(完整word版)最优控制理论与系统胡寿松版部分习题答案
最优控制胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =,(1)2x =,使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t :2(1)ft t J x dt =+⎰解:由题可知,始端和终端均固定被积函数21L x =+,0L x ∂=∂,2L x x ∂=∂, 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂,可得20x =,即0x = 故1x c = 其通解为:12x c t c =+代入边界条件(0)1x =,(1)2x =,求出11c =,21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =,()4f x t =式中f t 自由且f t >1,试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t :211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解:由题可知,2122L x x =+,()4f t ψ=,()14x =,()4f x t = 欧拉方程:L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ,()()f f x t t ψ=,()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为:()212x t t c t c =++根据横截条件可得:()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得:12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ,1c ,2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =,(1)x 自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解:由题可知,21L x =+,()00x =,()1x 自由欧拉方程:L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ,L 0ft x∂=∂,0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为:()x t at b =+代入边界条件()f x t a =,()00x =,1f t =,求出0a =,0b = 将f t ,a ,b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =,2(0)0x =1()12x π=,2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
胡寿松自动控制原理课后习题答案
1 请解释下列名字术语:自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解:自动控制系统:能够实现自动控制任务得系统,由控制装置与被控对象组成; 受控对象:要求实现自动控制得机器、设备或生产过程扰动:扰动就是一种对系统得输出产生不利影响得信号、如果扰动产生在系统内部称为内扰;扰动产生在系统外部,则称为外扰。
外扰就是系统得输入量。
给定值:受控对象得物理量在控制系统中应保持得期望值参考输入即为给定值、反馈:将系统得输出量馈送到参考输入端,并与参考输入进行比较得过程。
2请说明自动控制系统得基本组成部分。
解:作为一个完整得控制系统,应该由如下几个部分组成:①被控对象: 所谓被控对象就就是整个控制系统得控制对象;②执行部件: 根据所接收到得相关信号,使得被控对象产生相应得动作;常用得执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件: 给定元件得职能就就是给出与期望得被控量相对应得系统输入量(即参考量);④比较元件: 把测量元件检测到得被控量得实际值与给定元件给出得参考值进行比较,求出它们之间得偏差、常用得比较元件有差动放大器、机械差动装置与电桥等。
⑤测量反馈元件:该元部件得职能就就是测量被控制得物理量,如果这个物理量就是非电量,一般需要将其转换成为电量。
常用得测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等;⑥放大元件: 将比较元件给出得偏差进行放大,用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号,可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成得电压放大器与功率放大级加以放大。
⑦校正元件: 亦称补偿元件,它就是结构或参数便于调整得元件,用串联或反馈得方式连接在系统中,用以改善系统得性能、常用得校正元件有电阻、电容组成得无源或有源网络,它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3请说出什么就是反馈控制系统,开环控制系统与闭环控制系统各有什么优缺点?解:反馈控制系统即闭环控制系统,在一个控制系统,将系统得输出量通过某测量机构对其进行实时测量,并将该测量值与输入量进行比较,形成一个反馈通道,从而形成一个封闭得控制系统;开环系统优点:结构简单,缺点:控制得精度较差;闭环控制系统优点:控制精度高,缺点:结构复杂、设计分析麻烦,制造成本高、4 请说明自动控制系统得基本性能要求。
胡寿松《现代控制理论》习题集部分解答
胡寿松《自动控制原理习题集》第九章现代控制理论B部分习题解答
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《自动控制原理》 胡寿松 习题答案(附带例题课件)
二、本课程实验的基本理论与实验技术知识
采用 MATLAB 软件上机进行实验,就是利用现代计算机硬件和计算机软件技术,以数字仿真技术为核 心,实现对自动控制系统基本理论和分析方法的验证以及控制系统设计。 通过上机实验,使学生在 MATLAB 软件的基本使用、编程调试、仿真实验数订人:杨志超 大纲审定人:李先允 制订日期:2005 年 6 月
5
《自动控制原理》电子教案
《自动控制原理》课程实验教学大纲
一、实验教学目标与基本要求
《自动控制原理》 课程实验通过上机使用 MATLAB 软件, 使学生初步掌握 MATLAB 软件在控制理论中的 基本应用,学会利用 MATLAB 软件分析控制系统,从而加深对自动控制系统的认识,帮助理解经典自动控 制的相关理论和分析方法。 通过本课程上机实验, 要求学生对 MATLAB 软件有一个基本的了解, 掌握 MATLAB 软件中基本数组和矩阵的表示方法,掌握 MATLAB 软件的基本绘图功能,学会 MATLAB 软件中自动控制理论 常用函数的使用,学会在 MATLAB 软件工作窗口进行交互式仿真和使用 M_File 格式的基本编程方法,初步 掌握利用 MATLAB 软件进行控制系统设计,让学生得到撰写报告的基本训练。
4.频率法反馈校正的基本原理和方法(选讲)
(七)非线性控制系统 了解非线性系统与线性系统的区别,了解非线性特性和非线性系统的主要特征,学会非线性系统的描 述函数分析方法,了解非线性系统的相平面分析法(选讲) 。
3
《自动控制原理》电子教案
1. 非线性系统的基本概念 2. 典型非线性特性、非线性系统的主要特征 3. 描述函数定义、应用条件和求取方法 4. 应用描述函数分析非线性系统的稳定性 5. 非线性系统自激振荡分析和计算 6. 介绍非线性系统相平面分析法(选讲)
胡寿松自动控制原理课后习题答案
dx(t ) d 2 x(t ) p(t ) f kx(t ) m dt dt 2
移项整理,得系统的微分方程为
m
d 2 x(t ) dx(t ) f kx(t ) p(t ) 2 dt dt
2-2 试列写图 2-2 所示机械系统的运动微分 方程。 解:由牛顿第二运动定律,不计重力时,得
是非电量,一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有 测速发电机、热电偶、各种传感器等; ⑥ 放大元件: 将比较元件给出的偏差进行放大,用来推动执行元件去控制被 控对象。如电压偏差信号,可用电子管、晶体管、集成电路、 晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。 ⑦ 校正元件: 亦称补偿元件,它是结构或参数便于调整的元件,用串联或反 馈的方式连接在系统中,用以改善系统的性能。常用的校正元 件有电阻、电容组成的无源或有源网络,它们与原系统串联或 与原系统构成一个内反馈系统。
CsUC1 ( s) CsUC 2 ( s) U R 2 ( s) R2
(1 ) (2 ) (3 )
U i ( s) U o ( s) CsUC 2 ( s) R1
(4 )
整理得传递函数为
U o (s) R1R2C 2 s 2 R1Cs U i ( s) Cs 2 1 1 R1R2C 2 s 2 ( R1 2 R2 )Cs 1 R1 R2 R1R2Cs
(3) F ( s)
2 s 2 5s 1 s( s 2 1)
s 1 1 2 ( s 2)( s 5) s 2 s 5
1 2 ] s2 s5
解: (1 ) F ( s )
L1[ F ( s)] L1[
1 2 ] 2 L1[ ] s2 s5 e2t 2e5t L1[
胡寿松自动控制原理课后习题答案
1 请解释下列名字术语:自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解:自动控制系统:能够实现自动控制任务的系统,由控制装置与被控对象组成;受控对象:要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动:扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰;扰动产生在系统外部,则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值:受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈:将系统的输出量馈送到参考输入端,并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解:作为一个完整的控制系统,应该由如下几个部分组成:①被控对象:所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象;②执行部件:根据所接收到的相关信号,使得被控对象产生相应的动作;常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件:给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量(即参考量);④比较元件:把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较,求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤测量反馈元件:该元部件的职能就是测量被控制的物理量,如果这个物理量是非电量,一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等;⑥放大元件:将比较元件给出的偏差进行放大,用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号,可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦校正元件:亦称补偿元件,它是结构或参数便于调整的元件,用串联或反馈的方式连接在系统中,用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络,它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么是反馈控制系统,开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点?解:反馈控制系统即闭环控制系统,在一个控制系统,将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量,并将该测量值与输入量进行比较,形成一个反馈通道,从而形成一个封闭的控制系统;开环系统优点:结构简单,缺点:控制的精度较差;闭环控制系统优点:控制精度高,缺点:结构复杂、设计分析麻烦,制造成本高。
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2-5 求通过(0)1x =,(1)2x =,使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t :2(1)ft t J x dt =+⎰解:由题可知,始端和终端均固定,被积函数21L x =+,0L x ∂=∂,2L x x ∂=∂, 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂,可得20x =,即0x =故1x c = 其通解为:12x c t c =+代入边界条件(0)1x =,(1)2x =,求出11c =,21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =,()4f x t =式中f t 自由且f t >1,试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t :211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解:由题可知,2122L x x =+,()4f t ψ=,()14x =,()4f x t = 欧拉方程:L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ,()()f f x t t ψ=,()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为:()212x t t c t c =++根据横截条件可得:()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得:12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去,不符合题意f t >1)将f t ,1c ,2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =,(1)x 自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
自动控制原理(胡寿松)课后习题答案详解
N
G3
G2
1+G1G2H1
-
- C
再进一步化简得:
1+G1G2H1
G1
G2
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胡寿松自动控制原理习题解答第二章
N
-
G3
G2
C
1+G1G2H1
-
1+G1G2H1
G1
G2
再进一步化简得:
N G2G3-1-G1G2H1 1+G1G2H1
G2
C
G2+G1 (1+G1G2H1)
所以: C(s) =
G2 (G2G3 − 1 − G1G2 H1 )
10 6s + 10
R(s) 1 + G(s)H (s) 1 + 20 10
6s + 10 20s + 5
E(s) =
10
=
10
R(s) 1 + G(s)H (s) 1 + 20 10
6s + 10 20s + 5
=
(6s
200(20s + 5) + 10)(20s + 5) +
200
=
200(20s + 5) 120s 2 + 230s + 250
Z2
=
R2
+
1 C2s
=
1 C2s
(R2C2s + 1) =
1 C2
s
(T2
s
+ 1)
所以: U 0 (s) = Z 2 =
1 C2
s
(T2
s
+
1)
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(动态系统的最优控制方法)【圣才出品】
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(2)变分和变分法
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t
tx t dt
试求:
(1)δJ 的表达式;
(2)当 x(t)=t2,δx=0.1t 和 δx=0.2t 时的变分 δJ 的值。
解:(1)由泛函变分规则可知:
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(2)由(1)可知,δx=0.1t 时:
δx=0.2t 时:
10-6 试求下列性能指标的变分 δJ。
J tf t2 x2 x&2 dt t0
解:由泛函变分规则,求得:
10-7 已知性能指标为: 求 J 在约束条件 t2+x12=R2 和边界条件 x1(0)=-R,x2(0)=0,x1(R)=0,x2 (R)=π 下的极值。 解:构造广义泛函为:
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第 10 章 动态系统的最优控制方法
10.1 复习笔记
考研初试一般不考查本章内容,下文为最优控制问题的基础理论部分。
一、最优控制的基本概念 (1)最优控制 概念:在系统状态方程和约束条件给定的情况下,寻找最优控制律,使衡量系统的某一 性能指标达到最优(最小或最大)。 (2)最优控制问题 任何一个最优控制问题均应包含四方面内容:①系统数学模型;②边界条件与目标集; ③容许控制;④性能指标。 (3)最优控制的研究方法 包括:解析法;数值计算法;梯度型法。
自动控制原理胡寿松著科学出版社课后答案
自动控制原理 (胡寿松著) 科学出版社课后答案《自动控制原理》是胡寿松编著的一本关于自动控制原理的教材。
本书系统地介绍了自动控制的基本原理、方法和技术,适用于自动化、电气、机械等相关专业的本科生和研究生学习使用。
本书一共分为十一章,包括控制系统基础、传递函数与系统的时域特性、系统的频域特性、稳定性分析、根轨迹法、频率响应法、校正器设计、状态空间法、观测器设计、控制系统设计以及非线性系统控制等内容。
每一章都有相应的习题,用于检测学生对所学知识的掌握情况。
第一章:控制系统基础1. 控制系统的定义和分类。
控制系统是指通过对被控对象进行测量和判断,从而对被控对象进行控制的一种系统。
根据被控对象的特性和控制方式的不同,控制系统可以分为连续控制系统和离散控制系统。
2. 控制系统的基本组成。
控制系统由被控对象、测量元件、判断元件、执行元件和反馈元件组成。
3. 控制系统的基本特性。
控制系统的基本特性包括稳定性、灵敏度、精度和动态性能等。
第二章:传递函数与系统的时域特性1. 传递函数的定义和性质。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的函数。
传递函数具有线性性、时不变性和因果性等性质。
2. 系统的时域特性。
系统的时域特性包括阶跃响应、冲击响应和频率响应等。
第三章:系统的频域特性1. 频域特性的概念。
频域特性是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
2. 振荡特性的判据。
系统振荡的判据是极点的实部为零和虚部不为零。
第四章:稳定性分析1. 稳定性的定义。
稳定性是指系统在无穷远时间内对于有限输入的响应趋于有限。
2. 稳定性的判据。
稳定性的判据包括判别函数法、根轨迹法和Nyquist稳定判据等。
第五章:根轨迹法1. 根轨迹的概念和性质。
根轨迹是描述传递函数极点随参数变化而运动轨迹的图形。
2. 根轨迹的绘制方法。
根轨迹的绘制方法包括定性法和定量法。
第六章:频率响应法1. 频率响应的概念和性质。
频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
(完整版)自动控制原理胡寿松第四版课后答案解析
1-3解:系统的工作原理为:当流出增加时,液位降低,浮球降落,控制器通过移动气动阀门的开度,流入量增加,液位开始上。
当流入量和流出量相等时达到平衡。
当流出量减小时,系统的变化过程则相反。
流出量希望液位图一1-4(1)非线性系统(2)非线性时变系统(3)线性定常系统(4)线性定常系统(5)线性时变系统(6)线性定常系统2 2-1 解:显然,弹簧力为 kx (t ) ,根据牛顿第二运动定律有:F (t ) − kx (t ) = m移项整理,得机械系统的微分方程为:d 2x (t ) dt 2m d x (t ) + kx (t )= F (t ) dt2对上述方程中各项求拉氏变换得:ms 2 X (s ) + kX (s ) =F (s )所以,机械系统的传递函数为:G (s ) = X (s ) =F (s )1ms 2+k2-2 解一:由图易得:i 1 (t )R 1 = u 1 (t ) − u 2 (t ) u c (t ) + i 1 (t )R 2 = u 2 (t ) du c (t )i 1 (t )= Cdt 由上述方程组可得无源网络的运动方程为:C ( R + R ) du 2 (t ) u (t ) = CRdu 1 (t ) u (t )1 2 dt+ 22 + 1 dt 对上述方程中各项求拉氏变换得:C (R 1 + R 2 )sU 2 (s ) + U 2 (s ) = CR 2 sU 1 (s ) + U 1 (s )所以,无源网络的传递函数为:G (s ) = U 2 (s ) =U 1 (s )1 + sCR 21 + sC (R 1 +R 2 ) 解二(运算阻抗法或复阻抗法):U (s ) 1 + R 2 1 + R Cs2 = Cs =2U (s ) R + 1 + R 1 + ( R + R )Cs 1 1 21Cs22-5 解:按照上述方程的顺序,从输出量开始绘制系统的结构图,其绘制结果如下图所示:依次消掉上述方程中的中间变量 X 1 , X 2 , X 3 , 可得系统传递函数为:C (s ) = R (s )G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4(s )1 + G2 (s )G3 (s )G 6 (s ) + G 3 (s )G4 (s )G5 (s ) + G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4(s )[G 7 (s ) − G 8 (s )]2-6 解:①将G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节和G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节简化,它们的等效传递函数和简化结构图为:G 12 (s) = G1(s) + G2(s)G 34 (s) = G3(s) −G4(s)②将G12 (s), G34 (s) 组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为:2-7 解:C(s)=R(s)G12(s)1 + G12(s)G34(s)=G1(s) + G2(s)1 +[G1(s) + G2(s)][G3(s) −G4(s)]由上图可列方程组:[E(s)G1 (s) −C(s)H2(s)]G2(s) = C(s)R(s) −H1(s)C(s)G2(s)= E(s)联列上述两个方程,消掉E (s) ,得传递函数为:C(s)= R(s)G1(s)G2(s)1 + H1(s)G1(s) + H2(s)G2(s)联列上述两个方程,消掉C (s) ,得传递函数为:E(s)= R(s)1 + H2(s)G2(s)1 + H1(s)G1(s) + H2(s)G2(s)1 22 23 2-8 解:将①反馈回路简化,其等效传递函数和简化图为: 0.4G (s ) =2s + 1 =1 +0.4 * 0.5 2s + 15+ 3将②反馈回路简化,其等效传递函数和简化图为:1 G (s ) = s + 0.3s + 1 = 5s + 3 21 + 0.4 5s + 4.5s + 5.9s + 3.4(s + 0.3s + 1)(5s + 3)将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为:0.7 * (5s +3)Θo (s)= 5s 3 + 4.5s 2 + 5.9s + 3.4=3.5s + 2.1Θi (s) 1 +0.7 * Ks(5s +3)5s3+ (4.5 +3.5K )s 2+ (5.9 + 2.1K )s +3.42 5s3-3 解:该二阶系统的最大超调量:σp =e−ζπ/1−ζ2*100%当σp= 5% 时,可解上述方程得:ζ=0.69当σp= 5% 时,该二阶系统的过渡时间为:ts≈3ζwn所以,该二阶系统的无阻尼自振角频率w n 3-4 解:≈3ζts=30.69*2= 2.17由上图可得系统的传递函数:10 * (1 + Ks)C (s)= R(s)s(s + 2)1 +10 * (1 +Ks)s(s + 2)==10 * (Ks +1)s + 2 * (1 +5K )s +10所以w n =10 ,ζwn=1 +5K⑴若ζ= 0.5 时,K ≈0.116所以K ≈0.116时,ζ= 0.5⑵系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为:σ p = e−ζπ / 1−ζ2*100% = e−0.5*3.14 /1−0.52*100% ≈ 16.3%t s =3 ζw n= 3 0.5 *≈ 1.910⑶ 加入 (1 + Ks ) 相当于加入了一个比例微分环节,将使系统的阻尼比增大,可以有效地减小原系统的阶跃响应的超调量;同时由于微分的作用,使系统阶跃响应的速度(即变w 212p化率)提高了,从而缩短了过渡时间:总之,加入 (1 + Ks ) 后,系统响应性能得到改善。
胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案
自动控制原理课后答案1 请解释下列名字术语:自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解:自动控制系统:能够实现自动控制任务的系统,由控制装置与被控对象组成;受控对象:要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动:扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰;扰动产生在系统外部,则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值:受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈:将系统的输出量馈送到参考输入端,并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解:作为一个完整的控制系统,应该由如下几个部分组成:①被控对象:所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象;②执行部件:根据所接收到的相关信号,使得被控对象产生相应的动作;常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件:给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量(即参考量);④比较元件:把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较,求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤测量反馈元件:该元部件的职能就是测量被控制的物理量,如果这个物理量是非电量,一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等;⑥放大元件:将比较元件给出的偏差进行放大,用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号,可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦校正元件:亦称补偿元件,它是结构或参数便于调整的元件,用串联或反馈的方式连接在系统中,用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络,它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么是反馈控制系统,开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点?解:反馈控制系统即闭环控制系统,在一个控制系统,将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量,并将该测量值与输入量进行比较,形成一个反馈通道,从而形成一个封闭的控制系统;开环系统优点:结构简单,缺点:控制的精度较差;闭环控制系统优点:控制精度高,缺点:结构复杂、设计分析麻烦,制造成本高。
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图,并判断下列点是否在根轨迹上: (-2+j0), (0+j1), (-3+j2) 解:有一个极点:(-1+j0),没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
(-2+j0)点在根轨迹上,而(0+j1), (-3+j2)点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解:系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点:(0+j0),(-1/2+j0),有一个零点(-1/3,j0)。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示,试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d): (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解:系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点:(0+j0),(-2+j0),(-5+j0)没有零点。
分离点坐标计算如下:051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ,d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
(2) )12()1()(++=s s s K s G解:系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点:(0+j0),(-0.5+j0),有一个零点(-1+j0)。
分离点坐标计算如下:115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ,d 29.02−=取分离点为7.11−=d ,29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
《自动控制原理》 胡寿松第五章习题解答
= 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 )
e ss (t ) = c ss (t ) − r (t ) = 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 ) − sin(t + 30 0 ) + cos(2t − 45 0 )
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
2 ωn s( s + 2ζω n )
G( s) =
当取 r (t ) = 2 sin t 时,系统的稳态输出
css (t ) = 2 sin(t − 450 )
试确定系统参数 ω n , ζ 。 解:根据公式(5-16)和公式(5-17) 得到: c ss (t ) = A G B ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G B ( jω ))
ξ = 0.6532
G( s) H ( s) =
K (τs + 1) ; s 2 (Ts + 1)
K ,τ , T > 0
试分析并绘制 τ > T 和 T > τ 情况下的概略开环幅相曲线。 解:相频特性为
ϕ (ω ) = −180 0 + arctan τω − arctan Tω
(1)
τ > T 时, ϕ (ω ) > −180 0 概略开环幅相曲线如下
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
5-2 若系统单位阶跃响应为
h(t ) = 1 − 1.8e −4t + 0.8e −9t (t ≥ 0)
试确定系统的频率特性。 解:对单位阶跃响应取拉氏变换得:
1 1.8 0.8 36 − + = s s + 4 s + 9 s ( s + 4)( s + 9)
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2-5 求通过(0)1x =,(1)2x =,使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t :2(1)ft t J x dt =+⎰解:由题可知,始端和终端均固定被积函数21L x =+,0L x ∂=∂,2L x x ∂=∂, 2d Lx dt x ∂⋅=∂代入欧拉方程0L d Lx dt x ∂∂-⋅=∂∂,可得20x =,即0x =故1x c = 其通解为:12x c t c =+代入边界条件(0)1x =,(1)2x =,求出11c =,21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =,()4f x t =式中f t 自由且f t 〉1,试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t :211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解:由题可知,2122L x x =+,()4f t ψ=,()14x =,()4f x t = 欧拉方程:L 0d Lx dt x ∂∂-=∂∂横截条件:()00t x =x ,()()f f x t t ψ=,()0fT t L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为:()212x t t c t c =++根据横截条件可得:()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得:12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ,1c ,2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =,(1)x 自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解:由题可知,21L x =+,()00x =,()1x 自由欧拉方程:L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ,L 0ft x∂=∂,0fT t L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为:()x t at b =+代入边界条件()f x t a =,()00x =,1f t =,求出0a =,0b = 将f t ,a ,b 代入J 可得()1*2011J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =,2(0)0x =1()12x π=,2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
解:由题可知,2211222L x x x x =++,1(0)0x =,2(0)0x =,1()12x π=,2()12x π=-欧拉方程:1122L 0L 0d Lx dt x d L x dt x ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩可得:21L 2x x ∂=∂,11L 2x x ∂=∂,112d L x dt x ∂=∂12L 2x x ∂=∂,22L 2x x ∂=∂,222d Lx dt x ∂=∂所以这时的欧拉方程为12210x x x x -=⎧⎨-=⎩对上述第一个方程求导两次,再由第二个方程,可以将2x 消去,得(4)110x x -=不难求出此方程的解11234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++对此式求导两次,得21234cos cos t t x c e c e c t c t -=+--利用给定的端点条件,可求出1230c c c ===,41c =因此,极值轨线为*1*2()sin ()sin x t tx t t⎧=⎪⎨=-⎪⎩2-12 设二次积分模型为()()t t θω=,()()t u t ω=性能指标1201()2J u t dt =⎰ 已知初态(0)(0)1θω==,末态(1)0θ=,(1)ω自由,试求最优控制*()u t 和最优轨迹*()t θ与*()t ω。
解:由题可知 构造H:21212T H L f u u λλωλ=+=++ 正则方程:1210H H λθλλω∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩由上式可得 11212()()t c t c t c λλ=⎧⎨=-+⎩ 控制方程:20Hu u λ∂=+=∂ 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-由状态方程()()t t θω=,()()t u t ω=可得321234212311()621()2t c t c t c t c t c t c t cθω⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩横截条件2(1)0(1)ϕλω∂==∂ 有12c c =由边界条件(0)(0)1θω==,(1)1θ=可求431234121111062c c c c c c c c =⎧⎪=⎪⎪⎨-++=⎪⎪=⎪⎩ 即12346611c c c c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以 最优控制为*()66u t t =-最优轨线*32*2()31()361t t t t t t t θω⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩2-13 设系统状态方程12()()x t x t =,1(0)2x = 2()()x t u t =,2(0)1x =性能指标如下:201()2f t J u t dt =⎰ 要求达到()0f x t =,试求(1)5f t =时的最优控制*()u t 。
(2)f t 自由时的最优控制*()u t 。
解:由题可知构造H :212212T H L f u x u λλλ=+=++ 正则方程:11212()0()H t x H t x λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩可求得 11212()()t c t c t c λλ=⎧⎨=-+⎩控制方程:20Hu uλ∂=+=∂ 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-由状态方程12()()x t x t =,2()()x t u t =可得32112342212311()621()2x t c t c t c t c x t c t c t c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(1)5f t =时由边界条件1(0)2x =,2(0)1x =,1()0f x t =,2()0f x t =可得343212342123121155506215502c c c c c c c c c =⎧⎪=⎪⎪⎨*-*+*+=⎪⎪*-*+=⎪⎩ 得 123454125322512c c c c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩故32122916()2125252732()112525x t t t t x t t t ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 有 25432()12525x t t =-有最优控制*5432()12525u t t =- (2)若5f t =自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件21221()()()()()()02f f f f f f fH t u t t x t t u t t ϕλλ∂=++=-=∂即2()0f t λ=,从而21f c c t =,代入32122121120621102f f f f f c t c t t c t c t ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩可得6f t =-因为时间总为正值,所以此题无解。
2—14 设一阶系统()()x t u t =,(0)1x =性能指标1221()2J x u dt =+⎰ 已知(1)0x =。
某工程师认为,从工程观点出发可取最优控制函数*()1u t =-。
试分析他的意见是否正确,并说明理由。
解:由题可知将()()u t x t =代入性能泛函,得12201()2J x x dt =+⎰ 于是,性能泛函中只含有一个宗量()x t 。
以上问题就变成了求性能泛函为极值的极值曲线问题 令22L x x =+ 则欧拉方程为:220L d Lx x x dt x∂∂-⋅=-=∂∂ 解得:12()t t x t c e c e -=+根据横截条件(0)1x =,(1)0x =可得211212(1)(1)c e c e ---⎧=-⎪⎨=-⎪⎩因此,使给定性能泛函取极值的最优解为*2121()(1)(1)t t x t e e e e ----=-+- *2121()(1)(1)t t u t e e e e ----=-+-由此知该工程师的意见不正确3-4 给定一阶系统方程()()()x t x t u t =-+,(0)1x =控制约束为()1u t ≤,试求使下列性能指标:101[()()]2J x t u t dt =-⎰为极小值的最优控制*()u t 及相应的最优轨线*()x t 。
解:由题可知构造H:1()()(1)()22u H x x u x u λλλ=-+-+=-+-哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小,因此要求1()2u λ-极小.且取其约束条件的边界值,即()1u t =时,使哈密顿函数H 达到最小值.所以,最优控制应取*11,2()112u t λλ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩,由协态方程 ()1Ht xλλ∂=-=-∂可得 ()1t t ce λ=- 由横截条件 (1)0λ=求得 1c e -=,于是有1()1t t e λ-=-显然,当()0.5s t λ=时,*()u t 产生切换,其中s t 为切换时间。
不难求得ln2s et =,故最优控制为 *1,0ln 2()1,ln 12e t u t e t ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩将*()u t 代入状态方程,得1,0ln 2()1,ln 12e x t x t e x t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩解得121,0ln 2()1,ln 12tt e c e t x t e c e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩代入初始条件(0)1x =,可得 12c =,因而()21t x t e -=-,0ln2et ≤< 在上式中,令ln 2e t =,可求出ln 12et ≤≤时()x t 的初始条件ln 24(ln )2112ee x e e-=-=-从而求得22c e =-。
因而()(2)1t x t e e -=-+,ln12et ≤≤ 于是,最优轨线为21,0ln 2()(2)1,ln 12tt e e t x t e e e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩将求得的*()u t 和*()x t 代入式J ,得最优性能指标1ln 1*200ln 211132[()()](2)[(2)]ln 0.4522222e t t e eJ x t u t dt e dt e e dt e --=-=-++-=--≈⎰⎰⎰3-7 已知二阶系统方程121()()4x t x t =+,11(0)4x =- 2()()x t u t =,21(0)4x =-式中控制约束为1()2u t ≤试确定最优控制*()u t 。