高三数学题库及答案

高三数学题库及答案

一、选择题

1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

答案D

2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

答案B

解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.

3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()

A.152，+∞

B.(10，+∞)

C.(0,10)

D.0，403

答案D

解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.

∴0

4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案A

解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

∴sin(B+C)=2sinBcosC，

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

∴sin(B-C)=0，∴B=C.

5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()

A.6∶5∶4

B.7∶5∶3

C.3∶5∶7

D.4∶5∶6

答案B

解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，

∴b+c4=c+a5=a+b6.

令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，

则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.

∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()

A.1

B.2

C.12

D.4

答案A

解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，

得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.

二、填空题

7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则

b=________.

答案23

解析∵cosC=13，∴sinC=223，

∴12absinC=43，∴b=23.

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.

答案2

解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，

∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，

得A>B，∴B=30°，故C=90°，

由勾股定理得c=2.

9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.

答案7

解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，

∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，

∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则

a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.

答案126

解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，

∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.

三、解答题

11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，

所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC =sinBsinA=右边.

所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA

⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA

⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

⇔sinAcosA=sinBcosB

⇔sin2A=sin2B

⇔2A=2B或2A+2B=π

⇔A=B或A+B=π2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

能力提升

13.在△ABC中，B=60°，边与最小边之比为(3+1)∶2，则角为()

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

答案C

解析设C为角，则A为最小角，则A+C=120°，

∴sinCsinA=sin120°-AsinA

=sin120°cosA-cos120°sinAsinA

=32tanA+12=3+12=32+12，

∴tanA=1，A=45°，C=75°.

14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，

cosB2=255，求△ABC的面积S.

解cosB=2cos2B2-1=35，

故B为锐角，sinB=45.

所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

由正弦定理得c=asinCsinA=107，

所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

1.在△ABC中，有以下结论：

(1)A+B+C=π;

(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;

(3)A+B2+C2=π2;

(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.

2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.