人教A版(理科数学)正弦定理名师精编单元测试

题组层级快练(二十七)

(第一次作业)

1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.1

2 B ．1 C.

3 D ．2

答案 B

解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×1

2

，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.

2．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

答案 A

解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB 得3b 32＝b sinB

，解得sinB ＝12.因为A ＝120°，所以B ＝30°.

故选A.

3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]

B ．[π

6，π)

C ．(0，π

3]

D ．[π

3

，π)

答案 C

解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2

.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π

3

]．故选C.

4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π

4，则△ABC 的面积为( )

A.3＋1

B.3－1 C ．4

D ．2

答案 A

解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝1

2.又c>b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所

以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝1

2×2×22sin 7π12＝12×2×2×6＋24＝3＋1.故选A.

5．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，2

2，1，则cosA ＝( )

A.32

B ．－22

C ．－

24

D ．－

34

答案 C

解析 设△ABC 的面积为S ，则a ＝4S ，B ＝22S ，c ＝2S ，因此cosA ＝（22）2＋22－42

2×22×2＝

－

2

4

.故选C. 6．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6

答案 C

解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0

4

.

7．(2014·江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A

sin 2A 的值为( )

A ．－19

B.1

3 C ．1 D.72 答案 D

解析 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2

A ＝2(sin

B sinA )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝3

2，所以2sin 2B －sin 2A sin 2

A ＝2×(32)2－1＝7

2

. 8．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3，6] B ．(3，5) C ．(5，6] D ．[5，6]

答案 C

解析 ∵(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC ，∴由正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝(c －b)c ，即b 2＋c 2－a 2

＝bc ，∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π

3

.又△ABC 为锐角三角形，

∴⎩⎨⎧0

，

A ＋

B ＝π3＋B>π

2，

解得π6

2.

由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝3

3

2＝2，得b ＝2sinB ，c ＝2sinC ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C)

＝4[sin 2B ＋sin 2(2π3－B)]＝4－2cos(2B ＋π3)．又π6

3，可得b 2＋c 2

∈(5，6]．故选C.

9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 答案

34或3

2

解析 如图所示，由正弦定理，得

sinC ＝c·sinB b ＝32.而c>b ，

∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bcsinA ＝32或3

4

.

10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34

(a 2＋b 2－c 2

)，则C 的大小为________． 答案

π3

解析 ∵△ABC 的面积为S ＝1

2absinC ，

∴由S ＝

34(a 2＋b 2－c 2)，得34(a 2＋b 2－c 2)＝12absinC ，即absinC ＝3

2

(a 2＋b 2－c 2)．根据余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，∴absinC ＝32×2abcosC ，得sinC ＝3cosC ，即tanC ＝sinC

cosC

＝ 3.