电磁场知识总结

电磁场知识总结

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一、麦克斯韦方程、本构关系、边界条件

麦克斯韦方程

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+

=⨯∇ρD B t B E t D J H

0 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰V S

S S

C S dV S d

D S d B S d t B l d

E S

d t D J l d H ρ

0C 本构关系

⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=E J M H B P

E D

σμε)(00 边界条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=⋅-=⋅-0)()(0

)()(21212121E E e J H H e e B B e D D n

s n

n s

n

ρ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-0

21212121t t

s t

t n n s

n n E E J H H B B D D

ρ

3

二、静电场

源与库仑力

源：电荷，⎰=''

')(x dx r q ρ，库仑力（库仑定律），()'1

3'0

4i N

i i

i r r r r q q F --=

∑

=πε，电场强度，000lim q F

E q

→= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧-==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆→∆→∆点电荷密度

线电荷密度面电荷密度体电荷密度)

()(lim )(lim )(lim )('

''0''

'0'''0''''r r q r dl dq l q r dS

dq S q r dV dq

V q r l l

S S V δρρρρ ()

()

()

()

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧--------=∑⎰⎰⎰=点电荷

线电荷面电荷

体电荷'13'0'3'

'

'0'

3'''0'

3

'''041)(41)(41)(41)(i

N i i i l l S

S V r r r r q dl r r r r r dS r r r r r dV r r r r r r E

περπερπερπε

辅助函数

ϕ-∇=E ，⎰⋅==Q P

l d r E r P

)()()(ϕϕ

4

⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+-+-+-=⎰⎰⎰∑=线电荷

面电荷体电荷

点电荷系l l S S V N i i

i

C dl r r r C dS r

r r C dV r r r C

r r q r '''

'''

'

'

'1')(41)(41)(4141)( ρπερπερπεπεϕ

场方程 E E P E D r εεεε00==+=

⎩

⎨⎧=⨯∇=⋅∇0E D ρ

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅⎰⎰⎰0l

V S l d E q

dV S d D

ρ ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0

E E ερ

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅⎰⎰⎰01

l

V S l d E q dV S d E ερε ε

ρϕ-

)(2=∇r 0)(2

=∇r ϕ 边界条件

⎩⎨⎧=-⨯=⋅-0

)()(2121E E e e D D n s

n

ρ ⎩⎨⎧=-=-0

2121t t s

n n E E D D

ρ ⎪⎩⎪

⎨⎧=∂∂-∂∂=S n n

ρϕεϕεϕϕ-221121

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电容

ϕq

C = U q

q C ==21-ϕϕ i ii n

j j i ij i C C q ϕϕϕ+-=∑≠1

)(

能量与静电力

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∑⎰⎰⎰=多导体

线电荷面电荷体电荷n

i i i l l S

S V e q

dl dS dV W 1

2121

21

21

ϕϕρϕρϕρ ⎰

⋅=

V

e dV D E W 21 D E w e ⋅=2

1 常数

=∂∂-

=q e

r r

W F 常数

=∂∂=

ϕr

W F e r

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三、静磁场

源与安培力

源：电流，⎰⎰⋅==S S S d J i d I ，安培力（安培定律），()

⎰⎰⨯⨯=21321

21

11220124C C R R l d I l d I F

πμ， 磁感应强度，()⎰--⨯=C r

r r r l d I r B 3

'''04)( πμ，毕奥—萨伐尔定律，()

3''

0'4)(r r r

r l Id r B d --⨯=πμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆→∆面电流密度体电流密度dl di e l i e J ds di e s i e J t l t s n s n 00lim lim

()

()

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--⨯--⨯=⎰⎰面电流密度

体电流密度

S s V dS r r r r r J dV r r r r r J r B '3'''0'3''

'0

)(4)(4)( πμπμ

辅助函数

磁矢位：A B ⨯∇=，0=⋅∇A （库伦规范），⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+-+-=⎰⎰⎰线电流面电流体电流l S V C r r dl I C

d r r r J C dV r

r r J r A ''0

S '

''

0'''

04S )(4)

(4)( πμπμπμ