浅谈解析几何教学中的思维训练

浅谈解析几何教学中的思维训练

思维是数学的灵魂，数学教学的核心是思维训练。我在课堂实践中，将思维教学贯穿于数学教学，既提高学生思维的积极性、深刻性、灵活性和广阔性，又激发学生对数学自主学习的能力，收到了良好的教学效果。本文试就解析几何教学中思维训练做一些探究。

一、展示知识的形成过程，激发学生思维的积极性

几何教学是一个逻辑性很强的思维活动的过程，它包含传授知识和发展能力两个方面的要求。知识是思维的产物，它的发生、发展、深入过程就是一个思维训练过程，如果能加强知识形成过程的教学，把结果教学转变为过程教学，将发现过程返璞归真地交给学生，让他们清楚地感受集合逻辑体系，而不是“固定”的定义、公式、定理。这样就能有效地发挥书本知识的思维价值，激发学生思维的积极性。

如在数学概念的教学中，让学生明确数学概念是现实世界事物（数量关系和空间形式）的本质属性在人们头脑中的反映。教学中首先要淡化概念，根据教材特点，选择教学方法，揭示概念的发生过程，呈现概念的形成过程，从而让学生掌握概念的本质属性。在讲授椭圆的概念时，我准备了四颗钉子、两根细绳、两根粉笔，让六名学生分成两组到黑板前面自己动手演示，得出椭圆是由到两个定点（两颗钉子）的距离和是常数（一根绳长）点的轨迹的结论。在具体过程中让学生总结出必须在满足绳长大于两颗钉子的距离时，轨迹才是一个椭圆。而且，发现随着两颗钉子的距离的改变，椭圆的形状也发生变化等等。在此基础上进行方程的推导、应用也就水到渠成。

这一节课，学生们兴趣盎然，思维积极。通过对概念的展示，不仅大部分学生完全掌握了概念，而且在此为基础推导出椭圆的方程，突破教学难点，抓住教学重点，为后面的学习打好基础。实践证明，让学生直接参与发现知识的发生与形成过程，有利于克服认知领域的困难，引发头脑中智慧的火花，伴随着积极思维所带来的成功的愉悦，学生们的学习兴趣和求知欲望进一步被调动起来，由于教师把枯燥的原理形象化了，把抽象的结论具体化了，使得学生学得轻松，学得愉快，学得好，记得牢，用得活。

二、重视数学思想的渗透，提高学生思维的深刻性

数学思维是数学知识的灵魂，是对教学规律的理性认识。解析几何是一门基础学科，它的基本特点是数形结合、形象思维。在教学中，教师注意培养学生思维深刻性品质，引导学生领悟教学内容所蕴涵的思想方法，及时渗透一些类比、化归、数形结合等数学思想，提高学生的能力，发展学生的智力。

如在教学圆的方程时，把高中新知识与初中学习过的点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系相衔接。在教学双曲线、抛物线时与刚学过的椭圆知识相对照，既注意知识的纵向联系，又注意知识结构中横向联系，帮助学生架起新旧知识的“认知桥梁”，逐渐形成类比的思想意识。

数与形在学生的脑海中犹如油和水，是两个完全分离的事物，要让学生转变观念，就必须用事实让学生知其然，并让学生知其所以然，学生才能心服口服。而圆锥曲线中点与曲线、直线与曲线、曲线与曲线的位置关系中一些问题结合图形才能解答。又如曲线交点则要通过联立方

程组由解的个数才能确定等。

很显然，在教学中有意识地渗透一些数学思想方法，让学生从不自觉到自觉地运用这些科学方法对问题进行分析、归纳、总结、概括。从而克服思维的盲目性，提高思维的深刻性，实现由“学会”到“会学”的转变。

三、注重技能方法的训练，培养学生思维的灵活性

技能的训练是学生把知识、思想方法内化的过程。它是巩固知识、培养能力、发展智力的重要途径。因此也是教学过程的重要组成部分。在教学中，教师要注重问题的典型性，以质保量，以少胜多，充分挖掘题目中知识因素和能力因素，引导学生触类旁通。同时，注意对题目进行变式、变形和延伸，让学生的思维进一步发散，在动态中开发智力因素。合理地转化或变更问题是衡量思维的灵活性的重要标志，培养学生思维的灵活性，就是使学生思维始终处于那种“追求从另一角度观察和思考问题”的动态之中。

如问题一：已知圆的方程x 2+y 2=2，当b 为何值时，直线y =kx +b 与圆有两个交点；一个交点；没有交点。

变式一：集合M=｛)

,(y x y =x x 22+-｝，N=｛),(y x y =k （3-x ）+1｝，且M N =○，则k 的范围。

变式二：设直线y=kx+1及曲线x=

12+y 有两个不同的交点，求k

的取值范围。

变式三：试问能否找到一个斜率为k （k ≠0）的直线1与椭圆32x +2y =1

交于两个不同的点M 、N 且使M 、N 到点A （0，-1）的距离相等，若存在，

试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

又如问题二：过抛物线y=a 2x （a ＞0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则p 1+81

等于（ ） （A ）2a （B ）a 21

（C ）4a （D ）a 4

这个问题可以先让学生各抒己见，发表意见，然后引导学生分别从交点弦长、直线的参数方程、极坐标、矩形、极限等角度解决问题。通过一题多解，培养学生思维的灵活性。

另外，教学中还要选择一些常规方法难以解决或解法很繁而用某种特殊方法却能迅速获解的题目来启迪学生思维，消除思维定势的影响，跳出常规解法的圈子，从而培养思维的灵敏性。