数学分析_考研资料

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a nn n n n n =+++∞→121][lim三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x +→存在 （2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l++⎰)(22与积分路径无关 四、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 六、设}{n a 单减而且收敛于0。

∑n a n sin 发散（1） 证明∑收敛n an sin（2） 证明1l i m =∞→nn n v u 其中)s i ns i n (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑七、设dx xxe t F tx sin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe txsin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续八、命)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意0>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛中科院2006年数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 3 1(1).nx dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e5()[,]f x a b ''设函数在含有的某个开区间内二次可导且f (a)=f (b)=0,24(,)||()()|.()a b f b f a b a ξξ''∈)≥--则存在使得|f (6 122[,]222()[,],|()||'()|),1()()|'()|.2ba b abbaaf x a b f x f t dt f x dx b a f t dt ∈≤≤-⎰⎰⎰x 设实值函数及其一阶导数在区间上连续而且f(a)=0,则max72222n D C u ()C Du uds dxdy n u u ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰ 设是平面区域的正向边界线的外法线，则8 设曲线2222x :1y a bΓ+=的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令2222(2)J b x xy a y ds Γ=++⎰ ，则22S LJ π=.9 1n 110(1)32n n -∞=--∑⎰3dx 计算积分的值，并证明它也等于数项级数的和。

1+x 10 33cos ,sin (0).x a t y a t a y x ==>=求曲线绕直线旋转所成的曲面的表面积北京大学20051.设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。

（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。

(2)求)0()(n f。

)3,2,1( =n4．试作出定义在2R 中的一个函数),(y x f ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）),(y x f 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续5．计算⎰Lds x 2.其中L 是球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线。

6．设函数列)}({x f n 满足下列条件：（1）n ∀，)(x f n 在],[b a 连续且有)()(1x f x f n n +≤（],[b a x ∈）（2）)}({x f n 点点收敛于],[b a 上的连续函数)(x s证明：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x s大连理工大学2004年.;}{cos }{.1发散列发散的定义，并证明数叙述数列n a n上连续。

在证明：，定义上连续，对在设],[)().(inf )(],[],[)(.2b a x m t f x m b a x b a x f xt a ≤≤=∈.0)(),(.)(lim )(lim ),-()(.3'=-∞∈==∞-→-∞→ξξf c A x f x f c x f c x x 使得求证：存在一点内可导，且在设.]1,0()(:)(lim ]1,0()(.4'230上一致连续在存在。

求证上连续，可导，并且在设x f x f x x f x +→.)1(,0)1(lim ,...2,1,0.5111收敛求证：，且有设∑∞=++∞→->=-=>n n n n nn n a c a a n n a∑∞=++12.21.6n n n 的和求级数.4)(10.21)(min ,0)1()0(]1,0[)(.7'']1,0[≥∈-===∈ξξf x f f f x f x 使得），，（证明：存在上二阶可导，且有在设⎰+∞+-+∞∈>0)(),0(sin ,0.82一致收敛关于广义积分证明：对于任意t tdx e x αα.],[))(),((,)(],[)(,)(],[)(],[],[),(.9上一致收敛在函数列求证：上一致收敛，且在函数列上一致收敛，且在上连续，函数列在设二元函数b a x x f F d x c b a x b x a b a x d c b a y x f n n n n n n n ψϕψψϕϕ=<=<=<=<=⨯⎰==∞→10).1()(lim 1]10[)(.10f dx x f x x x f n n 处连续，证明：上可积，且在，在设∑=⨯Ω≤Ω=31,33.1)(.11j i j i ij ij x x a a A 得体积，求是椭球体：是实对称正定矩阵，设∑∑===ni nj i j i ij nij A x x h x x a x h R n a 121,.1)(.)()(.12的最小特征值下的最小值是在条件函数证明：上的齐二次函数阶实对称方阵，定义为设为逆时针方向处看站在第一象限的交线和立方体为平面其中计算积分：Γ>++≤≤≤≤≤≤=++Γ-+-+-=⎰Γ23,0,0,023,)()()(I .13222222z y x a z a y a x z y x dz y x dy x z dx z y 上一致收敛。

在上一致收敛，求证：在收敛而级数在上可导，级数在假定函数],[],[)(],[],[,...)2,1)((.1411'01b a u b a x u b a x u b a n x u n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞=∈=.)),0[()(.15余弦级数分别展开为正弦级数和将π∈=x x x f大连理工大学2005试题一、 计算题1、求极限：1222 (i),lim nn n n a a na a a n →∞→∞+++=其中2、求极限：21lim (1)xx x e x-→∞+3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。

4、计算积分21Ddxdy y x+⎰⎰，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 5、计算第二类曲线积分：22C ydx xdy I x y --=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。

6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。

三、 设函数f(x)在开区间（0，+∞）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+∞）内的一致连续性。

四、设2,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩，讨论函数的连续性和可微性。

五、 设f(x)在（a,b ）内二次可微，求证：2()(,)()2()()"()24a b b a a b f a f f b f ξξ+-∃∈--=，满足六、 f(x)在R 上二次可导，00"()0,,()0x R f x x R f x ∀∈>∃∈<，lim '()0,lim '()0x x f x f x αβ→-∞→+∞=<=>，证明：f(x)在R 上恰有两个零点。

七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割0111||0:...,,[,],0,1,2,....lim ()()()()n i i i i n bi i i ai a x x x b x x i f g x f x g x dxξηξη+-∆→=∆=<<<=∀∈=∆=∑⎰有证明：八、 求级数：0(1)31nn n ∞=-+∑九、 讨论函数项级数222222(1)1((1))n x n xn x n e n e +∞---=--∑在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性讨论：22222222(1)21((1))lim()n x n xn x n n x n e n e x n e +∞----→∞=--=∑十、 计算222x d y d zy d z d x z d x d y ∑++∑⎰⎰，其中为圆锥曲面222z x y =+被平面z=0,z=2所截部分的外侧。