初三数学专题复习数形结合思想 一次函数与二次函数的图像与性质

初三数学专题复习数形结合思想

――一次函数与二次函数的图像与性质

一、内容和内容分析

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

本专题的重点是如何根据题目所提供的图形及已知条件提取准确的信息解决函数相关问题，并依据函数图象的几何含义运用数形结合方法解答问题。主要内容是运用数形结合的思想方法解决初中阶段函数的相关问题。

二、目标和目标分析

1. 通过学习数形结合思想方法，加深学生对一次函数、二次函数的图像及性质的理

解；

2. 在函数学习的基础上，用数形结合的方法，让学生理解方程、函数、不等式这三

者的关系；

3. 引导学生根据平面直角坐标系内几何图形的特征，寻找恰当的数量关系，求出目

标函数的关系式；

4. 掌握在函数问题中运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤；

5. 培养学生读图分析数据及数形结合的能力

三、教学问题诊断分析

1.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一

对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。考虑到初中阶段的学习主要是“以形助数”，所以我们选取的数形结合思想专题就以函数为载体，从图像入手，让学生充分去理解函数的图像与性质之间的联系，并且在此基础上通过问题让学生考虑方程、函数、不等式三者的关系。

2.数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一

对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在初中的学习主要是“以形助数”为主，所以在设计上我们选取的问题还是紧扣这一方面，从中考来看，也比较符合现在中考的实际。

3.现阶段的学生经过第一轮的复习，对于函数方面的知识应该说大致有了基本的了

解，但对于用数形结合思想去解题，还是要大力去加强。学生对于图像方面，主要存在以下三方面的问题：一是读图能力欠缺，不能准确把握图像中提供的信息，二是观察图像不全面，在具体解题中容易漏解，三是不善于利用图像去解题，只是把图像当作是提供数据的来源，最终还是回到代数方法去。针对学生存在的问题，我们在设计上，不再把学生在第一轮复习中已经掌握的知识当作重点，如待定系数法等，主要让学生观察图像，利用图像去解题，让学生做到看图、识图、懂图、最后能用图。

四、教学条件支持分析

考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助几何画板等电脑课件，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．

五、教学过程设计

导入语：在数学的解题过程中，我们经常会利用形来研究数，或者是利用数研究形，这种数学思想就是本节课要给大家介绍的数形结合思想。数形结合思想是重要的数学思想之一，也是解决数学问题的重要方法之一，通过数和形相互转化我们常常能把数学问题化难为易，化抽象为具体，所以我国著名数学家华罗庚先生就曾经说过：“数无形时少直观，形无数时难入微”。今天我们在以前的学习的基础上，利用数形结合思想，来复习一次函数和二次函数的图像与性质。

例1 已知一次函数y kx b =+的图像如右图所示，

问：（1）从图中你能得到哪些信息？

（提醒学生从数和形两个方面去归纳）

形：函数的图像是一条直线，与x 轴的交点是A ，与y 轴的交点是B ，经过第一、第二、第四象限，y 随x 的增大而减小等

数：与x 轴的交点A 是（3,0），与y 轴的交点B 是（0，3），当

x ＜0时，y ＞3；当0＜x ＜3时，0＜y ＜3；当, x ＞3时， y ＜0，（解析式是3y x =-+）， （2）当x ＜3

2

时，y 的取值范围 （3）点（–1，m ）和点（1, n ）在该一次函数的图像上，试比较m 与n 的大小.

（4）当x 取什么值时，函数值3

2

＜y ＜3？ （5）如图，如果再加一条直线111y k x b =+,当x 取什么值时， ①y = 1y ? ②y >1y ?

设计意图：第（1）问让学生从数和形两个方面回忆一次函数的图像与性质.学生可以独立完成，也可以小组讨论，并巩固用待定系数法（解关于b k ,的二元一次方程组）求一次函数

b kx y +=的解析式的通性通法，第（3）

（4）问让学生掌握代入运算和利用一次函数图像的性质比较函数值两种方法，同时可以比较两种方法的优劣性。第（5）问加强对一次函数

图像的认识以及通过函数图像得出变量的范围，强调数形结合的思想。希望学生通过观察一次函数的图像得出变量的范围，可能会有个别学生通过解不等式求变量的范围，如果这样的话更好，老师可以让学生对照和评价两种方法的优劣。

例2 已知二次函数2y ax bx c =++如图所示，

问：从图中你能得到哪些信息？（不进行计算，直接由图像可以得到）

（提醒学生从数和形两个方面去归纳） 形：函数图像是一条抛物线，开口向下，与x 轴两个交点，与y 轴有一个交点，当1x <时，y 随x 的增大而增大，当

1x >时，y 随x 的增大而减小 数：与x 轴交点分别是（－1,0）、（3,0），与y 轴交点是（0,3），对称轴是1x =，当1x <-或3x >时，y ＜0；当13x -<<时，y ＞0 对于解析式2y ax bx c =++而言，0,0a c <> 通过计算，进一步可得到的信息是

数：对于解析式2y ax bx c =++而言，用待定系数法可求得解析式为(1)(3)y x x =-+-，或

223y x x =-++或2(1)4y x =--+， 顶点坐标是（1，4）

（1）当x 取什么值时，函数值y ＞0？

（2）分别求出方程20ax bx c ++=，24ax bx c ++=，25ax bx c ++=的解，根据上述解的情况，若方程2ax bx c k ++=有解，试求k 的取值范围. （3）点（–

12，m ）和点（1

2

， n ）在该二次函数的图像上，试比较m 与n 的大小; 若换成点（–1

2，m ）和（2， p ）的话，试比较m 与p 的大小;

若换成点（–1

2

，m ）和（2.45， q ）的话，试比较m 与q 的大小.

（4）当x 取什么值时，函数值0≤y ≤3？

设计意图：通过提问，让学生从数和形两个方面回忆二次函数的图像与性质。第（1）问加强对二次函数图像的认识以及通过函数图像得出变量的范围，强调数形结合的思想。希望学生通过观察二次函数的图像得出变量的范围，可能会有个别学生通过解不等式求变量的范围（由于二次不等式可能学生不太会解，会得出一些错解），如果这样的话更好，老师可以让学生对照和评价两种方法的优劣；第（2）问让学生加深对函数与方程的认识，同第（1）问一样，学生有观察图像求解和解方程及用根的判别式去求解两种方法，比较后学生应该更深一层掌握数形结合的思想去解决问题。第（3）问让学生掌握代入运算和利用二次函数图像的性质比较函数值两种方法，同时可以比较两种方法的优劣性，注意第二问提醒学生可以利