一元二次方程的根的判定

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一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。

当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。

判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。

正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。

举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。

对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。

对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。

对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。

解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。

对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。

在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。

当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。

例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。

一元二次方程根的判别式、根与系数关系

△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2

一元二次方程根的判别式

17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。

对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。

即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。

若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b
x x -=+21a
c x x =21
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．。

一元二次方程根的判别式-(201912)

△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根
的范围；
(3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；2x 2 3x 4 0
(2)； 16y 2 9 24y
(3)． 5(x 2 1) 7x 0
解：要使方程有两个实数根，需满足 m 0， 0
∴ [(2m 1)]2 4m m 是m 1 ，且
m≠0．
4
当堂训练1
1.方程 4x 2 3x 2 0 的根的判别式△＝________，它的根的情况是 _____________．
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有三种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由 b2 4ac 的值来确定．因此 b2 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式．
△>0方程有两个不相等的实根．
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴．b2 4ac 32 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴．b2 4ac (24)2 4 16 9 0 ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式，5x 2 5 7x 0 ．5x 2 7x 5 0 ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ b2 4ac (7)2 4 5 5 ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解．
已知关于x的方程 mx 2 (2m 1)x m 0 有两个实数根，求m的取值范围.

初中八年级数学下册【一元二次方程根的判别式】

（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
3.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0
的根的情况.
2
解： 2 2k 4 1 k 2
8k 2 4k 2 4k 2
k2 0 4k 2 0
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根．
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
随堂练习
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个实根，则m的取值范围是 m 1 .
b解2 ： 4ac (2)2 4 1 m 4，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ 1 =0; (3) x2-x+1=0.

一元二次方程根的判别条件

一元二次方程根的判别条件一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a≠0。

一元二次方程的根是指方程的两个解，即满足方程的x值。

根据判别式的值，可以将一元二次方程的根的情况分为以下三种：1.判别式大于0（b^2 - 4ac > 0）：方程有两个不相等的实数根。

根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) 和 x2 = (-b -√(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2.判别式等于0（b^2 - 4ac = 0）：方程有两个相等的实数根，即重根。

根据求根公式，方程的两个根相等，都为：x = -b / (2a)。

3.判别式小于0（b^2 - 4ac < 0）：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。

根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a) 和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i是虚数单位。

判别式Δ = b^2 - 4ac的值决定了方程根的情况。

通过判断Δ的值，我们可以确定一元二次方程的根是实数根还是复数根，以及是否有重根。

总结：一元二次方程根的判别条件是根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值来判断方程的根的情况，包括有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根（重根）以及没有实数根（有两个共轭的复数根）。

这些判别条件可以帮助我们确定方程的根的性质。

习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

方法：根据求根公式，a = 1, b = -5, c = 6。

计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。

因为Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。

应用求根公式得到：x1 = (5 + 1) / 2 = 3x2 = (5 - 1) / 2 = 1答案：x1 = 3, x2 = 1。

一元二次方程的根的判定

一元二次方程的根的判定一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式可以表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

求解一元二次方程的根是数学中的一个重要问题，根的判定是解决这个问题的基础。

一元二次方程的根的判定依据是方程的判别式Δ（delta）= b² - 4ac 的值。

根据Δ的不同取值，可以判断方程是否有实根以及实根的个数。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

这是因为Δ的正值意味着方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个实根。

这种情况下，方程的解可以用求根公式x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a来计算，其中±表示两个相反的符号。

当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也叫重根。

这是因为Δ等于零意味着方程的图像与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实根。

这种情况下，方程的解可以用求根公式x = -b / 2a来计算。

当Δ < 0时，方程没有实根，只有复数根。

这是因为Δ的负值意味着方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实根。

这种情况下，方程的解可以用复数表示，解的形式为x₁ = (-b + √(Δi)) / 2a，x₂ = (-b - √(Δi)) / 2a，其中i为虚数单位，i² = -1。

根据一元二次方程根的判定，可以利用判别式Δ的值来确定方程的根的性质。

这个判定方法可以很好地帮助我们求解一元二次方程，从而解决实际生活中的问题。

举个例子，假设有一个一元二次方程x² - 4x + 4 = 0，我们可以根据判别式Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 0来判断方程的根的性质。

由于Δ等于零，所以方程有两个相等的实根。

根据求根公式x = -b / 2a，可以计算出方程的解为x = -(-4) / (2*1) = 2。

因此，方程x² - 4x + 4 = 0的解为x = 2。

(完整版)一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。

例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

五、判定二次三项式为完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、利用判别式构造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一元二次方程根的判别式这个超重要的知识点呀！你想想看，就好像是给一元二次方程这个“小家伙”做一个超级厉害的诊断！
比如说方程x² - 3x + 2 = 0 ，这里的判别式b² - 4ac 就开始发挥作用啦。

如果判别式大于零，那方程就有两个不一样的根，哎呀呀，就像你找到了两颗不一样的糖果一样惊喜呢！要是判别式等于零呢，那方程就只有一个根，就像是只有一颗独苗苗糖果咯。

可要是判别式小于零呢，嘿嘿，这方程就没根啦，就好像去糖果罐子找，结果啥都没找到，有点小失落呢！咱再看个例子，方程x² - 2x + 3 = 0 ，这里b² - 4ac 明显小于零呀，那不就没根嘛！
总之，一元二次方程根的判别式真的超级重要呀！它能让我们一下子就知道方程的根是啥情况，是不是很神奇呢？所以呀，一定要好好理解和掌握它哟！。

一元二次方程及其根的性质

一元二次方程及其根的性质一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它是关于未知数的二次方程。

在本文中，我们将探讨一元二次方程的定义以及其根的性质。

一、一元二次方程的定义一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数系数，且a ≠ 0。

其中，x代表未知数，a、b、c分别代表方程中二次、一次和常数项的系数。

二、一元二次方程的根一元二次方程的解即为方程的根。

一元二次方程的根可能存在以下情况：1. 两个不同的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a来得到。

2. 两个相等的实数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = -b / (2a)来得到。

3. 两个共轭复数根：当一元二次方程的判别式b^2 - 4ac < 0时，方程的解为两个共轭复数根。

此时，方程的解可通过求根公式x = (-b ±i√(4ac - b^2)) / 2a来得到，其中i代表虚数单位。

三、一元二次方程根的性质一元二次方程的根有一些重要的性质，下面我们将逐一讨论：1. 和与积的关系：设一元二次方程的两个根分别为x1和x2，根据求根公式可知，x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。

也就是说，一元二次方程根的和等于系数b的相反数除以系数a，根的积等于常数项c除以系数a。

2. 根的判断：一元二次方程的判别式b^2 - 4ac可用来判断方程根的情况。

a. 当判别式大于0时，方程有两个不同的实数根。

b. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根。

c. 当判别式小于0时，方程有两个共轭复数根。

3. 顶点坐标：一元二次方程对应的抛物线的顶点坐标可通过计算公式x = -b / (2a)得到。

15、一元二次方程根的判别式

一元二次方程知识点7、一元二次方程根的判别式1、一元二次方程有无解的判定：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax a c x a b x c x a b x a c bx ax -=+⇒-=+⇒-=+⇒222)(2222244)2()2(a ac b a b a c a b x a b x -=+-=++⇒22244)2(a ac b a b x -=+⇒0402≥⇒≠a a (1)当042≥-ac b 时：2244a ac b -≥0，有意义根据平方根的定义，有x +a b 2=±2244a ac b -即x =a ac b b 242-±-；(2)当042<-ac b 时：负数没有平方根在实数范围内x 的值不存在，所以方程没有实数根。

2、判别式的定义：把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用符号“∆”来表示，即ac b 42-=∆。

3、判别式的作用：判定一元二次方程根有无情况和根的个数一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ：①0>∆,方程有两个不相等的实数根；②0=∆，方程有两个相等的实数根；③0<∆,方程没有实数根。

例13、不解方程，直接判断方程根的情况例14、应用根的判别式确定系数中所含字母的取值范围例15、证明方程根的存在性问题例16、根的判别式在实际问题中的应用例17、一元二次方程判别式的综合探究题知识点8、一元二次方程根与系数关系1、韦达定理：若方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则ac x x a b x x =⋅-=+2121;。

推论1.若方程02=++q px x 的两根为21,x x ，则q x x p x x =⋅-=+2121;；推论2.以两个数21,x x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x x 。

一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

Δ<0时，方程没有实数根。

以上定理也可以逆向应用。

在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ=，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。

2.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。

②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。

②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.练习1、已知关于x的方程kx-13x-2=0（k≠0）的根的判别式是233，则k=____.2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).3.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是4.若a,b,c互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0( ).(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定5.不解方程，判别下列方程的根的情况：6.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?7.k取什么值时，方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.8.求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.答案1、k=82.(B).3. k=2.4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)2-12(a2+b2+c2)=4(-2a2-2b2-2c2+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b) 2+(b-c)2+(c-a) 2]＜0.5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根；(2) 4m2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m2=0,原方程有两个相等的实数根；(3) 0.4x2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；(4) 4y2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；(5) x2-2 x-2 2=0, Δ=(-2 )2-4×(-2 )＞0,原方程有两个不相等的实数根；(6) 5 t2-10t+ =0, Δ=100-4×5 × =0,原方程有两个相等的实数根；6. =(2m+1)2-4(m-2)2=5(4m-3)(1) 当4m-3＞0,即m＞时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当m= 时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m＜时，原方程没有实数根.7.令Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k2-12k+20=0,k1=2,k2=10.当k=2时，原方程4x2-4x+1=0,x1=x2= ;当k=10时，原方程4x2-12x+9=0,x1=x2= .8.因为Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。

一元二次根的判别

一、知识要点：1.一元二次方程2≠ 0)的根的鉴别式2。

ax +bx+c=0(a =b-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根。

=0 时，方程有两个相等的实数根。

<0 时，方程没有实数根。

以上定理也能够逆向应用。

在应用鉴别式从前，要把方程化为一般形式，以便正确找出b、 c 的值。

a、注意：（ 1）根的鉴别式是指2，（ 2）使用鉴别式从前必然要=b -4ac，不是Δ=先把方程变为一元二次方程的一般形式。

2.根的鉴别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。

②依照方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

注意：①若是说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac ≥0，切勿扔掉等号。

②根的鉴别式 b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非其他方程中，因此，要注意隐含条件 a≠0.二、例题精讲：例 1．不解方程，判断以下方程的根的情况：(1)2x 2+3x-4=0(2)3x 2 +2=2x(3)x2 +1=x(4)ax2+bx=0(a ≠ 0)(5)ax 2+c=0(a ≠ 0)分析；一元二次方程的根的情况是由=b2-4ac 的符号决定的，因此，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽方法判断出“Δ”的符号，尔后依照鉴别式定理判断根的情况。

特别是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完好平方式或完好平方式加上（或减去）一个常数，再依照完好平方式的非负性判断“Δ”的符号，进而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。

解： (1) 2x 2 +3x-4=0a=2, b=3, c=-4,2∵=b-4ac=32 -4 ×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。

（ 2）将方程化为一般形式3x 2-2 x+2=0a=3, b=-2 ,c=2∴2 2=b-4ac=(-2 ) -4 ×3×2=0,∴方程有两个相等的实数根。

一元二次方程根的判别式-

2
3 .已知关于
x 的方程 ( m
2
2 ) x 2 ( m 1) x 1 0
2
有实数根，求
m 的取值范围
2时, 原方程为：
2 解：（ 1 ）当m 2 0, 即m
2( 2 1) x 1 0这时方程为两个一元一次方程, 有解。
（2）当m 2 0, 即m 2时原方程是一元二次方程，
3.方程9 x ( k 6 ) x k 1 0 有两个相等的实数根，则k＝ ______． 4．如果关于x的方程x 5 x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
2
2
当堂训练 2
1.关于x的一元二次方程 6 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 bx c 0 的根有三种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由 b 4 ac 的值来确定．因此 b 2 4 ac 叫做一元二次方程的根的判别式． △>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根．
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kx
2
2．下列关于x的方程中，没有实数根的是( ) 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2 x mx 1 0 C． 3 x 2 6 x 2 0 D．
2
3.试说明不论k为任何实数，关
于x的方程 ( x 1)( x 3 ) k 3 一定有两个不相等实数根．