数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.

二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a

g x b →=;

(2) 0()x U a ∀∈,有0

()()g x U b ∈ (3) lim ()u b

f u A →=

用εδ-定义证明, lim [()]x a

f g x A →=.

三. (10分)证明数列{}n x :

cos1cos 2

cos 1223

(1)

n n

x n n =

+++

⋅⋅⋅+收敛.

四. (12分)证明函数1

()f x x

=

在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.

七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞

-=.

八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15

[,]42

-的最大值与最小值.

九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使

2

4

()()()()f f b f a b a ζ''≥

--.

一. (10分)设数列{}n a 满足

: 1a =

, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的

正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.

二. (10分)设0

lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0

11

lim

()x x f x b

→=. 三. (10分)设0n a >,且1

lim

1n

n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞

=.

四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且

lim ()x a f x +

→,lim ()x b

f x -

→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.

六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2

[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在

a 可导.

七. (12分)求函数()1f x x x α

αα=-+-在的最大值,其中01α<<.

八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有

12()()f x f x ''≤.

九. (12分)设()

,0()0,0

g x x f x x x ⎧ ≠⎪

=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.

一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰

2. x e dx -⎰

3.

ln 0

⎰

4.

20

sin 1cos x x

dx x

π

+⎰

二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0b

a

f x dx =⎰

.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

三. (10分)证明20

sin 0x

dx x

π>⎰

. 四. (15分)证明函数级数0

(1)n n x x ∞

=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.

五. (10分)将函数,0

(),0x x f x x x ππππ

+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.

六. (10分)

设22

22

0(,)0,0

xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩

证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;

(3) (,)f x y 在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?

八. (15分)设01σ<<, 证明1

11

(1)n n n σ

σ∞

=<+∑

.

一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:

1.(0)a >

2.

1172

815714

x x dx x x

++⎰

3.

1

arcsin x dx ⎰

4. 1000

π

⎰

二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:

1. 221

lim n

n k n

n k →∞=+∑

2. 2

0lim

1x

t x

x x

e dt e →-⎰

三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有

()()0b

a

f x

g x dx =⎰

.证明()0f x = ([,])x a b ∈.

四. (15分)定义[0,1]上的函数列

2

212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪

⎪

=- , <≤⎨⎪

⎪

0 , <≤⎪⎩

证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.

五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞

=+∑的和函数.

六. (10分)用εδ-定义证明

2(,)(2,1)

lim (43)19x y x y →+=.

七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.

八. (13分)设正项级数1n n a ∞

=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞

=.