《微积分》讲义
微积分讲义(高中物理竞赛辅导)
高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。
微积分讲义1
微积分讲义1微积分讲义基础内容：函数⼀．集合1.集合的相关概念1.满⾜共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.例：军训前学校通知:8⽉15⽇8点,⾼⼀年级学⽣到操场集合进⾏军训.试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？每个学⽣与全体⾼⼀学⽣之间的关系？问题：世界上最⾼的⼭能不能构成⼀个集合？世界上的⾼⼭能不能构成⼀个集合？我们把研究的对象统称为“元素”,那么把⼀些元素组成的总体叫“集合”.2.元素与集合的关系有两种：属于∈，不属于?元素的特性（判断是否为集合的依据）：（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何⼀个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.（2）⽆序性：即集合中的元素是没有顺序的.（3）互异性：⼀个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：1、⼀般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A3.有限集、⽆限集、空集、单元素集N，整数集记作Z, 4.常⽤数集及其记法:⾃然数集记作N,正整数集记作*N或+有理数集记作Q,实数集记作R.注意：（1）)}{ba都是单元素集a},,{(（2）}0{φ的区别},{},{例1 判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流； ( )（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )A.⼤于6的所有整数B.⾼中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是( )A.充分⼩的负数全体B.爱好⾜球的⼈C.中国的富翁D.某公司的全体员⼯2．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则4、（1） -3 N ；（2） 3.14 Q ；（3） Q ；（4）0 Φ；（5） Q ；（6） R ；（7）1 N +；（8） R 。
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
大学数学(高数微积分)专题七第讲(课堂讲义)
则x0＝x1＋2 x2＝1＋2k22k2，y0＝k(x0－1)＝1＋－2kk2. 26
热点分类突破
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1.
本
－k
讲 栏 目 开 关
即1＋21k＋22k22－k2 m·k＝－1，∴m＝1＋k22k2＝2＋1 k12，
∵k2>0，∴0<m<12.
因为直线与x轴不垂直，
所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
本
讲 栏 目
由xy2＝＋k2xy－2＝12，， 可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
开
关 显然Δ>0恒成立，∴x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k22.
设线段PQ的中点为N(x0，y0)，
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通
本 过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未
讲 栏
知量的方程来解．
目 开
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系
关 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程
与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要
本
讲 栏 目
由(1)得h′(x)＝1x＋21 x－x＋5452
开
关 ＝2＋2x x－x＋5452<x＋4x5－x＋5452
＝x＋4x5x3＋－52126x.
令 G(x)＝(x＋5)3－216x，则当 1<x<3 时，
18
热点分类突破
G′(x)＝3(x＋5)2－216<0，
微积分ppt讲义3
1 4
lim e x 0
lim x 2 0
x
x x 2 2
x 1
limsin x 0
x k , k 0, 1, 2,
1 lim 0 ln x 1 lim 0 ln tan x
ln tan x ln tan x
例
1 1 求 lim . 0 x 1 x 1
1 解： lim( x 1) 0 lim x 1 x 1 x 1
例 解
x2 1 lim( ax b) 0, 求a , b. x x 1 x2 1 x 2 1 ax 2 ax bx b lim( ax b) lim x x 1 x x 1 (1 a ) x 2 (a b) x b lim 0 x x 1
lim x 2 0
x2
lim x 2 ax b 0
x2
即4 2a b 0.
x 2 ax b x 2 ax 2a 4 从而 lim lim x2 x2 x2 x2 ( x 2 4) (ax 2a ) ( x 2)( x 2) a( x 2) lim lim x2 x2 x2 x2
n 偶数 例：n 是无界变量， 0 奇数 但不是无穷大量
无穷大是某时刻后所有点的函数值都得无限增大,而 无界变量只要某时刻后有一列点是无限增大即可.
1 lim x x
lim e x
lim ln x
x x
lim
x x 0
2). 不要将无穷小量与很小很小的非零常量混淆, 但数“0” 是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为 0. 2.无穷小量与一般极限的关系
微积分简介.ppt讲义.
集合
论
航
始 开 行
第三
新的发 展
机 危 学 数 次
集
理 合公
化
三、罗素悖论与第三次数学危机
1.康托尔与集合论
康托尔：是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就显露 出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希望他 学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数学的 ，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获得了 柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学教书 。 然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特 别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的 研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还 竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一 个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得 康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中 ，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶 进精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他 在哈雷精神病医院逝世。
微分和积分 (即求切线 与求面积) 是互逆的两 种运算。 这是微积分 建立的关键 所在。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
2. 贝克莱悖论与第二次数学危机
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完 善。因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教 贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。 如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一，十 分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨 的也不能自圆其说。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
航
始 开 行
微
的发 分 积
现
贝克莱悖论
数 次 第二
胜利凯 旋
《微积分》第二篇第一章讲义不定积分
二、不定积分的求法
实际上导数和不定积分是两种互逆运算。
求导数 求不定积分
互逆
求导公式 积分公式
互逆
所以类似于求初等函数的导数，求初 等函数的不定积分，也分三个方面: （1）积分的基本公式； （2）不定积分的四则运算法则； （3）不定积分与复合运算的关系.
（一）不定积分的基本公式
实际上都是由求导法则推出来的。
1 3x 2 dx 例4： 求 x 性质1 解： 1 1 3 x 2 d x 3 x d x d x 2 x x 性质2 1 21 1 11 x c 3 x 2 1 11 3 2 1 3 2 1 x x c x c 2 x 2
注意：幂函数求导数会降低幂次，求不定积分 会增加幂次。
例 4 . 1 ：求 x d x 1 1 3 2 2 1 解： xd x c x x c 3 2 1
2
解：
1 1 1 2 1 x x c x c xd 1 1 2
1
求 xdx
例 4 . 2 ：求 a d x （ a 为任意常数
1 (2 x ) c 3
3 2 2
（四）分部积分法
主要是用于处理被积函数是两个函数 相乘的形式的不定积分。
定理1.2（分部积分公式）
设u(x),v(x)是可微函数，则有
写成微分形式：
例5： 求 e3 2d x
x x
x x
e 3 2 d x 3 e d x 2 e d x 解：
x x
3e
x
2e c ln2e
x
2 e 3 e
x
x
《微积分导学讲解》PPT课件
三、注意抓好学习的六个环节
微积分这门课是同学们进入大学后遇到的第一门课，也 是一门最重要的基础课。由于在教学方法上、在对学生能力的 培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始会 感到很不适应。为了尽快适应这种环境，要注意抓好下述六个 学习环节。 （1）预习
为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进 行预习。预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式。 预习的主要目的是：第一，使听课时心里有个底，不至于被动 地跟着教师的“脚后跟”跑；第二，知道哪些地方是重点和自 己的难点疑点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由 于基础、理解力上的差异所造成的听课困难。形象地说，预习 就象要到某个名胜游览之前，先买个旅游图及其说明来看一看， 以便在旅游时更主动，收获更大。
7/20
第三阶段：变量数学时期
即“微积分”时期。这个时期以17世纪中叶笛卡 儿的解析几何的诞生为起点，止于19世纪中叶。这个 时期和前一时期的区别在于，前一时期是用静止的方 法研究客观世界的个别要素，而这一时期是运用运动 和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。 在这个时期，变量与函数的概念进入了数学，随 后产生了微积分。这个时期虽然也出现了概率论和射 影几何等新的数学分支，但似乎都被微积分过分强烈 的光辉掩盖了它们的光彩。这个时期的基本成果是解 析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校 中的基础课程。
“初等”数学与“高等”数学之分完全是按照惯例形成的。 可以指出习惯上称为“初等数学”的这门中学课程所固有的两 个特征。 第一个特征在于其所研究的对象是不变的量（常量）或 孤立不变的规则几何图形；第二个特征表现在其研究方法上。 初等代数与初等几何是各自依照互不相关的独立路径构筑起来 的，使我们既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通 过计算用代数方法来解决几何问题。 16世纪，由于工业革命的直接推动，对于运动的研究成 了当时自然科学的中心问题，这些问题和以往的数学问题有着 原则性的区别。要解决它们 ，初等数学以不够用了，需要创 立全新的概念与方法，创立出研究现象中各个量之间的变化的 新数学。变量与函数的新概念应时而生，导致了初等数学阶段 向微积分阶段的过渡。
《微积分入门》课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
一份给高中生的微积分讲义
−1
3 微积分基本定理
我们已经学习了微积分中两个最基本和最重要的概念 ——导数和定积分，那么这两个概念有没有内在的联系呢？ 我们能否利用这种联系求定积分呢？
先看一个简单的物理例子: 一个做变速直线运动的物体 的运动规律是 s = s(t), 并且 s(t) 有连续的导数. 由导数的概念 可知，它在任意时刻 t 的速度为 v(t) = s′(t). 设这个物体在时
一份适合高中生的微积分讲义
孙老师
May 7概念
4
2 定积分的性质
7
3 微积分基本定理
8
4 定积分的计算
9
4.1 直接法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 常用积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 n
],
[
1n,
2 n
],
...,
[ n−n 1,
1]，第
i
个区间为
[i−n1,
i n
],
区间长度为
∆xi
=
i n
−
i−1 n
=
1 n
.
分别过上述
n
−
1
个分点作
x
轴的垂线，把
图形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积记作：∆S1, ∆S2, ..., ∆Sn.
显然
S
=
∑n
i=1
∆Si.
4
2. 近似代替
即可.
性质 2.1 对任意 α, β ∈ R,
∫b
∫b
∫b
(α f (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx
微积分讲义Chap 1 Completeness axiom of R
Chapter 1 The real number system1.3. Completeness axiom of R1.16 DefinitionLet R E ⊆ and φ≠E . (i).The set E is said to be bounded above if there is an R M ∈ s.t M a ≤ for allE a ∈.(ii).A number M is called an upper bound of the set E if M a ≤ for all E a ∈. (iii).A number S is called a supremum of the set E if S satisfies the followingconditions(1) if E a S a ∈∀≤,,(2) if M is an upper bound of E then M S ≤.Remark The supremum is also called the least upper bound.1.17: ExampleIf E=[0,1], prove that 1 is a supremum of E .Proof.1. ]1,0[,1=∈∀≤E a a .2. let M be an upper boundthen M a ≤ for all ]1,0[∈a])1,0[1(1∈≤⇒ M .We derive the result.1.18: RemarkIf a set has one upper bound, it has infinitely many upper boundsProof:. Let E be a subset of R .Let M a ≤ for all E a ∈.Then M is an upper bound.Let R b b ∈>,0 then M+b is also an upper bound.So, E has infinitely many upper bounds.1.19 . Theorem. Let E be a nonempty subset of R . Then the least upper bound of E is unique if it exists.Proof.Suppose that 21&s s are the least upper bounds of E.Then 21&s s are upper bounds of E .1221&s s s s ≤≤∴21s s =∴.NotationThe supremum is also called least upper bound . We use sup E to denote the supremum of nonempty set E .1.20. Theorem [Approximation property]E E R E s u p a n d ,,φ≠⊆exists. Then E a ∈>∀an is there ,0ε s.t E a E sup sup ≤<-ε.Proof:. Suppose the conclusion is false. There is an 0>ε such that.,sup E a E a ∈∀-≤ε.ε-∴E s u pis an upper bound. →←≥-⇒E E sup sup ε0>εE a ∈∃∴ s.t E a E sup sup ≤<-ε1.21. TheoremIf N E ⊆ has a supremum, then E E ∈supProof.Let supE=s.By Approximation property, there E x ∈∃0 s.t s x s ≤<-01.If s x =0 then E E ∈sup is obvious.If s x s <<-01, thenE x ∈∃1 s.t 001100x s x x s x x -≤-<⇒≤<.1. 1,0101≥-⇒∈x x N x x .2. 1)1(1,0101=--<-⇒->≥s s x x s x x s .It is a contradiction.E E ∈∴s u p● [Complete axiom of R ]Every nonempty subset E of R that is bounded above,then E has the least upper bound. .1.22 :[Archimedean Principle]N n b a R b a ∈∃⇒>∈0,,, s.t b<na.Proof:1. If b<a , then take n=1.2. If a<b , let };{b ka N k E ≤∈=.φ≠∴∈E E ,1 .⇒∈∀≤E k ab k ,E is bounded above. By Completeness of R , sup E exists.ba E EE E E >+∴∉+∴∈⇒)1(s u p 1s u p )21.1 T heorem by (sup take n=supE+11.23: Example.Let ,.......}41,21,1{=A and ,...}87,43,21{=B prove that supA=supB=1Proof.1. 1{;0}2nA n N or n =∈= 11,,0,1,2,..2n x x n ≥== . 1∴ is an upper bound.Let M be another bound..1s u p 1210=∴=≥∴A M 2. };211{N n B n ∈-= N n n ∈∀-≥,2111 1∴ is an upper bound of B.Let M be an upper bound of BTo show 1≥M .Suppose not 011>-⇒<⇒M MBy Archimedean principle, there exists N n ∈ such thatM n-<11, M n -<∃⇒121 for some N n ∈. →←>-⇒-->-=-∴M M n n n n n 212)1(1212211 M is an upper bound. 1≥∴M1s u p=∴B● [Well-Order Principle]⇒≠⊆φE N E ,E has a least element(ie.E a ∈∃ s.t E x x a ∈∀≤,)1.24. Theorem (Density of rational)Let R b a ∈, satisfy a<b , then there is a rationalnumber c s.t a<c<b.Proof:Let N n a b n∈-<,1(by Archimedean Principle). 1. If b>0, let }.;{nk b N k E ≤∈= By Archimedean Principle φ≠⇒E .By Well-Order Principle ⇒E has a least element, says 0k . .)..(1:0b nm e i E m k m <∉⇒-=∴ Let n m q =. We must show that a<q<b.q<b is obvious, now we show that a<q....11)(00b q a a q q n k n n k a b b a <<∴>∴=-=-<--=2. If b<0, then0>∃k , k is a natural number s.t b+k>0.Q c ∈∃∴ s.t a+k<c<b+kQk c Q c bk c a ∈-⇒∈<-<∴ie. There is a rational number between a & b.1.27. Definition.φ≠⊆E R E ,.1. s is called a lower bound of E if E x s x ∈∀≥,.In the case, E is called bounded below2. t is called the greatest lower bound of Eif1.E x t x ∈∀≥,,2. If M is a lower bound of E then t M ≤.3. E is bounded if E x M x ∈∀≤, for some M>0. (i.e. E is bounded above and below.)● Let E be a set of R . We define };{E x x E ∈-=-.1.28. Theoremφ≠⊆E R E ,.1. sup E exists ⇔inf (-E) existsin fact supE= -inf(-E)2. inf E exists ⇔sup (-E) existsin fact inf E= -sup (-E)Proof:1.""⇒supE exists.Now we show that –supE=inf(-E).Show that 1.-sup E is a lower bound of –E.2. if s is a lower bound of E s E sup -≤⇒-.1.E s u pis an upper bound of E E x E x E x E x ∈∀-≥-⇒∈∀≤∴,s u p ,s u pE s u p-∴ is a lower bound of –E 2. Suppose that s is a lower bound of -ESuppose not E s E s sup sup <-⇒->⇒on the other handsx E x s x -≤∴∈∀≥-, Hence, -s is a upper bound of E →←By 1.& 2, E E E sup )inf(&)inf(-=-∃-.The proof of converse is similar.Remark. The largest lower bound is also called infimum.Remark. The completeness axiom of R is equivalent to“ Every non empty, bounded below subset of R has the infimum”.1.29. Theorem.i n f i n f ,s u p s u p,,A B A B B A R B A ≤≥⇒≠⊆⊆φ if B B inf and sup exist.Hence, B A A B sup sup inf inf ≤≤≤Proof:1. suppose sup B exists.,s u p .,s u p A x B x B A B x B x ∈∀≤∴⊆∈∀≤∴A ∴ is bounded above & supB is an upper bound of ABy complete axiom of R, .sup sup &sup B A A ≤∃2. S ppose that inf B exists..,i n f ,i n f A x B x B A Bx B x ∈∀≥∴⊆∈∀≥∴A ∴ is bounded below & infB is an lower bound of A.By complete axiom of R, B A A inf inf &:inf ≥∃.Def:s u p,i n f φφ=-∞=∞1.4 Functions, countability and the algebra of sets.DefinitionLet A & B be two sets of R .A function f is a relation between A &B s.t f assigns each element x of A to aunique B y ∈DefinitionB A f →:f is called 1-1 if )()(y f x f y x ≠⇒≠Def:B A f →:f is called onto if A x B y ∈∃∈∀, s.t f (x )=yDefinition 1.34:Let E be s a set of R .1. E is said be finite if φ=E or E n f N n n →∈∃}...2,1{:&},.....3,2,1{ s.t f is 1-1 & onto.2. E is called countably infinite if E N f →∃: s.t f is 1-1 & onto.3. E is called countable if E is finite or countably infinite.4. E is called uncountable if E is not countable1.35. Theorem .The open interval (0,1) is uncountablePf:Suppose (0,1) is countable.Then there is a list for (0,1) says.....................................................................0............................................................................0.........0.........0321333231323222121312111n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ====Let .......0321ααα=x where {=k α10==k k αα .1f ,1if ≠=kk kk a i a kk k a ≠∴αx ∴ is not in this list →← (0,1) is uncountable 1.37. TheoremB B A ,⊆ is countable A ⇒ is countable1.38 Theoremn A A A ,......,21 are countable. },:{:1N j A x x A A E j j j N j j∈∈===∞=∈ .If j A is countable for E N j ⇒∈ is countable.。
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
《微积分》第一篇第二章讲义(1)极限
h( x ) f ( x) ， 而且有：g ( x0 ) 0 g ( x)
这时就计算： ( x0 ) h
当h( x0 ) 0时，就有lim f ( x)
x x0
1 g ( x) g ( x0 ) 此时有 lim lim x x0 f ( x) x x0 h( x) h( x0 ) 0 0. lim f x . x x0 h( x0 )
3 2、求 lim 3 x x 0
2 3、求 lim x 0 x
（二）极限的运算
1、极限的四则运算法则（P-66） 设 lim f x A， g x B，那么 lim
(1) lim( f g ) lim f lim g A B;
(2) lim( f g ) lim f lim g AB;
当自变量x本身既可以取正值，也可以 取负值的时候，就可以当x趋于无穷的定义
定义2.2’’
x
(P-61)
f x A( x ).
lim f x A 或
称为：当 x 时，f ( x)以A为极限
由定义2.2知，在例2.1中，有 1 1 或 0 x lim 0 x x x
n
2.718
（二）函数的极限
数列是一类特殊的函数，它的定义 域是正整数，对于数列已经定义了极限。 那么如果是一般的函数呢？即自变 量是连续取值的函数，它的极限又是如何 定义的？
1、x 时，函数f ( x)的极限
2、x x0时，函数f ( x)的极限
1、x 时，函数f ( x)的极限
(3) lim( Cf ) C lim f CA, 其中C是常数 f lim f A (4)若B 0, 则lim . g lim g B
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
高二数学讲义：微积分初步(较为系统的讲义)
1 / 19微积分初步[考纲要求]1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义,求函数y c =,y x =,2y x =,1y x=,y =<c 为常数>的导数. 4.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函 数<仅限于形如()f ax b +的复合函数>的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：'()0c =<C 为常数>.'1+()(Q )x x αααα-=∈.'(sin )cos x x =.'(cos )sin x x =-.'(e )e x x =. '()ln (0x x a a a a =>,且1)a ≠.'1(ln )x x =.'1(log )(0ln a x a x a=>,且1)a ≠. 常用的导数运算法则：法则1：'''[()()]()()f x g x f x g x ±=±.法则2：'''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=++.法则3：'''2()()()()()[](()0)()()f x f xg x f x g x g x g x g x -=≠. 5.了解函数单调性和导数的关系.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间<其中多项式函数一般不超过三次>.6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值<其中多项式函数一般 不超过三次>.会求闭区间上函数的最大值、最小值<其中多项式函数一般不超过三次>.7.会利用导数解决某些实际问题.8.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 9.了解微积分基本定理的含义.[备考建议]1.导数是中学数学中重要的知识.由于其应用的广泛性,为我们解决有关函数的问题提供了一般性的方法, 运用导数还可以简捷地解决一些实际问题.本章中导数的概念、求导运算、函数的单调性、极值和最值是 重点知识,因此要熟练掌握函数的求导法则与公式,会判断或讨论函数的单调性,会函数的极值与最值, 会用导数解决一些实际问题.2.定积分也是微积分的核心概念之一.通过定积分可以解决一些简单的几何和物理问题,还要体会导数和定 积分之间的内在联系,体会导数与定积分的思想方法.3.在解决具体问题的过程中,要对函数的导数方法和初等方法作比较,体会导数方法在研究函数性质中的一 般性和有效性.第01讲：导数的概念与运算[基础知识]1.平均变化率与瞬时变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为________,函数()f x 在0x 处的瞬时变化 率为________.2.导数的概念：函数()f x 在0x 处的导数就是()f x 在0x x =处的________,记作'0()f x 或0'|x x y =,即'0()f x0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 3.导数的几何意义：函数()y f x =在点00(,())x f x 处的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,())x f x处的________的斜率,相应的切线的方程为________. 4.几种常见函数的求导公式：'()c =________.'()x α=________(Q )α+∈.'(sin )x =________.'(cos )x =________.'(e )x =________.'()x a =________.'(ln )x =________.'(log )a x =________.5.导数的运算法则：'[()()]f x g x ±=_______.'[()]cf x =_______<c 为常数>.'[()()]f x g x ⋅=_______.'()[]()f xg x =_______. [规律总结]1.函数的导数的实质是极限问题,是函数平均变化率的极限.2.求导数时,先化简后求导是基本方法,这样可以减少计算量.3.复合函数求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层,直到求导最外层能直接 使用基本公式为止.[例题精讲][例01]已知()f x 在0x x =处可导,且'0()2f x =,则000()()lim2k f x f x k k→--=________.[拓展1]已知()f x 在0x x =处可导,且'0()5f x =,求000()()lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆.[拓展2]若函数()y f x =在区间(a ,)b 内可导,且0(x a ∈,)b ,则000()()lim h f x h f x h h→+--=________.[拓展3]已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1-,2)-与邻近一点(1x -+∆,2())f x -+∆,则()f x x ∆=∆________.[拓展4]()y f x =在1x =处可导,又(1)3f =,'(1)2f =,求221()(1)lim 1x f x f x →--.[拓展5]如图所示,()f x 的图象是折线段ABC ,A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4),则((0))f f =________,请你计算(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆________.<用数字作答>3 / 19[例02]求下列函数的导数：<1>2(21)(31)y x x =-+.<2>y =3>3e 2x x xy =-.<4>2ln 1x y x =+.[例03]设0()sin f x x =,'10()()f x f x =,'21()()f x f x =,…,'1()()n n f x f x +=,N n +∈,则2010()f x =________.[拓展]设函数())cosf x ϕ=+<0ϕ<<π>.若()()'f x f x +是奇函数,则ϕ=________.[例04]在高台跳水运动中,t s 时运动员相对水面高度是2()210h t t t =-++<单位:m >则运动员在1t =s时的瞬时速度为________.[拓展]一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度为________.[例05]曲线2xy x =+在点(1-,1)-处的切线方程为________. [拓展1]若曲线()5ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值X 围是________.[拓展2]求过曲线cos y x =上的点P <3π,12>且与过这点的切线垂直的直线方程. [拓展3]曲线()sin 1f x x x =+在点(2π,1)2π+处的切线与直线10ax y -+=垂直,则实数a =________.[拓展4]已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切,则a 的值为________. [拓展5]已知函数()ln f x x =、21()2g x x a =+<a 为常数>,直线l 与函数()f x 、()g x 的图象都相切, 且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程与a 的值.[拓展6]点P 在曲线4e 1xy =+上,α为曲线在点P 处切线的倾斜角,则α的取值X 围是________. [拓展7]设0a >,2()f x ax bx c =++,曲线)(x f y =在点0(P x ,0())f x 处切线的倾斜角的取值X 围为[0,]4π则P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值X 围为________.[拓展8]若曲线12y x-=在点(a ,12)a-处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a =________.[拓展9]设曲线e (0)xy x -=≥在点(M t ,e )t-处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为()s t .<1>求切线l 的方程. <2>求()s t 的最大值.[拓展10]设函数1()(f x ax a x b=++、Z)b ∈,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为y =3． <1>求()f x 的解析式.<2>求证：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心.<3>求证：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值．[拓展11]对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1{+n a n的 前n 项和的公式是________.第02讲：导数在研究函数中的应用[基础知识]1.函数的单调性：函数()f x 在某个区间(a ,)b 内,若'()0f x >,则()f x 为________；若'()0f x <,则()f x 为________；若'()0f x =,则()f x 为________. 2.函数的极值：<1>函数()y f x =在x a =的函数值比它在点x a =附近其它点的函数值都小,'()0f a =,而且在点x a = 附近的左侧________,右侧________,则点a 叫作函数()y f x =的________,()f a 叫作函数()y f x = 的________.函数()y f x =在x b =的函数值比它在点x b =附近其它点的函数值都大,'()0f b =,而且在点x b = 附近的左侧________,右侧________,则点b 叫作函数()y f x =的________,()f b 叫作函数()y f x = 的________.极小值点、极大值点统称为________,极大值点极值小统称为________.<2>求函数()y f x =的极值的方法是：解方程'0()0f x =.当'0()0f x =时,如果在0x 附近的左侧'0()f x0>,右侧'0()0f x <,那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'0()0f x <,右侧'0()0f x >,那么0()f x 是极小值.3.求函数()y f x =在[a ,]b 上的最大值与最小值的步骤是： <1>求函数()y f x =在(a ,)b 内的极值.<2>将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、()f b 相比较,其中最大的一个是________,最小 的一个是________.[规律总结]1.利用导数判断函数单调性与单调性应注意的问题：<1>利用函数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内, 通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间. <2>注意在某一区间内'()0f x ><或'()0f x <>是函数()f x 在该区间上为增<或减>函数的充分条件.例如3()f x x =在R 上可导且单调递增,但0x =时'()0f x =.5 / 192.求函数的极值的步骤:<1>确定函数的定义区间,求导数'()f x . <2>求方程'()0f x =的根.<3>用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查'()f x 在方程根 左右的值的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么()f x 在这个 根处取得极小值.如果左右不改变符号,那么()f x 在这个根处无极值.<4>如果'()0f x =的根0x x =的左右两侧,'()f x 的符号不变,则0()f x 不是极值.例如3()f x x =,有'(0)0f =,但0x =不是极值点.<5>'0()0f x =是0x 为极值点的必要条件,并非充分条件.3.求函数最值的步骤：<1>求出()f x 在(a ,)b 上的极值. <2>求出端点函数值()f a 、()f b .<3>比较极值和端点值,确定最大值或最小值.[例题精讲][例01]21()4f x x x=+的单调递增区间为________. [拓展1]函数3y x x =+的单调递增区间为________.[拓展2]已知32()1f x x ax =-+在[1,2]上单调递减,则实数a 的取值X 围是________.[拓展3]函数3()f x x ax b =++在(1-,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数,求a 、b 的值. [拓展4]如果函数3()(f x x bx b =-+为常数>,且()f x 在区间(0,1)上单调递增,方程()0f x =的根都在区间[2-,2]内,则b 的取值X 围是_____ _.[拓展5]<20##全国高考试题>已知函数32()1f x x ax x =+++,R a ∈.<1>讨论函数()f x 的单调区间. <2>设函数()f x 在区间2(3-,1)3-内是减函数,求a 的取值X 围．[例02]函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,当(x ∈-∞,0)时'()()0f x xf x +<成立<其中'()f x是()f x 的导函数>.若0.30.3(3)(3)a f =⋅,b =(log 3)π⋅(f log 3)π,3311(log )(log )99c f =⋅, 则a 、b 、c 的大小关系是________.[拓展]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'2()()(1)0,0(0)xf x f x f x x-=>>,则不等式()0f x >的 解集为________.[例03]已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥. <1>当=2时,求曲线()y f x =在点<1,(1)f >处的切线方程. <2>求<>的单调区间.[拓展1]<20##全国高考试题>设函数2()e 1xf x x ax =---.<1>若0a =,求()f x 的单调区间.<2>若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值X 围.[拓展2]<20####省高考试题>已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-,1a >. <1>讨论函数()f x 的单调性.<2>证明：若5a <,则对任意1x 、2(0x ∈,)+∞,12x x ≠,有1212()()1f x f x x x ->--.[例04]试判断函数313y x x =+-的极值.[拓展1]函数32y x ax a =-+在(0,1)内有极小值,则实数a 的取值X 围是________. [拓展2]函数2ln y x x =的极小值为________. [拓展3]若函数1()cos sin 22f x m x x =+在x =4π处取得极值,则m =_____ _. [拓展4]已知函数()32f x x ax bx c =-+++图象上的点(1P ,2)-处的切线方程为31y x =-+．<1>若函数()f x 在2x =-时有极值,求()f x 的表达式. <2>函数()f x 在区间[2-,0]上单调递增,##数b 的取值X 围.[拓展5]设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点,曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x .若函数在2=x 处取得极值0,试求函数的单调区间.[例05]<20####市高考试题>已知函数()e (R)xf x x x -=∈.k f x7 / 19<1>求函数()f x 的单调区间和极值.<2>若函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,求证：当1x >时()f x >()g x .<3>如果12x x ≠且12()()f x f x =,求证122x x +>.[例06]<20####市高考试题>已知函数22()(23)e (R)xf x x ax a a x =+-+∈,其中R a ∈.<1>当0a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率.<2>当23a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.[例07]<20##全国高考试题>设函数32()33f x x bx cx =++在有两个极值点1x 、2x ,且1[1x ∈-,0],2[1x ∈,2].<1>求b 、c 满足的约束条件,并在下面的坐标 平面内,画出满足这些条件的点(b ,)c 的 区域.<2>求证110()2f x -≤≤-. [例08]函数()ln f x x x =-在区间(0,e]上的最大值为________. [拓展1]函数e xxy =在[0,2]上的最大值为________. [拓展2]函数32()26f x x x m =-+在区间[2-,2]上的最大值为3,则()f x 在区间[2-,2]上的最小值为________.[拓展3]已知()ln f x ax x =-,(0x ∈,e],ln ()xg x x=,其中e 是自然常数,R a ∈. <1>讨论1=a 时,()f x 的单调性、极值.<2>是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,若存在,求出a 的值.若不存在,说明理由.[拓展4]设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>．<1>当1a =时,求()f x 的单调区间. <2>若()f x 在(]0,1上的最大值为12,求a 的值．[例09]已知函数432()2f x x ax x b =+++<R x ∈>,其中a 、R b ∈．<1>当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性. <2>若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值X 围.<3>若对于任意的a ∈[2-,2],不等式()1f x ≤在[1-,1]上恒成立,求b 的取值X 围．[拓展1]已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+． <1>求函数()F x 的单调区间.<2>若以函数()((0y F x x =∈,3])图象上任意一点0(P x ,0)y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成 立,##数a 的最小值.[拓展2]已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数,当1x =时()f x 取得极值2-.<1>求()f x 的单调区间和极大值.<2>求证：对任意1x 、2x (1∈-,1),不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.[拓展3]设2()e (1)xf x ax x =++,且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行.<1>求a 的值并讨论()y f x =的单调性.<2>证明：当[0∈θ,]2π时,|(cos )(sin )|2f f θθ-<恒成立. [拓展4]已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.<R a ∈><1>当1=a 时,求)(x f 在区间[1,e ]上的最大值和最小值.<2>若在区间<1,+∞>上,函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方,求a 的取值X 围．第03讲：生活中的优化问题举例[基础知识]1.在生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题成为_____ _.2.##际问题的最值,主要步骤如下：<1>建立实际问题的数学模型,写出函数关系式()y f x =. <2>求方程'()0f x =的解,即极值点. <3>比较区间端点值与极值,确定最值.[规律总结]##际问题的最大<小>值的主要步骤如下：9 / 19<1>建立实际问题的数学模型,写出函数关系式()y f x =. <2>求函数的导数'()f x ,解方程'()0f x =.<3>比较区间端点值和使'()0f x =的点的取值大小,最大<小>者为最大<小>值.[例题精讲][例01]在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的 正方形,再把它的边沿虚线折起<如图>,做成一 个无盖的方底箱子,当箱子容积最大时,箱底边 长为_____ _.[拓展1]建造一个长方体形状的仓库,内部高为3m ,长和宽的和为20m ,则仓库容积的最大值为_____ _.[拓展2]如图所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形, 再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面 边长为_____ _时其容积最大.[拓展3]一个无盖的圆柱形桶,其体积为为定值V ,当用料最省时,圆柱底面的半径为_____ _. [拓展4]要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使体积为最大,则其高应为_____ _. [拓展5]若一个球的半径为r ,作内接于该球的圆柱,则其侧面积的最大值为_____ _.[拓展6]请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥<如右图所示>.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为_____ _时,帐篷的体积最大？[例02]某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P 元,则销售量Q <单位：件>与零售价P <单位：元>有如下关系：28300170Q P P =--.试计算该商品零售价定为多少时总利润L 最大？并求出最利润.[拓展1]某公司生产某种产品,固定成本20000元,每生产一单位产品成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,则总利润最大时,每年生产的厂品是 _____ _.[拓展2]某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p 与日产量x 的函数关系式是+3(N )432xp x x =∈+.<1>将该厂的日盈利额T <元>表示为日产量x <件>的函数. <2>为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件？[拓展3]水库的蓄水量随时间而变化,现用t 表示时间,以月为单位、年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量<单位：亿立方米>关于t 的函数关系式为124(1440)e 50,010,()4(10)(341)50,1012.x t t t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩1O<1>该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份<1i =,2,…,12>, 同一年内哪几个月份是枯水期？<2>求一年内该水库的最大蓄水量<取e 2.7=计算>.[例03]一艘渔艇停泊在距岸9km ,今需派人送信给距渔艇处的海岸渔站,如果送信人步行每小时5km ,船速每小时4km .问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？[拓展]设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km ,垂足为B .铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C ,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千 米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需 运费最省？ [例04]电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动,桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ,电灯与点O 的距离怎样可使点A 处有最大的照度？<BAO ∠=φ,BA r =照度与ϕsin 成正比,与2r 成反比>[拓展]半径为R 、总质量为m 且质量均匀分布的细圆环上均匀地带有总电荷量为q 的正电荷,轴线上什么位置电场强度最大？ [例05]设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数,已知32()(0)T t at bt ct d a =+++≠,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时．中午12:00相应的0t =,中午12:00以后相应的t 取正数,中午12:00 以前相应的t 取负数<如早上8：00相应的4t =-,下午16：00相应的4t =>．若测得该物体在早 上8:00的温度为8℃,中午12:00的温度为60℃,下午13:00的温度为58℃,且已知该物体的温 度早上8:00与下午16:00有相同的变化率. <1>求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式.<2>该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中<包括端点>何时温度最高？最高温度是多少？[例06]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C <单位：万元>与隔热层厚度x <单位：cm >满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+,若不建隔热层, 每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. <1>求k 的值与()f x 的表达式.<2>隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小,并求最小值.第04讲：定积分与微积分基本定理[基础知识]1.定积分的概念：一般地,如果函数()f x 在区间[a ,]b 上连续,用分点011i i a x x x x -=<<<<<n x b <=将区间[a ,]b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[i x -,]i x 上任取一点(1i i ξ=,2,…,)n ,作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑,当n →∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫作函数11 / 19()f x 在区间[a ,]b 上的定积分,记作______ _,即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰,a 与b 分别叫作 ________,区间[a ,]b 叫作________,函数()f x 叫作被积函数,x 叫作积分变量,()d f x x 叫作被积式. 2.()d baf x x ⎰的几何意义：<1>当()f x 在区间[a ,]b 上大于0时,()d baf x x ⎰表示由直线________和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.<2>当()f x 在区间[a ,]b 上小于0时,()d b af x x ⎰表示由直线x a =、 ()x b a b =≠、0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的________.3.定积分的性质：<1>()d ba kf x x =⎰________<k 为常数>.<2>12[()()]d baf x f x x ±=⎰________.<3>()d baf x x =⎰________<其中a c b <<>.4.微积分基本定理：一般地,如果()f x 是区间[a ,]b 上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么()d baf x x =⎰()()F b F a -.这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.可把()()F b F a -记成()|b a F x ,即()d baf x x =⎰________=________.[规律总结]1. 用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x ,即被积函数的原函数. 2.在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观地确定出被积函数以与积分 的上下限.3.要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开来,定积分可正可负可为零,而平面图形的 面积在一般意义上总为正.[例题精讲][例01]由直线12x =、2x =曲线1y x=与x 轴所围成的图形的面积为________. [拓展1]由抛物线2y x x =-、直线1x =-与x 轴所围成的图形的面积为<>.A .面积为0B .曲边梯形在x 轴上方的的面积大于在x 轴下方的的面积C .曲边梯形在x 轴上方的的面积小于在x 轴下方的的面积D .曲边梯形在x 轴上方的的面积等于在x 轴下方的的面积[拓展2]从图示的长方形区域内任取一个点(M x ,)y ,则点M 取自阴影部分部分的概 率为________.[拓展3]()0f x <且()y f x =与x a =、x b =与x 轴所围成图形的面积为S ,则()d baf x x =⎰=________.[拓展4]曲线cos (0y x x =≤≤3)2π与坐标轴所围成的图形的面积为________. [拓展5]已知函数sin y x x =-,x ∈[2π,]π.<1>求函数的值域.<2>从函数图象上的点集向x 轴作投影,求扫过区域的面积.[拓展6]求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的平面图形的面积.[拓展7]由曲线2y x =、3y x =围成的封闭图形面积为________.[拓展8]求曲线2y x =、y x =与2y x =所围成的平面图形的面积.[拓展9]求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=与0y =所围成图形的面积.[拓展10]设直线y ax =(1)a <与抛物线2y x =所围成的图形面积为S ,它们与直线1x =围成的面积为T ,若U S T =+达到最小值,求a 值.[拓展11]设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且'()22f x x =+.<1>求()y f x =的表达式.<2>求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积.<3>若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.[拓展12]抛物线2y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切,此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ,求使S 达到最大值的a 、b 的值并求max S .[拓展13]已知函数3()f x x x =-,其图象记为曲线C .<1>求函数()f x 的单调区间.<2>对于任意非零实数1x ,曲线C 与其在点11(P x ,1())f x 处的切线交于另一点22(P x ,2())f x ,曲线C 与其在点22(P x ,2())f x 处的切线交于另一点33(P x ,3())f x ,线段12P P 、23P P 与曲 线C 所围成封闭图形的面积分别记为1S 、2S ,求证12S S 为定值. <3>对于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠,请给出类似于<2>的正确命题,并予以证明.[拓展14]已知二次函数2()=++f x ax bx c ,直线1l ：2=x ,直线2l ：28=-+y t t <其中02≤≤t ,t 为13 / 19常数>.若直线1l 、2l 与函数f <x >的图象以与1l 、y 轴与函数f <x >的图象所围成的封闭图形如阴影 部分所示.<1>求a 、b 、c 的值.<2>求阴影面积S 关于t 的函数S <t >的解析式.<3>若()6ln =+g x x m ,是否存在实数m 使得y =f <x >的图象与y =g <x >的图象有且只有两个不同的交点？若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由.[例02]计算下列定积分：<1>321(1)d x x x ++⎰.<2>520(325)d x x x -+⎰.[拓展1]下列式子中正确的是________.①()d ()d baa bf x x f x x=⎰⎰②()d ()d bb a akf x x k f x x =⎰⎰ ③()d ()d ()d bcba acf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰④()d ()d bbaaf x x k f x x =⎰⎰[拓展2]若1(2)d 2x k x +=⎰,则k 的值为________.[拓展3]设2lg 0()3d 0>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰ax x f x x t t x ,若((1))1f f =,则a =．[拓展4]4x +⎰=________.[拓展5]设函数2()(0)f x ax c a =+≠,若100()d ()f x x f x =⎰<001x ≤≤>,则0x 的值为________.[拓展6]设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩则20()f x dx ⎰=________.[拓展7]1e d x m x =⎰与e11d n x x=⎰的大小关系为________. [拓展8]计算220sin π⎰d 2xx . [拓展9]下列积分正确的一个是< >.①27112=⎰②1221ed e xx x =⎰③ln 22116e (1e )d 3x x x +=⎰④22sin ππ-⎰d 2x x =[例03]试判断函数0()(4)d xF x t t t =-⎰在区间[1-,5]上的最值.[拓展]已知()(124)d x af x t a t -=+⎰,120()[()3]d F a f x a x =+⎰,求函数()F a 的最小值.第05讲：定积分的简单应用[基础知识]1.定积分在几何中的应用：利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出________以与积分的________. 2.变速直线的运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在 时间区间[a ,]b 上的定积分,即________.3.变力做功公式：如果物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移 动到()x b a b =<,则力F 所做的功为W =________.[答案]1.被积函数,上、下限. 2.()bas v t dt =⎰. 3.()baW F x dx =⎰.[规律总结]1.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下： 第一步：画出图形,确定图形X 围.第二步：解方程组求出图形交点坐标,确定积分上、下限. 第三步：确定被积函数,注意分清函数图形的上、下位置. 第四步：计算定积分,求出平面图形面积.2.若做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为()(()0)v v t v t =≥,由定积分的物理意义可知,做变速 运动物体在[a ,]b 时间内的路程s 是曲边梯形<阴影部分>的面积,即路程()d bas v t t =⎰.如果()0v t ≤()a t b ≤≤时,则路程()d =-⎰b a s v t t .[例题精讲][例01]汽车从A 处起以速度0()v t v at =-(m /s)<其中0v 、a 均为正的常数>开始减速行驶至B 点停止, 则A 、B 间的距离s =________.[拓展1]汽车以54km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度3m /s 刹车,则从开始刹车到停车期间汽车走了多少千米？ [拓展2]列车以速度72km/h 行驶,当制动时列车获得加速度0.4a =-2m /s ,则列车应在进站前多少时间以与离车站多远处开始制动？15 / 19[拓展3]物体以速度2()323v t t t =-+做直线运动,它在0t =到3t =这段时间内的位移是________. [拓展4]质点由原点出发时开始计时沿轴运动,其加速度为()2a t t =2(m /s ),当初速度(0)0v =时,质点出发后6s 所走的路程为________.[拓展5]变速直线运动的物体的速度2()5v t t =-,初始位置(0)1x =,前2s 所走过的路程为________.[拓展6]已知某物体运动的速度v 关于时间t 的关系为sin v t =,则当t ∈[π,2]π时,该物体运动的位移为________,路程为________.[拓展7]某物体以初速度(0)1v =,加速度()6a t t =做直线运动,则质点在2t =s 时的瞬时速度为________. [拓展8]A 、B 两站相距7.2km ,一辆电车从A 站开往B 站,电车开出 t s 后到达途中C 点,这一段加速度为1.22m /s ,到达C 点的速度达24m /s ,从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶,从D 点 开始刹车,经t s 后,速度为(24 1.2)-t m /s ,在B 点恰好停车,试求： <1>A 、C 间的距离. <2>B 、D 间的距离.<3>电车从A 站到站所需的时间.[例02]一物体在力10(02)()34(2)x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩<单位：N >的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =运动到4x =<单位：m >处,则力()F x 做的功为________.[拓展1]如图所示,小球在BC 之间做简谐运动,振幅为A ,O 为平衡位置.已知弹簧劲度系数为k ,求小球从O 到C 过程中弹力所做的功.[拓展2]若铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在铁锤击第一次时将铁钉击入木板1cm ,如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等,铁锤第二次能把铁钉击入多少？[拓展3]底面半径为4m 、高为8m 的倒立圆锥形容器内装6m 的水,现要把容器中的水全部抽完,需做多少功？ [拓展4]设气缸内活塞一侧存有定量气体,气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离,若气体体积由1V变至2V ,求气体压力所做的功.[拓展5]在原点O 处有一个电荷量为+q 的点电荷,它所产生的电场对周围电荷有作用力.现有单位正电荷从距原点a 处沿射线方向移至距O 点为b <a <b >的地方,求电场力所做的功.如果把该电荷移至无 穷远处,电场力做了多少功？[例03]设有一形状是等腰梯形的闸门铅直竖立于水中,其上底8m ,下底4m ,高6m ,闸门顶齐水面,求水对闸门的压力.[拓展]一个横放的半径为R 的圆柱形油桶里面盛有半桶油,试计算桶的一个端面所受的压力<设油的密度为ρ>.[例04]如图所示,顶角为60°的金属导轨MON 固定在水平面内,导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中.一根与两导轨夹角皆为60°的导体棒以初速度v 0从O 点沿导轨向右滑动,导体棒 的质量为m ,导轨与导体棒单位长度的电阻均为r ,导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触. 求导体棒最终停止位置距O 点的距离.[例05]求正弦交流电max ()sin ω=i t I t 的有效值.第06讲：微积分复习<1>[例题精讲][例01]<20##全国高考试题>设函数2()e 1=---xf x x ax .<1>若0a =,求()f x 的单调区间.<2>若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值X 围.[例02]<20####省高考试题>设a 为实数,函数()e 22=-+xf x x a ,R ∈x .<1>求()f x 的单调区间与极值.<2>求证：当ln 21a >-且0x >时,2e 21>-+x x ax .[例03]<20##市高考试题>已知函数f <x >=ln <1+x >-x +22x x <k ≥0>. <1>当k =2时,求曲线y =f <x >在点<1,f <1>>处的切线方程. <2>求f <x >的单调区间.[例04]已知函数f <x >=ax +bx+c <a >0>的图象在点<1,f <1>>处的切线方程为y =x -1. <1>用a 表示出b 、c .<2>若f <x >>ln x 在[1,∞]上恒成立,求a 的取值X 围. <3>证明：1+12+13+…+1n>ln <n +1>+()21n n +><n ≥1>.[例05]<20####市高考试题>已知函数1()ln(1)x f x x x a-=+++,其中实数1a ≠-． <1>若2a =,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程． <2>若()f x 在1x =处取得极值,试讨论()f x 的单调性．[例06]<20##全国高考试题>已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.<1>若2'()1xf x x ax ≤++,求a 的取值X 围. <2>求证(1)()0x f x -≥.M。
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《微积分》讲义
第一章极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴＝f±g
⑵＝f·g
⑶＝……g≠0
⑷k·f＝k·f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴＝1 ＝1
⑵＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵单调有界数列必有极限。
例题：
⑴＝
⑵＝
⑶＝
⑷＝
⑸＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴x0时，y0。
即：y＝0
⑵f＝f
⑶左连续：f＝f右连续：f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f
＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：
⑴＝0
⑵＝n·
⑶＝，＝
⑷＝·lnɑ，＝
⑸＝cosx，＝－sinx
＝x，＝－
＝secx·tanx，＝－cscx·cotx
⑹＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
y u，u v，v w，w x y x
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。
例1：设方程xy－＋＝0 确的隐函数y＝y(x)，求；
例2、求方程式＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。
例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1 平行？
例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。
6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。
7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求y＝sin5x的三阶导数。
二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx …df(x)＝f'(x)·x
例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02 时的微分。
2、微分的几何意义：y 的近似值。
3、基本微分法则：
⑴d(u±v)＝du±dv
⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶d(ku)＝k·d(u)
⑷d＝
例1、y＝sinx，求dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
y dy f(＋x)－f()＝
f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求的近似值。
三、导数的应用
1、中值定理
⑴罗尔定理：
⑵拉格朗日定理：
⑶柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴基本型：，
：
：
⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型＝或＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：
2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：
例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。
第三章一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如：＝是的一个原函数。
＝cosx sinx 是cosx 的一个原函数。
观察：＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。
2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：f dx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：f dx＝F＋C；
例：dx＝＋C；cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分的性质：
⑴＝f或d＝f dx
⑵f'dx ＝f＋C 或df＝f＋C
⑶k·f dx＝k·f dx
⑷dx＝f dx±g dx
4、不定积分的基本积分公式：
⑴dx ＝＋C
⑵dx ＝ln＋C
⑶dx ＝＋C
⑷dx ＝＋C
⑸cosxdx ＝sinx ＋C
⑹sinxdx ＝－cosx ＋C
⑺xdx ＝tanx ＋C
⑻xdx ＝－cotx ＋C
⑼secx·tanxdx ＝secx ＋C
⑽cscx·cotxdx ＝－cscx ＋C
⑾dx ＝arcsinx ＋C
⑿dx ＝arctanx ＋C
5、不定积分的简单运算：
例1 dx
例2 dx
例3 dx
例4 xdx
例5 dx
二、不定积分的运算
1、换元积分法
⑴第一类换元积分法——“凑”微分法例1 cos5xdx
例2 dx
例3 x·dx
例4 x dx
例5 dx
例6 dx
例7 tanx dx
⑵第二类换元积分法——去根号
例11 dx
⑶“三角”代换去根号
例14 dx
2、分部积分法：u dv ＝u·v －v du
例18 xcosx dx
例19 x dx
例20 xlnx dx
例23 sinx dx
3、有理函数的积分
例25 dx
例26 dx
三、定积分的概念与性质
1、定积分的概念——几何意义：求曲边梯形的面积
f dx ＝f·
2、定积分的性质：
⑴规定：f dx ＝f dx
⑵规定：f dx ＝0
⑶dx＝f dx ±g dx
⑷k·f dx ＝k·f dx
⑸f dx ＝f dx ＋f dx
⑹若f在对称区间上连续，则：
3、定积分的计算：
⑴微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
若F是f的一个原函数，则：
f dx ＝F＝F－F
例dx
⑵定积分的换元积分法
例7 dx
例8 dx
⑶定积分的分部积分法——u dv ＝u·v －v du
例10 x dx
例11 sinx dx
4、定积分在几何中的应用：
例1 计算由两条抛物线＝x 和y ＝所围成图形的面积。
例2 计算抛物线＝2x 与直线y ＝x－4 所围成图形的面
积。
四、反常积分——广义积分
例2 dx
例3 x dx
例4 讨论dx 的收敛性。
第四章多元函数微分学
定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。
一、二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限：
例1
例2 证明：＝1
2、二元函数的连续性
f＝f
二、偏导数
1、定义：对于二元函数Z ＝f
对x 的偏导数：，，，；
对y 的偏导数：，，，；
例4 求Z＝sin2y 在点的偏导数。
2、二阶偏导数
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
例6 设Z＝＋sin＋1，求它的二阶偏导数。
3、全微分——dZ＝dx＋dy
例1 计算Z＝y＋在点的全微分。
例2 求Z＝的全微分。
4、复合函数的偏导数
Z ＝j，u ＝f，v ＝g
例1 设Z＝f，求，。