数学分析_考研资料

2003南开大学年数学分析

一、设),,(x y x y x f w

-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w

二、设数列}{n a 非负单增且a a n

n =

∞→lim ，证明a a a a n

n n n n n =+++∞

→1

21]

[lim

三、设

⎩

⎨

⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x +

→存在 （2） f(x)在x=0连续

（3） f(x)在x=0可导 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l

++⎰)(22与积分路径无关 四、设f(x)在[a,b]上可导，

0)2

(

=+b a f 且M x f ≤')(,证明

2)

(4)(a b M

dx x f b a -≤⎰ 六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散

（1） 证明

∑收敛n an sin

（2） 证

明

1l i m =∞→n

n n v u 其中

)s i n

s i n (k ak k a u k n +=∑；

)sin sin (k ak k ak v n -=∑

七、设dx x

x

e t F tx sin )

(1

⎰

∞+-= 证明 （1）

dx x

x

e tx

sin 1

⎰

∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续

八、命)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意0>ε

，存在一个

ε

δδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f k

n

在[a,b]上一致收敛

中科院2006年数学分析试题

1求a,b 使下列函数在x=0处可导:

21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩

当x 0;当x<0.

2 111

0,,.1

n n n a ∞

∞

==>+∑∑

n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 3 1

(1).n

x dx ≥-⎰

m 设m,n 0为整数,求积分x 的值

4 0

().a

a

a dx f x dx -=⎰⎰x

f(x)

设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e

5()[,]f x a b ''设函数在含有的某个开区间内二次可导且f (a)=f (b)=0,

2

4

(,)||()()|.()

a b f b f a b a ξξ''∈)≥

--则存在使得|f (

6 12

2[,]2

22()[,],|()||'()|),

1

()()|'()|.

2b

a b a

b

b

a

a

f x a b f x f t dt f x dx b a f t dt ∈≤≤-⎰

⎰

⎰x 设实值函数及其一阶导数在区间上连续而且f(a)=0,则

max

7

2222n D C u ()C D

u u

ds dxdy n u u ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰ 设是平面区域的正向边界线的外法线，则

8 设曲线22

22x :1y a b

Γ+=的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令

2222

(2)J b x xy a y ds Γ

=++⎰ ，则22

S L

J π=

.

9 1

n 1

10

(1)32n n -∞

=--∑⎰3

dx 计算积分的值，并证明它也等于数项级数的和。1+x 10 33

cos ,sin (0).x a t y a t a y x ==>=求曲线绕直线旋转所成的曲面的表面积

北京大学2005

1.设x x

x x x x f sin sin 1sin )(2

2--=

，试求)(sup lim x f x +∞

→和)(inf lim x f x +∞

→.

2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续.

(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 3．设)1(sin )(2

2

+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。

(2)求)0()

(n f

。)3,2,1( =n

4．试作出定义在2

R 中的一个函数),(y x f ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）),(y x f 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续

5．计算⎰

L

ds x 2

.其中L 是球面12

22=++z y x 与平面0=++z y x 的交线。

6．设函数列)}({x f n 满足下列条件：（1）n ∀，)(x f n 在],[b a 连续且有)()(1x f x f n n +≤（],[b a x ∈）

（2）)}({x f n 点点收敛于],[b a 上的连续函数)(x s

证明：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x s

大连理工大学2004年

.;}{cos }{.1发散列发散的定义，并证明数叙述数列n a n

上连续。

在证明：，定义上连续，对在设],[)().(inf )(],[],[)(.2b a x m t f x m b a x b a x f x

t a ≤≤=∈.

0)(),(.)(lim )(lim ),-()(.3'=-∞∈==∞-

→-∞

→ξξf c A x f x f c x f c x x 使得求证：存在一点内可导，且在设.

]1,0()(:)(lim ]1,0()(.4'2

3

0上一致连续在存在。求证上连续，可导，并且在设x f x f x x f x +

→.)1(,0)1(lim ,...2,1,0.51

11收敛求证：，且有设∑∞

=++∞→->=-=>n n n n n

n n a c a a n n a