、正方形的判定：（证明既是矩形又是菱形）（ 1）有一个角是直角的菱形是正方形；（ 2）有一组邻边相等的矩形是正方形 . （ 3）对角线相等的菱形是正方形（ 4）对角线互相垂直的矩形是正方形 36、等腰梯形的判定：（ 1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；（ 2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形 . 37、等腰梯形的性质：（ 1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；（ 2）等腰梯形的两条对角线相等 . 38、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半 . 四、相似形与全等形 39、全等多边形的对应边、对应角分别相等 . 40、全等三角形的判定：（ 1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（ SSS.） . （ 2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（ SAS.）（ 3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等 (ASA). （ 4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（ AAS.）（ 5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等 . （ H.L. ） 41、相似三角形的性质：对应边、周长、对应线段的比均等于相似比，面积比等于相似比的平方 42、相似三角形的判定：（类似于全等判定）（ 1）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。（ 2）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；

初中数学如何证明勾股定理在平面直角坐标系中的几何意义

初中数学如何证明勾股定理在平面直角坐标系中的几何意义。

在平面直角坐标系中，我们可以使用几何方法证明勾股定理的几何意义。

以下是证明过程：假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，点C的坐标为(x₃, y₃)。

根据直角三角形的性质，我们可以知道点A到点B的距离为AB，点B到点C的距离为BC，点A到点C的距离为AC。

根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式，我们可以得到：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)我们要证明的是：AB² + BC² = AC²。

将上述三个式子代入上式，得到：(√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²))² + (√((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²))² = (√((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²))²化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² = (x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²进一步化简得到：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0我们可以将上式分成两部分进行证明：第一部分：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - (x₃ - x₁)² - (y₃ - y₁)² = 0将(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²展开得到：(x₂² - 2x₁x₂ + x₁²) + (y₂² - 2y₁y₂ + y₁²) - (x₃² - 2x₁x₃ + x₁²) - (y₃² - 2y₁y₃ + y₁²) = 0化简得到：x₂² + y₂² - x₃² - y₃² = 2x₁(x₃ - x₂) + 2y₁(y₃ - y₂)我们知道∠C为直角，所以直角三角形ABC中AB和BC垂直，即斜率之积为-1。

【初中数学++】定理与证明+课件+华东师大版八年级数学上册

第13章全等三角形
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
华师大版-数学-八年级上册
教学目标
1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念.【重点】 2．掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.【难点】 3.感受证明的必要性，培养说理有据，有条理地表达的良好意识.
( √) ( √) (√)
探索新知
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.
探索新知
例如下列的真命题作为基本事实： 1.两点确定一条直线； 2.两条之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
试一试：画一个钝角三角形试试看.
探索新知
思考：（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
掌握新知
上面的几个例子说明了什么问题？通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
情境导入
试判断下列句子是否正确：（1）如果两个角பைடு நூலகம்对顶角，那么这两个角相等. （2）两直线平行，同位角相等. （3）同旁内角相等，两直线平行. （4）平行四边形的对角线相等. （5）直角都相等. （6）三角形的内角和等于180°. （7）等腰三角形的两个底角相等 .

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理初中数学中的几何证明定理有很多，下面列举一些较为常见和重要的：1.垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交的两条直线分成的两对相邻角互为互补角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，且直线AB垂直于直线CD，那么∠AOC和∠BOD构成一对互补角，同时∠AOD和∠BOC构成一对互补角。

2.同位角定理：如果两条平行线被一条横截线相交，那么相交的各对同位角相等。

证明：假设平行线AB与CD被平行于它们的条横截线EF相交于点O，那么∠AEO和∠COF，∠FEO和∠DOF互相等。

3.对顶角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的相邻角互为对顶角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOB和∠COD、∠BOC和∠AOD互为对顶角。

4.垂直角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的互为相对角的两对角中，有一对互为垂直角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOC和∠BOC互为相对角，如果直线AB与直线CD垂直，那么∠AOC和∠BOC互为垂直角。

5.三角形的内角和定理：一个三角形的内角的和等于180°。

证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，以AB为边作一个封闭的三角形ABC，再以BC为边作一个封闭的三角形ACB。

根据同位角定理，∠BAC+∠BCE=∠ACB+∠ACD，即∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠BCE，因此∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACB，即∠BAC+∠ACB+∠ACB=180°。

6.线段的三等分定理：对于线段AB上的任意一点C，如果AC与CB 的长度相等，那么AC与CB将线段AB分为三个相等的部分。

证明：利用数学归纳法，首先取一点D在线段AB上，并且AD的长度为BD的两倍，那么根据线段的加法性质，我们有AB=AD+BD=AD+AD=2AD。

几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版

逆命题为“三条边对应相等的三角形全等”，成立.故答案为①④.
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知：如图，QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
⁠
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角平分线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，

沪科版数学八年级上册13.2命题与证明三角形内角和定理优秀教学案例

2.设计一系列子问题，如“三角形内角和能否大于180度？”“三角形内角和是否等于180度？”等，引导学生逐步深入探究。
3.引导学生运用转化思想，将复杂的几何问题转化为简单的问题，提高学生解决问题的能力。
4.鼓励学生提出自己的疑问，组织讨论，促进学生思维的发展。
（三）小组合作
1.组织学生分组进行讨论，鼓励学生互相交流、分享思路。
3.通过示例，讲解如何运用三角形内角和定理解决实际问题，让学生体会数学的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计探究活动，让学生分组讨论如何证明三角形内角和定理。
2.引导学生运用归纳推理、类比推理等方法，深入探究三角形内角和成果，互相交流、学习。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结三角形内角和定理的证明方法，巩固所学知识。
2.总结三角形内角和定理在实际生活中的应用，强调数学的实际价值。
3.引导学生反思自己在讨论过程中的表现，总结自己的优点和不足。
（五）作业小结
1.设计课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中运用转化思想，提高解决问题的能力。
3.鼓励学生在课后进行自主学习，深入研究三角形内角和定理的相关知识。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握三角形内角和定理，理解并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生空间想象能力，通过观察、实践，让学生能够形象地理解三角形内角和定理。
3.培养学生逻辑思维能力，学会运用归纳推理、类比推理等方法，证明三角形内角和定理。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将所学知识运用到生活中，提高学生解决实际问题的能力。
4.运用多媒体技术辅助教学，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。

沪教版八年级上册几何证明的总结与练习资料

精品文档几何证明知识整理第十九章一、知识梳理：、有关概念：1命题、公理、定理命题：判断一件事情的句子叫做命题。

(1) 结论)。

命题的形式：如果…(题设)，那么…( 命题中，结论正确的是真命题，结论错误的是假命题。

(2)公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。

(3)定理：用推理的方法证明为真命题，且可作为判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理。

(4)逆命题和逆定理在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题。

如果两个定理是互逆命题，那称它们为互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

M2、重要定理：P★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

B A AB垂直平分线段∵MN如图：NPA=PB∴逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

PA=PB∵如图：A 的垂直平分线上在线段AB ∴点P ★角平分线D 定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

P OBPE⊥AOB PD⊥OA，如图：∵OP平分∠OPD=PE ∴B E逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

OB ⊥，⊥OAPE如图：∵PD=PE PDAOB平分∠∴OP ★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

）（H.L这SSSSAS、⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA、AAS、RT（注意：必须先证明两个三角形都是）四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。

A ★直角三角形的性质及判定 A 1：直角三角形的两个锐角互余。

定理°A+∠B=90C=90如图：∵∠°∴∠定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

DB C（直角、中点→想一半） AB的中点DACB=90如图：∵∠°，且点是A1BABCD?C∴2°，那么它所对的直角边等：在直角三角形中，如果一个锐角等于301推论于斜边的一半。

八年级数学第1课时勾股定理及其证明优秀教案

第十七章勾股定理第1课时勾股定理及其证明1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.2.了解利用拼图验证勾股定理的方法.3.能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.探索和验证勾股定理.用拼图的方法证明勾股定理.一、情景导入，感受新知创设情境：欣赏图片国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会〞，2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，上图就是大会会徽的图案.你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的根本图形组成？这个图案有什么特别的意义？这个图案是我国汉代数学家赵爽创造的，被称为“赵爽弦图〞.今天我们就用这个图形来验证几何学上的瑰宝：“勾股定理〞！二、自学互研生成新知【自主探究】内容，完成以下问题：阅读教材P22～24问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传在2500多年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系.(1)现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？(2)你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗？(3)正方形A，B，C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？归纳：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.【合作探究】问题2：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方〞呢？如图，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，①②中分别有一个直角边分别是3，4和2，3，我们以这两个直角三角形的三边为边向外作正方形.(2)想一想，怎样利用小方格计算正方形A，B，C的面积？A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图①16 9 25图② 4 9 13 A，B，C A＋B＝C面积关系直角三角边三边关系两直角边的平方和等于斜边的平方(3)正方形A ，B ，C 面积之间的关系是什么？ (2)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？归纳：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.【师生活动】①明了学情：关注学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益.②差异指导：对学生存在的疑惑及时引导、点拨.③生生互助：学生独立观察思考，小组内交流讨论、相互解疑释惑. 三、典例剖析运用新知【合作探究】例1：根据图，利用面积法证明勾股定理.(总统证法)教师提出问题：上图就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图中的面积吗？伽菲尔德总统是这样分析的： S 梯形ABCD ＝12(a ＋b)2，S 梯形ABCD ＝S △ABE ＋S △ECD ＋S △AED ＝12ab ＋12ab ＋12c 2. 则有12(a ＋b)2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，化简可得a 2＋b 2＝c 2.例2：在直角三角形中，各边的长如图①，②，求出未知边的长度.解：图①中，x＝72＋32＝58图②中，x＝102－42＝221【师生活动】教师指导学生阅读教材24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的.学生在弦图验证的根底上，参照教材开展拼图活动，以小组为单位，合作探究.四、课堂小结回忆新知本节课学到了什么知识？同学们还存在什么困惑？总结：1.勾股定理的内容.2.如何验证勾股定理.3.利用勾股定理，直角三角形的两边求第三条边的长.五、检测反应落实新知1.下面图形中未知正方形的面积为__325__.2.如下图，一棵大树在一次强烈台风中于离地面5米处折断倒下，18__米.3.求出以下各直角三角形中未知边x的长度.,①x＝__15__),②x＝__12__),③x＝__13__)4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b ＝23，c＝3，求△ABC的面积.解：∵a＋b＝23，∴a2＋b2＋2ab＝12，又由题知a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝3 2，∴S△ABC＝12ab＝34.六、课后作业稳固新知见学生用书.。

八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称

轴对称是几何学中的一个重要概念，用来描述平面中的一种关系。

在轴对称中，存在一个轴线，使得轴线上的每个点关于轴线的对称点也在这个平面上。

轴对称的定义：在平面上，如果存在一条直线，对于平面内的任意一点P，如果点P关于这条直线的对称点也在这个平面上，那么就称这个平面具有轴对称性，而这条直线就是这个平面的轴线。

轴对称的性质：1.因为轴对称是一条直线，所以它没有长度和宽度，只有方向。

2.平面中的任意两点关于轴线对称，其对称点也在同一条直线上。

3.对于平面内的任意一点P，点P关于轴线的对称点为P'，则有PP'=r，其中r为轴线到点P的距离。

轴对称的判定方法：1.直接判定：根据定义，通过观察图形，判断图形是否具有轴对称性。

2.射线法：可以用一根射线作为轴线，将图形分成两部分，再观察这两部分是否关于射线对称。

3.过相应点法：如果图形上已知两个或多个对称点，则可以连接这些点，得到的直线就是轴线。

轴对称的应用：1.在几何证明中，轴对称常常被用来构造等边、等角等形状。

2.在日常生活中，很多物体都具有轴对称性，比如书本、门窗等。

轴对称的例题：例题1：判断下列图形是否具有轴对称性，并给出轴线的方程。

(1)点A(1,1)关于直线y=1对称；(2)点B(3,4)关于直线x=3对称；(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称。

解答：(1)点A(1,1)关于直线y=1对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=1(2)点B(3,4)关于直线x=3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为x=3(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=-2x+3例题2：已知A(2,3)关于直线y=2x对称，求点A'的坐标。

解答：因为A(2,3)关于直线y=2x对称，所以A和A'关于这条直线对称。

设点A'的坐标为(x,y)。

根据对称性可以得到以下关系：x+2y=4（点A和A'在直线y=2x上）2x+x=4（点A和A'在直线x=2上）解方程组得到x=1，y=1所以A'的坐标为(1,1)。

沪教版八年级数学上册命题和证明

证明：“相等的两个角是对顶角”是假命题。
证明：如图，∠1=30°，∠2=30°，但∠1与∠2不是对顶角。
1 2
判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请（证1）明若：∣a∣=∣b∣,则a=b；
（2）如果ab>0，那么a、b都是正数；
（3）互为补角的两个角都是锐角。
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180° B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…”
的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么” 开始的部分是结论.
指出下列命题的题设和结论: 1、如果两条直线相交，那么它们只
有一个交点；题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点

初中数学所有几何证明定理精编版

初中数学所有几何证明定理精编版一、直线垂直定理定理：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率乘积为-1证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2、由于两条直线互相垂直，则L1与L2的斜率乘积为-1，即k1×k2=-1二、垂直平分线定理定理：如果一条直线垂直平分一条线段，那么它必过这条线段的中点。

证明：设直线L垂直平分线段AB，即将线段AB分成等长的线段AC和CB。

假设直线L不过线段AB的中点D，那么必然存在一点E在线段AB的另一侧，使得直线LE与线段AB垂直，这与直线L垂直平分线段AB的前提相矛盾，所以直线L必过线段AB的中点D。

三、三角形角平分线定理定理：三角形中，角的平分线上的点到边的距离成比例。

证明：设三角形ABC的角A的平分线交边BC于点D，AD是直线BC的角A平分线。

利用三角形相似性可以得到以下等式：AD/BD=AC/BCAD/CD=AB/BC将两个等式相加得到(AD/BD)+(AD/CD)=(AC/BC)+(AB/BC)，化简后可得到AD/BD+CD=AC/BC+AB/BC，再进一步整理得到AD/(BD+CD)=AC/BC，即AD和BC上的点到边的距离成比例。

四、三角形相似条件定理定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

证明：设△ABC和△DEF是两个具有对应相等角A,B,C和D,E,F的三角形。

根据角度相等和三角形内角和为180°的性质，可知∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°。

再根据第三个内角为180°的三角形内角和为180°的性质，得知∠C=∠F。

因此，这两个三角形具有两对相等角，所以根据三角形相似的定义，△ABC和△DEF相似。

五、等腰三角形性质定理定理：等腰三角形的两个底角相等。

证明：设△ABC是一个等腰三角形，AB=AC。

假设∠A≠∠B，那么根据三角形内角和为180°的性质，必存在一个角∠C使得∠A+∠B+∠C=180°。

八年级数学上册第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件

第十一页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据：已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：

初中数学几何证明题的知识点总结

几何证明题的知识点总结知识点：一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。

三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定（1)同位角相等，两直线平行（2)内错角相等，两直线平行（3)同旁内角互补，两直线平行3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理：（1）RT 的两个锐角互余。

（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论：（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。

（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。

2、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a222=+3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。

4、全等三角形的判定定理（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等（2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质定理：（1)平行四边形的对边相等（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等）（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的两条对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：(1)四边都相等的四边形是菱形．(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质：（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定定理：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)九、（等腰)梯形梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．等腰梯形判定定理：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

八年级数学上册第五章几何证明初步 5.4 平行线的性质定理和判定定理课件

内容(nèiróng)总结
5.4 平行线的性质定理和判定定理。2.了解互逆命题、互逆定理的概念。互逆命题、原命题、逆命题、逆定理。1.指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知、求证．。2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.。你会证明“平行线的性质定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补”吗。做一做。∴∠2=∠1（两直线平行，。∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∠1=∠3 (对顶角相等).。祝同学(tóng xué)们学习进步
∵∠1=73° （已知）
∴∠2=73°（等量代换(dài ） huàn)
∵a ∥b （已知）
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3=180°－∠ 2 （等式的性质）
∴∠3=180°－73 °=107 °（等量代换）
第九页，共二十一页。
a b
平行线判定定理1:
两条直线被第三条直线所截,如 (zhíxiàn)
注：先确定命题的条件(tiáojiàn)和结论，然后再确定逆命题。
第十六页，共二十一页。
已知：如图，DE ∥BC， ∠ADE=55 °，
∠C=54 °，求∠B和∠DEC的度数(dù shu)
A D B
E C
注：在以后的证明问题中，括号(kuòhào)及括号(kuòhào)里的依据可以不写。
第十七页，共二十一页。
1.指出定理(dìnglǐ)的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知、求证． 2. 说说你的证明(zhèngmíng)思路,试着写出证明过程.
第五页，共二十一页。
已知:如图,直线(zhíxiàn)AB∥CD,AB,CD被直线EF所截,∠1和∠2
是内错角.