中考数学最值问题总结(含强化训练)

中考数学最值问题总结（含强化训练）
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领
（1）两点之间线段最短；
（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领
1.二次函数的最值公式
二次函数y ax bx c =++2
（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a
=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a
=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22
++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．求EC +GC 的最小值为 ．
【对点练习】（2020•内江）如图，在矩形ABCD 中，BC ＝10，∠ABD ＝30°，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM +MN 的最小值为 ．
【例题2】（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当0≤x ≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1650元，求a 的最小值．
【对点练习】（2020海南模拟）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【例题3】（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=k
x交于A、B两点，P是以点C
（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）
A．−1
2B．−3
2C．﹣2 D．−
1
4
【对点练习】（2019云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径
MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为．
【例题4】（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a ＜3＜b，求m的取值范围．
【对点练习】（2019海南）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题5】（2020无锡模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．
【对点练习】（2019年黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B 出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
一、填空题
1．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED
并延长至点F，使得DF=1
4DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为．
2．（2020•凉山州）如图，矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，E 是AB 上一点，且EB ＝3，F 是BC 上一动点，若将△EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 ．
3．（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A （1，1），B （3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 ．
4．如图，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =3，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE +PF 的最小值是 ．
5.（2020四川绵阳模拟）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

6.（2020齐齐哈尔模拟）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 22
2++--的最小值为_______。

二、解答题
7．（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a380 940
餐椅a﹣140 160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
8．（2020•泸州）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？9．（2020•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括
函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=−
12
x2+2
的图象并探究该函数的性质．
x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y…−2
3
a﹣2 ﹣4 b﹣4 ﹣2 −
12
11−
2
3
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y=−12
x2+2
的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y=−12
x2+2
有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y=−2
3x−
10
3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
−12 x2+2＜−
2
3x−
10
3的解集．
10．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=k
x（x＞
0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=k
x（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是．
11．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF＝EF；
（2）求MN+NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
12．（2020•广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6√2千米处是学校B．（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．
（1）求学校A，B两点之间的距离；
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
13．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．
14．（2020•枣庄）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM ⊥x 轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为M （m ，0），请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020•天津）已知点A （1，0）是抛物线y ＝ax 2+bx +m （a ，b ，m 为常数，a ≠0，m ＜0）与x 轴的一个交点．
（Ⅰ）当a ＝1，m ＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x 轴的另一个交点为M （m ，0），与y 轴的交点为C ，过点C 作直线1平行于x 轴，E 是直线1上的动点，F 是y 轴上的动点，EF ＝2√2．
①当点E 落在抛物线上（不与点C 重合），且AE ＝EF 时，求点F 的坐标；
②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是
√22。