高中数学联合竞赛解析几何试题
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高中数学竞赛解析几何
高中数学联赛（预赛题锦）解析几何板块(天津卷2）2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1in 2s ABC ∠=.那么，A 点的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）以上皆有可能(天津卷8）8.设M 是椭圆22143x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.(天津卷15）在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .（河北卷6）6.圆O 的方程为221xy +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．（河北卷12）12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为12，通径长为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、的内心，延长2BF 交椭圆于点M ．（ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．（山西卷2）若自椭圆中心到焦点，长轴顶点，以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形。
则该椭圆的离心率是（吉林卷8）8．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的66，则椭圆的离心率为 ______．1F M 2F 1I BxA2I y o（山东卷12）12．（本小题满分15分）已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值．（福建卷12）12．已知A 、B为抛物线C ：24y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限。
高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
20xx年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编[整理]人教版.doc
![20xx年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编[整理]人教版.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/63c11e54f78a6529647d539c.png)
2020 年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编一、选择题1（． 00，3）已知点 A 为双曲线 x 2y 2 1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上， ABC是等边三角形，则ABC 的面积是（ A ）3 （B ） 3 3 （C ）3 3（D ）6 3325 x 42．（ 00， 5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y的距离中的最小3 5值是（ A ）34 （B ）34 （ C ）1 117085 20（ D ）303．（ 02， 2）若实数 x, y 满足 (x + 5) 2 +(y –12)2=142，则 x 2+y 2的最小值为(A) 2(B) 1(C) 3(D) 24．（02，4）直线xy 1 椭圆 x 2y 2 1 相交于 A ，B 两点，该圆上点 P ，使得⊿ PAB43 16 9面积等于 3，这样的点 P 共有(A)1 个 (B)2 个(C)3个 (D)4 个5．（ 03， 2）设 a ， b ∈ R ，ab ≠ 0，那么直线 ax － y ＋ b ＝0 和曲线 bx 2＋ay 2＝ ab 的图形是y y yyxx x xA B C D6．（ 03， 3）过抛物线 y 2＝ 8(x ＋ 2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交 于 A 、 B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于16 8 16 3A ．B ．C ．D ．8 3 3337．（ 05， 5）方程 x 2y 22 sin 3cos2 1 表示的曲线是sin cos 3A. 焦点在 x 轴上的椭圆B. 焦点在 x 轴上的双曲线C. 焦点在 y 轴上的椭圆D. 焦点在 y 轴上的双曲线二、填空题x 2 y 2 1(a b0) 中，记左焦点为 F ，右顶点为 A ，短轴上方8．（ 00， 10）在椭圆2b2a的端点为 B 。
若该椭圆的离心率是51，则 ABF =。
高中数学联赛解析几何专题练习(详解版)
高中数学联赛解析几何专题练习（详解版)一、单选题1．已知12F F 、分别为双曲线()222210,?0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。
若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )。
A ．(1, 3] B ．(1,2] C ．[2,3] D ．[3,十∞) 2．对0b a >>，取第1象限的点(),k k k A x y ()1,2,,k n =L ，使a ，1x ，2x ，L n x ，b 成等差数列，而a ，1y ，2y ，L ，n y ，b 成等比数列.则各点1A 、2A 、L 、n A 与射线():0l y x x =>的关系为（ ）.A ．各点均在射线l 的上方B ．各点均在射线l 上C ．各点均在射线l 的下方D ．不能确定 3．若直线4x π=被曲线C ：()()()()arcsin arccos arcsin arccos 0x a x a y a y a --+--=所截得的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是（ ）．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π4．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）.A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线5．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o .则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A．3 B．2 C ．l D6．过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45︒的弦AB .则AB 为（ ）. A．3 B．3 C．3 D．37．点P （0，2）关于直线210x y +-=的对称点坐标是A ．（-2，0）B ．（-1，0）C ．（0.-1）D ．62,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 8．以双曲线2214x y m-=的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m =（ ）A ．32B ．43C ．54D ．65 9．记()()()223,03x F x y x y y y ⎛⎫=-++≠ ⎪⎝⎭．则(),F x y 的最小值是（ ）． A ．125 B ．165 C ．185 D ．410．设1A 、2A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点．若在椭圆上存在异于点1A 、2A 的点P ，使得20PO PA ⋅=u u u v u u u u v ，其中，O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题11．若实数x 、y 满足x -=，则x 的取值范围是______.12．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线13．抛物线22y x =的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是__________. 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的右支交于点P ，且1245F PF o ∠=。
全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何
1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何
1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）. 【答案】134° 【解析】 【详解】不妨设边长为1，设AC 、DF 的中点分别为M 、N ，且A 在DF 上的射影为K ，则37BAM ∠=︒，97MAF ∠=︒，83AFK ∠=︒，即cos83FK =︒，cos37KN AM ==︒.又设EFN x ∠=，则cos FN x =，利用FN FK KN =+， 我们有cos cos83cos372cos60cos23cos23x =︒+︒=︒︒=︒，因此23x =︒，即等腰△DEF 的底角为23°，可见其顶角E 为134°. 故答案为134°2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．【答案】2020 【解析】 【详解】解析：222020OA OB OC R ⋅=-=． 故答案为：2020.3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．【解析】 【详解】设边BC 、CA 、AB 的长度分别为a 、b 、c ，则11||(),||()22AD a b c AE a c b =+-=+-，故1||||sin 2ADESAD AE A =⋅⋅ 221()sin 8a b c A ⎡⎤=--⋅⎣⎦ 22211sin 282a b c A bc bc ⎛⎫--=⋅+⋅⋅ ⎪⎝⎭2311(1cos )sin 42sin 2cos sin 2sin cos 8222222A A A A A A A =-⋅=⋅⋅=⋅⋅ 故()2222622sin sin sin 2224sin cos 427cos 223332ADEA A A A SAA==⨯⨯⨯⨯⨯， 42222sin sin sin 222+++cos 273332427464A A A A ⎛⎫ ⎪⎪≤⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 故338ADES≤（等号在23A π=时取到）．故答案为：338. 4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______.【答案】105 【解析】 【分析】 【详解】证明：连接P A 、PB 、PC 及PM 、PN ． 由已知易证△APC ≌△APN ，△BPC ≌△BPM ． 从而PC =PN ，PC =PM ，即PM =PN =PC ． 故P 为△CMN 的外心，此时有∠MPN =2∠MCN ．而∠ACN =90°12-∠A ，∠BCM =90°12-∠B ， 故∠ACN +∠BCM =180°12-(∠A +∠B )， 即∠MCN +∠ACB =180°12-(∠A +∠B )， 则∠MCN =∠MCN +∠ACB -∠ACB =(180°-∠ACB )12-(∠A +∠B ) =()12A B ∠∠+-(∠A +∠B ) =12(∠A +∠B )． 故∠MPN =2∠MCN =∠A +∠B =180°-∠C 所以∠C =180°-∠MPN =180°75-︒=105°．故答案为：105°．5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________. 【答案】10 【解析】 【分析】 【详解】设,a b k c b k =-=+为正整数，由于以555 a b c 、、为三边长可以构成一个三角形， 则55554235()()10202b k b b k b b k b k k -+>+⇔>++， 所以5410,10b b k b k >>，于是9a b k k =->，即有9110a k ≥+≥. 故答案为：10.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，∠BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.【答案】1892【解析】 【详解】如图，在△ABC 中，由AG 平分∠BAC 知23CG AC BG AB ==，故35ABG ABCS BG S BC ==.又S △ABC =210，则3321012655ABGABCSS ==⨯=. 由D 、E 分别为边AB 、AC 的中点知12DE BC ，所以△ADF ∽△ABG . 由14ADF ABGS S=，得到632ADFS =，故BGFD S 四边形6318912622=-=. 故答案为：1892． 7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b +=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______． 【答案】2212016x y += 【解析】 【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-． 由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=． 两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-， 整理得225a bc =． ①因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上， 所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=， 整理得18556c b +=． ②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____. 【答案】3 【解析】 【详解】由正弦定理将sin sin C k A =变形为c ka =，其中,c AB a BC ==.以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则33,0,,022A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),B x y ，由c ka ==两边平方整理得()()()()22222291133104k x k y k x k -+--++-= 因为2k ，所以上述方程可化为为()2222339014k x y x k ++-+=-由此可知点B 的轨迹是以()()2231,021k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231k r k =-为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B 到x 轴的最大距离为半径231kr k =-，所以ABC 的面积()21391321212k S k k k k =⨯⨯=⨯--在2k 上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-. 9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OPOQ=_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，记P 为过O 点在AD 上的垂线的垂足，Q 为过P 点在BC 上的垂线的垂足，下证P 、Q 即为所求． 对P 点，在DP DO CDAP OB AB==，所以有CDP BAP ∽，从而CPD BPA ∠=∠． 对Q ，PQ BC ⊥，所以P 、Q 、C 、D ，P 、Q 、B 、A 均四点共圆， 所以有DQC CPD BPA AQB ∠=∠=∠=∠．设AD 、BC 交于T ，K 为TP 的中点．不妨设5AD =， 则10,2DT DP ==，3,12,6,4,6AP TP KP KD TK =====， 从而23DK DO KT OB ==，所以//OK BT ，所以OK PQ ⊥． 由KP KQ =，所以OP OQ =，从而有1OPOQ=．故答案为：1.10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .【答案】54π【解析】 【详解】分别以点B 、C 为圆心，6为半径作圆，交于三角形外一点D ，连结BD 、CD ； 有5353cos ,cos 7272A BDC =∠=-，故A 、B 、D 、C 四点共圆，所以∠ABD +∠ACD =π. 又易知AB 与圆C 相离，故所求的面积为2个圆的面积去掉半个圆的面积再加上△BCD 的面积等于54π+故答案为：54π 二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设BF 与CE 相交于点T ．连结BK 、CK ．由BCE BEC ABC ∠+∠=∠，及BC BE =，得12BCE ABC ∠=∠， 类似可得12CBF ACB ∠=∠，故 1()602CTF BCE CBF ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，因此，A 、B 、T 、C 四点共圆．进而，,180180EBF ACE AKE ABF EBF AKE AKF ∠=∠=∠∠=︒-∠=︒-∠=∠， 所以A 、B 、K 、F 四点共圆．由,EBK CFK BEK FCK ∠=∠∠=∠，及BE FC =，得KBE KFC ≌． 于是KC KE =．因此，KC KE =，即AK 是BAC ∠的角平分线．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】对完全四边形11BC CPAA 用密克定理，知Q ､1A ､B ､C 四点共圆，所以1QCB AAQ APQ ∠=∠=∠. 又因为1PAQ PAQ CBQ ∠=∠=∠，所以PAQ CBQ ∽. 因此AP BC ADPQ QC QC==， 结合1PAD PC B PQC ∠=∠=∠知PAD PQC ∽. 因此PDA PCQ ABQ ∠=∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】如图，设F 为AC 的中点，连接,,,,,,,AH AB B C AO FN OF OM OH ''，可证F 、A 、O 、H 四点共圆，从而可证明四边形B FNC '为等腰梯形，故可证12B N AC '=. 【详解】如图，连接,,,AH AB B C AO ''，则,AH BC B C BC '⊥⊥，故//AH B C '，同理//AB HC '，故四边形AHCB '为平行四边形设F 为AC 的中点，故B '、F 、H 共线，且F 为B H '的中点， 连接,FN OF ，结合N 为CH 的中点可知，//FN B C '．连接,OM OH ，则//OM B H '，故FHO HOM HNM HCB ππ∠=∠=-∠=-∠， 另一方面，容易得到2FAO ABC HCB π∠=-∠=∠，故FHO FAO π∠+∠=，从而F 、A 、O 、H 四点共圆，从而可知FB C FHA FOA ABC AB C NCB π∠=∠=∠=∠=-=∠'∠''， 从而四边形B FNC '为等腰梯形，进而12B N CF AC ='=，证毕． 【点睛】思路点睛：竞赛中的平面几何，大多数与四点共圆相关，因此需要结合三角形中各类角的性质进行大小关系的转化.14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】连结AP 、EF 、DE 、FN ．因为,PD BC PF AB ⊥⊥，所以DPF ABC ∠=∠．因为PB 、PC 与O 相切，所以BAC BCP CBP ∠=∠=∠．因此180180PCE ACB PCB ACB BAC ABC DPF ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=∠． 又因为,PD BC PE AC ⊥⊥，所以PCE PDE ∠=∠． 所以PF //DE ，因此PFE DEF ∠=∠．又因为F 、E 、D 、N 四点共圆，所以BNF DEF ∠=∠． 又因为P 、E 、A 、F 四点共圆，所以BNF PFE PAC ∠=∠=∠． 又因为PCE ABC ∠=∠，所以ACP MBF ∠=∠， 故BFN CPA ∽，所以BN ACBF CP=， 因此cos cos BF BFBN AC AC AC PBF AC ACB CM CP BP=⋅=⋅=⋅∠=⋅∠=． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】因为,,OB OA AE FD BF OBA OAB EAO ===∠=∠=∠， 所以OAE OBF △≌△，所以BFO AEO ∠=∠， 所以A 、E 、F 、O 四点共圆，记该圆为ω．又OPE OBA OAE ∠=∠=∠，故有P 在圆ω上，同理Q 也在ω上．ADM △的外接圆圆心N 为AD 的中点，即EF 的中点．又OE OF =，故有ON EF ⊥，所以O 、N 与ω的圆心共线． 所以三圆关于直线ON 对称，故K 也在ω上． 所以K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】 法一：共圆证法． 作圆心O ，连结AOEF M =，连结MB 、OC ．由于DC 、DB 为圆O 的切线，故O 、C 、D 、B 四点共圆． 对Rt AOF 用射影定理2AM AO AF ⇒⋅=．又2AF AB AC AM AO AB AC =⋅⇒⋅=⋅，即M 、O 、C 、B 四点共圆．⇒O 、C 、D 、B 、M 五点共圆，故D 、C 、M 、B 四点共圆．AMB OCB OBC OMC MF ⇒∠=∠=∠=∠⇒平分CMB ∠．又CD BD MF =⇒过D ，即D 、E 、F 共线． 法二：塞瓦定理． 对F 及CDB △用塞瓦定理，sin sin sin 1sin sin sin BDF FCD CBFCDF BCF FBD ∠∠∠⨯⨯=∠∠∠．对E 及CBD 用塞瓦定理，sin sin sin 1sin sin sin BDE DCE EBCCDE ECB EBD∠∠∠⨯⨯=∠∠∠．由于2sin sin ,sin sin BDF FBD FCD CBF BCF FBD CDF CBF ∠∠⎛⎫∠=∠∠=∠⇒= ⎪∠∠⎝⎭．由于2sin sin 180,180sin sin BDE EBC DCE EBC EBD ECB CDE ECB ∠∠⎛⎫∠=︒-∠∠=︒-∠⇒= ⎪∠∠⎝⎭．sin sin sin sin FBD EBC CF CECBF ECB BF BE∠∠=⇔=∠∠．由,CF AC AC CEABF AFC ABE AEC BF AF AE BE⇒===∽∽． 从而D 、E 、F 共线．17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】如图，延长CG 与AB 交于点J ，则J 为AB 的中点，故CPA CAB ACG ∠=∠=∠． 从而2ACG APC AG AP AC ⇒⋅=∽． 同理，2BG BQ BC ⋅=．设BPG 的外接圆圆M 与AB 的另一个交点为K ， 由圆幂定理知：2AK AB AG AP AC ⋅=⋅=， 所以CK AB ⊥，于是2BK BA BC BG BQ ⋅==⋅．因此A 、K 、G 、Q 四点共圆，所以AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上． 18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】过B 作//BF PE 交AC 于F ，连结FQ ．则有AP PF =，于是PQ 是AF 的中垂线，故,QA QF = 180180QFA QAF DAC DBC QBP ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠．因此Q 、P 、F 、B 共圆，再由QP PF ⊥，得BF BQ ⊥． 而//BF PE ，故PE BQ ⊥，即PE BC ⊥．19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】设ABC 的外接圆P ，M 、N 、Q 分别是弧AB AC BC 、、的中点. 如图连结线段，则由BC CE =得MB ME =. 又MA MB =，所以MA ME =，于是MO AE ⊥. 又PN AC ⊥，所以//MO PN .同理//NO PM ， 再由PM PN =，即知四边形OMPN 是菱形， 所以MN OP ⊥，并且2sin2AOP PM QB QI =⋅==.另一方面，由鸡爪定理又有MN AI ⊥，所以//OP QI 且OP QI =， 即四边形OPQI 是平行四边形，所以//OI PQ ，所以OI BC ⊥.20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.【答案】证明见解析. 【解析】【分析】 【详解】设ABD △的内切圆分别与BD AD 、切H I 于、两点；ACD △的内切圆分别与DC AD 、切于J K 、两点.作平行四边形AGFM ，连结DM ，交AC 于点L ，则FAG AFM ∠=∠， 且,AM GF ED AM GF ED ==∥∥， 所以AEDM 是平行四边形，所以AE DM ∥.又AG MF ∥，所以EAG DMF ∠=∠，所以要证明EAG FAG FML AFM LF LM ∠=∠⇔∠=∠⇔=. 因为D 是BC 的中点，AE DM ∥，所以L 是AC 的中点，且12DL AB =. 因此：2222LM DM DL AE AB =-=-AE EB AI BH =-=-AI BD HD =-+AI BD DK KI =-++.222222LF AF AL AK AL AK AC =-=-=- AK FC AI IK CF AI IK CJ =-=+-=+- AI IK CD DJ AI IK BD DK =+-+=+-+，所以LM LF =，所以AG 是BAC ∠的平分线.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】如图，过P 作,PM AB PN AC ⊥⊥，垂足分别为M 、N ．首先，由题意知PD BC ⊥，则B 、M 、P 、D 共圆，C 、N 、P 、D 共圆， 而90KMD BPD CPD LND A ∠=∠=∠=∠=-︒，则90MKD KDM A ∠+∠=︒+， 而90MKD NLD A ∠+∠=︒+，故NLD KDM ∠=∠，即KDM DLN ∽， 因此KM DNMD NL=． 又因为PMD PBD PCD PND ∠=∠=∠=∠，()18018090MPN A MKD KDM ︒∠=︒-=-∠+∠-︒ 36090LDN KDM MDN =-︒-∠-∠=∠︒．故四边形MPND 为平行四边形，即得KM PM KM PNPN NL MP NL=⇔=， 结合直角，故Rt KMP Rt PNL ∽，即90KPM LPN ∠+∠=︒， 则()901809090KPL MPN A A ∠=∠-︒=︒=︒-︒--． 而1802BPC A ∠=︒-，故2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】PC 与AB 交于点K ．首先证明：P 、D 、K 、C 为调和点列，即||||||||PD KD PC KC =． 设()00,P x y ，则直线AB 方程为00221x x y ya b+=． 设P 、D 、K '、C 为调和点列，且||||K DPD PC K Cλ='='． 设()()()112233,,,,,A x y B x y K x y '，则12123121203,,11,.11x x x x x x y y y y y y λλλλλλλλ⎧-+⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩ 故()()()()1212121203032222211x x x x y y y y x x y y a b a b λλλλλ-+-+⎡⎤+=+⎢⎥-⎣⎦22222112222222111x y x y ab a b λλ⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，所以K '在直线AB 上，即K '与K 重合，结论成立． 下面证明原题：由梅涅劳斯定理可知1CN MA PKNM AP KC⋅⋅=， 又由12AM AP =，可知2CN CK NM PK=， ① 由直线上托勒密定理可知，CD KP CK PD CP DK ⋅=⋅+⋅，由P 、D 、K 、C 四点调和可知，CK PD CP DK ⋅=⋅，故2CD KP CK PD ⋅=⋅，即2CD CKPD KP= ② 结合①、②可知，CN CD NM PD=．故//ND PM ． 又N 为AB 的中点，所以Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】连结BP 、DE 、QC 、PE 、DQ 、PD ，由于D 、E 分别是边AB 、AC 的中点可知//DE BC ，则180APD AED DAE ADE DAE DBC ∠=︒-∠=∠+∠=∠+∠180180DQE DQC EQC =︒-∠+︒-∠=∠，180BPD BPE DPE ACB DAE ∠=∠-∠=-∠-∠︒ ABC ADE APE AQE =∠=∠=∠=∠，APB APD BPD EQC EQA AQC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，且：1sin sin 21sin sin 2PBD PADAP PB PD BPD AP AP SBPD BP BP SAPD BP PA PD APD ⎛⎫⋅⋅⋅∠ ⎪⋅∠⎝⎭===⋅∠⎛⎫⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭1sin sin 21sin sin 2AQE CQECQ AQ AE AQE CQ S AQE CQCQE AQ SAQAQ CQ QE CQE ⎛⎫⋅⋅⋅∠ ⎪⋅∠⎝⎭====∠⋅⎛⎫⋅⋅⋅∠ ⎪⎝⎭， 所以APB CQA ∽，所以:AQP ADP PBD BPD QAE AQE QEC APQ ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠，所以AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，设△ABC 的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF ⋅=-+ ()()MF HF MF HF =-+22MF HF =-()22AF FB AH AF =⋅--2AF AB AH =⋅- ①同理有2PH HQ AE AC AH ⋅=⋅-， ②因B 、C 、E 、F 四点共圆，知 AF AB AE AC ⋅=⋅ ③ 故由①、②、③式得MH HN PH HQ ⋅=⋅. 所以M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 【答案】38【解析】 【详解】设直线CE 与圆Γ相切于点N ，连结ME 、MN 、MC .在Rt △MNC 和Rt △MDC 中，MC =MN ，m =MC ，所以△MNC ≌△MDC ，故∠NMC =∠DMC . 同理∠EMN =∠AME .所以∠EMC =90°. 故MN 是Rt △EMC 斜边上的高，所以EN MNNM NC =，故14EN =. 所以13,44AE BE ==.因此△CBE 的面积等于38.26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．【答案】见解析 【解析】 【详解】如图①，不妨设AB AC ≥，ABC 的内切圆切BC 、CA 、AB 于T 、1K 、2K ．图①过T 作内切圆的直径TK ，过K 作I 的切线分别交AC 、AB 于M 、N ，则NM BC ． 由于I 是AMN 的旁切圆，12AK AK =，因1MK MK =，2NK NK =， 所以有AM MK AN NK +=+．延长AK 交BC 于G ，则BG CT =，因此DT DG =， 故DI 是TGK 的中位线，所以DP AG ，因四边形BDEF 为平行四边形，所以DEP ∽ABG ，相似比为12DE AB =． 同理，DEP ∽ACG ，相似比为12DF AC =． 又注意AMK ∽ACG ，ANK ∽ABG ，相似比均为AKAG， 既然有AM MK AN NK +=+，所以AC CG AB BG +=+， 因此，DF FP DE EP +=+，即所证结论成立． 附注 在几何题中用到三角形内切圆的一个基本性质． 如图②，在ABC 中，内切圆I 切BC 于D ，设DH 是I 的直径，若AH 交BC 于M ，则BM CD =． 证明：过H 作EF BC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上．设I 的半径为r ，HF x =，CD y =，EH z =，BM t =，MD d =，连结BI 、CI 、EI 、FI ，由于CI 、FI 分别平分一对互补角BCF ∠、EFC ∠， 所以90CIF ∠=︒，且CDI ∽IHF ，则y rr x=，2xy r =． 同理BDI ∽IHE ，则t d rr z +=，()2z t d r +=， 所以()xy z t d =+，则x t dz y+=． ①又由EF BC ，得x AH z y d AM t ==+，所以x y d z t +=， ② 根据①②式得，t d y dy t ++=，所以22t td y yd +=+，即()()0y t y t d -++=， 由此得，0y t -=，即t y =，也就是BM CD =．（同时也有CM BD =．）27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ ∽ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】（1）如图，连结PD 、QD ．因为P 、Q 分别为ABD 、ADC 的外心，所以PQ 为线段AD 的垂直平分线． 所以12APQ APD ABD ABC ∠=∠=∠=∠，12AQP AQD ACD ACB ∠=∠=∠=∠．故APQ ∽ABC ．（2）如图，连结OA 、OB 、OP 、PB 、QC ．延长OQ 与AC 相交于点F ． 由O 、P 、Q 分别为ABC 、ABD 、ADC 的外心， 知OP 、OQ 、PQ 分别是线段AB 、AC 、AD 的垂直平分线． 所以()22APB APD BPD ABD BAD ADC AQC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠． 又OBP OAP ∠=∠，1122AQF AQC APB APO ∠=∠=∠=∠．所以A 、P 、O 、Q 四点共圆，OAP OQP ∠=∠．又EO PQ ⊥，DQ PQ ⊥，所以EO DA ，12OEC ADC APB BPO ∠=∠=∠=∠．所以P 、B 、E 、O 四点共圆，OEP OBP ∠=∠． 设EO 、QO 的延长线分别与PQ 、PE 相交于M 、N ，则OEP OBP OAP OQP ∠=∠=∠=∠．故M 、N 、E 、Q 四点共圆． 又EO PQ ⊥，所以90QNE QME ∠=∠=︒．故QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设∠C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，延长PQ ，分别与AC 、BC 交于点M 、N ，联结DP 、DQ 、CP. 分别过M 、N 作CD 的平行线与BC 、AC 的延长线交于点F 、E. 易知，Rt ADC Rt CDB ∆~∆.又P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心， 故AC DPRt ACB Rt PDQ QPD BAC BC DQ=⇒∆~∆⇒∠=∠ A D P M ⇒、、、四点共圆45CMN ADP CM CN ⇒∠=∠=︒⇒=.易证Rt CPM Rt CPD ∆≅∆. 于是，CM=CD=CN.由∠FMC=∠ACD ，CM=DC Rt FCM Rt ADC MF AC ⇒∆≅∆⇒=. 类似地，NE=BC. 根据三平行线定理得222111111121CK MF NE AC BC CK AC AC BC BC=+=+⇒=++⋅. 再由直角三角形恒等式得222111CD AC BC =+，12S AC BC=⋅. 故22111CK CD S-=.29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ三线共点.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，设1O 、2O 的半径为R ，XY 的中点为M. 则点Z 与C 关于M 对称，点1O 与2O 关于M 对称. 因此，点Z 在2O 上.记ABH ∆的外接圆为3O ，其半径为1R .则()12sin 2sin 2sin AB AB ABR R AHB ACB ACBπ====∠-∠∠.接下来证明：Z 为2O 与3O 的交点（异于H ）.由1O 、2O 、3O 的半径均为R ，知四边形12XO YO 、四边形31AO BO 均为菱形. 记AB 中点为N ，则N 也为13O O 的中点. 注意到，H 与1O 分别为ABC ∆的垂心与外心. 故1132CH O N OO ==，即13CO HO =. 因为，XZ CY =.所以，22O Z O X XZ =+ 113YO CY CO HO =+==. 又H 为2O 、3O 的一个交点，则Z 为两圆另一交点. 于是，AB 、XY 、HZ 恰为1O 、2O 、3O 两两的公共弦. 由根轴定理知AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】取D 关于AB 的对称点D ，延长D C '与BA 交于I 点，则IAC ID B IDB '．因为AC 、BD 两点的中点为E 、F ，所以IAE IDF ，而IACID B '，故ICB IEF IAD ，所以IBC IFE IDA ∠=∠=∠，所以I 、D 、G 、F 四点共圆．又ICB IEF ∠=∠，所以IEH ICH ∠=∠，所以I 、E 、C 、H 四点共圆，注意到90HDA GDF ∠=∠=︒， 故EH 、FG 为直径的圆过I ．取I 关于HE 的对称点I '，则EH 、FG 为直径的圆交于I 、I '， 则I '、H 、I 、E 、C 五点共圆，所以I CH ICH BCD BCD ∠=∠==∠'∠'． 所以I '在CD 上，即以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】证法1：设ABD △的外接圆为Γ，其中弧BD 的中点为N ， 如图1，连结BN ，DN ，AN 与BD 交于点M .易见AN 平分BAC ∠，从而AN BC ⊥.又由于ABM AND ∠=∠，故ABM AND ∽，进而得到 AM AN AB AD ⋅=⋅.另一方面，由垂径定理可知NE BD ⊥.因此909090()ANE EMN AMD ABM BAM ∠=︒-∠=-∠=︒-∠+∠()90BAM ABD ABC ABD EBF =︒-∠-∠=∠-∠=∠. 注意到AEM BEF EBF ∠=∠=∠，故ANE AEM ∠=∠. 这说明ANE AEM ∽，从而得到2AE AM AN AB AD =⋅=⋅.证法2：设BCE 的外接圆为Ω，圆心为O ；如图2，连结OB OC 、OE OF 、、；连结OA 与线段BC BD 、分别交于点N ､G ，取边AB 的中点M ，连结MN CE FG 、、.由条件及OB OE =可知，OF 垂直平分BE ，即OF BG ⊥. 同理BF OG ⊥，因此F 是OBG △的垂心，从而FG OB ⊥.另一方面，E 是BD 的中点，而MN 是ABC 的中位线，因此M ､E ､N 三点共线， 由塞瓦定理，我们有1AG NF BMGN FB MA⋅⋅=， 注意到BM MA =，因此AG BFGN FN=，从而//FG AB . 综上可知AB OB ⊥，因此Ω与边AB 相切于点B . 再由对称性，Ω必然与边AC 相切于点C ，因此 ACE CBE BEF AED ∠=∠=∠=∠，从而ACE AED ∽.故2AE AC AD AB AD =⋅=⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C 在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设,,CAB A ABC B BCA C ∠=∠=∠=，1AI ､2BI 的延长线交于点I . 由1AI ､2BI 分别为CAB ∠､ABC ∠的角平分线知I 为ABC 的内心.因为点E ､F 均在以BC 为直径的圆上，所以,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠， 则AEF ABC ∽，相似比cos AEA AB=. 又因为1I ､I 分别为AEF ､ABC 的内心，所以1cos I A IA A =. 故211(1cos )2sin2A II IA I A IA A IA =-=-=，同理，222sin 2B II IB =.在ABI △中，由正弦定理知sinsin 22A BIA IB =，则 22122sin 2sin 22A B II IA IA IB II IB ⎛⎫⎛⎫⋅===⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A ､B ､2I ､1I 四点共圆，且I 关于1O ､2O 等幂.于是，CI 是1O 与2O 的根轴.故12CI O O ⊥.设CI 与12I I 交于点Q ，则1112II Q I IQ II I ACI CAI ∠+∠=∠+∠+∠ 2ABI ACI CAI =∠+∠+∠90222B C A=++=︒. 因此12CI I I ⊥，从而1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】延长MF 交O 于点G ，直线NG 交AB 于点H ．因为90MDH MGH ∠=∠=︒，所以M D G H 、、、四点共圆． 又M D E P 、、、四点共圆，所以NG NH ND NM NE NP ⋅=⋅=⋅．于是P E G H 、、、四点共圆，所以90HEP ∠=︒．设HE 交MP 于点F '，则90HEN HGF ∠=∠'=︒，所以E N G F '、、、四点共圆． 又A B G N 、、、四点共圆，于是···HE HF HN NG HA HB '==， 所以A B F E '、、、四点共圆，于是F F ='，故90FEP ∠=︒，即EF PN ⊥．34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】先证明//QC AB ．事实上设Q '在Γ上异于C ，//Q C PB '只要证Q '、F 、P 共线． 易知AP AQ BC AD ==='．设A 关于M 的对称点为,A AA ''另交Γ于T ，则 ,CTM ABM CTD ABA MTD MBA '⇒'∽∽∽．因为BC AD A C =='，故45A BC '∠=︒即45MTD FDA ∠=︒=∠， 因此222AF AT AD AP AQ '⋅===， 知Q '、F 、P 三点共线，故Q '、Q 重合. 再证A 、N 、D 、P 共圆，事实上由119090()22APD DAP CAP CAD ∠=︒-∠=︒-∠-∠()190901352C C C =︒-∠-︒+∠=︒-∠ CND =∠，即得．因此结合AP AD =知，NA 是DNP ∠的外角平分线，故设D 关于AC 的对称点为D ，则D 、N 、P 共线．设PQ 与AC 交于点K ，则22AK AC AP AD ⋅==， 故,,DD AC PQ '共点K ．因为90AD C ADC ∠=∠='︒，故A 、D 、C 、D 共圆． 故KQ KP KC KA KD KD D ⋅=⋅=⋅⇒''、Q 、D 、P 共圆， 从而QEN QPN QDK ∠=∠=∠，于是Q 、K 、D 、E 共圆， 所以90EQD EKD ∠=∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】设M 是弧BDC 的中点，OT ，SD 分别与BC 交于点K ，L .由πAEP AFP ABD ACD ∠+∠=∠+∠=知A ，E ，P ，F 共圆.由ASP ACD AFP ∠=∠=∠知S ，A ，P ，F 共圆，即S ，A ，E ，P ，F 五点共圆. 注意SEF SAF SBC ∠=∠=∠，同理πSFE SAE SCB ∠=-∠=∠可知SEF 与SBC △相似.因此SE SB SF SC=，即SE SF =. π22TAC TOC TKC KCO DLC A ⎛⎫∠=∠=∠-∠=∠--∠ ⎪⎝⎭πππ222A DBC BDS A DSC A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∠+∠--∠=∠+--∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12DSC A =∠+∠由AT 平分QAP ∠可知：11222QAC TAC PAC DSC A PSF A FSC ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠+∠因此1122QSF QSC FSC QAC FSC A ESF ∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠.即QS 是ESF ∠的平分线，结合SE SF =可知SQ 是EF 的垂直平分线，故QE QF =. 36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】连结AX 并延长交BC 于E ．对ABD △和点X ，由赛瓦定理得1BE DP AQED PA QB⋅⋅=． 对ABD △和截线CPQ ，由梅涅劳斯定理得1BC DP AQCD PA QB⋅⋅=． 结合两式有BE BCED CD=，所以E 为定点，延长BC 至1B 使得1CB CB =，这样有11,BE B C BD B DED CD ED CD==． 所以11XD DY BD CD B D ED ⋅=⋅=⋅，进而X 、E 、1Y 、1B 四点共圆．所以11DY B DEX DEA ∠=∠=∠为定角．又D 、1B 为定点，所以1Y 在过D 的定圆上运动，取该圆上D 的对径点1D （直径的另外一个端点），则1D 为定点，且1D 在直线1l 上．又2CY D CAX CAE ∠=∠=∠为定角，C 、D 为定点，所以2Y 在过D 的定圆上运动，取该圆上D 的对径点2D ，则2D 为定点，且2D 在直线2l 上，又33BY D BY X BAX BAE ∠=∠=∠=∠为定角，B 、D 为定点，所以3Y 在过D 的定圆上运动，取该圆上D 的对径点3D ，则3D 为定点，且3D 在直线3l 上． 命题得证．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BPXZ PC=．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】设圆A ω与B ω交于异于点R 的点N （三角形密克点），则P 、N 、Q 、C 共圆． 设直线AP 与直线RN 交于点K ，直线AP 与直线QN 交于点M ，设,NPX NRY NXA BRK αβ∠=∠=∠=∠=， 由于sin sin sin sin sin sin MNP MNXMP SNP MNP CMX S NX MNX PAQβα⋅∠===⋅∠∠，sin sin sin sin sin sin KRY ARKKY SRY KRY PAB AK SRA ARK B αβ∠∠===∠．我们有sin sin sin sin sin sin KY MP PAB C AB PAB BP AK MX B PAQ AC PAQ CP⋅∠⋅⋅∠===⋅⋅∠⋅∠．另一方面由PK KY KN KR AK KX ⋅=⋅=⋅得()AP KY AK KP KY AK KY AK XK AK XY ⋅=+=⋅+⋅=⋅．同理由MZ MP MN MQ MX MA ⋅=⋅=⋅得： ()MP XZ MP XM MZ MP XM MP MZ ⋅=⋅+=⋅+⋅MP XM MA XM MX AP =⋅+⋅=⋅因此XY KY MP XZ AK MX =，由此得到YX BPXZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】因为,FP BM EP CM ∥∥，所以sin sin sin sin FB PMB PMC ECPM FBM ECM PM∠∠===∠∠，即FB EC =. 又SB SC =，且SBF SCE ∠=∠，故SBF SCE ≌，所以SF SE =.于是，要证QE QF =，只需证SQ EF ⊥.又由SBF SCE ≌知，SFA SEA ∠=∠，故S A F E 、、、四点共圆. 而180AFP AEP ABM ACE ∠+∠=∠+∠=︒，故A F P E 、、、四点共圆. 从而S A F P E 、、、、五点共圆.则：180ESQ SEF ESP PSQ SAF ∠+∠=∠+∠+︒-∠1902EAP MAQ BAC =∠+∠+︒-∠1902EAP MAT TAQ BAC =∠+∠+∠+︒-∠1902EAT MAT BAC =∠+∠+︒-∠190902CAT JAT BAC =∠+∠+-∠=︒︒.其中，S T 、关于QO 对径点分别为J K 、. 则JT KS TM ==，即SQ EF ⊥.故QE QF =. 证毕.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABCS x S=．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）．【答案】证明见解析.【解析】 【分析】 【详解】由A B C ∠≥∠≥∠，知B C ∠∠、均为锐角，可知D 在边BC 上，且BD CD ≤． 连结AQ 并延长交BC 于S ．由CF 平分C ∠，得AF ACFB BC=， 又A B ∠≥∠，从而知1AC BC ≤，得1AFFB ≤． 由塞瓦定理得1BS CE AF SC EA FB ⋅⋅=，可知1BS FB SC AF=≥，得BS SC ≥， 所以如图S 在BC 的中点的右边，而D 在BC 的中点左边，综上可得D 在线段BS 上．由D 在BS 上，知Q 在ADC 内，连DE 交CP 于O 点，由CP 平分C ∠，有,PD CD OD CDAP AC OE CE ==． 将1,2AC CD CE AC >=代入上式可得21,2PD OD CDAP OE AC<=<， 所以12,23PD OD AD DE <<，故13OPD ADES PD OD S AD DE ⋅=<⋅． 由AE EC =，可知16OPD ACDSS<． 又,OPDPQR ACDABC SSSS≥≤知16PQR OPD OPD ABCABCACDS S S x SSS=≤≤<． 若令1AC BC ==，则AF BF =，而AE CE =，得Q 为ABC 的重心， 16BFQ ABCS S=，16BFQ BFPR BFPR ABC ABCS S S x S S -==-． 令0C ∠→，则0ABD ABCSS→，知0BFPRABC S S →，故16x →，且x 可无限接近16． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】过N 作AC 平行线，分别交AB BC 、于P Q 、，连结ID IF IP IQ 、、、．由IN AC ⊥得IN PQ ⊥，又IF AB ⊥，因此F P N I 、、、四点共圆．因此IFN IPN ∠=∠，同理IDN IQN ∠-∠．又由ID IF =知IDN IFN ∠=∠，从而IPN IQN ∠=∠，即IP IQ =．再由IN PQ ⊥可得PN QN =．再由PQ AC ∥得PN BN QN AM BM CM==，因此,AM CM M =是AC 中点． 41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K .证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】【详解】 首先证明一个引理：引理：已知O 上依次四点E ､F ､G ､H ，直线EF GH 、交于点X ，直线EH FG 、交于点Y ，直线EG 、FH 交于点Z ，则点O 为XYZ 的垂心.引理的证明：注意到X ､Y ､Z 分别是直线YZ ZX XY 、、关于O 的极点，从而OX YZ ⊥，,OY ZX OZ XY ⊥⊥，即O 是XYZ 的垂心. 回到原题，由引理知O 是PQR 的垂心.设OP QR ⊥于点0P ，OQ RP ⊥于点0,Q OR PQ ⊥于点0R ，直线00P Q 与PQ 交于点0U ， 则P ､0P ､0Q ､Q 四点共圆，且圆心为M .由引理知M 为0OU R 的垂心，则0MR OU ⊥.由题意，MR OU ⊥知U 与0U 重合，从而V ､O ､0P ､R ､0Q 五点均在以OR 为直径的圆上. 故00UV UO UQ UP UQ UP P ⋅=⋅=⋅⇒､Q ､V ､O 四点共圆.由090RVU RR U ∠=∠=︒知U ､V ､R ､0R 四点共圆，推出002OV OU OR OR OP OP r ⋅⋅===⋅，其中r 为O 的半径，最后一步是由配极原理得到.在直线MR 上取点0K ，满足20VK VO VU =⋅.则090OK U ∠=︒，且220OK OU OV r ⋅==，即0UK 为O 的切线，故K 与0K 重合，K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】取AC 的中点N ，结合已知条件证得//QM CN ，再由三角形边之间的比例关系证得三角形相似，可得四点共圆，即得证.【详解】证明：取AC 的中点N ．连接QB 、QM ，由3AP PC =，可知P 为NC 的中点．易知B ，I ，N 共线，90INC ∠=︒．由I 为ABC 的内心，可知CI 经过点Q ，且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，又M 为BI 的中点，所以QM BI ⊥．进而//QM CN ．。
高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何
高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
创界学校高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编[整理] 试题
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智才艺州攀枝花市创界学校2000-2021年全国高中数学结合竞赛解析几何试题分类汇编一、选择题1．〔00，3〕点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，那么ABC ∆的面积是〔A 〕33〔B 〕233〔C 〕33〔D 〕362．〔00，5〕平面上整点〔纵、横坐标都是整数的点〕到直线5435+=x y 的间隔中的最小值是 〔A 〕17034〔B 〕8534〔C 〕201〔D 〕301 3．〔02，2〕假设实数x,y 满足(x+5)2+(y –12)2=142，那么x 2+y 2的最小值为 (A)2(B)1(C)3(D)24．〔02，4〕直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 一共有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．〔03，2〕设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是ABCD6．〔03，3〕过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o的直线，假设此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，那么线段PF 的长等于A ．316B ．38 C ．3316 D ．387．〔05，5〕方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆 D.焦点在y 轴上的双曲线二、填空题8．〔00，10〕在椭圆)0(12222>>=+b a by ax 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。
假设该椭圆的离心率是215-，那么ABF ∠=。
9．(01，7)椭圆θρcos 21-=的短轴长等于。
10．〔03，8〕设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，那么三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．11．〔04，12〕在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M 〔－1，2〕和N 〔1，4〕，点P 在X 轴上挪动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
近十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何)-推荐下载
【答】（ ）
(D) 6 3
D．4 个
12|cosθ + sinθ－1|
5
，
题设方程可化为 y ax b 和 x 2 y 2 1,观察图形可知； ab
2003.3 过抛物线 y2 8x 2的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线. 若此直线与抛物线交于
A，B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于
2 3 0,sin 2 3 0, 2 3 3 , 3 2 3 .
2
2
sin( 2 3 ) 0, ()式 0.
2
4
2
2
即 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3.曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选 C。
M N , 则 b 的取值范围是
6 ,
6
6 ,
6
A．[ 2 2 ] B。（ 2 2 ）C。（ 3 3 ） D。[ 3 3 ]
解： M N 相当于点（0，b）在椭圆 x2 2 y2 3 上或它的内部
2b2 1, 6 b 6
3
x2
2005. 方程
2
3 0, cos
2
44
2 cos
3 0, 方程表
24
2
r1=r2 时，O1O2 的中垂线是轨迹的
4
cos ABF
则∠ABF=90°.
x2 2003．设 F1, F2 是椭圆 9
a 2 b2
PF1F2 的面积等于_____________.
a 2 c a2
一、选择题
十年全国高中数学联赛试题一试
竞赛试题选讲之解析几何
高中数学竞赛专题讲座之四：解析几何一、选择题部分1．(集训试题)过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 （ ）A ．]33,0( B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。
又∵HQ=λPH ，所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=yy x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33[321322322∈-=-λλλ. 故选C.2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)A ．212y x =-B ．212y x =C ．216y x =-D ．216y x =3．（2006年江苏）已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有（B ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线12222=-by a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（A ） A ．22ab ab- B ．22a b ab- C ．aba b 22- D ．ab a b 22-5．(2005全国)方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ 即 .3sin 2sin >又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ方程表示的曲线是椭圆.)()4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π,0)4232sin(.423243,432322,0232sin ,02322>++∴<++<∴<+<<-∴<-<-πππππππ.0)(<*∴式即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
高中数学竞赛(强基计划)历年真题练习 专题7 解析几何 (学生版+解析版)
【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。
－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。
高中数学联赛真题平面解析几何B辑(解析版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题16平面解析几何B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中,圆Ω经过点(0,0), (2,4), (3,3),则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为.【答案】2√5【解析】记A(2,4),B(3,3),圆Ω经过点O,A,B.注意到∠OBA=90°(直线OB与AB的斜率分别为1和−1),故OA为圆Ω的直径.从而圆Ω上的点到原点O的距离的最大值为|OA|=2√5.2．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】设A、B为椭圆Γ的长轴顶点，E、F为Γ的两个焦点，|AB|=4，|AF |=2+√3，P为上一点，满足|PE|⋅|PF|=2，则△PEF的面积为.【答案】1【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0).根据条件得2a=|AB|=4，a±√a2−b2=|AF|=2+√3，可知a=2，b=1，且由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4，结合|PE|⋅|PF|=2得|PE|2+|PF|2=(|PE|+|PF|)2−2|PE|⋅|PF|=12=|EF|2，所以∠EPF为直角，进而S△PEF=12⋅|PE|⋅|PF|=1.3．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r为半径的圆上存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r的最小值为.【答案】4【解析】由条件知(a−r−1)2+b2=r2，故4a⩽b2=r2−(a−r−1)2=2r(a−1)−(a−1)2.即a2−2(r−1)a+2r+1⩽0.上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式[2(r−1)]2−4(2r+1)=4r(r−4)⩾0，解得r≥4.经检验，当r=4时，(a,b)=(3,2√3)满足条件.因此r的最小值为4.4．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为.【答案】√15【解析】由对称性，不妨设P(x p,y p)在第一象限，则由条件知x p=12(|PT|−|PS|)=2,y p=12(|PV|−|PU|)=1，即P(2，1).进而由x p=|PU|=1,|PS|=2得U(2，2)，S(4，1)，代入椭圆C的方程知4⋅1a2+4⋅1b2=16⋅1a2+1b2=1，解得a2=20,b2=5.从而S△PF1F2=12⋅|F1F2|⋅|y P|=√a2−b2⋅y P=√15.5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点B(－1，0)作一直线l 与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为.【答案】12【解析】设直线l与MN的斜率为k，则l:x=1k y−1,MN:x=1ky−12.将l与C联立，得方程y2−2k y+2=0，由条件知其判别式为零，故k=±√22.将MN与C联立，得方程y2−2ky+2=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12⋅|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12.6．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x29+y210=1，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.【答案】3√112【解析】易知A(3，0)、F(0，1).设P的坐标是(3cosθ,√10sinθ),θ∈(0,π2)，则S四边形OAPF =S△OAP+S△OFP=12⋅3⋅√10sinθ+12⋅1⋅3cosθ=32(√10sinθ+cosθ)=3√112sin(θ+φ).其中φ=arctan√1010.当θ=arctan√10时，四边形OAPF面积的最大值为3√112.7．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2+ay2+ a2=0的焦距为4，则a的值为.【答案】1−√172【解析】二次曲线的方程可以写成−x 2a2−y2a=1.显然必须有－a>0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2(√−a)2x2(−a)2=1.则c2=(√−a)2+(−a)2=a2−a，注意到焦距2c=4，可知a2−a=4，又a<0，所以a=1−√172.8．【2016高中数学联赛（第01试）】双曲线C的方程为x2−y23=1，左、右焦点分别为F1,F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆半径是.【答案】√7−1【解析】由双曲线的性质知，F1F2=2×√1+3=4，PF1−PF2=QF1−QF2=2.因∠F1PQ=90°，故PF12+PF22=F1F22，因此PF1+PF2=√2(PF12+PF22)−(PF1−PF2)2=√2×42−22=2√7.从而直角△F1PQ的内切圆半径是r=12(F1P+PQ−F1Q)=12(PF1+PF2)−12(QF1−QF2)=√7−1.9．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|(|x|+|3y|−6)(|3x|+|y|−6 )≤0}所对应的平面区域的面积为.【答案】24【解析】设K1={(x,y)||x|+|3y|−6⩽0}，先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x+3y⩽6，故这些点对应于图中的△OCD及其内部，由对称性知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理，设K2={(x,y)||3x|+|y|−6⩽0}，则K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K1，K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.由于直线CD的方程为x+3y=6，直线GH的方程为3x+y=6，故它们的交点P的坐标为(32,32)，由对称性知S=8SΔCPG=8×12×4×32=24.10．【2014高中数学联赛（第01试）】设椭圆Γ的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与Γ交于点P，Q，若|P F2|=|F1F2|，且3|PF1|==4|QF1|，则椭圆的短轴与长轴的比值为.【答案】2√67【解析】不妨设|PF1|=4,|QF1|=3，记椭圆Γ的长轴、短轴的长度分别为2a，2b，焦距为2c，则|PF2|= |F1F2|=2c，且由椭圆的定义知2a=|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=2c+4，于是|QF2|=|PF1|+|PF2|−|QF1|=2c+1，设H为线段PF1的中点，则|F1H|=2,|QH|=5，且有F2H⊥PF1，由勾股定理知|QF2|2−|QH|2=|F2H|2=|F1F2|2−|F1H|2，即(2c+1)2−52=(2c)2−22，解得c=5，进而a=7,b=2√6，因此椭圆Γ的短轴与长轴的比值为ba =2√67.11．【2013高中数学联赛（第01试）】若实数x，y满足x−4√y=2√x−y，则x的取值范围是.【答案】{0}∪[4,20]【解析】令√y=a,√x−y=b(a,b⩾0)，此时x=y+(x−y)=a2+b2，且条件中等式化为a2+b2−4a=2b，从而a，b满足方程(a−2)2+(b−1)2=5(a,b⩾0).如图所示，在aOb平面内，点(a，b)的轨迹是以(1，2)为圆心，√5为半径的圆在a，b≥0的部分，即点O与弧A CB的并集.因此√a 2+b 2∈{0}∪[2,2√5]，从而x =a 2+b 2∈{0}∪[4,20].12．【2012高中数学联赛（第01试）】抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是 .【答案】1【解析】解法一设∠ABF =θ(0<θ<2π3)，则由正弦定理，得|AF|sinθ=|BF|sin(2π3−θ)=|AB|sinπ3，所以|AF|+|BF|sinθ+sin(2π3−θ)=|AB|sinπ3，即|AF|+|BF||AB|=sinθ+sin(2π3−θ)sinπ3=2cos (θ−π3).如图，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|=|AF|+|BF|2，所以|MN||AB|=cos (θ−π3)，故当θ=π3时，|MN||AB|取得最大值为1.解法二由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|=|AF|+|BF|2，在△AFB 中，由余弦定理，得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cosπ3=(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF| ⩾(|AF|+|BF|)2−3(|AF|+|BF|2)2=(|AF|+|BF|2)2=|MN|2.当且仅当|AF|=|BF|时，等号成立.故|MN||AB|的最大值为1.13．【2011高中数学联赛（第01试）】直线x －2y －1=0与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，C 为抛物线上的一点，∠ACB =90°，则点C 的坐标为.【答案】(1，－2)或(9，－6)【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (t 2,2t )， 由{x −2y −1=0y 2=4x得y 2−8y −4=0，则y 1+y 2=8，y 1y 2=−4.又x 1=2y 1+1,x 2=2y 2+1，所以x 1+x 2=2(y 1+y 2)+2=18，x 1x 2=4y 1y 2+2(y 1+y 2)+1=1. 因为∠ACB =90°，所以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即有(t 2−x 1)(t 2−x 2)+(2t −y 1)(2t −y 2)=0，即t 4−(x 1+x 2)t 2+x 1x 2+4t 2−2(y 1+y 2)t +y 1y 2=0， 即t 4−14t 2−16t −3=0，即(t 2+4t +3)(t 2−4t −1)=0，显然t 2−4t −1≠0，否则t 2−2⋅2t −1=0，则点C 在直线x −2y −1=0上， 从而点C 与点A 或点B 重合.所以t 2+4t +3=0，解得t 1=−1,t 2=−3. 故所求点C 的坐标为(1，－2)或(9，－6).14．【2010高中数学联赛（第01试）】双曲线x 2－y 2=1的右半支与直线x =100围成的区域内部(不含边界)整点(纵、横坐标均为整数的点)的个数是 .【答案】9800【解析】由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设y =k (k =1,2,⋯,99)与双曲线右半支交于A k ，交直线x =100于B k ，则线段A k B k 内部的整点的个数为99－k ，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为∑(99−k)99k=1=99×49=4851，又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2×4851+98=9800.15．【2009高中数学联赛（第01试）】知直线L ：x +y －9=0和圆M ：2x 2+2y 2－8x －8y －1=0，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为.【答案】3⩽a ⩽6【解析】设A(a，9－a)，则圆心M到直线AC的距离d=|AM|sin45°，由直线AC与圆M相交，得d⩽√342，解得3⩽a⩽6.16．【2009高中数学联赛（第01试）】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|⋅|OQ|的最小值为.【答案】2a 2b2a2+b2【解析】设P(|OP|cosθ,|OP|sinθ)，Q(|OQ|cos(θ±π2),|OQ|sin(θ±π2))，由点P，Q在椭圆上，有1 |OP|2=cos2θa2+sin2θb2①1 |OQ|2=sin2θa2+cos2θb2②①+②得1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b2，于是当|OP|=|OQ|=√2a 2b2a2+b2时，|OP|⋅|OQ|达到最小值2a2b2a2+b2.17．【2006高中数学联赛（第01试）】已知椭圆x216+y24=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x−√3y+8+2√3=0上.当∠F1PF2取最大值，|PF1||PF2|的比值为.【答案】√3−1【解析】由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1,F2,P三点的圆必定和直线l相切于点P.设直线l交x轴于A (−8−2√3,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1~△AF2P，即|PF1||PF2|=|AP||AF2|①又由圆幂定理|AP|2=|AF1|⋅|AF2|②而F1(−2√3,0),F2(2√3,0),A(−8−2√3,0)，从而有|AF1|=8,|AF2|=8+4√3，代入式①与②得|PF1||PF2|=√|AF1||AF2|=√8+4√3=√4−2√3=√3−1.18．【2005高中数学联赛（第01试）】若正方形ABCD的一条边在直线y=2x－17上，另外两个顶点在抛物线y= x2上.则该正方形面积的最小值为.【答案】80【解析】设正方形的边AB在直线y=2x−17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)，D(x2,y2)，则C D所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得x2=2x+b，所以x1,2=1±√b+1，令正方形边长为a，则a2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=5(x1−x2)2=20(b+1)①在上任取一点(6，－5)，它到直线y=2x+b的距离为a，所以a=√5②将式①与②联立解得b1=3,b2=63，所以a2=80或a2=1280.故a min2=80.19．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为.【答案】1【解析】经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3−x上，设圆心为S(a，3－a)，则圆S的方程为(x−a)2+(y−3+a)2=2(1+a2).对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减少而角度增大，所以，当∠MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S，必与x轴相切于点P即圆S的方程中的a值必须满足2(1+a2)=(a−3)2，解得a=1或a=－7.即对应的切点分别为P(1，0)和P(－7，0)而过点M，N，P'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以∠MPN>∠MP′N，故点P(1，0)为所求，所以点P的横坐标为1.20．【2003高中数学联赛（第01试）】设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于.【答案】4【解析】设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a，2b，2c，则由其方程知a=3,b=2,c=√5，故|PF1|+|PF2|=2a=6.又已知|PF1|:|PF2|=2:1，故可得|PF1|=4,|PF2|=2.在△PF1F2中，三边之长分别为2,4,2√5，而22+42=(2√5)2，可见△PF1F2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF1F2的面积=12|PF1|⋅|PF2|=12×2×4=4.21．【2001高中数学联赛（第01试）】椭圆ρ=12−cosθ的短轴长等于.【答案】2√33【解析】由e=ca =12,ρ=b2c=1及b2=a2−c2得b=√33，从而2b=2√33.22．【2000高中数学联赛（第01试）】在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是√5−12，则∠ABF=.【答案】90∘【解析】对数据敏感就会发现ca =√5−12=−1+√12−4×1×(−1)2×1是方程x2+x−1=0的根，代入整理得c2+ac−a2=0，从而ac=b2，恰好符合射影定理，于是∠ABF=90°.23．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点P在双曲线x216−y29=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是.【答案】−645【解析】记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,e=ca =54，右准线l为x=a 2c =165，如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a，从而|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，而这是不可能的.故P在双曲线的左支，有|PF2|−|PF1|=2a，|PF2|+|PF1|=2d，两式相加，得2|PF2|=2a+2d，又|PF2|=ed，所以d=ae−1=454−1=16.因此，P的横坐标为165−16=−645.24．【1999高中数学联赛（第01试）】已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.【答案】43【解析】设倾斜角为θ，则tanθ=−ab>0，不妨设a>0，所以b<0.(1)c=0，a有3种取法，b有3种取法，排除2个重复(3x－3y=0，2x－2y=0与x－y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3－2=7(条)(2)c≠0，则a有3种取法，b有3种取法，c有4种取法，且其中任意2条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36(条).所以符合要求的直线有7+36=43(条).25．【1998高中数学联赛（第01试）】若椭圆x2+4(y−a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是.【答案】−1⩽a⩽178【解析】解法一由x2+4(y−a)2=4可设x=2cosθ,y=a+sinθ，代入x2=2y得4cos2θ=2(a+sinθ)，所以a=2cos2θ−sinθ=2−2sin2θ−sinθ=−2(sinθ+14)2+178，因为−1⩽sinθ⩽1，所以0⩽(sinθ+14)2⩽2516，从而−1⩽a⩽178.解法二题目条件等价于方程2y+4(y−a)2=4有非负解.此即方程y2−(2a−12)y+a2−1=0有非负解.故有Δ=(2a−12)2−4(a2−1)=174−2a⩾0，2a−12+√174−2a⩾0，解得−1⩽a⩽178.26．【1997高中数学联赛（第01试）】双曲线x2−y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数入使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=.【答案】4【解析】首先，应注意到下列结论：过双曲线x2−y22=1的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当该弦与x轴垂直时，取得最小长度2b 2a=4.(事实上，该双曲线的极坐标方程为ρ=1−√3cosθ，又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦，A(ρ1,θ)，B(ρ2,π+θ)(ρ1>0,ρ2>0)，则|AB|=ρ1+ρ2=1−√3cosθ1+√3cosθ=41−3cos2θ⩾4，当θ=π2时，等号成立).其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能：(1)与双曲线左、右两条都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条.此时，与双曲线左右两支都相交的必是x 轴，而其两交点的距离为2a=2，但仅与右支相交的两条弦的长λ>4，这不满足题设条件；(2)与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与x轴垂直(否则，由对称性知仅与右支相交的有两条弦)，此时|AB|=λ=4且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件，所以λ=4.27．【1996高中数学联赛（第01试）】曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2，0).曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是.【答案】163π【解析】f(θ)=1+cosθ.由于2=1+cos0，所以点A在曲线C上，为求所扫过的面积，关键算出C上一点到A的最大距离.对C上一点B(1+cosθ,θ)，有|AB|2=(1+cosθ)2+4−2×2(1+cosθ)cosθ=5−2cosθ−3cos2θ=163−3(cosθ+13)2⩽163.当cosθ=−13，等号成立.所以|AB|最大值是√163，那么扫过的面积是以A为圆心，半径为√163的圆，面积为163π.28．【1994高中数学联赛（第01试）】已知点集A={(x,y)|(x−3)2+(y−4)2⩽(52)2},B={(x,y)|(x−4)2+(y−5)2>(52)2}，则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.【答案】7【解析】如图所示，圆E，F交于M，N两点，整个图形关于连心线EF成轴对称图形，其中A∩B是左下靠近原点O的一个月形S，S中整点横坐标x可以是1，2，3，4，纵坐标y可以是2，3，4，5，对称轴EF穿过新月形S，经计算可知仅通过一个整点C4(2，3).新月形S 中横坐标为1的格点有3个C 1(1,5),C 2(1,4),C 3(1,3). 这三点的轴对称点顺次是C 5(2,2),C 6(3,2),C 7(4,2). 故共有7个整点.29．【1992高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x 4−3x 2−6x +13−√x 4−x 2+1的最大值是.【答案】√10【解析】由f(x)=√x 4−3x 2−6x +13−√x 4−x 2+1=√(x −3)2−(x 2−2)2−√x 2+(x 2−1)2， 可知函数y =f (x )的几何意义是：在抛物线y =x 2上的P (x ，x 2)分别到点A (3，2)和点B (0，1)的距离之差.因点A 在抛物线下方，点B 在抛物线上方，故直线AB 和抛物线相交，交点由方程组{y =x 2y−1x−0=2−13−0决定， 消去y 得方程3x 2−x −1=0.由于该方程常数项为负，故方程必有负根.因三角形两边之差小于第三边，所以，当点P位于负根所对应的交点C时，f(x)有最大值|AB|=√10. 30．【1990高中数学联赛（第01试）】设A(2，0)为平面上的一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP所扫过的图形的面积是.【答案】π6【解析】因OP2=1，故点P在单位圆上变动，始点P1(−12,√32)，终点P2(12,√32).图中阴影部分面积是所求面积.因为SΔP1OA =SΔP2OA，所以S△P1OB=S△P2BA.故所求面积为：S扇形OP1P2=12⋅1⋅π3=π6.31．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0}，B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}.若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.【答案】2+√2或√2【解析】点集A是由顶点为(a，0)，(0，a)，(－a，0)，(0，－a)的正方形的四条边构成(如图).将|xy|+1=|x|+|y|变形为(|x|−1)(|y|−1)=0.所以，集合B是由四条直线x=±1,y=±1构成.欲使A ∩B 为正八边形的顶点所构成，只有a >2或1<a <2这两种情况.(1)当a >2时，由于正八边形的边长只能为2，显然有√2a −2√2=2，故a =2+√2. (2)当1<a <2时，设正八边形的边长为1，则lcos45°=2−l 2，l =2√2−2.这时，a =√2.综上所述，a 的值为2+√2或√2(图中A (√2，0)，B(2+√2,0)).32．【1984高中数学联赛（第01试）】如图，AB 是单位圆的直径.在AB 上任取一点D ，作DC ⊥AB ，交圆周于C .若点D 的坐标为(x ，0)，则当x ∈.时，线段AD ，BD ，CD 可构成锐角三角形.【答案】(2−√5,√5−2)【解析】因为三条线段AD ，BD ，CD 构成锐角三角形的充要条件是其中最大线段的平方小于另两条线段的平方和.由对称性，不妨假设0⩽x ⩽1，则三条线段中AD 为最大.所以它们必须满足AD 2<BD 2+CD 2. 因为CD 是AD ，BD 的比例中项，所以CD 2=AD ⋅BD .又因为AD =1+x,BD =1−x ，于是得(1+x)2<(1−x)2+(1+x)(1−x). 化简得x 2+4x −1<0.所以0⩽x <−2+√5，所以x ∈(2−√5,√5−2).优质模拟题强化训练1．与双曲线x 29−y 216=1有共同的渐近线,且经过点(−3,2√3)的双曲线方程是______.【答案】4x 29−y 24=1【解析】设x 29−y 216=λ,将(−3,2√3)代入求得λ=14. 双曲线方程是4x 29−y24=1.2．圆心在抛物线x 2=2y 上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为________. 【答案】(x +1)2+(y −12)2=1和(x −1)2+(y −12)2=1 【解析】抛物线x 2=2y 的准线方程为y =−12.设所求圆的圆心为(x 0,y 0)，则x 02=2y 0，且|x 0|=y 0+12，解得x 0=±1，y 0=12，故所求圆的方程为(x ±1)2+(y −12)2=1.故答案为：(x +1)2+(y −12)2=1和(x −1)2+(y −12)2=13．双曲线x 2a2−y 2b 2=1的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为π3的直线与该双曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M，且|FM|等于半焦距，则e=_____ .【答案】√2【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1.两式相减，得(x1+x2)(x1−x2)a2−(y1+y2)(y1−y2)b2=0，所以AB的斜率为k=y1−y2x1−x2=b2x0a2y0=√3.又|FM|=c,∠xFM=π3，所以M点的坐标为(32c,√32c).所以b 2a2=√3y0x0=1，所以e=ca=√1+b2a2=√2.故答案为：√2．4．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=_________ ___ .【答案】10√5【解析】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，故可设A、B的坐标为A(a2,2a),B(a2,−2a)(a>0).于是OA的方程为ay=2x，k OA=2a.BF的斜率k BF=−2aa2−1，据k BF⋅k OA=−1，得a=√5，因此AB=4√5，h=a2=5，所以S△OAB=10√5.故答案为：10√5．5．在平面直角坐标系内，已知抛物线y=kx2(k>0)与圆(x−a)2+(y−b)2=r2至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线y=kx+b上，那么实数b的最小值是______ .【答案】2【解析】由已知a2+b2=r2，{y=kx2y=kx+b得kx2−kx−b=0①由{(x−a)2+(y−b)2=r2y=kx2得x[k2x3−(2kb−1)x−2a]=0.②由于①的解均是②的解，所以有kx2−kx−b|k2x3−(2kb−1)x−2a，故b=k+1k⩾2，当k=1时等号成立.故答案为：2．6．若直线2x+y−2=0与直线x+my−1=0互相垂直，则点P(m,m)到直线x+y+3=0的距离为_________ ___ .【答案】√22【解析】直线2x+y-2=0的斜率为k1=-2，直线x+my-1=0的斜率为k2=−1m.因为两直线互相垂直，所以(−2)×(−1m)=−1，解得m=-2，故P(-2，-2)，所以点P到直线x+y+3=0的距离为√2=√22.故答案为：√22．7．已知△ABC为椭圆x29+y24=1的内接三角形，且AB过点P(1，0)，则△ABC的面积的最大值为_______ .【答案】16√23【解析】提示：经伸缩变换{x =3X y =2Y 得△A 'B 'C '内接于圆X 2+Y 2=1，A 'B '过点P ′(13,0).S △ABC =6S △A ′B ′C ′，设O '到A 'B '的距离为t ，则0⩽t ⩽13,|A ′B ′|=2√1−t 2,S △A ′B ′C ′⩽√1−t 2⋅(1+t)，易知当t =13时，S △A ′B ′C ′有最大值为8√29，所以S △ABC 的最大值为16√23.故答案为：16√23．8．设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 【答案】{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】由z 2－2z +5=0，得z 1=1+2i ,z 2=1−2i .因为z 2+2az +1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，z 3,4=−a ±√1−a 2.因为z 1,z 2,z 3,z 4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，−1<a <1满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时，z 3.4=−a ±√a 2−1是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z 1、z 2对应的点在以z 3,z 4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为(x −z 3+z 42)2+y 2=(z 3−z 42)，整理得x 2−(z 3+z 4)x +z 3z 4+y 2=0，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}.故答案为：{a|－1<a<1}∪{－3}.9．若实数x、y满足x−4√y=2√x−y，则x的取值范围是______.【答案】{0}∪[4,20]【解析】令√y=a,√x−y=b(a、b≥0)，此时，x=y+(x−y)=a2+b2，且题设等式化为a2+b2−4a=2b.于是，a、b满足方程(a−2)2+(b−1)2=5(a、b≥0).如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以D(1,2)为圆心、√5为半径的圆在a、b≥0的部分，即点O与弧ACB并集.故√a2+b2∈{0}∪[2,2√5].从而，x=a2+b2∈{0}∪[4,20].10．已知P为抛物线y2=2x上的动点，点B、C在y轴上，(x−1)2+y2=1是△PBC的内切圆.则SΔPBC最小值为_______.【答案】8【解析】设P(x0,y0)、B(0,b)、C(0,c)，不妨设b >c ，l PB :y −b =y 0−b x 0x ，即(y 0−b)x −x 0y +x 0b =0．又圆心(1,0)到PB 的距离为100√(y0−b)+x 0=1．故(y 0−b)2+x 02=(y 0−b)2+2x 0b(y 0−b)+x 02b 2．易知x 0>2，上式化简得(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0． 同理，(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0． 所以，b +c =−2y 0x 0−2，bc =−x 0x 0−2．则(b−c)2=4x 02+4y 02−8x 0(x 0−2)2．因为P(x 0,y 0)是抛物线上的点，所以，y 02=2x 0．则(b −c)2=4x 02(x 0−2)2⇒b −c =2x 0x 0−2．故S △PBC =12(b −c)x 0=x 0x0−2⋅x 0=(x 0−2)+4x 0−2+4≥2√4+4=8．当(x 0−2)2=4时，上式取等号，此时，x 0=4，y 0=±2√2． 因此，S △PBC 的最小值为8．11．若点P(x 0,y 0)对椭圆E:x 24+y 2=1与双曲线H:x 2−y 24=1的切点弦互相垂直，则yx 0=__________。
十年国高中数学联赛试题一试解析几何含解析
十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分解答题2000、已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+by a x (a ＞b ＞0)。
试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为项点,与C 0外切,与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论。
2002．已知点A (0，2)和抛物线y 2=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．2006. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k≥，使),(00mm y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.2008．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值． 2000.答案：所求条件为21a +21b=1. 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C 1内接,与C o 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为a x +by=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C O 外切, 故必有22b a ab +=1,整理得21a +21b =1. 必要性得证. 充分性:设21a +21b =1,P 是C 1上任意一点,过P 、O 作C 1的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与C 1内接菱形.设 OP = r 1, OQ =r 2, 则点O 的坐标为(r 1cos θ, r 1sinθ),点Q 的坐标为(r 2cos(θ+2π),r 2sin(θ+2π)),代入椭圆方程,得 ()221cos a r θ+()221sin b r θ=1, 222)]2cos([a r πθ++222)]2sin([br πθ+=1,于是,21OP +21OQ =222111R R +=(2222sin cos b a θθ+)+[22)2(cos a πθ++22)2(sin bπθ+] =21a +21b =1. 又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则h 1=21OP +21OQ =1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证.[注]对于给出2222b a b a =+ ，22ba ab +=1等条件者，应同样给分.2002.解：设B (y 02－4，y 0)，C (y 12－4，y 1)．则k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0． 由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1． ∴ y 02+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0．∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12－4y 1≥0， ∴ y 1≤0，y 1≥4．当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．2005.过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,21(),1,0(是线段AB 的中点. ………………5分 设),(y x P 、),(200x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=ECAE 知，;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE得.11,1220222022λλλλ++-=+=x y x x∴EF 所在直线方程为：,1111111111111202101120122021201λλλλλλλλλλλλ++-+++-=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…………10分当210≠x 时，直线CD 的方程为：12202020--=x x x x y …②联立①、②解得02133x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ………15分 当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x∴所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分令,1,1,2211λλγ+==+===CFCB t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线，而,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心. ………………………………………………………………………10分设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分2006.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为00x y ==显然有001x n x +=。
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全国高中数学结合竞赛解析几何试题分类汇编（00 ~ 05）一、选择题1．（00，3）已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积是（A ）33（B ）233 （C ）33 （D ）362．（00，5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的间隔 中的最小值是（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）3013．（02，2）若实数x, y 满意(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)3 (D)24．（02，4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．（03，2）设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 6．（03，3）过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．387．（05，5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线二、填空题8．（00，10）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。
若该椭圆的离心率是215-，则ABF ∠= 。
9．(01，7)椭圆θρcos 21-=的短轴长等于 。
10．（03，8）设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．11．（04，12）在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上挪动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
12．（05，11）若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .三、解答题13． （00，15）已知0C ：122=+y x 和1C ：)0(12222>>=+b a by a x 。
试问：当且仅当a ,b 满意什么条件时，对1C 随意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论。
14． (01，14) 设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。
（1）实数m 的取值范围（用a 表示）；（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。
15． （02，13）已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．16． （03，15）一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内肯定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上全部点时，求全部折痕所在直线上点的集合．17．（04，14）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的间隔 是该点到直线AB ，AC 间隔 的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k 的取值范围。
18．过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满意1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满意2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上挪动时，求点P 的轨迹方程.全国高中数学结合竞赛解析几何试题分类汇编（00 ~ 05）1.C2.B3.B4.B5.B6.A7.C8.90º9.33210.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ，则由其方程知a ＝3，b ＝2，c ＝5，故，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又已知[PF 1|：|PF 2|＝2：1，故可得|PF l |＝4，|PF 2|＝2．在△PF l F 2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PF l F 2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PF l F 2的面积＝4．11. 解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必需满意222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。
12.解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的间隔 为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为22222sin cos 1baθθρ+=------（1）显知此平行四边形ABCD 必为菱形，设A ),(1θρ，则B )90,(2θρ+︒ 代入（1）式相加：2222211111ba+=+ρρ由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB 的间隔 为1， ∴2221111ρρρρ+⋅=，从而1112221=+ρρ，∴11122=+ba14. 解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根．只需探讨以下三种状况：1°△＝0得：212+=a m ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时合适；2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时合适．f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ． 综上可知，当0＜a ＜1时，212+=a m 或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．……………………………………………… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21= ∵0＜a ＜21，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ， 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=明显当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时2121a a S -=．下面比拟2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分15.解：设B 点坐标为),4(121y y -，C 点坐标为),4(2y y -．明显0421≠-y ，故21421211+=--=y y y k AB由于BC AB ⊥，所以)2(1+-=y k BC从而⎪⎩⎪⎨⎧+=--+-==4)]4()[2(22111x y y x y y y ，消去x ，留意到1y y ≠得：01))(2(11=+++y y y ⇒0)12()2(2121=++++y y y y由0≥∆解得：0≤y 或4≥y ．当0=y 时，点B 的坐标为)1,3(--；当4=y 时，点B 的坐标为)3,5(-，均满意是题意．故点C 的纵坐标的取值范围是0≤y 或4≥y ．16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜P A /｜＝｜P A ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分 ∴22222222sin cos yx R ax a R yx y x ++-=++αα可得：)cos ,(sin 22)sin(22222222yx y yx x yx R ax a R +=+=++-=+θθθα∴222222yx R ax a R ++-≤1 (此不等式也可干脆由柯西不等式得到) 15分平方后可化为 22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-＝1外(含边界)的局部．20分17. 解：（Ⅰ）直线AB 、AC 、BC 的方程依次为44(1),(1),033y x y x y =+=--=。