垂径定理教学设计人教版数学九年级上册

垂径定理

三、证明猜想，归纳定理

四、新知强化，巩固定理问题：问题：在圆形纸片上画一条

直径CD，在直径CD上取一点E（点

E与O不重合），过点E画一条弦

AB，然后沿CD对折，观察线段AE

是否等于BE？如何才能使得直径

CD平分弦AB？你发现了什么结

论？

提出猜想：根据以上的研究和图，

我们可以大胆提出这样的猜想

（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）

平分弦；（4）平分弦所对的优弧；

（5）平分弦所对的劣弧．

验证猜想：教师用电脑课件演示图

中沿直径CD对折，这条特殊直径

两侧的图形能够完全重合，并给这

条特殊的直径命名为——垂直于

弦的直径。

1．证明猜想：

猜想是否正确，还有待于证明。引

导学生从等腰三角形和圆的对称

性两方面寻找证明思路.

2．归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文

字语言进行归纳，并将其命名为

“垂径定理”.

垂径定理：垂直于弦的直径平分

弦，并且平分弦所对的两条弧.

尝试练习

1.下列图形中能否得到AE=BE，为

什么？

回忆轴对称

图形的性质，

引导学生来

证明圆是轴

对称图形.

在对圆是轴

对称图形证

明的基础上，

通过折纸，体

验垂径定理

的形成过程，

帮助学生分

析垂径定理

的条件和结

论。同时又为

学习推论作

好准备.

用两个简单

的练习题来

进一步加深

学生对垂径

定理的理解.

对运用垂径

定理来解决

赵州桥的问

题打下基础.

多媒体投

影

O

CD AB E

AE BD

CD

AC BC

AD BD

=

⎧

⎫⎪

⇒=

⎬⎨

⊥⎭⎪

=

⎩

是圆的直径

于

⌒⌒

⌒

⌒

E

O

D

C

B

A

A

B

D

C

E

O

图1 图2 图3 图4 2．如图,已知⊙O 的半径OB=5，OP ⊥AB ，垂足为P ，且OP=3，则AB=______ . 探究3：在圆上任意作一条弦AB ，你能否找到平分弦AB 的直径CD? 思考：此时AB 与CD 的位置关系？ 想一想： 如果弦AB 是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD 一定会垂直弦AB 吗？ 思考：已知CD 是直径，且平分弦AB,能否得到 CD ⊥AB ，且平分弧ACB 及弧AB? 猜想： CD 是圆O 的直径 AE=BE A B

D C

E O A B E O C D

P O

B A

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥, 距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

方法总结：

1、作辅助线：作垂直、连半径

2、构造直角三角形

1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16，那么线段OE 的长为（ ）. A.4 B.6 2．已知⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到弦AB 的距离（弦心距）为3cm ，求⊙O 的半径。

3.已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。那么AC ＝BD 吗？为

E C O

D B A

板书设计：垂径定理

1．定理的三种基本图形：如图1、2、3

2．计算中三个量的关系： 如图4： 。

。 3．证明中常用的辅助线——作弦心距。

（图1） （图2）

（图3） （图4）

2

22)2(a

d R +=O A

B C

D E O A B D

E