浅谈解析几何教学中的思维训练

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高中数学教学中如何培养学生的思维能力

高中数学教学中如何培养学生的思维能力摘要：数学教学实践表明，激发与引导学生的思维，是提高课堂教学效率的有效手段。

数学教学作为一种思维教育、素质教育，它的主要任务之一就是培养学生的数学思维能力，这也是每一位数学教师必须认真思考的问题。

关键词：高中学生；数学思维能力；培养策略数学作为一门基础科学，已越来越多地渗透到各个领域，成为各种科学技术、生产建设、文化教育、日常生活等不可缺少的工具。

数学教学作为一种思维教育、素质教育，培养学生的数学思维能力是其主要任务之一。

在数学教学中，只有多方式、多途径、有计划、有步骤地启发和调动学生进行积极的思维活动，培养学生创造性思维与数学思维能力，才能使他们适应社会的发展。

一、用链接式的方法训练学生的思维让学生在课堂上听懂教师讲的课并不难，让他们仿照例题解几道题也完全可以，但是要让学生用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的事了。

对此，教师必须放弃“前提——结论”式的教学模式，以思维为主流，用链结式的方法使学生展开思路。

例如，数列概念一节，教师可以采用链接式的方法进行教学。

由集合的概念→引入数列概念→列举出课本中的几个数列→对比集合的特点→结合实例归纳出数列的特点→对比集合中的元素→引出数列中的项→由此得出其序号→由序号与项的对应→联想到映射→一一映射，整个过程都是联系对比学生所学知识，能很自然地引出新的问题，既突出了重点，又化解了难点，并且把所有知识串联起来，一气呵成。

二、以言育情，吸引学生的动情思维语音是思维工具，是数学教师的重要素养之一。

教师的课堂教学语言应声情并茂、言简意赅、准确生动、启发性强、思维严密，达到系统性与逻辑性、趣味性与艺术性的完美和谐统一，进而使学生的情思盎然。

教师在进行教学时，语言要简单、明了、形象，具有可行性、通俗性，不能含糊其词、模棱两可，否则会引起学生的思维混乱。

在数学教学中，教师的教学语言具有号召力，有利于教学信息的有效传输，有助于学生形成生动活泼、动情思维的学习状态，因此，教师在教学中应当注重以言育情，使学生用耳去听，用心领会，用脑思维。

落实新课程标准,培养数学思维能力——以高中解析几何教学为例

方面容易遇到的问题，然后针对问题提出来解决方案。【关键词】高中数学；解析几何；新课程标准
在高中数学的教学过程中，以前的教学方法是以教师的教为主体，不注重学生的实践能力。在新课程标准下，结合了教师的教、学生的学、课堂的评为一致性的教学方法，做到以学生为主体。关注学生的思维逻辑、学－＞－ｊ状态等，新课程标准理念从教学中做出比较大的改革，在教学中则更注重于把数学与日常生活紧密联系在一起，让学生体验到数学在日常生活中的实际应用。因此，高中数学要提高教学质量，得从培养学生数学思维能力开始。
２（０总１第８年３００２５期月）
■理种研生／数学
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ＮＳｏｅ．ｒ０ｉａ５ｌ，２Ｎ０ｏ１８．３０２
落实新课程标准，培养数学思维能力
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以高中解析几何教学为例
戴荣
（江苏省包场高级中学，江苏南通２２６１００）
【摘要】在教育改革新课程标准的理念下，解析几何在高中的数学课程中是重点题材，难度也是比较大，如果不能够及时发现学生遇到的问题帮助其解惑，那在教学当中是不利的。本文以解析几何教学为例，提出了当前高中生在数学解析几何
一、思维能力培养的障碍
１．学习态度不端正数学这一门课程对思维逻辑要求比较高。高中的数学几何学＞－－ｊ方法更是重点难点，学生不愿意动脑筋思考，所有
的题目答案都等着老师在课堂依赖性太强。这对于数学提高教学质量造成了极大影响。

解析几何解题思维策略

策略3.特殊与一般
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点
P ，且点 P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；
y kx m
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx mk
且由韦达定理得
xP
xP
2a2km b2 a2k2
．由点
P
在第一象限，
xP
a2k b2 a2k2
故点 P 的坐标为
a2k
,
b2
．
b2 a2k2 b2 a2k2
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
PQ MO AO a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
例3.
已知椭圆C：x 2 4
y2
1 ，过点P(0,-
3 5
)作直线交C于A、B两点，
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；
若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
2
2
对称.
(I)求实数m的取值范围；
(II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
常用方法：点差法！
方法本质：对称点的中点和它们连线的斜率的关系.

试析高中解析几何的学习障碍与解决方法

试析高中解析几何的学习障碍与解决方法高中解析几何是数学课程中的一项重要内容，其涉及到平面几何、立体几何、向量、解析几何等多个方面的知识。

由于解析几何的抽象性、复杂性和逻辑性，学生在学习过程中容易遇到各种障碍。

本文将从学习障碍出发，分析高中解析几何的学习障碍，并提出一些解决方法。

一、学习障碍1. 抽象性强解析几何是一门较为抽象的数学学科，许多定理、概念需要学生充分理解并掌握。

对于一些学生来说，抽象性强的知识往往难以理解和运用，导致学习难度加大。

2. 逻辑性强解析几何的学习需要学生具备较强的逻辑思维能力，能够理清各种定理和命题之间的逻辑关系。

一些学生缺乏逻辑思维的训练，导致在解析几何学习中遇到困难。

3. 缺乏实际运用解析几何是一门理论性较强的学科，但是在学习过程中往往缺乏实际的运用场景，学生难以将所学知识与实际生活联系起来，形成认知隔阂。

4. 数学基础薄弱许多学生在学习解析几何前，数学基础较差，对于向量、坐标等数学概念认识不够清晰，导致后续的学习更加困难。

二、解决方法1. 提高抽象思维能力针对解析几何抽象性强的特点，学校可以加强学生的抽象思维能力培养，通过丰富的例题和练习，引导学生从具体事物中抽象出解析几何中的基本概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握知识。

2. 强化逻辑思维训练解析几何需要学生具备较强的逻辑思维能力，学校可以增加逻辑思维训练的内容，包括逻辑思维课程、逻辑思维能力测试等，帮助学生提升逻辑思维水平，为解析几何的学习打下基础。

3. 增加实际应用案例学校在教学过程中可以增加一些解析几何的实际应用案例，例如航空航天、工程测绘等领域，让学生了解解析几何在实际生活中的应用，增强学生的学习兴趣，提高学习积极性。

4. 补充数学基础知识对于数学基础薄弱的学生，学校可以采取差异化教学的方式，对这部分学生进行有针对性的辅导和补课，帮助他们夯实数学基础知识，为解析几何的学习打下基础。

高中解析几何的学习障碍主要包括抽象性强、逻辑性强、缺乏实际运用、数学基础薄弱等问题。

“解析几何”中常用的数学思想方法

“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值。

高中数学解析几何解题策略意识培养的研究

高中数学解析几何解题策略意识培养的研究摘要：高中阶段是培养我们的创新思维的黄金时期，并且对我们的数学创新思维的形成具有特别重要的影响。

分析几何是高考数学的重要组成部分，在所有问题类型中占相对较高的比例。

所谓解题策略，是指选择、组合、改变或者操作背景命题的一系列规则，以便填补问题的固有空隙。

其功能就在于减少尝试与错误的任意性节约解题时间。

解题策略就是解决数学问题的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针，同时也是增强效果、提高效率的艺术。

关键词：高中数学；解析几何；解题技巧引言：在整个高中数学知识体系中解析几何非常重要。

我们数学教育工作者，要站在新的高度来改进数学教学，用现代教学观指导教学。

现代认知心理学家从信息加工的观点得出，策略性知识是个体关于如何获取知识的知识，这种知识侧重于学习或问题解决过程中隐藏在“事实知识”背后的内在方法，即反省事实“为什么”和“怎么样”。

数学教学的核心任务就在于教会学生学习与学会应用数学策略性知识，使之学会高效率学习，并且高效率解决问题的方法和技巧。

因此，数学教学过程中促成学生对策略性知识的学习是现代数学教学的显著特征，也是现代数学教学的要求。

1、高中数学引入解析几何的重要性分析教师在多年的教学实践中，逐步得出一些解决数学问题的通用性解题策略。

我们结合高中数学解析几何的特点和教学实际，用具体的案例介绍了常用的解题策略与解题技巧，即模式识别策略、化归变换策略、差异分析策略、逆向思维策略、动静转换策略、数形结合策略等。

策略性知识是高层次的信息处理方法，它可以节约学习所需要的时间和精力，使成功具有更大的可能性。

通过策略性知识教学使学生的学习欲望增强，逐渐形成合理的成败归因类型，同时促进了学习策略向其他学科之间的广泛迁移，解决了学生学习中长期存在的难点。

教学实践证明，教师有意识地对学生进行解题策略意识培养和训练，有助于学生数学成绩的提高。

2、强化运算素养在高中阶段，学生所遇到的数学是围绕对基本概念的深入探索而展开的，特别是解析几何的各个部分，它们需要对联立方程和三维几何图形的概念有透彻的理解和掌握一些学生害怕这类问题。

高中数学解析几何的思路与方法

高中数学解析几何的思路与方法解析几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到坐标系、方程、图形等多个方面。

在学习解析几何时，我们需要掌握一定的思路和方法，才能更好地理解和掌握相关知识。

一、理解基本概念解析几何涉及到许多基本概念，如坐标系、方程、向量、曲线等。

在学习时，我们需要对这些概念有清晰的认识，并能够正确地理解它们的含义和用途。

只有掌握了基本概念，才能为后续的学习打下基础。

二、掌握解题方法解析几何的解题方法有很多，如代入法、配方法、几何法等。

在学习时，我们需要掌握这些方法的基本原理和使用技巧，并能够根据题目要求选择合适的解题方法。

同时，我们还需要多做练习，积累解题经验，不断提高解题能力。

三、建立坐标系在解析几何中，建立坐标系是解题的重要步骤。

通过建立合适的坐标系，我们可以将曲线上的点用坐标来表示，从而方便地求出曲线的性质和形状。

在建立坐标系时，我们需要根据题目的要求和曲线的情况选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。

四、利用方程求解解析几何中的方程是联系曲线和数值的桥梁。

通过解方程，我们可以得到曲线上点的坐标，进而求出曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要掌握方程的基本形式和求解方法，如联立方程、化简方程、代入数值等。

同时，我们还需要注意方程的解法和数值的取值范围，避免出现错误和遗漏。

五、结合图形理解解析几何是一门与图形密切相关的学科，通过图形可以更加直观地理解曲线的性质和形状。

在学习时，我们需要结合图形来理解解析几何的知识，如通过画图来理解坐标系和方程的含义和作用，通过观察图形来分析曲线的性质和特点等。

同时，我们还需要注意图形的形状和特点，以便更好地理解和应用解析几何的知识。

六、拓展应用领域解析几何不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程、经济等多个领域中有着重要的应用价值。

在学习时，我们需要了解解析几何在不同领域中的应用情况，并能够根据实际情况选择合适的解题方法和应用领域。

同时，我们还需要注意不同领域中的问题特点和应用要求，以便更好地解决实际问题。

培养学生抽象思维的教学指导

培养学生抽象思维的教学指导抽象思维是指能够从具体事物中抽象出普遍规律、概念、原则的思维能力。

在现代教育中，培养学生的抽象思维已经成为教学的重要目标之一。

本文将介绍几种教学指导方法，帮助教师有效地培养学生的抽象思维。

一、引导学生提炼共性特征在教学过程中，教师可以通过引导学生观察、比较、归纳等方式，帮助学生提炼出事物的共性特征。

比如，在学习解析几何时，教师可以引导学生观察不同图形的顶点、边数、角度等特征，让学生通过比较和归纳找出规律，进而形成几何图形的定义和性质。

二、鼓励学生进行概括归纳在知识掌握一定程度后，教师可以引导学生进行概括归纳，将不同的现象、概念进行分类整合。

比如，在学习数学时，教师可以要求学生将学过的数学公式按照不同的性质进行分类，并且要求学生给出每类公式的定义和适用范围。

通过这样的练习，学生可以更好地理解和运用不同的数学公式。

三、进行思维导图训练思维导图是一种用图形化方式表示思维过程和思维结构的工具，可以帮助学生整理和梳理知识，培养抽象思维能力。

教师可以要求学生根据所学知识，制作思维导图，将知识点和概念之间的关系图形化展示出来。

这样的训练可以帮助学生理清思路，提升他们的抽象思维能力。

四、开展实践活动抽象思维是需要实践基础的，教师可以组织学生进行实践活动，培养他们的抽象思维。

比如，在学习生物时，教师可以带领学生去实地考察生物的生长环境、形态特征等，并结合所学理论知识，让学生进行观察、实验、分析，从而培养学生的抽象思维和科学实验能力。

五、提供类比思维训练类比思维是一种将已有的知识、经验应用到新情境中的思维方法。

教师可以通过提供不同领域的类比案例，引导学生将已掌握的知识和经验应用到新的问题上。

比如，在学习语文时，教师可以给学生提供一个与所学文章类似但又不完全相同的情境，要求学生运用已有的知识和经验进行类比思考和解决问题。

总之，培养学生的抽象思维是教学中至关重要的任务。

通过引导学生提炼共性特征、概括归纳、进行思维导图训练、开展实践活动以及提供类比思维训练等教学指导方法，可以有效提升学生的抽象思维能力。

思维方法求异思维

思维方法·求异思维所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式．求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点．因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性．在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面．(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步．这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景．例1 已知点A(1，-1)、B(7，2)，以A为圆心、8为半径作⊙A，以B为圆心，6为半径作⊙B，求这两个圆外公切线交点P的坐标．【分析】如图1－4．解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标．但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境．如果能换一个角度思考，联想到公切径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解．【解】如图1－4，设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP，则A、B、P三点共线，再连结AM、BN，则AM⊥MP、BN⊥MP．∴ BN∥AM．设点P的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得故点P的坐标为(25，11)．例2 如图1－5，直线y=kx＋b与圆x2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于A、D两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值．【分析】如图1－5，解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值．但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦．如果变换思考角度，由|AB|=|CD|出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再【解】如图1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0 ①从而由韦达定理，得把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②∵ |AB|=|CD|，∴ AD与BC的中点重点．解之，得k=0或b=0．当k=0时，方程①化为x2=1-b2，(二)一题多解在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式．例3 已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C 的方程．(1994年全国高考理科试题)【分析1】设直线l的方程为y=kx，抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，先求出A、B关于l对称的点A′、B′的坐标(用k表示)，再代入抛物线C的方程中，可得k、p的方程组，最后解方程组即可．【解法1】如图1－6．由已知可设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)．由于直线l不与两坐标轴重合，故可设l的方程为y＝kx(k≠0)．①设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则由 A′A⊥l可得直线AA′的方程为将①、②联立，解得线段AA′的中点M的坐标为分别把A′、B′的坐标代入抛物线C的方程中，得由③÷④，消去p，整理，得k2-k-1=0．⑤又由④知k＞0．⑥【分析2】如图1－7，设直线l的倾斜角为α，则l的斜率为用α的三角函数表示点A′、B′的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1．l的斜率为k．∵ |OA′|=|OA|=1，|OB′|=|OB|=8，∠xOA′=-(π-2α)，∴由三角函数的定义，得A′的坐标为x A=|OA′|cos∠xOA′=-cos2α，y A=|OA′|sin∠xOA′=-sin2α以下同解法1，从略．又|OB′|=8，|OA′|=1，从而此题可设极坐标方程去解．【解法3】如图1－7，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，把x=ρcos θ代入方程y2=2px(p＞0)中，得抛物线的坐标方程为由已知可设点B′的极坐标为(8，α)、A′的极坐标为(1，∵直线l平分∠BOB′，=8，OA′⊥OB′列出p、t1、t2的方程组，进而去求解．∵ |OA′|=|OA|=1，|OB′|=|OB|=8，又由OA′⊥OB′，得k OA·k OB=-1，【分析5】如图1－7，由于|OA′|=1，|OB′|=8，∠A′【解法5】如图1－7．把直角坐标系视为复平面，设点A′得点B′对应的复数为(x1＋y1i)8i=-8y1+8x1i．∴点A′、B′的坐标为(x1，y1)、(-8y1，8x1)．把它们分别代入抛物线C的方程y2=2px(p＞0)中，得即k OA'=-2，又|OA′|=1，以下同解法4，从略．【分析6】本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解．数乘法的几何意义，得由复数相等的条件，得消去p，解得t2=2．从而B′的坐标为(8p，4p)．∵线段BB′的中点C的坐标为(4p，2p＋4)，【分析7】在解法5中，利用复数乘法的几何意义，发现了A′、B′坐标之间的关系式，从而获得简解．如图1－8，点B′与点A′的坐标关系也可用平面几何法得到．【解法7】如图1－8，作A′C⊥Ox于C，B′D⊥Ox于D．设A′、B′的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．∵∠B′OD＋∠A′OC=90°，∴ Rt△A′CO∽Rt△ODB′．又|OA′|＝1，|OB′|=8，∴ |OD|＝8|A′C|，|B′D|＝8|OC|．于是x2=-8y1，y2=8x1．以下同解法5，从略．【解说】本例给出了七种解法．解法1是本题的一般解法，它的关键是求点A、B关于l的对称点的坐标．解法2是三角法，它法3是极坐标法，巧妙利用了A′、B′的特殊位置．解法4是利用抛物线的参数方程去解的．解法5和解法7是从寻找A′、B′的坐标关系式入手的，分别用复数法和相似形法获解．解法6把参数法与复数法结合起来，体现了思维的灵活性．总之，本例运用了解析几何的多种方法，是对学生进行求异思维训练的极好例题．(三)逆向思维在人们的思维活动中，如果把A→B的思维过程看作正向思维的话，那么就把与之相反的思维过程B→A叫做逆向思维．在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维．因此，为了培养思维的多向性和灵活性，就必须加强逆向思维训练．在解题遇到困难时，若能灵活地进行逆向思维，往往出奇制胜，获得巧解．在解析几何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的概念和逆用圆锥曲线的定义．例4 设a、b是两个实数，A={(x，y)|x=n，y=na＋b，n∈Z}，B={(x，y)|x=m，y=3(m2＋5)，m∈Z}，C={(x，y)|x2＋y2≤144}是平面xOy内的点焦，讨论是否存在a和b，使得：(1)A∩B≠ ；(2)(a，b)∈C．(1985年全国高考理科试题)【解】由已知可得，a、b是否存在等价于混合组以上二式的几何意义是：如图1－9，在平面aO′b中，na＋b=3(n2＋5)是直线，a2＋b2≤144是圆面(即圆x2＋y2=144的边界及其内部)．因此，这个混合组有解的充要条件是直线na＋b=3(n2+5)与圆a2＋b2=144有公共点，即圆心O′(0，0)到这条直线的距离d≤12．即(n2＋5)2≤16(n2+1)，∴ n4-6n2+9≤0，即(n2-3)2≤0．又(n2-3)2≥0，∴ n2=3．这与n是整数矛盾．故满足题中两个条件的实数a、b不存在．【解说】这种解法中，把混合组翻译成几何语言(直线和圆面是否有公共点)就是解析法的逆向思维．教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实，“难就难在逆向思维”，普遍认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维”．习题1．21．已知圆C1：(x＋1)2＋(y-2)2=4与圆C2：(x-3)2+(y-4)2=25，求它们外公切线交点P的坐标．2．已知直线l过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程．(要求至少5种解法)(要求至少4种证法)．(1992年全国高考理科试题)4．长度为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．(要求至少4种解法)．(1987年全国高考理科试题)5．已知2a＋3b=5，求证：直线ax+by-5=0必过一个定点．7．已知三个集合M=｛(x，y)|y2=x＋1｝，S=｛(x，y)|4x2＋2x-2y＋5=0｝，P=｛(x，y)|y=ax＋m｝，问是否存在正整数a、m使得(M∪S)∩P=φ？(其中φ表示空集)习题1．2答案或提示3．证法1：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，|PA|=r，则圆P的方程为(x-x0)2＋y2=r2，与椭圆方程联立，消去y，得把A、B的坐标代入椭圆方程中，后把所)、(ρ2，θ2)，点P的坐标为(t，0)，则t=x0＋c．由|PA|=|PB|，可得5．逆用点在直线的概念，得定点为(2，3)．6．在直角坐标系中，由已知两个等式可知，直线ax＋by=c过点重合的条件，可证得结论．也无实数解．故a=1，m=2．。

解析几何教学方法总结

解析几何教学方法总结解析几何是高中数学中的重要内容之一，它既有理论性强的几何知识，又有实际应用性强的计算问题。

为了使学生能够更好地掌握和应用解析几何知识，教师需要采取科学有效的教学方法。

本文将从几个方面对解析几何教学方法进行总结和分析。

一、培养学生的几何思维能力解析几何是一个几何和代数相结合的学科，需要学生具备较强的几何思维能力。

教师应该注重培养学生的几何思维能力，可以通过以下几种方法来实现。

首先，教师可以引导学生多观察和分析几何图形的特点。

例如，在讲解直线和圆的方程时，教师可以通过具体的实例和图形，引导学生观察和总结出直线和圆的特点，从而培养学生的几何直观和思维能力。

其次，教师可以设计一些几何证明的例题，让学生通过分析和证明来理解几何定理和推理方法。

通过解决这些例题，学生可以锻炼自己的逻辑思维和推理能力，提高几何问题的解决能力。

最后，教师可以引导学生进行几何问题的模型构建和解决。

通过将几何问题转化为代数问题，让学生亲自进行计算和验证，培养学生的数学建模能力。

二、运用多媒体技术辅助教学解析几何知识较为抽象，而且需要涉及大量的图形和公式。

为了帮助学生更好地理解和掌握解析几何知识，教师可以运用多媒体技术进行辅助教学。

首先，教师可以利用电子白板或投影仪展示几何图形，通过动态演示和变换，生动形象地展示几何问题的解题过程。

这样可以提高学生对几何问题的直观感受，增强学习的兴趣和参与度。

其次，教师可以利用多媒体课件设计互动性强的学习活动，如配合几何软件进行几何图形的绘制和变换，让学生通过操作实践来加深对知识的理解和记忆。

最后，教师可以利用网络资源，引导学生进行在线讨论和学习交流。

通过与他人的讨论和比较，学生可以扩展自己的思路，发现问题的不同解法，提高解决问题的能力。

三、注重贴近实际问题的应用解析几何既有理论性的内容，也有实际问题的应用。

为了提高学生对解析几何的应用能力，教师应注重贴近实际问题的教学。

首先，教师可以选择一些与学生生活相关的实际问题，引导学生将解析几何知识应用到实际情境中。

解析几何中解题教学的几点思考

解析几何中解题教学的几点思考
1、强调抽象思维的培养：解决几何问题，需要学生运用抽象
思维，结合实际情况，从定义、定理、公式中抽取有用的信息，以及运用这些信息，将几何图形变形或者求出其属性，这就要求学生有良好的抽象思维能力。

2、注重实际应用：解决几何问题需要学生运用各种定理、公式，但是也需要学生能够将这些定理、公式运用到实际的几何问题中。

学生应该在解题过程中，注重实际应用，而不是死记硬背各种定理、公式。

3、重视解题的步骤：解决几何问题需要认真分析问题，首先
要理清问题的结构，再根据问题的结构，分析问题，抓住问题的关键，再根据问题的关键，运用所学定理、公式，最后得出结论。

4、注重思维训练：解决几何问题需要学生运用抽象思维，以
及运用各种定理、公式，这就要求学生有良好的思维训练，在解题过程中，能够灵活运用各种定理、公式，以及灵活解决几何问题。

解析几何题的思维策略

接解决，注意不要忽视笋别式的作用．０
【ｌ如图所示，例】抛物线＝４ｘ的顶点为面积为８２ √
０，Ａ的坐标为（，）倾斜角为｛的直线ｚ点５ｏ，与线
‘ ±
题就是有关弦长的问题，熟练地利用韦达定理应
“ 而不求” 设计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用
．
…
一
…
…
一
…
…
．
…
一
…
…
一
…
ｌ－断－望
ｘｎｅｘ；
ｕｓｂ
ａｉ
一余锦银
解析几何是中学数学教与学中的一大难点，有
设Ｍ（ｌＹ）Ｎ（２Ｙ）ｘ，１，ｘ，２则Ｉ＋一４２－ｍ，
很多学生甚至在学完本章后；遇到具体问题还往往不知从何下手．解决这一难点，键是要有正确的关思维策略．下面作一个简单介绍．
段Ｏ相交（Ａ不经过点０或点Ａ）且蛮抛物线于Ｍ、
Ｎ两点， △４孙求＾面积最大时直线￡的方程，并求ＡＡＭＮ的最大面积
韦达定理，设而不求” 简化运算， “ 来本题若没有由
判别式确定ｍ的取值范围，求最值时就会失去则
— — —
，
一
１８２．
． △ ８，－ ≤ 当且仅当２ｍ＝５．Ｓ —２＋ｍ，ｍ即
一一
，
尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直
１时取等号故直线ｚ的方程为Ｙ— 一１ △Ａ，ＭＮ的最大【点评】直线与圆锥曲线相交，一个重要的问

探析解析几何中的思维变换

南＋毒４）胁坐代，南＋＿解得２，将标入褥ｌ之：１ｅ将＝，等ｌ示曲：＾一，詈ｙｌｌ时方为：表双线当＝ｉ方为＋：２，２，ｔｉ＿３Ｌ
。
解：原点Ｄ到点和准线， ’ 的距离分别为ｌ｛一 — ）十１ｏ：ｊ表示椭蚓（＝ｌｏ：（一）＝√
７１：，２Ｉ］
－
。
√
所以圆锵曲线的离心率：
＝，求的跚锥曲线足ｌ知所
例４已知双曲线Ｌ心啄点，以标轴为对称轴，腿嘲＋ｖ：７Ｉｊｌ１相
交ｊＡ４一）若圆在Ａ点的切线双曲线的渐近线平仃，（，１。求此双曲线方程
一
例３求椭圆。焦点过点（１的圆锥曲线方。４＂：ｌ２）
分机：所求Ｉ锥曲线只能是栅嘲或双曲线。容易证明：刘＋：１６）哭ｏ
Ⅱ ｂ
—
椭倒
、
挖掘题目内涵。示曲线定义的作用显
求圆锥曲线的方程的常规解法是：首先确定方程的类型，并将其用有关的参数表示出来，然后结合问题的条件，立参数满足的等式，建求得参数的值，再代入所设方程。但在实际过程中解题繁琐，运算量大，至无法解甚决。下面我介绍解析几何解题中的几种常见思维方法。
解：容易求得圆＋，７Ａ４一）之切线方为４一：１：ｌ在（．１处ｘ＿７ｖ：＝兰１Ｉ。因为双曲线的渐近线与Ｊ切线平行，义以坐杯轴为对称轴，放知其述渐近线方程式必为４± ＝Ｙ０。所求双曲线方程可表示为。因为双曲线经过点Ａ４一）（，１，所以＾５＝２５。

浅析应用解析几何思维方法解题

浅析应用解析几何思维方法解题作者：刘大鹏来源：《中小学教学研究》2017年第06期[摘要]探讨解析几何教学中让学生学会应用解析几何的思维方法来解决问题，引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法，分析几何对象的几何特征，从几何的背景、几何的图形及从方程、数据等代数的结论中得到几何的性质，让学生会思考，会分析和解决问题，提高学生的推理和探究能力和动手操作能力，提高学生解决解析几何问题的效率。

[关键词]解析几何；思维方法；几何特征平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科。

它的基本思想简单说就是用代数方法解决几何问题。

在解决有关问题时，很多学生最大的问题是没有掌握解析几何的思维方法，误以为用代数方法解决几何问题就是算。

作为教师，一定要交给学生研究数学问题的思维方法，让学生会想，会思考，才是我们的教学目的，正如苏霍姆林斯基说过：“懂得还不等于己知，理解还不等于知识，为了取得更牢固的知识，还必须思考。

” 要交给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法。

当我们面临解决一个几何问题的时候，要分析几何对象的几何特征，主要从两个方面：一、从几何的图形中得到几何性质如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质。

例1.已知椭圆C：[x29+y24=1]，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则[|AN|+|BN|=] .分析：如图所示在[ΔAMN]和[ΔMBN]中，连接[F1K]和[F2K]，利用三角形的中位线的性质可知[AN+BN]=[2F1K+F2K]=12例2.已知抛物线[C]：[y2=2px，p>0]，过点M（1，0）作斜率为[3]的直线[l]交C的准线于点A，[l]和抛物线C交于点B，使得[AM=MB]，则[p]值为 .解析：如图作直线BD垂直于准线，交准线于点D，连接BM，显然DM是[ΔABD]斜边的中线，有DM=BM，由题意可知，[∠DBM=600]可得DB=BM，由抛物线定义可知点M为抛物线的焦点，所以[p]值为2.例3.设[A，B]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[x=4]为它的右准线。

2018解析几何解题思维策略1

（3）当 P在 P 1, P 2 之间变化时
计算：
0 （1）当F1 P F 90 ， P 1 2 1F 1 P 1 F2 2 7
（2）当F1 F2 P2 900 ， P2 F1 P2 F2 8
b 【分析一】代数角度：设 Q ( x0 , x0 ) （ x0 0 ）， a
PM // OQ 交 x 轴交于 M ，则在点 P 的运动过程
中有 2
FP PQ

FM MO

FA AO

ca ，得 1 e 3 ． a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
x2 3 例3. 已知椭圆C： y 2 1 ，过点P(0,- )作直线交C于A、B两点， 5 4
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
x2 y 2 14-16 设直线x 3 y m 0 ( m 0与双曲线 , 2 2 1 ( a 0, b 0) a b 的两条渐近线分别交于点A, B.若点P( m, 0)满足 PA PB ，则该双曲线的离心率是__________________. x2 1 2 15-19 已知椭圆 y 1上两个不同的点A, B关于直线y mx 2 2 对称. (I)求实数m的取值范围； (II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
消去 y 得， b 2 a 2 k 2 x 2 2a 2 kmx a 2 m 2 a 2b 2 0 ，由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，故 (2a km) 4 b a k
2 2
策略3.特殊与一般

几何图形题教学中提升学生逻辑思维能力的途径

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９２３几何图形题教学中提升学生逻辑思维能力的途径几何图形题教学中提升学生逻辑思维能力的途径Һ李红生㊀(徐州中学数学鸿升工作室ꎬ江苏㊀徐州㊀２２１００８)㊀㊀ʌ摘要ɔ苏教版高中数学教学中ꎬ包含很多几何图形题ꎬ学生解析此类题目存在一定难度ꎬ需要教师在实践教学中ꎬ积极培养学生良好的逻辑思维能力ꎬ在逐步引导中促进学生更加直观㊁高效地认识事物本质ꎬ提升核心数学思维.为了实现这一目标ꎬ本文细化探究几何图形题教学中提升学生逻辑思维能力的途径ꎬ为高中数学教师进行几何图形题教学提供一定参考ꎬ促使教学效率的有效提升ꎬ并促进学生全面发展.ʌ关键词ɔ几何图形题ꎻ提升ꎻ逻辑思维能力ꎻ途径一㊁前㊀言在高中几何图形题教学过程中ꎬ需要学生从以往的计算思维转变为推理思维ꎬ而学生在此期间普遍感到不适应ꎬ会存在学习困难问题.为了有效提升几何图形教学效率ꎬ帮助学生顺利㊁高效地掌握有关知识ꎬ提升几何图形题解析能力ꎬ需要在实际教学过程中ꎬ通过多种有效途径ꎬ培养学生逻辑思维能力ꎬ促使学生充分掌握几何基础和习题解析方法ꎬ并以此为基础ꎬ提升学习兴趣和主动性ꎬ促使数学整体学习成效的提升.二㊁创设情境ꎬ调动学生逻辑思维兴趣在高中几何图形题教学中ꎬ要有效地提升学生逻辑思维能力ꎬ就要重视调动学生学习兴趣ꎬ在兴趣带领下使学生全身心地投入问题思考和探索中ꎬ并逐步掌握结合图形题有关知识和解题思路.情境教学法是调动学生学习兴趣的重要手段ꎬ为了有机的在几何图形题教学中培养学生逻辑思维能力ꎬ可以在教学中进行情境创设ꎬ吸引学生关注度ꎬ全身心的投入到几何解析教学活动中ꎬ逐步提升自身逻辑思维水平.教师在几何图形有关知识正式讲解之前ꎬ可以先通过多媒体ꎬ带领学生认识几何在实际生活中都有什么作用ꎬ比如ꎬ可以播放古希腊测地术㊁楼体测量技术等等ꎬ让学生认识到几何知识在生活多个领域中都有重要价值ꎬ明白结合是一种重要操作工具.学生通过这一情境ꎬ能够联系自己生活当中需要运用到几何图形解析方法的场景ꎬ从而提高对有关解析方法和知识的学习兴趣ꎬ并联合实际生活对图形进行逻辑思考ꎬ逐步提升学生逻辑思维能力.㊀图１例１㊀正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１(图１)当中ꎬ棱ＡＡ１ꎬＣ１Ｄ１ꎬＣＣ１ꎬＢＣ的中点位置分别是ＨꎬＧꎬＦꎬＥꎬＢＤ和ＡＣ的交点为Ｏꎬ求证:(１)平面ＢＢ１Ｄ１ＤʊＥＧꎻ(２)平面Ｂ１Ｄ１Ｈʊ平面ＢＤＦꎻ(３)平面ＢＤＦʅＡ１Ｏꎻ(４)平面ＡＡ１Ｃʅ平面ＢＤＦ.比如ꎬ在例题１进行解析的时候ꎬ教师可以让学生将教室看作是这个正方体ꎬ为了改造我们的教室ꎬ需要对这些关系进行掌握ꎬ那么就要求通过几何计算和思考方法ꎬ对有关问题进行解析和判断.学生在教师创设的情境当中ꎬ会更加积极地投入到习题分析和计算中ꎬ并逐步培养自身逻辑思维能力.三㊁基于概念ꎬ奠定学生逻辑思维基础几何图形教学过程中ꎬ涉及很多公理和基础概念ꎬ要有效通过结合图形教学培养学生良好的逻辑思维能力ꎬ就要重视基础概念ꎬ让学生深刻理解结合图形有关概念实质ꎬ为发展逻辑思维能力奠定坚实基础.学生进行几何图形有关概念学习ꎬ需要会对概念进行叙述ꎬ并会画图ꎬ同时要学会熟练使用各种符号进行表达ꎬ对几何概念实现灵活运用.在进行几何图形教学的时候ꎬ教师要注意带领学生温习有关概念ꎬ并灵活地运用生活实践中有关几何图形的事物ꎬ进行概念渗透ꎬ使学生在大脑思维当中对抽象化几何概念有一个更直观的理解ꎬ从而更顺利地在几何图形题教学中ꎬ调用相关概念ꎬ联系各项条件ꎬ顺利解题ꎬ并更加有效地提升内在逻辑思维能力.四㊁观察图形ꎬ促进学生逻辑思考要在几何图形题教学中提升学生逻辑思维能力ꎬ就要培养学生的想象能力和观察能力ꎬ对题目图像进行细致观察ꎬ结合所学知识和有关概念ꎬ发挥想象力ꎬ通过推理获得正确判断ꎬ促进逻辑思维能力的发展.教师在引导学生观察图形的时候ꎬ首先要让学生对基础图形和变化图形进行观察和想象ꎻ其次要结合自己既有知识和想象力ꎬ构想出立体化的图形整体结构ꎬ对图形各个部分有一个客观认识ꎻ最后ꎬ要让学生在观察中对图形有一个直观认识ꎬ进而通过基础概念以及推理手段ꎬ做出推理证明.例２㊀图中两条直线ＰＡ和ＰＢ与☉Ｏ相切ꎬ切点分别是Ａ和Ｂꎬ线ＰＯ和ＡＢ相较于Ｃ点.求证:(１)ＰＯ垂直同时平分ＡＢꎻ(２)ＡꎬＯꎬＢꎬＰ四点共圆ꎻ(３)在ＲｔәＡＯＰ中ꎬＡＣ是斜边的高.㊀㊀㊀ìîíïïïïïïïï图２教师在引导学生观察这一结合图形的时候ꎬ要让学生通过细致观察ꎬ将图形分解成四个基础图形(图２)ꎬ并结合有关概念和推理方法ꎬ对三个问题进行判断.五㊁揭示规律ꎬ发展学生逻辑思维在几何图形题教学过程中ꎬ教师要引导学生对题目涉及的有关规律进行深刻理解与灵活运用.教师有效揭示并使用整体规律ꎬ能够有效提升学生的逻辑思维能力.在实际教学中ꎬ对规律加以揭示的过程ꎬ实际上就是培养学生概括能力㊁观察能力㊁归纳能力㊁综合能力与分析能力等综合能力的过程ꎬ学生通过掌握解题规律ꎬ不仅有利于解析几何图形题ꎬ还会对学生未来学习与生活产生深远影响.因此ꎬ在几何图形题教学中ꎬ不仅要让学生看到题目真实本质ꎬ将基础逻辑要求渗透其中ꎬ还要让学生在证题过程中主动概括和总结规律性知识ꎬ使其在遇到同类题目的时候ꎬ可以及时调出正确解题思路ꎬ快速㊁正确地证明题目.六㊁结束语在几何图形教学过程中ꎬ教师需要重视培养并提升学生逻辑思维能力ꎬ从内在思想层面掌握解题思路和技巧ꎬ提高解题高效性和正确性.为了有效地通过几何图形题教学ꎬ培养学生逻辑思维能力ꎬ教师在实际教学中需要为学生合理地创设情境ꎬ使其正确㊁熟练地掌握基础概念ꎬ对图形加强观察ꎬ总结解题规律ꎬ内化解题技巧和思想ꎬ促进学生逻辑思维能力发展.ʌ参考文献ɔ[１]周裕河.谈谈高中学生在几何部分的数学思维能力的提升问题[Ｊ].南北桥ꎬ２０１７(２４):１４９.[２]盛雨瑶.高中数学几何解题技巧之数形结合途径分析[Ｊ].数码世界ꎬ２０１７(９):２５０.[３]江敏.在图形与几何领域中积累数学基本活动经验的方法探究[Ｊ].新课程导学ꎬ２０１６(２):５.。