微积分同济大学第四版
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
同济大学《高等数学》(第四版)3-2节 洛必达法则
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim π 3 sec 2 3 x 3 x → π cos 2 x x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π − 2 cos x sin x π 3 x→ x → sin 2 x
,
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
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注意：洛必达法则的使用条件． 注意：洛必达法则的使用条件．
2
1 ln(1 + ) x ； 2、 2、 lim x → +∞ arctan x
3、lim x cot 2 x ；
x →0
2 1 )； 4、 − 4、lim( 2 x →1 x − 1 x −1
1 tan x 6、 6、 lim ( ) ； x → +0 x
5、 lim x
x → +0
sin x
；
解 原式 = lim e
x →1
x →0
1 ln x 1− x
= lim e
1 ln x
=e
ln x x →11− x lim
=e
1 lim x x → 1 −1
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
.
1 ln x
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 运用对数恒等式得 (cot x)
微积分第四版答案(二)曲面的概念+曲面的第一基本形式
§1曲面的概念1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {, ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,, 。
所以切平面方程为：，即x bcos + y asin－ a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证，。
切平面方程为：。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。
于是，四面体的体积为：是常数。
§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,∴ I = 2。
２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。
微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式
§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F⋅==0,2v r G ==cosh 2u.所以错误!未找到引用源。
= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u -⨯ =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--, L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以错误!未找到引用源。
= -2du +2dv 。
2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ++= ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误!未找到引用源。
=2221dx dx +, 错误!未找到引用源。
=222121245dx dx dx dx ++.3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0。
同济大学教材高等数学目录
同济大学教材高等数学目录第一章微积分基础1.1 函数与极限- 1.1.1 实数与数轴- 1.1.2 函数的概念- 1.1.3 函数的极限1.2 导数与微分- 1.2.1 导数的概念- 1.2.2 导数的计算- 1.2.3 高阶导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用- 1.3.1 中值定理概念与证明- 1.3.2 罗尔定理与拉格朗日中值定理- 1.3.3 泰勒公式与应用第二章微分学的应用2.1 曲线的性质与图形的简单变换- 2.1.1 形状和方程- 2.1.3 图形的伸缩与旋转2.2 函数的单调性与曲线的凹凸性- 2.2.1 单调函数的概念- 2.2.2 定理与判定- 2.2.3 凹凸函数的概念与定理2.3 不定积分- 2.3.1 原函数与不定积分- 2.3.2 基本积分公式- 2.3.3 积分法与应用第三章多元函数微分学3.1 多元函数的极限与连续性- 3.1.1 多元函数的极限概念- 3.1.2 多元函数的连续性- 3.1.3 极限和连续性的性质3.2 偏导数与全微分- 3.2.1 偏导数的概念- 3.2.3 全微分与边界条件3.3 隐函数与参数方程的偏导数- 3.3.1 隐函数的概念与求导法则- 3.3.2 参数方程的导数与高阶导数- 3.3.3 隐函数与参数方程的微分第四章微分方程4.1 一阶常微分方程- 4.1.1 基础概念与解的存在唯一性- 4.1.2 常微分方程的解法- 4.1.3 可降阶的高阶方程4.2 高阶线性常微分方程- 4.2.1 高阶常微分方程的基本概念- 4.2.2 欧拉方程与特征方程- 4.2.3 高阶常微分方程的解法4.3 常系数线性齐次微分方程- 4.3.1 广义指数函数与欧拉公式- 4.3.2 常系数齐次线性微分方程的解- 4.3.3 常系数齐次高阶微分方程的解第五章微分方程的应用5.1 函数的级数展开与Fourier级数- 5.1.1 幂级数的定义和性质- 5.1.2 幂级数的收敛性- 5.1.3 Fourier级数的定义和应用5.2 傅里叶变换- 5.2.1 傅里叶变换的定义和性质- 5.2.2 傅里叶变换的求解方法- 5.2.3 傅里叶变换的应用5.3 积分变换- 5.3.1 Laplace变换的定义和性质- 5.3.2 Laplace变换的求解方法- 5.3.3 积分变换的应用领域以上为同济大学教材《高等数学》的目录概要。
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
高等数学同济4版教材
高等数学同济4版教材高等数学是大学数学专业的基础课程，也是理工科学生必修的一门学科。
同济大学出版社出版的高等数学同济系列教材是我国高校普遍使用的教材之一。
本文将对同济4版高等数学教材进行介绍和评价。
同济4版高等数学教材共分为上下两册，涵盖了微积分学和线性代数两个主要内容。
整个教材由同济大学数学系编写，内容丰富、系统完整，适合高等数学的初学者。
第一章是高等数学的导论部分，介绍数学的起源、发展和基本思想方法。
这一章并不涉及具体计算，而是以哲学的角度讲解数学的概念、性质和研究方法。
通过学习导论，学生可以更好地理解高等数学的重要性和应用领域。
第二章至第六章是微积分学的内容。
从函数、极限开始，逐渐深入讲解了导数、微分、积分等概念和计算方法。
每一个概念都有详细的定义和定理，并辅以充分的例题和习题，帮助学生理解和掌握。
教材还强调了数学与实际问题的应用，通过实例引导学生将所学的数学知识应用到实际生活中。
第七章至第十章是线性代数的内容。
从向量、矩阵开始，介绍了线性方程组、矩阵的基本运算和特征值等概念。
同样地，每一个概念都有详细的定义和定理，并有相应的例题和习题供学生练习。
线性代数的应用非常广泛，不仅在数学领域有重要作用，还在物理、工程、信息科学等其他学科中有广泛应用。
同济4版高等数学教材的编写风格平实、易懂，适合初学者使用。
教材注重概念的引入、证明的讲解和应用的引导，既注重理论的建立，又注重实际问题的解决。
教材的习题设计也很典型，从基础题到拓展题，层层递进，有助于学生巩固和拓展所学知识。
然而，同济4版高等数学教材也存在一些不足之处。
首先，教材内容过于繁琐，有时难以简明地表达数学思想。
其次，教材中缺少足够的实例，学生在学习过程中较难找到实际问题与数学知识的联系。
此外，教材中的一些定理证明过程较为复杂，难以达到初学者的理解和掌握。
总结而言，同济4版高等数学教材是一本内容丰富、系统完整的教材。
它的编写风格平实易懂，习题设计充分，适合初学者使用。
同济大学《高等数学》(第四版)2-7节函数的微分-精选文档
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
1.微分的概念
设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量 x , 且 x0+x U(x0) 。 如果函数相应的增量可表示为 y =Ax + o(x) 则称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分, 记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数 。
几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的
微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量
x, 曲线y = f (x) 在点 P(x, y) 的切线上
纵坐标的改变量.
4. 微分的求法
dy f ( x ) dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
d ( C ) 0 d (sin x ) cos xdx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv
d ( Cu ) Cdu
u vdu udv d ( uv ) vdu udv d () 2 v v
例3 设 y ln( x e ), 求 dy .
2 x
12xe 解 y , x2 xe
由于 y x ,故得
d y d x x .
该例说明: 自变量的增量就是自变量的微分： 函数的微分可以写成:
x d x
d y f ( x ) d x或 d f ( x ) f ( x ) d x
此外, 当 x 为自变量时, 还可记
2 2 n n x d x , x d x ( n Z ) 等 .
此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。
高等数学教材同济第四版
高等数学教材同济第四版同济大学高等数学教材第四版同济大学高等数学教材第四版是一本经典的数学教材，深受广大学生和教师的喜爱。
它是中国高等数学教育领域的瑰宝，为学生提供了系统、完整的数学知识，有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本文将对同济大学高等数学教材第四版进行全面评述。
第一部分：导论同济大学高等数学教材第四版的导论部分是整本教材的起点，它对高等数学的基本概念和定义进行了概述，为学生奠定了坚实的数学基础。
在导论中，教材以简明易懂的语言解释了数学的起源、发展和应用领域，引导学生从宏观上认识数学的重要性和普适性。
第二部分：微积分同济大学高等数学教材第四版的微积分部分是整本教材的核心内容之一。
它系统介绍了微积分的基本概念、性质和应用，包括极限、导数、微分、积分等内容。
教材在讲解过程中注重理论与实践的结合，通过大量的例题和习题，帮助学生更好地理解和掌握微积分的原理和方法。
第三部分：数学分析同济大学高等数学教材第四版的数学分析部分是对微积分理论的深入拓展和应用。
它涵盖了一元函数的级数、一元函数的多项式逼近和一元函数的傅里叶级数等内容。
教材以简洁明了的语言，结合具体的例子和图表，帮助学生理解和掌握数学分析的基本概念和方法。
第四部分：高等代数同济大学高等数学教材第四版的高等代数部分是对线性代数的全面介绍和拓展。
它包括矩阵与行列式、线性方程组、向量空间、线性变换等内容。
教材通过丰富的例题和习题，培养学生的抽象思维和分析问题的能力，为学生进一步学习和研究高等代数奠定基础。
第五部分：常微分方程同济大学高等数学教材第四版的常微分方程部分介绍了常微分方程的基本理论和解法，包括一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程等内容。
教材通过具体的应用问题，引导学生理解和掌握常微分方程的求解方法和应用技巧。
总结：同济大学高等数学教材第四版以其系统、完整的内容，深入浅出的讲解方式，成为了广大学生学习高等数学的重要参考资料。
高等数学同济第四版教材
高等数学同济第四版教材高等数学是大学理工科专业的基础课程之一，同济大学的高等数学第四版教材是广大学生学习数学的重要参考资料。
本文将对该教材进行评述，并介绍其中的重要知识点和学习方法，帮助读者更好地掌握高等数学的基础知识。
同济大学高等数学第四版教材全面而深入地介绍了高等数学的各个分支，包括微积分、线性代数和概率统计。
教材内容丰富，涵盖了大量的数学定理和公式，并配以详细的数学推导和应用示例，使学生能够深入理解数学的原理和应用方法。
首先，微积分是高等数学的核心内容之一。
教材中详细介绍了函数、极限、连续性和导数等概念，以及反常积分和重积分等高级应用。
通过学习微积分，学生能够理解函数的变化规律，掌握求导和积分的方法，并应用于实际问题的解决中。
其次，线性代数也是高等数学的重要组成部分。
教材中系统地介绍了向量、矩阵、行列式和线性方程组等内容，重点培养学生的抽象思维和矩阵运算的能力。
线性代数的概念和方法在工程、物理、计算机和经济等领域都有广泛的应用，对学生的专业发展具有重要意义。
最后，概率统计是高等数学中的一门实用性较强的学科。
教材中介绍了基本概率原理、随机变量、概率分布和大数定律等内容，通过概率统计的学习，学生能够分析和处理各种随机事件，并通过统计方法对数据进行分析和推断。
除了高等数学的核心知识外，教材还包括大量的习题和解答，供学生巩固知识和提高解题能力。
学生可以通过做习题来检验自己对知识点的掌握程度，并通过解答来加深对理论的理解。
针对高等数学的学习，建议学生采取以下学习方法。
首先，理论和实践相结合，既要理解概念和定理，也要学会应用。
其次，注重思维方式的转变，高等数学需要一种抽象和逻辑思维方式，学生需要培养这方面的能力。
再次，勤加练习，在课后花时间做习题，加深对知识的理解和应用能力的培养。
总之，高等数学同济第四版教材是一本权威性、系统性和实用性俱佳的教材，对学生学习高等数学起到了重要的指导作用。
通过学习该教材，学生可以掌握高等数学的基本理论和方法，并培养解决实际问题的数学思维能力。
同济大学高等数学-第四版3-9节曲率
y
1 6 Rl
x 3， x [0, x0 ]．作为
缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零 ,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A 的曲率近似为 1 .
R
y
R
l A(x0,y0)
o C(x0,0) x
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证 如图
y
x的负半轴表示直道，
的 曲 线 为 __________.
2、 抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为
________； 曲 率 半 径 为 _________.
3 、 曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 ( 0 , 0 ) 处 的 曲 率 为
___________.
2
M 2 S2 M 3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点 . M M s,
MM切线转 角 . M为 0 S .M )
M.
S
定义
o
x
弧M 段 M的平均K 曲 率 . 为
(t)(t)(t)(t)
k
3.
[2(t)2(t)2]
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例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线,的顶点 2a 4a
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微积分同济大学第四版
简介
《微积分同济大学第四版》是同济大学数学系编写的教材，旨在帮助学生系统全面地学习微积分知识。
本教材精心编写，内容丰富，结构系统，适合初学者。
内容概述
本教材分为十三章，涵盖了微积分的各个重要概念、理论
和技巧。
每个章节都以概念的引入开始，然后逐步推导、解释和应用相关的知识点。
以下是本书各章节的简要内容概述：
1.函数与极限：介绍了函数的基本概念，包括定义域、
值域、奇偶性等，并讲解了极限的概念及其性质。
2.导数与微分：介绍了导数的概念，包括导数的几何
意义和物理意义，并详细讨论了常见函数的导数计算方法。
3.微分中值定理：介绍了拉格朗日中值定理和柯西中
值定理，以及它们的应用。
4.高阶导数与泰勒公式：介绍了高阶导数的概念和计
算方法，并讲解了泰勒公式及其应用。
5.微分学中的应用：介绍了微分在几何、物理和经济
学中的应用，包括函数求极值、曲线拟合等。
6.定积分：介绍了定积分的概念和性质，包括黎曼和、黎曼积分和牛顿-莱布尼茨公式。
7.不定积分：介绍了不定积分的概念和计算方法，包
括换元积分法、分部积分法等。
8.定积分的应用：介绍了定积分在几何、物理和经济
学中的应用，包括曲线长度、曲面面积等。
9.微分方程：介绍了常微分方程的基本概念，包括一
阶微分方程和二阶线性微分方程。
10.空间解析几何：介绍了空间解析几何的基本概念和
计算方法，包括点、直线、平面的方程和位置关系。
11.多元函数微分学：介绍了多元函数的概念和性质，
包括多元函数的极限、连续和偏导数等。
12.多元函数微分学的应用：介绍了多元函数微分学在
几何、物理和经济学中的应用，包括多元函数求极值、曲
面面积等。
13.曲线积分与曲面积分：介绍了曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，包括格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。
特点与亮点
•结构系统：本教材按照微积分的基本逻辑和知识结构编写，每个章节之间相互关联，层层递进，有助于学生系统地学习。
•理论与实践结合：本教材既注重理论知识的传授，又注重应用技巧的培养，引导学生将理论知识应用于实际问题解决中。
•数量丰富：本教材附有大量例题、习题和应用题，供学生巩固理论知识和提高解题能力。
•真实案例：本教材结合真实案例，展示微积分在现实生活中的应用，使学生更好地理解和掌握微积分的知识和技能。
适用人群
本教材适用于高等院校理工科相关专业的本科生，也可作
为自学的参考教材。
对于准备参加全国研究生入学考试或其他数学相关竞赛的学生也具有一定的参考价值。
结语
《微积分同济大学第四版》是一本内容全面、结构系统的
微积分教材，适合初学者学习微积分知识。
通过本教材的学习，学生可以系统地掌握微积分的基本概念、理论和应用技巧，为进一步学习和应用微积分打下坚实的基础。